Theorem rngidpropdg 14426

Description: The ring unity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
rngidpropdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
rngidpropdg.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
rngidpropdg	⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rngidpropdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rngidpropdg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
4		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	3, 4	mgpbasg 14200	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6	2, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
7	1, 6	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
8		rngidpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
9		rngidpropdg.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑊)
10		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
11		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
12	10, 11	mgpbasg 14200	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
13	9, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
14	8, 13	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
15	3	mgpex 14199	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝐾) ∈ V)
16	2, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ V)
17	10	mgpex 14199	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (mulGrp‘𝐿) ∈ V)
18	9, 17	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐿) ∈ V)
19		rngidpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
20		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
21	3, 20	mgpplusgg 14198	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
22	2, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
23	22	oveqdr 6103	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
24		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
25	10, 24	mgpplusgg 14198	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
26	9, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
27	26	oveqdr 6103	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
28	19, 23, 27	3eqtr3d 2279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
29	7, 14, 16, 18, 28	grpidpropdg 13671	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
30		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
31	3, 30	ringidvalg 14239	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
32	2, 31	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
33		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
34	10, 33	ringidvalg 14239	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
35	9, 34	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
36	29, 32, 35	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330  +_gcplusg 13408  ._rcmulr 13409  0_gc0g 13587  mulGrpcmgp 14194  1_rcur 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgp 14195  df-ur 14238

This theorem is referenced by:  unitpropdg  14428  subrgpropd  14534  lmodprop2d  14657