Theorem rngidpropdg 13645

Description: The ring unity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
rngidpropdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
rngidpropdg.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
rngidpropdg	⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rngidpropdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rngidpropdg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
3		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
4		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	3, 4	mgpbasg 13425	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6	2, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
7	1, 6	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
8		rngidpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
9		rngidpropdg.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑊)
10		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
11		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
12	10, 11	mgpbasg 13425	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
13	9, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
14	8, 13	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
15	3	mgpex 13424	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝐾) ∈ V)
16	2, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ V)
17	10	mgpex 13424	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (mulGrp‘𝐿) ∈ V)
18	9, 17	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐿) ∈ V)
19		rngidpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
20		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
21	3, 20	mgpplusgg 13423	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
22	2, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
23	22	oveqdr 5947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
24		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
25	10, 24	mgpplusgg 13423	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
26	9, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
27	26	oveqdr 5947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
28	19, 23, 27	3eqtr3d 2234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
29	7, 14, 16, 18, 28	grpidpropdg 12960	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
30		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
31	3, 30	ringidvalg 13460	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
32	2, 31	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
33		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
34	10, 33	ringidvalg 13460	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
35	9, 34	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
36	29, 32, 35	3eqtr4d 2236	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  ._rcmulr 12699  0_gc0g 12870  mulGrpcmgp 13419  1_rcur 13458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-mgp 13420  df-ur 13459

This theorem is referenced by:  unitpropdg  13647  subrgpropd  13752  lmodprop2d  13847