Theorem rngidpropdg 13642

Description: The ring unity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
rngidpropdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
rngidpropdg.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
rngidpropdg	⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rngidpropdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rngidpropdg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
3		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
4		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	3, 4	mgpbasg 13422	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6	2, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
7	1, 6	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
8		rngidpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
9		rngidpropdg.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑊)
10		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
11		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
12	10, 11	mgpbasg 13422	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
13	9, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
14	8, 13	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
15	3	mgpex 13421	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝐾) ∈ V)
16	2, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ V)
17	10	mgpex 13421	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (mulGrp‘𝐿) ∈ V)
18	9, 17	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐿) ∈ V)
19		rngidpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
20		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
21	3, 20	mgpplusgg 13420	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
22	2, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
23	22	oveqdr 5946	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
24		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
25	10, 24	mgpplusgg 13420	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
26	9, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
27	26	oveqdr 5946	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
28	19, 23, 27	3eqtr3d 2234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
29	7, 14, 16, 18, 28	grpidpropdg 12957	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
30		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
31	3, 30	ringidvalg 13457	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
32	2, 31	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
33		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
34	10, 33	ringidvalg 13457	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
35	9, 34	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
36	29, 32, 35	3eqtr4d 2236	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  0_gc0g 12867  mulGrpcmgp 13416  1_rcur 13455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgp 13417  df-ur 13456

This theorem is referenced by:  unitpropdg  13644  subrgpropd  13749  lmodprop2d  13844