Theorem rngidpropdg 14308

Description: The ring unity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
rngidpropdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
rngidpropdg.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
rngidpropdg	⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rngidpropdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		rngidpropdg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
3		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
4		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	3, 4	mgpbasg 14087	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6	2, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
7	1, 6	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
8		rngidpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
9		rngidpropdg.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑊)
10		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
11		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
12	10, 11	mgpbasg 14087	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
13	9, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
14	8, 13	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
15	3	mgpex 14086	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝐾) ∈ V)
16	2, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ V)
17	10	mgpex 14086	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (mulGrp‘𝐿) ∈ V)
18	9, 17	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐿) ∈ V)
19		rngidpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
20		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
21	3, 20	mgpplusgg 14085	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
22	2, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
23	22	oveqdr 6080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
24		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
25	10, 24	mgpplusgg 14085	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
26	9, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
27	26	oveqdr 6080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
28	19, 23, 27	3eqtr3d 2275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
29	7, 14, 16, 18, 28	grpidpropdg 13604	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
30		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
31	3, 30	ringidvalg 14122	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
32	2, 31	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
33		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
34	10, 33	ringidvalg 14122	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑊 → (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
35	9, 34	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
36	29, 32, 35	3eqtr4d 2277	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13229  +_gcplusg 13307  ._rcmulr 13308  0_gc0g 13486  mulGrpcmgp 14081  1_rcur 14120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-0g 13488  df-mgp 14082  df-ur 14121

This theorem is referenced by:  unitpropdg  14310  subrgpropd  14415  lmodprop2d  14513