Theorem mgpplusgg 13239

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusgg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘𝑀))

Proof of Theorem mgpplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2		mulrslid 12609	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 12507	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2276	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · ∈ V)
5		plusgslid 12590	. . . 4 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	setsslid 12531	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
7	4, 6	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
8		mgpval.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
9	8, 1	mgpvalg 13238	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
10	9	fveq2d 5534	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
11	7, 10	eqtr4d 2225	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752  ⟨cop 3610  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  ndxcnx 12477   sSet csts 12478  +_gcplusg 12555  ._rcmulr 12556  mulGrpcmgp 13235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-sets 12487  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-mgp 13236

This theorem is referenced by:  rngass  13254  rngcl  13259  isrngd  13268  rngpropd  13270  dfur2g  13277  srgcl  13285  srgass  13286  srgideu  13287  srgidmlem  13293  issrgid  13296  srg1zr  13302  srgpcomp  13305  srgpcompp  13306  ringcl  13328  crngcom  13329  iscrng2  13330  ringass  13331  ringideu  13332  ringidmlem  13337  isringid  13340  ringidss  13344  ringpropd  13353  crngpropd  13354  isringd  13356  iscrngd  13357  ring1  13372  oppr1g  13393  unitgrp  13427  unitlinv  13437  unitrinv  13438  rdivmuldivd  13455  rngidpropdg  13457  invrpropdg  13460  dfrhm2  13465  rhmmul  13475  isrhm2d  13476  rhmunitinv  13489  subrgugrp  13548  issubrg3  13555  rnglidlmmgm  13773  rnglidlmsgrp  13774  cnfldexp  13841