Theorem mgpplusgg 13903

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusgg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘𝑀))

Proof of Theorem mgpplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2		mulrslid 13181	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 13075	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2316	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · ∈ V)
5		plusgslid 13161	. . . 4 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	setsslid 13099	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
7	4, 6	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
8		mgpval.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
9	8, 1	mgpvalg 13902	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
10	9	fveq2d 5633	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
11	7, 10	eqtr4d 2265	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟨cop 3669  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ndxcnx 13045   sSet csts 13046  +_gcplusg 13126  ._rcmulr 13127  mulGrpcmgp 13899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-sets 13055  df-plusg 13139  df-mulr 13140  df-mgp 13900

This theorem is referenced by:  rngass  13918  rngcl  13923  isrngd  13932  rngpropd  13934  dfur2g  13941  srgcl  13949  srgass  13950  srgideu  13951  srgidmlem  13957  issrgid  13960  srg1zr  13966  srgpcomp  13969  srgpcompp  13970  ringcl  13992  crngcom  13993  iscrng2  13994  ringass  13995  ringideu  13996  ringidmlem  14001  isringid  14004  ringidss  14008  ringpropd  14017  crngpropd  14018  isringd  14020  iscrngd  14021  ring1  14038  oppr1g  14061  unitgrp  14096  unitlinv  14106  unitrinv  14107  rdivmuldivd  14124  rngidpropdg  14126  invrpropdg  14129  dfrhm2  14134  rhmmul  14144  isrhm2d  14145  rhmunitinv  14158  subrgugrp  14220  issubrg3  14227  rhmpropd  14234  rnglidlmmgm  14476  rnglidlmsgrp  14477  cnfldexp  14557  expghmap  14587  lgseisenlem3  15767  lgseisenlem4  15768