Theorem mgpplusgg 12929

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusgg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘𝑀))

Proof of Theorem mgpplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2		mulrslid 12542	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 12455	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2262	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · ∈ V)
5		plusgslid 12525	. . . 4 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	setsslid 12478	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
7	4, 6	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
8		mgpval.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
9	8, 1	mgpvalg 12928	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
10	9	fveq2d 5511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
11	7, 10	eqtr4d 2211	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  Vcvv 2735  ⟨cop 3592  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ndxcnx 12425   sSet csts 12426  +_gcplusg 12492  ._rcmulr 12493  mulGrpcmgp 12925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-mgp 12926

This theorem is referenced by:  dfur2g  12938  srgcl  12946  srgass  12947  srgideu  12948  srgidmlem  12954  issrgid  12957  srg1zr  12963  srgpcomp  12966  srgpcompp  12967  ringcl  12989  crngcom  12990  iscrng2  12991  ringass  12992  ringideu  12993  ringidmlem  12998  isringid  13001  ringpropd  13009  crngpropd  13010  isringd  13012  iscrngd  13013