Theorem unitlinv 14204

Description: A unit times its inverse is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
unitinvcl.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitinvcl.4	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitlinv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )

Proof of Theorem unitlinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitinvcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
3		eqidd 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
4		ringsrg 14124	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
5	2, 3, 4	unitgrpbasd 14193	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
6	5	eleq2d 2301	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
7	6	pm5.32i 454	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
8		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
9	1, 8	unitgrp 14194	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
10		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
12		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
13		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
14	10, 11, 12, 13	grplinv 13696	. . . 4 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
15	9, 14	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
16	7, 15	sylbi 121	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
17		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
18		unitinvcl.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	17, 18	mgpplusgg 14001	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20		basfn 13204	. . . . . . 7 ⊢ Base Fn V
21		elex 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
22		funfvex 5665	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
23	22	funfni 5439	. . . . . . 7 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
24	20, 21, 23	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ V)
25		eqidd 2232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
26	25, 2, 4	unitssd 14187	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
27	24, 26	ssexd 4234	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ V)
28	17	mgpex 14002	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
29	3, 19, 27, 28	ressplusgd 13275	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
30		unitinvcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
31	30	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = (invr‘𝑅))
32		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
33	2, 3, 31, 32	invrfvald 14200	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
34	33	fveq1d 5650	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘𝑋) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋))
35		eqidd 2232	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 = 𝑋)
36	29, 34, 35	oveq123d 6049	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑋))
37	36	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑋))
38		unitinvcl.4	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
39	1, 8, 38	unitgrpid 14196	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
40	39	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
41	16, 37, 40	3eqtr4d 2274	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13145   ↾_s cress 13146  +_gcplusg 13223  ._rcmulr 13224  0_gc0g 13402  Grpcgrp 13646  inv_gcminusg 13647  mulGrpcmgp 13997  1_rcur 14036  Ringcrg 14073  Unitcui 14164  inv_rcinvr 14198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-tpos 6454  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-cmn 13936  df-abl 13937  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-srg 14041  df-ring 14075  df-oppr 14145  df-dvdsr 14166  df-unit 14167  df-invr 14199

This theorem is referenced by:  dvrcan1  14218  rhmunitinv  14256  subrginv  14315  subrgunit  14317  unitrrg  14346