Theorem unitlinv 13622

Description: A unit times its inverse is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
unitinvcl.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitinvcl.4	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitlinv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )

Proof of Theorem unitlinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitinvcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
3		eqidd 2194	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
4		ringsrg 13543	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
5	2, 3, 4	unitgrpbasd 13611	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
6	5	eleq2d 2263	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
7	6	pm5.32i 454	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
8		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
9	1, 8	unitgrp 13612	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
10		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
12		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
13		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
14	10, 11, 12, 13	grplinv 13122	. . . 4 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
15	9, 14	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
16	7, 15	sylbi 121	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑋) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
17		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
18		unitinvcl.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	17, 18	mgpplusgg 13420	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20		basfn 12676	. . . . . . 7 ⊢ Base Fn V
21		elex 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
22		funfvex 5571	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
23	22	funfni 5354	. . . . . . 7 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
24	20, 21, 23	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ V)
25		eqidd 2194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
26	25, 2, 4	unitssd 13605	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
27	24, 26	ssexd 4169	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ V)
28	17	mgpex 13421	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
29	3, 19, 27, 28	ressplusgd 12746	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
30		unitinvcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
31	30	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = (invr‘𝑅))
32		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
33	2, 3, 31, 32	invrfvald 13618	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
34	33	fveq1d 5556	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘𝑋) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋))
35		eqidd 2194	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 = 𝑋)
36	29, 34, 35	oveq123d 5939	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑋))
37	36	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))𝑋))
38		unitinvcl.4	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
39	1, 8, 38	unitgrpid 13614	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
40	39	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
41	16, 37, 40	3eqtr4d 2236	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618   ↾_s cress 12619  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  0_gc0g 12867  Grpcgrp 13072  inv_gcminusg 13073  mulGrpcmgp 13416  1_rcur 13455  Ringcrg 13492  Unitcui 13583  inv_rcinvr 13616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-tpos 6298  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-unit 13586  df-invr 13617

This theorem is referenced by:  dvrcan1  13636  rhmunitinv  13674  subrginv  13733  subrgunit  13735  unitrrg  13763