ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unitrinv GIF version
Theorem unitrinv 13294
Description: A unit times its inverse is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitinvcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitinvcl.2 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
unitinvcl.3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
unitinvcl.4 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitrinv ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘‹)) = 1 )
Proof of Theorem unitrinv
StepHypRef Expression
1 unitinvcl.1 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
21a1i 9 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
3 eqidd 2178 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
4 ringsrg 13222 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ SRing)
52, 3, 4unitgrpbasd 13282 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
65eleq2d 2247 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
76pm5.32i 454 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))))
8 eqid 2177 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
91, 8unitgrp 13283 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp)
10 eqid 2177 . . . . 5 (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
11 eqid 2177 . . . . 5 (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
12 eqid 2177 . . . . 5 (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
13 eqid 2177 . . . . 5 (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
1410, 11, 12, 13grprinv 12922 . . . 4 ((((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))) β†’ (𝑋(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘‹)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
159, 14sylan 283 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))) β†’ (𝑋(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘‹)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
167, 15sylbi 121 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘‹)) = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
17 eqid 2177 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
18 unitinvcl.3 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
1917, 18mgpplusgg 13132 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
20 basfn 12519 . . . . . . 7 Base Fn V
21 elex 2748 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ V)
22 funfvex 5532 . . . . . . . 8 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
2322funfni 5316 . . . . . . 7 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
2420, 21, 23sylancr 414 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
25 eqidd 2178 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
2625, 2, 4unitssd 13276 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2724, 26ssexd 4143 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ V)
2817mgpex 13133 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ V)
293, 19, 27, 28ressplusgd 12586 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ Β· = (+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
30 eqidd 2178 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 = 𝑋)
31 unitinvcl.2 . . . . . . 7 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
3231a1i 9 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐼 = (invrβ€˜π‘…))
33 id 19 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Ring)
342, 3, 32, 33invrfvald 13289 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐼 = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
3534fveq1d 5517 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘‹))
3629, 30, 35oveq123d 5895 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘‹)) = (𝑋(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘‹)))
3736adantr 276 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘‹)) = (𝑋(+gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))((invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))β€˜π‘‹)))
38 unitinvcl.4 . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
391, 8, 38unitgrpid 13285 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
4039adantr 276 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 = (0gβ€˜((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)))
4116, 37, 403eqtr4d 2220 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (πΌβ€˜π‘‹)) = 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   Fn wfn 5211  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12461   β†Ύs cress 12462  +gcplusg 12535  .rcmulr 12536  0gc0g 12704  Grpcgrp 12876  invgcminusg 12877  mulGrpcmgp 13128  1rcur 13140  Ringcrg 13177  Unitcui 13254  invrcinvr 13287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-tpos 6245  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-iress 12469  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-0g 12706  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-mnd 12817  df-grp 12879  df-minusg 12880  df-cmn 13088  df-abl 13089  df-mgp 13129  df-ur 13141  df-srg 13145  df-ring 13179  df-oppr 13238  df-dvdsr 13256  df-unit 13257  df-invr 13288
This theorem is referenced by:  1rinv  13295  0unit  13296  dvrid  13304  subrguss  13355  subrginv  13356  subrgunit  13358
  Copyright terms: Public domain W3C validator