Theorem unitrinv 14544

Description: A unit times its inverse is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
unitinvcl.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitinvcl.4	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitrinv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = 1 )

Proof of Theorem unitrinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitinvcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
3		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
4		ringsrg 14460	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
5	2, 3, 4	unitgrpbasd 14532	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
6	5	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
7	6	pm5.32i 458	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
8		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
9	1, 8	unitgrp 14533	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
10		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
12		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
13		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
14	10, 11, 12, 13	grprinv 13916	. . . 4 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → (𝑋(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
15	9, 14	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → (𝑋(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
16	7, 15	sylbi 121	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
17		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
18		unitinvcl.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	17, 18	mgpplusgg 14329	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20		basfn 13470	. . . . . . 7 ⊢ Base Fn V
21		elex 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
22		funfvex 5715	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
23	22	funfni 5486	. . . . . . 7 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
24	20, 21, 23	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ V)
25		eqidd 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
26	25, 2, 4	unitssd 14526	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
27	24, 26	ssexd 4275	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ V)
28	17	mgpex 14331	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
29	3, 19, 27, 28	ressplusgd 13543	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
30		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 = 𝑋)
31		unitinvcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
32	31	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = (invr‘𝑅))
33		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
34	2, 3, 32, 33	invrfvald 14539	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
35	34	fveq1d 5700	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘𝑋) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋))
36	29, 30, 35	oveq123d 6109	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑋(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)))
37	36	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = (𝑋(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)))
38		unitinvcl.4	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
39	1, 8, 38	unitgrpid 14535	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
40	39	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
41	16, 37, 40	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (𝐼‘𝑋)) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411   ↾_s cress 13412  +_gcplusg 13491  ._rcmulr 13492  0_gc0g 13670  Grpcgrp 13865  inv_gcminusg 13866  mulGrpcmgp 14325  1_rcur 14370  Ringcrg 14408  Unitcui 14503  inv_rcinvr 14537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-tpos 6520  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-cmn 14180  df-abl 14181  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-srg 14376  df-ring 14410  df-oppr 14483  df-dvdsr 14505  df-unit 14506  df-invr 14538

This theorem is used by:  1rinv  14545  0unit  14546  dvrid  14554  subrguss  14654  subrginv  14655  subrgunit  14657