Theorem gsumfzmhm 13953

Description: Apply a monoid homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsummhm.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumfzmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
2		gsummhm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2230	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
4	2, 3	mhm0 13574	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
7		gsummhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2230	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		gsummhm.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
10		gsummhm.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		gsummhm.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
12		gsummhm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
13	7, 2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumfzval 13497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
15		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
16	15	iftrued 3613	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = 0 )
17	14, 16	eqtrd 2263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = 0 )
18	17	fveq2d 5646	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)) = (𝐾‘ 0 ))
19		eqid 2230	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
20		eqid 2230	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
21		gsummhm.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
22	7, 19	mhmf 13571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
24		fco 5502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵) → (𝐾 ∘ 𝐹):(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐻))
25	23, 12, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ 𝐹):(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐻))
26	19, 3, 20, 21, 10, 11, 25	gsumfzval 13497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
27	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
28	15	iftrued 3613	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)) = (0g‘𝐻))
29	27, 28	eqtrd 2263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (0g‘𝐻))
30	6, 18, 29	3eqtr4rd 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))
31	9	cmnmndd 13918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
33		simprl 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
34		simprr 533	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	7, 8	mndcl 13529	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
37	36	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
38	12	ffvelcdmda 5785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
39	38	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
40	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
41	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	40	zred 9607	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	41	zred 9607	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
44		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
45	42, 43, 44	nltled 8305	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
46		eluz2 9766	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
47	40, 41, 45, 46	syl3anbrc 1207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
49		simprl 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
50		simprr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
51	7, 8, 20	mhmlin 13573	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐾‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐾‘𝑥)(+g‘𝐻)(𝐾‘𝑦)))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐾‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐾‘𝑥)(+g‘𝐻)(𝐾‘𝑦)))
53	12	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
54		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
55		fvco3 5720	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐾‘(𝐹‘𝑥)))
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐾‘(𝐹‘𝑥)))
57	56	eqcomd 2236	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾‘(𝐹‘𝑥)) = ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥))
58	10, 11	fzfigd 10699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
59	12, 58	fexd 5889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
60	59	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
61		coexg 5283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
62	1, 59, 61	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
63	62	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
64		plusgslid 13218	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
65	64	slotex 13132	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
66	9, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
67	66	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐺) ∈ V)
68	64	slotex 13132	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (+g‘𝐻) ∈ V)
69	21, 68	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) ∈ V)
70	69	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐻) ∈ V)
71	37, 39, 47, 52, 57, 60, 63, 67, 70	seqhomog 10798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
72	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
73	44	iffalsed 3616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
74	72, 73	eqtrd 2263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
75	74	fveq2d 5646	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)) = (𝐾‘(seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
76	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
77	44	iffalsed 3616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
78	76, 77	eqtrd 2263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
79	71, 75, 78	3eqtr4rd 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))
80		zdclt 9562	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
81	11, 10, 80	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
82		exmiddc 843	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
83	81, 82	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
84	30, 79, 83	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801  ifcif 3604   class class class wbr 4089   ∘ ccom 4731  ⟶wf 5324  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Fincfn 6914   < clt 8219   ≤ cle 8220  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760  ...cfz 10248  seqcseq 10715  Basecbs 13105  +_gcplusg 13183  0_gc0g 13362   Σ_g cgsu 13363  Mndcmnd 13522   MndHom cmhm 13563  CMndccmn 13894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-1o 6587  df-er 6707  df-map 6824  df-en 6915  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-seqfrec 10716  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-0g 13364  df-igsum 13365  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-mhm 13565  df-cmn 13896

This theorem is referenced by:  gsumfzmhm2  13954