Theorem gsumfzmhm 13413

Description: Apply a monoid homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsummhm.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumfzmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
2		gsummhm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
4	2, 3	mhm0 13040	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
7		gsummhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		gsummhm.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
10		gsummhm.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		gsummhm.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
12		gsummhm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
13	7, 2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumfzval 12974	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
15		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
16	15	iftrued 3564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = 0 )
17	14, 16	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = 0 )
18	17	fveq2d 5558	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)) = (𝐾‘ 0 ))
19		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
20		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
21		gsummhm.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
22	7, 19	mhmf 13037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
24		fco 5419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵) → (𝐾 ∘ 𝐹):(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐻))
25	23, 12, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ 𝐹):(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐻))
26	19, 3, 20, 21, 10, 11, 25	gsumfzval 12974	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
27	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
28	15	iftrued 3564	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)) = (0g‘𝐻))
29	27, 28	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (0g‘𝐻))
30	6, 18, 29	3eqtr4rd 2237	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))
31	9	cmnmndd 13378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
33		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
34		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	7, 8	mndcl 13004	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
37	36	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
38	12	ffvelcdmda 5693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
39	38	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
40	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
41	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	40	zred 9439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	41	zred 9439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
44		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
45	42, 43, 44	nltled 8140	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
46		eluz2 9598	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
47	40, 41, 45, 46	syl3anbrc 1183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
49		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
50		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
51	7, 8, 20	mhmlin 13039	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐾‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐾‘𝑥)(+g‘𝐻)(𝐾‘𝑦)))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐾‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐾‘𝑥)(+g‘𝐻)(𝐾‘𝑦)))
53	12	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
54		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
55		fvco3 5628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐾‘(𝐹‘𝑥)))
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐾‘(𝐹‘𝑥)))
57	56	eqcomd 2199	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾‘(𝐹‘𝑥)) = ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥))
58	10, 11	fzfigd 10502	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
59	12, 58	fexd 5788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
60	59	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
61		coexg 5210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
62	1, 59, 61	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
63	62	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
64		plusgslid 12730	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
65	64	slotex 12645	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
66	9, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
67	66	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐺) ∈ V)
68	64	slotex 12645	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (+g‘𝐻) ∈ V)
69	21, 68	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) ∈ V)
70	69	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐻) ∈ V)
71	37, 39, 47, 52, 57, 60, 63, 67, 70	seqhomog 10601	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
72	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
73	44	iffalsed 3567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
74	72, 73	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
75	74	fveq2d 5558	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)) = (𝐾‘(seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
76	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
77	44	iffalsed 3567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
78	76, 77	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
79	71, 75, 78	3eqtr4rd 2237	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))
80		zdclt 9394	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
81	11, 10, 80	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
82		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
83	81, 82	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
84	30, 79, 83	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ifcif 3557   class class class wbr 4029   ∘ ccom 4663  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Fincfn 6794   < clt 8054   ≤ cle 8055  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074  seqcseq 10518  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867   Σ_g cgsu 12868  Mndcmnd 12997   MndHom cmhm 13029  CMndccmn 13354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-map 6704  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031  df-cmn 13356

This theorem is referenced by:  gsumfzmhm2  13414