Theorem gsumfzmhm 13846

Description: Apply a monoid homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsummhm.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumfzmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
2		gsummhm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
4	2, 3	mhm0 13467	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
7		gsummhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		gsummhm.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
10		gsummhm.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		gsummhm.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
12		gsummhm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
13	7, 2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumfzval 13390	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
15		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
16	15	iftrued 3589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = 0 )
17	14, 16	eqtrd 2242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = 0 )
18	17	fveq2d 5607	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)) = (𝐾‘ 0 ))
19		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
20		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
21		gsummhm.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
22	7, 19	mhmf 13464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
24		fco 5465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵) → (𝐾 ∘ 𝐹):(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐻))
25	23, 12, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ 𝐹):(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐻))
26	19, 3, 20, 21, 10, 11, 25	gsumfzval 13390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
27	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
28	15	iftrued 3589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)) = (0g‘𝐻))
29	27, 28	eqtrd 2242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (0g‘𝐻))
30	6, 18, 29	3eqtr4rd 2253	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))
31	9	cmnmndd 13811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
33		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
34		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	7, 8	mndcl 13422	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1252	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
37	36	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
38	12	ffvelcdmda 5743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
39	38	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
40	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
41	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	40	zred 9537	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	41	zred 9537	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
44		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
45	42, 43, 44	nltled 8235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
46		eluz2 9696	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
47	40, 41, 45, 46	syl3anbrc 1186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
49		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
50		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
51	7, 8, 20	mhmlin 13466	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐾‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐾‘𝑥)(+g‘𝐻)(𝐾‘𝑦)))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1252	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐾‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐾‘𝑥)(+g‘𝐻)(𝐾‘𝑦)))
53	12	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
54		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
55		fvco3 5678	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐾‘(𝐹‘𝑥)))
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐾‘(𝐹‘𝑥)))
57	56	eqcomd 2215	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾‘(𝐹‘𝑥)) = ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥))
58	10, 11	fzfigd 10620	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
59	12, 58	fexd 5842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
60	59	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
61		coexg 5249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
62	1, 59, 61	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
63	62	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
64		plusgslid 13111	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
65	64	slotex 13025	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
66	9, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
67	66	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐺) ∈ V)
68	64	slotex 13025	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (+g‘𝐻) ∈ V)
69	21, 68	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) ∈ V)
70	69	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐻) ∈ V)
71	37, 39, 47, 52, 57, 60, 63, 67, 70	seqhomog 10719	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
72	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
73	44	iffalsed 3592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
74	72, 73	eqtrd 2242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
75	74	fveq2d 5607	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)) = (𝐾‘(seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
76	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
77	44	iffalsed 3592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
78	76, 77	eqtrd 2242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
79	71, 75, 78	3eqtr4rd 2253	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))
80		zdclt 9492	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
81	11, 10, 80	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
82		exmiddc 840	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
83	81, 82	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
84	30, 79, 83	mpjaodan 802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 712  DECID wdc 838   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779  ifcif 3582   class class class wbr 4062   ∘ ccom 4700  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Fincfn 6857   < clt 8149   ≤ cle 8150  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690  ...cfz 10172  seqcseq 10636  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  0_gc0g 13255   Σ_g cgsu 13256  Mndcmnd 13415   MndHom cmhm 13456  CMndccmn 13787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-1o 6532  df-er 6650  df-map 6767  df-en 6858  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-0g 13257  df-igsum 13258  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-mhm 13458  df-cmn 13789

This theorem is referenced by:  gsumfzmhm2  13847