Theorem gsumfzmhm 13901

Description: Apply a monoid homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
gsummhm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsummhm.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsummhm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzmhm	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumfzmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
2		gsummhm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
4	2, 3	mhm0 13522	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘ 0 ) = (0g‘𝐻))
7		gsummhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		gsummhm.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
10		gsummhm.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		gsummhm.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
12		gsummhm.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
13	7, 2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumfzval 13445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
15		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
16	15	iftrued 3609	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = 0 )
17	14, 16	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = 0 )
18	17	fveq2d 5636	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)) = (𝐾‘ 0 ))
19		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
20		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
21		gsummhm.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
22	7, 19	mhmf 13519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
24		fco 5494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻) ∧ 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵) → (𝐾 ∘ 𝐹):(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐻))
25	23, 12, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ 𝐹):(𝑀...𝑁)⟶(Base‘𝐻))
26	19, 3, 20, 21, 10, 11, 25	gsumfzval 13445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
27	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
28	15	iftrued 3609	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)) = (0g‘𝐻))
29	27, 28	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (0g‘𝐻))
30	6, 18, 29	3eqtr4rd 2273	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))
31	9	cmnmndd 13866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
33		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
34		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	7, 8	mndcl 13477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
37	36	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
38	12	ffvelcdmda 5775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
39	38	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
40	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
41	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	40	zred 9585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	41	zred 9585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
44		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
45	42, 43, 44	nltled 8283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
46		eluz2 9744	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
47	40, 41, 45, 46	syl3anbrc 1205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
49		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
50		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
51	7, 8, 20	mhmlin 13521	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐾‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐾‘𝑥)(+g‘𝐻)(𝐾‘𝑦)))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐾‘(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝐾‘𝑥)(+g‘𝐻)(𝐾‘𝑦)))
53	12	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
54		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
55		fvco3 5710	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐾‘(𝐹‘𝑥)))
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐾‘(𝐹‘𝑥)))
57	56	eqcomd 2235	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾‘(𝐹‘𝑥)) = ((𝐾 ∘ 𝐹)‘𝑥))
58	10, 11	fzfigd 10670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
59	12, 58	fexd 5876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
60	59	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ V)
61		coexg 5276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
62	1, 59, 61	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
63	62	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾 ∘ 𝐹) ∈ V)
64		plusgslid 13166	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
65	64	slotex 13080	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
66	9, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
67	66	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐺) ∈ V)
68	64	slotex 13080	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (+g‘𝐻) ∈ V)
69	21, 68	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐻) ∈ V)
70	69	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (+g‘𝐻) ∈ V)
71	37, 39, 47, 52, 57, 60, 63, 67, 70	seqhomog 10769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
72	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
73	44	iffalsed 3612	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
74	72, 73	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
75	74	fveq2d 5636	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)) = (𝐾‘(seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
76	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)))
77	44	iffalsed 3612	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, (0g‘𝐻), (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
78	76, 77	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (seq𝑀((+g‘𝐻), (𝐾 ∘ 𝐹))‘𝑁))
79	71, 75, 78	3eqtr4rd 2273	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))
80		zdclt 9540	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
81	11, 10, 80	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
82		exmiddc 841	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
83	81, 82	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
84	30, 79, 83	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ 𝐹)) = (𝐾‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ifcif 3602   class class class wbr 4083   ∘ ccom 4724  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Fincfn 6900   < clt 8197   ≤ cle 8198  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738  ...cfz 10221  seqcseq 10686  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  0_gc0g 13310   Σ_g cgsu 13311  Mndcmnd 13470   MndHom cmhm 13511  CMndccmn 13842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-map 6810  df-en 6901  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-0g 13312  df-igsum 13313  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-mhm 13513  df-cmn 13844

This theorem is referenced by:  gsumfzmhm2  13902