Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rprelogbdiv GIF version

Theorem rprelogbdiv 13245
 Description: The logarithm of the quotient of two positive real numbers is the difference of logarithms. Property 3 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by AV, 29-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
rprelogbdiv (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb (𝐴 / 𝐶)) = ((𝐵 logb 𝐴) − (𝐵 logb 𝐶)))

Proof of Theorem rprelogbdiv
StepHypRef Expression
1 neg1rr 8933 . . 3 -1 ∈ ℝ
2 rprelogbmulexp 13244 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+ ∧ -1 ∈ ℝ)) → (𝐵 logb (𝐴 · (𝐶𝑐-1))) = ((𝐵 logb 𝐴) + (-1 · (𝐵 logb 𝐶))))
31, 2mp3anr3 1318 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb (𝐴 · (𝐶𝑐-1))) = ((𝐵 logb 𝐴) + (-1 · (𝐵 logb 𝐶))))
4 rpcn 9562 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
54adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 rpcn 9562 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ)
76adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 rpap0 9570 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 # 0)
98adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 # 0)
105, 7, 9divrecapd 8660 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
11 ax-1cn 7819 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
12 rpcxpneg 13199 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐶𝑐-1) = (1 / (𝐶𝑐1)))
1311, 12mpan2 422 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶𝑐-1) = (1 / (𝐶𝑐1)))
14 rpcxp1 13191 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶𝑐1) = 𝐶)
1514oveq2d 5837 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 / (𝐶𝑐1)) = (1 / 𝐶))
1613, 15eqtrd 2190 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶𝑐-1) = (1 / 𝐶))
1716adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑐-1) = (1 / 𝐶))
1817oveq2d 5837 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐶𝑐-1)) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
1910, 18eqtr4d 2193 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (𝐶𝑐-1)))
2019adantl 275 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (𝐶𝑐-1)))
2120oveq2d 5837 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 logb (𝐴 · (𝐶𝑐-1))))
22 simpll 519 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
23 simplr 520 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 # 1)
24 simprr 522 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
25 rplogbcl 13234 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1 ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝐶) ∈ ℝ)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1220 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb 𝐶) ∈ ℝ)
27 recn 7859 . . . 4 ((𝐵 logb 𝐶) ∈ ℝ → (𝐵 logb 𝐶) ∈ ℂ)
28 mulm1 8269 . . . . 5 ((𝐵 logb 𝐶) ∈ ℂ → (-1 · (𝐵 logb 𝐶)) = -(𝐵 logb 𝐶))
2928oveq2d 5837 . . . 4 ((𝐵 logb 𝐶) ∈ ℂ → ((𝐵 logb 𝐴) + (-1 · (𝐵 logb 𝐶))) = ((𝐵 logb 𝐴) + -(𝐵 logb 𝐶)))
3026, 27, 293syl 17 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 logb 𝐴) + (-1 · (𝐵 logb 𝐶))) = ((𝐵 logb 𝐴) + -(𝐵 logb 𝐶)))
31 simprl 521 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
32 rplogbcl 13234 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝐴) ∈ ℝ)
3322, 23, 31, 32syl3anc 1220 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb 𝐴) ∈ ℝ)
3433recnd 7900 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb 𝐴) ∈ ℂ)
3526recnd 7900 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb 𝐶) ∈ ℂ)
3634, 35negsubd 8186 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 logb 𝐴) + -(𝐵 logb 𝐶)) = ((𝐵 logb 𝐴) − (𝐵 logb 𝐶)))
3730, 36eqtr2d 2191 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 logb 𝐴) − (𝐵 logb 𝐶)) = ((𝐵 logb 𝐴) + (-1 · (𝐵 logb 𝐶))))
383, 21, 373eqtr4d 2200 1 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb (𝐴 / 𝐶)) = ((𝐵 logb 𝐴) − (𝐵 logb 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  ℂcc 7724  ℝcr 7725  0cc0 7726  1c1 7727   + caddc 7729   · cmul 7731   − cmin 8040  -cneg 8041   # cap 8450   / cdiv 8539  ℝ+crp 9553  ↑𝑐ccxp 13149   logb clogb 13231 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846  ax-pre-suploc 7847  ax-addf 7848  ax-mulf 7849 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-of 6029  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-map 6592  df-pm 6593  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-sup 6924  df-inf 6925  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-xneg 9672  df-xadd 9673  df-ioo 9789  df-ico 9791  df-icc 9792  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-fac 10593  df-bc 10615  df-ihash 10643  df-shft 10708  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-sumdc 11244  df-ef 11538  df-e 11539  df-rest 12324  df-topgen 12343  df-psmet 12358  df-xmet 12359  df-met 12360  df-bl 12361  df-mopn 12362  df-top 12367  df-topon 12380  df-bases 12412  df-ntr 12467  df-cn 12559  df-cnp 12560  df-tx 12624  df-cncf 12929  df-limced 12996  df-dvap 12997  df-relog 13150  df-rpcxp 13151  df-logb 13232 This theorem is referenced by:  logbrec  13248
 Copyright terms: Public domain W3C validator