Theorem cosppi 14724

Description: Cosine of a number plus π. (Contributed by NM, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cosppi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + π)) = -(cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosppi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 14693	. . 3 ⊢ π ∈ ℂ
2		cosadd 11786	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + π)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘π))))
3	1, 2	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + π)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘π))))
4		cospi 14706	. . . . . 6 ⊢ (cos‘π) = -1
5	4	oveq2i 5911	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) · (cos‘π)) = ((cos‘𝐴) · -1)
6		coscl 11756	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
7		neg1cn 9059	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		mulcom 7975	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -1) = (-1 · (cos‘𝐴)))
9	7, 8	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = (-1 · (cos‘𝐴)))
10		mulm1 8392	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (cos‘𝐴)) = -(cos‘𝐴))
11	9, 10	eqtrd 2222	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = -(cos‘𝐴))
12	6, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = -(cos‘𝐴))
13	5, 12	eqtrid 2234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘π)) = -(cos‘𝐴))
14		sinpi 14691	. . . . . 6 ⊢ (sin‘π) = 0
15	14	oveq2i 5911	. . . . 5 ⊢ ((sin‘𝐴) · (sin‘π)) = ((sin‘𝐴) · 0)
16		sincl 11755	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	mul01d 8385	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · 0) = 0)
18	15, 17	eqtrid 2234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘π)) = 0)
19	13, 18	oveq12d 5918	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘π))) = (-(cos‘𝐴) − 0))
20	6	negcld 8290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(cos‘𝐴) ∈ ℂ)
21	20	subid1d 8292	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(cos‘𝐴) − 0) = -(cos‘𝐴))
22	19, 21	eqtrd 2222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘π))) = -(cos‘𝐴))
23	3, 22	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + π)) = -(cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  ℂcc 7844  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849   · cmul 7851   − cmin 8163  -cneg 8164  sincsin 11693  cosccos 11694  πcpi 11696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965  ax-caucvg 7966  ax-pre-suploc 7967  ax-addf 7968  ax-mulf 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-disj 3999  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-isom 5247  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-of 6110  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-irdg 6399  df-frec 6420  df-1o 6445  df-oadd 6449  df-er 6563  df-map 6680  df-pm 6681  df-en 6771  df-dom 6772  df-fin 6773  df-sup 7017  df-inf 7018  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-9 9020  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-q 9656  df-rp 9690  df-xneg 9808  df-xadd 9809  df-ioo 9928  df-ioc 9929  df-ico 9930  df-icc 9931  df-fz 10045  df-fzo 10179  df-seqfrec 10485  df-exp 10560  df-fac 10747  df-bc 10769  df-ihash 10797  df-shft 10865  df-cj 10892  df-re 10893  df-im 10894  df-rsqrt 11048  df-abs 11049  df-clim 11328  df-sumdc 11403  df-ef 11697  df-sin 11699  df-cos 11700  df-pi 11702  df-rest 12757  df-topgen 12776  df-psmet 13881  df-xmet 13882  df-met 13883  df-bl 13884  df-mopn 13885  df-top 13983  df-topon 13996  df-bases 14028  df-ntr 14081  df-cn 14173  df-cnp 14174  df-tx 14238  df-cncf 14543  df-limced 14610  df-dvap 14611

This theorem is referenced by:  ptolemy  14730