Theorem cosppi 15815

Description: Cosine of a number plus π. (Contributed by NM, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cosppi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + π)) = -(cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosppi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 15784	. . 3 ⊢ π ∈ ℂ
2		cosadd 12454	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + π)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘π))))
3	1, 2	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + π)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘π))))
4		cospi 15797	. . . . . 6 ⊢ (cos‘π) = -1
5	4	oveq2i 6071	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) · (cos‘π)) = ((cos‘𝐴) · -1)
6		coscl 12424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
7		neg1cn 9364	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		mulcom 8274	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -1) = (-1 · (cos‘𝐴)))
9	7, 8	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = (-1 · (cos‘𝐴)))
10		mulm1 8693	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (cos‘𝐴)) = -(cos‘𝐴))
11	9, 10	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = -(cos‘𝐴))
12	6, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = -(cos‘𝐴))
13	5, 12	eqtrid 2279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘π)) = -(cos‘𝐴))
14		sinpi 15782	. . . . . 6 ⊢ (sin‘π) = 0
15	14	oveq2i 6071	. . . . 5 ⊢ ((sin‘𝐴) · (sin‘π)) = ((sin‘𝐴) · 0)
16		sincl 12423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	mul01d 8686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · 0) = 0)
18	15, 17	eqtrid 2279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘π)) = 0)
19	13, 18	oveq12d 6078	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘π))) = (-(cos‘𝐴) − 0))
20	6	negcld 8590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(cos‘𝐴) ∈ ℂ)
21	20	subid1d 8592	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(cos‘𝐴) − 0) = -(cos‘𝐴))
22	19, 21	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘π))) = -(cos‘𝐴))
23	3, 22	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + π)) = -(cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060  ℂcc 8143  0cc0 8145  1c1 8146   + caddc 8148   · cmul 8150   − cmin 8463  -cneg 8464  sincsin 12361  cosccos 12362  πcpi 12364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263  ax-arch 8264  ax-caucvg 8265  ax-pre-suploc 8266  ax-addf 8267  ax-mulf 8268

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-disj 4092  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-isom 5368  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-of 6277  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-irdg 6616  df-frec 6637  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6782  df-map 6899  df-pm 6900  df-en 6991  df-dom 6992  df-fin 6993  df-sup 7290  df-inf 7291  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-q 9975  df-rp 10010  df-xneg 10129  df-xadd 10130  df-ioo 10249  df-ioc 10250  df-ico 10251  df-icc 10252  df-fz 10367  df-fzo 10504  df-seqfrec 10839  df-exp 10930  df-fac 11118  df-bc 11140  df-ihash 11169  df-shft 11530  df-cj 11557  df-re 11558  df-im 11559  df-rsqrt 11714  df-abs 11715  df-clim 11995  df-sumdc 12070  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-rest 13544  df-topgen 13563  df-psmet 14823  df-xmet 14824  df-met 14825  df-bl 14826  df-mopn 14827  df-top 14995  df-topon 15008  df-bases 15040  df-ntr 15093  df-cn 15185  df-cnp 15186  df-tx 15250  df-cncf 15568  df-limced 15653  df-dvap 15654

This theorem is referenced by:  ptolemy  15821