Theorem sinmpi 14713

Description: Sine of a number less π. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinmpi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinmpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 14685	. . 3 ⊢ π ∈ ℂ
2		sinsub 11783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − π)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘π))))
3	1, 2	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘π))))
4		cospi 14698	. . . . . 6 ⊢ (cos‘π) = -1
5	4	oveq2i 5908	. . . . 5 ⊢ ((sin‘𝐴) · (cos‘π)) = ((sin‘𝐴) · -1)
6		sincl 11749	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
7		neg1cn 9055	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		mulcom 7971	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · -1) = (-1 · (sin‘𝐴)))
9	7, 8	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -1) = (-1 · (sin‘𝐴)))
10		mulm1 8388	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (sin‘𝐴)) = -(sin‘𝐴))
11	9, 10	eqtrd 2222	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -1) = -(sin‘𝐴))
12	6, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -1) = -(sin‘𝐴))
13	5, 12	eqtrid 2234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘π)) = -(sin‘𝐴))
14		sinpi 14683	. . . . . 6 ⊢ (sin‘π) = 0
15	14	oveq2i 5908	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) · (sin‘π)) = ((cos‘𝐴) · 0)
16		coscl 11750	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	mul01d 8381	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · 0) = 0)
18	15, 17	eqtrid 2234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (sin‘π)) = 0)
19	13, 18	oveq12d 5915	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘π))) = (-(sin‘𝐴) − 0))
20	6	negcld 8286	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) ∈ ℂ)
21	20	subid1d 8288	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(sin‘𝐴) − 0) = -(sin‘𝐴))
22	19, 21	eqtrd 2222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘π))) = -(sin‘𝐴))
23	3, 22	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  ℂcc 7840  0cc0 7842  1c1 7843   · cmul 7847   − cmin 8159  -cneg 8160  sincsin 11687  cosccos 11688  πcpi 11690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962  ax-pre-suploc 7963  ax-addf 7964  ax-mulf 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-of 6107  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-map 6677  df-pm 6678  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-xneg 9804  df-xadd 9805  df-ioo 9924  df-ioc 9925  df-ico 9926  df-icc 9927  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-fac 10741  df-bc 10763  df-ihash 10791  df-shft 10859  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397  df-ef 11691  df-sin 11693  df-cos 11694  df-pi 11696  df-rest 12749  df-topgen 12768  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-met 13875  df-bl 13876  df-mopn 13877  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-ntr 14073  df-cn 14165  df-cnp 14166  df-tx 14230  df-cncf 14535  df-limced 14602  df-dvap 14603

This theorem is referenced by:  efimpi  14717  sinq34lt0t  14729  abssinper  14744