Theorem cosmpi 14879

Description: Cosine of a number less π. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cosmpi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 − π)) = -(cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosmpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 14850	. . 3 ⊢ π ∈ ℂ
2		cossub 11858	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 − π)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘π))))
3	1, 2	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 − π)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘π))))
4		cospi 14863	. . . . . 6 ⊢ (cos‘π) = -1
5	4	oveq2i 5917	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) · (cos‘π)) = ((cos‘𝐴) · -1)
6		coscl 11824	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
7		neg1cn 9073	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		mulcom 7987	. . . . . . . 8 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -1) = (-1 · (cos‘𝐴)))
9	7, 8	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = (-1 · (cos‘𝐴)))
10		mulm1 8405	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (cos‘𝐴)) = -(cos‘𝐴))
11	9, 10	eqtrd 2222	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = -(cos‘𝐴))
12	6, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = -(cos‘𝐴))
13	5, 12	eqtrid 2234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘π)) = -(cos‘𝐴))
14		sinpi 14848	. . . . . 6 ⊢ (sin‘π) = 0
15	14	oveq2i 5917	. . . . 5 ⊢ ((sin‘𝐴) · (sin‘π)) = ((sin‘𝐴) · 0)
16		sincl 11823	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	mul01d 8398	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · 0) = 0)
18	15, 17	eqtrid 2234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘π)) = 0)
19	13, 18	oveq12d 5924	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘π))) = (-(cos‘𝐴) + 0))
20	6	negcld 8303	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(cos‘𝐴) ∈ ℂ)
21	20	addridd 8154	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(cos‘𝐴) + 0) = -(cos‘𝐴))
22	19, 21	eqtrd 2222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘π))) = -(cos‘𝐴))
23	3, 22	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 − π)) = -(cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5242  (class class class)co 5906  ℂcc 7856  0cc0 7858  1c1 7859   + caddc 7861   · cmul 7863   − cmin 8176  -cneg 8177  sincsin 11761  cosccos 11762  πcpi 11764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978  ax-pre-suploc 7979  ax-addf 7980  ax-mulf 7981

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-disj 4003  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-isom 5251  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-of 6118  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-irdg 6410  df-frec 6431  df-1o 6456  df-oadd 6460  df-er 6574  df-map 6691  df-pm 6692  df-en 6782  df-dom 6783  df-fin 6784  df-sup 7029  df-inf 7030  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-5 9030  df-6 9031  df-7 9032  df-8 9033  df-9 9034  df-n0 9227  df-z 9304  df-uz 9579  df-q 9671  df-rp 9706  df-xneg 9824  df-xadd 9825  df-ioo 9944  df-ioc 9945  df-ico 9946  df-icc 9947  df-fz 10061  df-fzo 10195  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-fac 10771  df-bc 10793  df-ihash 10821  df-shft 10933  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117  df-clim 11396  df-sumdc 11471  df-ef 11765  df-sin 11767  df-cos 11768  df-pi 11770  df-rest 12826  df-topgen 12845  df-psmet 14003  df-xmet 14004  df-met 14005  df-bl 14006  df-mopn 14007  df-top 14123  df-topon 14136  df-bases 14168  df-ntr 14221  df-cn 14313  df-cnp 14314  df-tx 14378  df-cncf 14683  df-limced 14767  df-dvap 14768

This theorem is referenced by:  efimpi  14882  ptolemy  14887