Theorem sinppi 15731

Description: Sine of a number plus π. (Contributed by NM, 10-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinppi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 + π)) = -(sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinppi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 15701	. . 3 ⊢ π ∈ ℂ
2		sinadd 12430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + π)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘π))))
3	1, 2	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 + π)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘π))))
4		cospi 15714	. . . . . 6 ⊢ (cos‘π) = -1
5	4	oveq2i 6063	. . . . 5 ⊢ ((sin‘𝐴) · (cos‘π)) = ((sin‘𝐴) · -1)
6		sincl 12400	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
7		neg1cn 9347	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		mulcom 8261	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · -1) = (-1 · (sin‘𝐴)))
9	7, 8	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -1) = (-1 · (sin‘𝐴)))
10		mulm1 8678	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (sin‘𝐴)) = -(sin‘𝐴))
11	9, 10	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -1) = -(sin‘𝐴))
12	6, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -1) = -(sin‘𝐴))
13	5, 12	eqtrid 2279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘π)) = -(sin‘𝐴))
14		sinpi 15699	. . . . . 6 ⊢ (sin‘π) = 0
15	14	oveq2i 6063	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) · (sin‘π)) = ((cos‘𝐴) · 0)
16		coscl 12401	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	mul01d 8671	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · 0) = 0)
18	15, 17	eqtrid 2279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (sin‘π)) = 0)
19	13, 18	oveq12d 6070	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘π))) = (-(sin‘𝐴) + 0))
20	6	negcld 8576	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) ∈ ℂ)
21	20	addridd 8427	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(sin‘𝐴) + 0) = -(sin‘𝐴))
22	19, 21	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘π))) = -(sin‘𝐴))
23	3, 22	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 + π)) = -(sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132  1c1 8133   + caddc 8135   · cmul 8137  -cneg 8450  sincsin 12338  cosccos 12339  πcpi 12341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252  ax-pre-suploc 8253  ax-addf 8254  ax-mulf 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-disj 4088  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-map 6886  df-pm 6887  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-xneg 10111  df-xadd 10112  df-ioo 10231  df-ioc 10232  df-ico 10233  df-icc 10234  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-fac 11096  df-bc 11118  df-ihash 11147  df-shft 11508  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-sumdc 12047  df-ef 12342  df-sin 12344  df-cos 12345  df-pi 12347  df-rest 13475  df-topgen 13494  df-psmet 14740  df-xmet 14741  df-met 14742  df-bl 14743  df-mopn 14744  df-top 14912  df-topon 14925  df-bases 14957  df-ntr 15010  df-cn 15102  df-cnp 15103  df-tx 15167  df-cncf 15485  df-limced 15570  df-dvap 15571

This theorem is referenced by: (None)