Theorem div2negap 9059

Description: Quotient of two negatives. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
div2negap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem div2negap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8520	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1050	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
3		simp1 1028	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 # 0)
6		div12ap 9018	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl112anc 1282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
8		divnegap 9030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
9	4, 8	syld3an1 1324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
10		dividap 9025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
11	10	3adant1 1046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
12	11	negeqd 8515	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -(𝐵 / 𝐵) = -1)
13	9, 12	eqtr3d 2273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐵 / 𝐵) = -1)
14	13	oveq2d 6095	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = (𝐴 · -1))
15		ax-1cn 8266	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	15	negcli 8588	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
17		mulcom 8302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
18	16, 17	mpan2 429	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
19		mulm1 8721	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
20	18, 19	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = -𝐴)
21	20	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · -1) = -𝐴)
22	14, 21	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = -𝐴)
23	7, 22	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴)
24		negcl 8520	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
26		divclap 9002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
27		negap0 8952	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 ↔ -𝐵 # 0))
28	27	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐵 # 0)
29	28	3adant1 1046	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐵 # 0)
30		divmulap 8999	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (-𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 # 0)) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
31	25, 26, 2, 29, 30	syl112anc 1282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
32	23, 31	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178  -cneg 8492   # cap 8903   / cdiv 8996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997

This theorem is referenced by:  divneg2ap  9060  div2negapd  9129  div2subap  9161