Theorem div2negap 8652

Description: Quotient of two negatives. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
div2negap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem div2negap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8119	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
3		simp1 992	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp2 993	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simp3 994	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 # 0)
6		div12ap 8611	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl112anc 1237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
8		divnegap 8623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
9	4, 8	syld3an1 1279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
10		dividap 8618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
11	10	3adant1 1010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
12	11	negeqd 8114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -(𝐵 / 𝐵) = -1)
13	9, 12	eqtr3d 2205	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐵 / 𝐵) = -1)
14	13	oveq2d 5869	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = (𝐴 · -1))
15		ax-1cn 7867	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	15	negcli 8187	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
17		mulcom 7903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
18	16, 17	mpan2 423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
19		mulm1 8319	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
20	18, 19	eqtrd 2203	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = -𝐴)
21	20	3ad2ant1 1013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · -1) = -𝐴)
22	14, 21	eqtrd 2203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = -𝐴)
23	7, 22	eqtrd 2203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴)
24		negcl 8119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 1013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
26		divclap 8595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
27		negap0 8549	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 ↔ -𝐵 # 0))
28	27	biimpa 294	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐵 # 0)
29	28	3adant1 1010	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐵 # 0)
30		divmulap 8592	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (-𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 # 0)) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
31	25, 26, 2, 29, 30	syl112anc 1237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
32	23, 31	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779  -cneg 8091   # cap 8500   / cdiv 8589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590

This theorem is referenced by:  divneg2ap  8653  div2negapd  8722  div2subap  8754