Theorem nn0zrab 9509

Description: Nonnegative integers expressed as a subset of integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0zrab	⊢ ℕ0 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑥}

Proof of Theorem nn0zrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 9497	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	abbi2i 2345	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)}
3		df-rab 2518	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑥} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥)}
4	2, 3	eqtr4i 2254	1 ⊢ ℕ0 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑥}

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  {cab 2216  {crab 2513   class class class wbr 4089  0cc0 8037   ≤ cle 8220  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485

This theorem is referenced by:  nn0uz  9796