Theorem nn0uz 9256

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 8977	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 8963	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9224	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2136	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  {crab 2392   class class class wbr 3893  ‘cfv 5079  0cc0 7541   ≤ cle 7719  ℕ₀cn0 8875  ℤcz 8952  ℤ_≥cuz 9222

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9259  2eluzge0  9266  eluznn0  9289  fseq1p1m1  9761  fz01or  9778  fznn0sub2  9792  nn0split  9800  fzossnn0  9839  frecfzennn  10086  frechashgf1o  10088  exple1  10236  bcval5  10396  bcpasc  10399  hashcl  10414  hashfzo0  10456  zfz1isolemsplit  10468  binom1dif  11142  isumnn0nn  11148  arisum2  11154  expcnvre  11158  explecnv  11160  geoserap  11162  geolim  11166  geolim2  11167  geoisum  11172  geoisumr  11173  mertenslemub  11189  mertenslemi1  11190  mertenslem2  11191  mertensabs  11192  efcllemp  11209  ef0lem  11211  efval  11212  eff  11214  efcvg  11217  efcvgfsum  11218  reefcl  11219  ege2le3  11222  efcj  11224  eftlcvg  11238  eftlub  11241  effsumlt  11243  ef4p  11245  efgt1p2  11246  efgt1p  11247  eflegeo  11253  eirraplem  11325  alginv  11568  algcvg  11569  algcvga  11572  algfx  11573  eucalgcvga  11579  eucalg  11580  phiprmpw  11737  ennnfonelemh  11756  ennnfonelemp1  11758  ennnfonelemom  11760  ennnfonelemkh  11764  ennnfonelemrn  11771