Theorem nn0uz 9889

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9602	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9588	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9855	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2256	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  0cc0 8127   ≤ cle 8309  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9892  2eluzge0  9907  eluznn0  9931  fseq1p1m1  10428  fz01or  10445  fznn0sub2  10462  nn0split  10470  fzossnn0  10511  frecfzennn  10788  frechashgf1o  10790  xnn0nnen  10799  exple1  10957  bcval5  11125  bcpasc  11128  hashcl  11144  hashfzo0  11188  zfz1isolemsplit  11210  ccatval2  11286  ccatass  11296  ccatrn  11297  swrdccat2  11363  wrdeqs1cat  11412  cats1un  11413  cats1fvd  11458  binom1dif  12173  isumnn0nn  12179  arisum2  12185  expcnvre  12189  explecnv  12191  geoserap  12193  geolim  12197  geolim2  12198  geoisum  12203  geoisumr  12204  mertenslemub  12220  mertenslemi1  12221  mertenslem2  12222  mertensabs  12223  efcllemp  12344  ef0lem  12346  efval  12347  eff  12349  efcvg  12352  efcvgfsum  12353  reefcl  12354  ege2le3  12357  efcj  12359  eftlcvg  12373  eftlub  12376  effsumlt  12378  ef4p  12380  efgt1p2  12381  efgt1p  12382  eflegeo  12387  eirraplem  12463  bitsfzolem  12640  bitsfzo  12641  bitsfi  12643  bitsinv1lem  12647  bitsinv1  12648  nninfctlemfo  12736  alginv  12744  algcvg  12745  algcvga  12748  algfx  12749  eucalgcvga  12755  eucalg  12756  phiprmpw  12919  prmdiv  12932  pcfac  13048  ennnfonelemh  13155  ennnfonelemp1  13157  ennnfonelemom  13159  ennnfonelemkh  13163  ennnfonelemrn  13170  gsumwsubmcl  13709  gsumwmhm  13711  dveflem  15591  ply1termlem  15607  plyaddlem1  15612  plymullem1  15613  plycoeid3  15622  plycolemc  15623  dvply1  15630  0sgmppw  15861  1sgmprm  15862  lgseisenlem1  15943  lgsquadlem2  15951  clwwlknonex2lem1  16432  eupth2lemsfi  16473  depindlem1  16501  gfsump1  16868