Theorem nn0uz 9973

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9680	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9666	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9939	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2262	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  0cc0 8185   ≤ cle 8367  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  elnn0uz  9976  2eluzge0  9991  eluznn0  10015  fseq1p1m1  10518  fz01or  10535  fznn0sub2  10552  nn0split  10560  fzossnn0  10601  frecfzennn  10884  frechashgf1o  10886  xnn0nnen  10895  exple1  11053  bcval5  11223  bcpasc  11226  hashcl  11242  hashfzo0  11286  hashf1  11309  zfz1isolemsplit  11312  ccatval2  11388  ccatass  11398  ccatrn  11399  swrdccat2  11465  wrdeqs1cat  11514  cats1un  11515  cats1fvd  11560  binom1dif  12279  isumnn0nn  12285  arisum2  12291  expcnvre  12295  explecnv  12297  geoserap  12299  geolim  12303  geolim2  12304  geoisum  12309  geoisumr  12310  mertenslemub  12326  mertenslemi1  12327  mertenslem2  12328  mertensabs  12329  efcllemp  12450  ef0lem  12452  efval  12453  eff  12455  efcvg  12458  efcvgfsum  12459  reefcl  12460  ege2le3  12463  efcj  12465  eftlcvg  12479  eftlub  12482  effsumlt  12484  ef4p  12486  efgt1p2  12487  efgt1p  12488  eflegeo  12493  eirraplem  12569  bitsfzolem  12746  bitsfzo  12747  bitsfi  12749  bitsinv1lem  12753  bitsinv1  12754  nninfctlemfo  12842  alginv  12850  algcvg  12851  algcvga  12854  algfx  12855  eucalgcvga  12861  eucalg  12862  phiprmpw  13029  prmdiv  13042  pcfac  13158  ennnfonelemh  13353  ennnfonelemp1  13355  ennnfonelemom  13357  ennnfonelemkh  13361  ennnfonelemrn  13368  gzsumwsubmcl  13860  gzsumwmhm  13862  gsump1  14247  dveflem  15952  ply1termlem  15968  plyaddlem1  15973  plymullem1  15974  plycoeid3  15983  plycolemc  15984  dvply1  15991  log2tlbndlog2  16220  log2ublem2  16222  birthdaylem3  16227  0sgmppw  16287  1sgmprm  16288  chtublem  16295  lgseisenlem1  16394  lgsquadlem2  16402  clwwlknonex2lem1  16883  eupth2lemsfi  16924  depindlem1  16952