Theorem nn0uz 9967

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9674	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9660	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9933	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2262	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  0cc0 8180   ≤ cle 8362  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932

This theorem is used by:  elnn0uz  9970  2eluzge0  9985  eluznn0  10009  fseq1p1m1  10512  fz01or  10529  fznn0sub2  10546  nn0split  10554  fzossnn0  10595  frecfzennn  10878  frechashgf1o  10880  xnn0nnen  10889  exple1  11047  bcval5  11217  bcpasc  11220  hashcl  11236  hashfzo0  11280  hashf1  11303  zfz1isolemsplit  11306  ccatval2  11382  ccatass  11392  ccatrn  11393  swrdccat2  11459  wrdeqs1cat  11508  cats1un  11509  cats1fvd  11554  binom1dif  12273  isumnn0nn  12279  arisum2  12285  expcnvre  12289  explecnv  12291  geoserap  12293  geolim  12297  geolim2  12298  geoisum  12303  geoisumr  12304  mertenslemub  12320  mertenslemi1  12321  mertenslem2  12322  mertensabs  12323  efcllemp  12444  ef0lem  12446  efval  12447  eff  12449  efcvg  12452  efcvgfsum  12453  reefcl  12454  ege2le3  12457  efcj  12459  eftlcvg  12473  eftlub  12476  effsumlt  12478  ef4p  12480  efgt1p2  12481  efgt1p  12482  eflegeo  12487  eirraplem  12563  bitsfzolem  12740  bitsfzo  12741  bitsfi  12743  bitsinv1lem  12747  bitsinv1  12748  nninfctlemfo  12836  alginv  12844  algcvg  12845  algcvga  12848  algfx  12849  eucalgcvga  12855  eucalg  12856  phiprmpw  13023  prmdiv  13036  pcfac  13152  ennnfonelemh  13347  ennnfonelemp1  13349  ennnfonelemom  13351  ennnfonelemkh  13355  ennnfonelemrn  13362  gzsumwsubmcl  13854  gzsumwmhm  13856  gsump1  14241  dveflem  15918  ply1termlem  15934  plyaddlem1  15939  plymullem1  15940  plycoeid3  15949  plycolemc  15950  dvply1  15957  log2tlbndlog2  16181  log2ublem2  16183  birthdaylem3  16188  0sgmppw  16248  1sgmprm  16249  chtublem  16256  lgseisenlem1  16355  lgsquadlem2  16363  clwwlknonex2lem1  16844  eupth2lemsfi  16885  depindlem1  16913