Theorem nn0uz 9653

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9368	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9354	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9620	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2220	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  0cc0 7896   ≤ cle 8079  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9656  2eluzge0  9666  eluznn0  9690  fseq1p1m1  10186  fz01or  10203  fznn0sub2  10220  nn0split  10228  fzossnn0  10268  frecfzennn  10535  frechashgf1o  10537  xnn0nnen  10546  exple1  10704  bcval5  10872  bcpasc  10875  hashcl  10890  hashfzo0  10932  zfz1isolemsplit  10947  binom1dif  11669  isumnn0nn  11675  arisum2  11681  expcnvre  11685  explecnv  11687  geoserap  11689  geolim  11693  geolim2  11694  geoisum  11699  geoisumr  11700  mertenslemub  11716  mertenslemi1  11717  mertenslem2  11718  mertensabs  11719  efcllemp  11840  ef0lem  11842  efval  11843  eff  11845  efcvg  11848  efcvgfsum  11849  reefcl  11850  ege2le3  11853  efcj  11855  eftlcvg  11869  eftlub  11872  effsumlt  11874  ef4p  11876  efgt1p2  11877  efgt1p  11878  eflegeo  11883  eirraplem  11959  bitsfzolem  12136  bitsfzo  12137  bitsfi  12139  bitsinv1lem  12143  bitsinv1  12144  nninfctlemfo  12232  alginv  12240  algcvg  12241  algcvga  12244  algfx  12245  eucalgcvga  12251  eucalg  12252  phiprmpw  12415  prmdiv  12428  pcfac  12544  ennnfonelemh  12646  ennnfonelemp1  12648  ennnfonelemom  12650  ennnfonelemkh  12654  ennnfonelemrn  12661  gsumwsubmcl  13198  gsumwmhm  13200  dveflem  15046  ply1termlem  15062  plyaddlem1  15067  plymullem1  15068  plycoeid3  15077  plycolemc  15078  dvply1  15085  0sgmppw  15313  1sgmprm  15314  lgseisenlem1  15395  lgsquadlem2  15403