Theorem nn0uz 9781

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9494	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9480	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9747	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2253	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  0cc0 8022   ≤ cle 8205  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9784  2eluzge0  9799  eluznn0  9823  fseq1p1m1  10319  fz01or  10336  fznn0sub2  10353  nn0split  10361  fzossnn0  10402  frecfzennn  10678  frechashgf1o  10680  xnn0nnen  10689  exple1  10847  bcval5  11015  bcpasc  11018  hashcl  11033  hashfzo0  11077  zfz1isolemsplit  11092  ccatval2  11165  ccatass  11175  ccatrn  11176  swrdccat2  11242  wrdeqs1cat  11291  cats1un  11292  cats1fvd  11337  binom1dif  12038  isumnn0nn  12044  arisum2  12050  expcnvre  12054  explecnv  12056  geoserap  12058  geolim  12062  geolim2  12063  geoisum  12068  geoisumr  12069  mertenslemub  12085  mertenslemi1  12086  mertenslem2  12087  mertensabs  12088  efcllemp  12209  ef0lem  12211  efval  12212  eff  12214  efcvg  12217  efcvgfsum  12218  reefcl  12219  ege2le3  12222  efcj  12224  eftlcvg  12238  eftlub  12241  effsumlt  12243  ef4p  12245  efgt1p2  12246  efgt1p  12247  eflegeo  12252  eirraplem  12328  bitsfzolem  12505  bitsfzo  12506  bitsfi  12508  bitsinv1lem  12512  bitsinv1  12513  nninfctlemfo  12601  alginv  12609  algcvg  12610  algcvga  12613  algfx  12614  eucalgcvga  12620  eucalg  12621  phiprmpw  12784  prmdiv  12797  pcfac  12913  ennnfonelemh  13015  ennnfonelemp1  13017  ennnfonelemom  13019  ennnfonelemkh  13023  ennnfonelemrn  13030  gsumwsubmcl  13569  gsumwmhm  13571  dveflem  15440  ply1termlem  15456  plyaddlem1  15461  plymullem1  15462  plycoeid3  15471  plycolemc  15472  dvply1  15479  0sgmppw  15707  1sgmprm  15708  lgseisenlem1  15789  lgsquadlem2  15797  clwwlknonex2lem1  16232