Theorem nn0uz 9627

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9342	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9328	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9594	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2217	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  0cc0 7872   ≤ cle 8055  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9630  2eluzge0  9640  eluznn0  9664  fseq1p1m1  10160  fz01or  10177  fznn0sub2  10194  nn0split  10202  fzossnn0  10242  frecfzennn  10497  frechashgf1o  10499  xnn0nnen  10508  exple1  10666  bcval5  10834  bcpasc  10837  hashcl  10852  hashfzo0  10894  zfz1isolemsplit  10909  binom1dif  11630  isumnn0nn  11636  arisum2  11642  expcnvre  11646  explecnv  11648  geoserap  11650  geolim  11654  geolim2  11655  geoisum  11660  geoisumr  11661  mertenslemub  11677  mertenslemi1  11678  mertenslem2  11679  mertensabs  11680  efcllemp  11801  ef0lem  11803  efval  11804  eff  11806  efcvg  11809  efcvgfsum  11810  reefcl  11811  ege2le3  11814  efcj  11816  eftlcvg  11830  eftlub  11833  effsumlt  11835  ef4p  11837  efgt1p2  11838  efgt1p  11839  eflegeo  11844  eirraplem  11920  nninfctlemfo  12177  alginv  12185  algcvg  12186  algcvga  12189  algfx  12190  eucalgcvga  12196  eucalg  12197  phiprmpw  12360  prmdiv  12373  pcfac  12488  ennnfonelemh  12561  ennnfonelemp1  12563  ennnfonelemom  12565  ennnfonelemkh  12569  ennnfonelemrn  12576  gsumwsubmcl  13068  gsumwmhm  13070  dveflem  14872  ply1termlem  14888  plyaddlem1  14893  plymullem1  14894  lgseisenlem1  15186