Theorem nn0uz 9556

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9272	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9258	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9524	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2201	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4001  ‘cfv 5213  0cc0 7806   ≤ cle 7987  ℕ₀cn0 9170  ℤcz 9247  ℤ_≥cuz 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-addcom 7906  ax-addass 7908  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-ltadd 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-inn 8914  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9559  2eluzge0  9569  eluznn0  9593  fseq1p1m1  10087  fz01or  10104  fznn0sub2  10121  nn0split  10129  fzossnn0  10168  frecfzennn  10419  frechashgf1o  10421  exple1  10569  bcval5  10734  bcpasc  10737  hashcl  10752  hashfzo0  10794  zfz1isolemsplit  10809  binom1dif  11486  isumnn0nn  11492  arisum2  11498  expcnvre  11502  explecnv  11504  geoserap  11506  geolim  11510  geolim2  11511  geoisum  11516  geoisumr  11517  mertenslemub  11533  mertenslemi1  11534  mertenslem2  11535  mertensabs  11536  efcllemp  11657  ef0lem  11659  efval  11660  eff  11662  efcvg  11665  efcvgfsum  11666  reefcl  11667  ege2le3  11670  efcj  11672  eftlcvg  11686  eftlub  11689  effsumlt  11691  ef4p  11693  efgt1p2  11694  efgt1p  11695  eflegeo  11700  eirraplem  11775  alginv  12037  algcvg  12038  algcvga  12041  algfx  12042  eucalgcvga  12048  eucalg  12049  phiprmpw  12212  prmdiv  12225  pcfac  12338  ennnfonelemh  12395  ennnfonelemp1  12397  ennnfonelemom  12399  ennnfonelemkh  12403  ennnfonelemrn  12410  dveflem  13969