Theorem nn0uz 9769

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9482	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9468	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9735	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2253	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  0cc0 8010   ≤ cle 8193  ℕ₀cn0 9380  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9772  2eluzge0  9782  eluznn0  9806  fseq1p1m1  10302  fz01or  10319  fznn0sub2  10336  nn0split  10344  fzossnn0  10385  frecfzennn  10660  frechashgf1o  10662  xnn0nnen  10671  exple1  10829  bcval5  10997  bcpasc  11000  hashcl  11015  hashfzo0  11058  zfz1isolemsplit  11073  ccatval2  11146  ccatass  11156  ccatrn  11157  swrdccat2  11218  wrdeqs1cat  11267  cats1un  11268  cats1fvd  11313  binom1dif  12013  isumnn0nn  12019  arisum2  12025  expcnvre  12029  explecnv  12031  geoserap  12033  geolim  12037  geolim2  12038  geoisum  12043  geoisumr  12044  mertenslemub  12060  mertenslemi1  12061  mertenslem2  12062  mertensabs  12063  efcllemp  12184  ef0lem  12186  efval  12187  eff  12189  efcvg  12192  efcvgfsum  12193  reefcl  12194  ege2le3  12197  efcj  12199  eftlcvg  12213  eftlub  12216  effsumlt  12218  ef4p  12220  efgt1p2  12221  efgt1p  12222  eflegeo  12227  eirraplem  12303  bitsfzolem  12480  bitsfzo  12481  bitsfi  12483  bitsinv1lem  12487  bitsinv1  12488  nninfctlemfo  12576  alginv  12584  algcvg  12585  algcvga  12588  algfx  12589  eucalgcvga  12595  eucalg  12596  phiprmpw  12759  prmdiv  12772  pcfac  12888  ennnfonelemh  12990  ennnfonelemp1  12992  ennnfonelemom  12994  ennnfonelemkh  12998  ennnfonelemrn  13005  gsumwsubmcl  13544  gsumwmhm  13546  dveflem  15415  ply1termlem  15431  plyaddlem1  15436  plymullem1  15437  plycoeid3  15446  plycolemc  15447  dvply1  15454  0sgmppw  15682  1sgmprm  15683  lgseisenlem1  15764  lgsquadlem2  15772