Theorem nn0uz 9561

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9277	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9263	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9529	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2201	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  0cc0 7810   ≤ cle 7992  ℕ₀cn0 9175  ℤcz 9252  ℤ_≥cuz 9527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9564  2eluzge0  9574  eluznn0  9598  fseq1p1m1  10093  fz01or  10110  fznn0sub2  10127  nn0split  10135  fzossnn0  10174  frecfzennn  10425  frechashgf1o  10427  exple1  10575  bcval5  10742  bcpasc  10745  hashcl  10760  hashfzo0  10802  zfz1isolemsplit  10817  binom1dif  11494  isumnn0nn  11500  arisum2  11506  expcnvre  11510  explecnv  11512  geoserap  11514  geolim  11518  geolim2  11519  geoisum  11524  geoisumr  11525  mertenslemub  11541  mertenslemi1  11542  mertenslem2  11543  mertensabs  11544  efcllemp  11665  ef0lem  11667  efval  11668  eff  11670  efcvg  11673  efcvgfsum  11674  reefcl  11675  ege2le3  11678  efcj  11680  eftlcvg  11694  eftlub  11697  effsumlt  11699  ef4p  11701  efgt1p2  11702  efgt1p  11703  eflegeo  11708  eirraplem  11783  alginv  12046  algcvg  12047  algcvga  12050  algfx  12051  eucalgcvga  12057  eucalg  12058  phiprmpw  12221  prmdiv  12234  pcfac  12347  ennnfonelemh  12404  ennnfonelemp1  12406  ennnfonelemom  12408  ennnfonelemkh  12412  ennnfonelemrn  12419  dveflem  14157  lgseisenlem1  14420