Theorem nn0uz 9655

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9370	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9356	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9622	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2220	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  0cc0 7898   ≤ cle 8081  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9658  2eluzge0  9668  eluznn0  9692  fseq1p1m1  10188  fz01or  10205  fznn0sub2  10222  nn0split  10230  fzossnn0  10270  frecfzennn  10537  frechashgf1o  10539  xnn0nnen  10548  exple1  10706  bcval5  10874  bcpasc  10877  hashcl  10892  hashfzo0  10934  zfz1isolemsplit  10949  binom1dif  11671  isumnn0nn  11677  arisum2  11683  expcnvre  11687  explecnv  11689  geoserap  11691  geolim  11695  geolim2  11696  geoisum  11701  geoisumr  11702  mertenslemub  11718  mertenslemi1  11719  mertenslem2  11720  mertensabs  11721  efcllemp  11842  ef0lem  11844  efval  11845  eff  11847  efcvg  11850  efcvgfsum  11851  reefcl  11852  ege2le3  11855  efcj  11857  eftlcvg  11871  eftlub  11874  effsumlt  11876  ef4p  11878  efgt1p2  11879  efgt1p  11880  eflegeo  11885  eirraplem  11961  bitsfzolem  12138  bitsfzo  12139  bitsfi  12141  bitsinv1lem  12145  bitsinv1  12146  nninfctlemfo  12234  alginv  12242  algcvg  12243  algcvga  12246  algfx  12247  eucalgcvga  12253  eucalg  12254  phiprmpw  12417  prmdiv  12430  pcfac  12546  ennnfonelemh  12648  ennnfonelemp1  12650  ennnfonelemom  12652  ennnfonelemkh  12656  ennnfonelemrn  12663  gsumwsubmcl  13200  gsumwmhm  13202  dveflem  15070  ply1termlem  15086  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  plycoeid3  15101  plycolemc  15102  dvply1  15109  0sgmppw  15337  1sgmprm  15338  lgseisenlem1  15419  lgsquadlem2  15427