Theorem nn0uz 9892

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9604	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9590	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9858	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2258	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  0cc0 8129   ≤ cle 8311  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579  ℤ_≥cuz 9856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9895  2eluzge0  9910  eluznn0  9934  fseq1p1m1  10432  fz01or  10449  fznn0sub2  10466  nn0split  10474  fzossnn0  10515  frecfzennn  10792  frechashgf1o  10794  xnn0nnen  10803  exple1  10961  bcval5  11129  bcpasc  11132  hashcl  11148  hashfzo0  11192  zfz1isolemsplit  11214  ccatval2  11290  ccatass  11300  ccatrn  11301  swrdccat2  11367  wrdeqs1cat  11416  cats1un  11417  cats1fvd  11462  binom1dif  12177  isumnn0nn  12183  arisum2  12189  expcnvre  12193  explecnv  12195  geoserap  12197  geolim  12201  geolim2  12202  geoisum  12207  geoisumr  12208  mertenslemub  12224  mertenslemi1  12225  mertenslem2  12226  mertensabs  12227  efcllemp  12348  ef0lem  12350  efval  12351  eff  12353  efcvg  12356  efcvgfsum  12357  reefcl  12358  ege2le3  12361  efcj  12363  eftlcvg  12377  eftlub  12380  effsumlt  12382  ef4p  12384  efgt1p2  12385  efgt1p  12386  eflegeo  12391  eirraplem  12467  bitsfzolem  12644  bitsfzo  12645  bitsfi  12647  bitsinv1lem  12651  bitsinv1  12652  nninfctlemfo  12740  alginv  12748  algcvg  12749  algcvga  12752  algfx  12753  eucalgcvga  12759  eucalg  12760  phiprmpw  12923  prmdiv  12936  pcfac  13052  ennnfonelemh  13172  ennnfonelemp1  13174  ennnfonelemom  13176  ennnfonelemkh  13180  ennnfonelemrn  13187  gsumwsubmcl  13726  gsumwmhm  13728  dveflem  15608  ply1termlem  15624  plyaddlem1  15629  plymullem1  15630  plycoeid3  15639  plycolemc  15640  dvply1  15647  0sgmppw  15878  1sgmprm  15879  lgseisenlem1  15960  lgsquadlem2  15968  clwwlknonex2lem1  16449  eupth2lemsfi  16490  depindlem1  16518  gfsump1  16885