Theorem nn0uz 9703

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9417	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9403	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9670	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2230	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {crab 2489   class class class wbr 4051  ‘cfv 5280  0cc0 7945   ≤ cle 8128  ℕ₀cn0 9315  ℤcz 9392  ℤ_≥cuz 9668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9706  2eluzge0  9716  eluznn0  9740  fseq1p1m1  10236  fz01or  10253  fznn0sub2  10270  nn0split  10278  fzossnn0  10319  frecfzennn  10593  frechashgf1o  10595  xnn0nnen  10604  exple1  10762  bcval5  10930  bcpasc  10933  hashcl  10948  hashfzo0  10990  zfz1isolemsplit  11005  ccatval2  11077  ccatass  11087  ccatrn  11088  swrdccat2  11147  wrdeqs1cat  11196  cats1un  11197  binom1dif  11873  isumnn0nn  11879  arisum2  11885  expcnvre  11889  explecnv  11891  geoserap  11893  geolim  11897  geolim2  11898  geoisum  11903  geoisumr  11904  mertenslemub  11920  mertenslemi1  11921  mertenslem2  11922  mertensabs  11923  efcllemp  12044  ef0lem  12046  efval  12047  eff  12049  efcvg  12052  efcvgfsum  12053  reefcl  12054  ege2le3  12057  efcj  12059  eftlcvg  12073  eftlub  12076  effsumlt  12078  ef4p  12080  efgt1p2  12081  efgt1p  12082  eflegeo  12087  eirraplem  12163  bitsfzolem  12340  bitsfzo  12341  bitsfi  12343  bitsinv1lem  12347  bitsinv1  12348  nninfctlemfo  12436  alginv  12444  algcvg  12445  algcvga  12448  algfx  12449  eucalgcvga  12455  eucalg  12456  phiprmpw  12619  prmdiv  12632  pcfac  12748  ennnfonelemh  12850  ennnfonelemp1  12852  ennnfonelemom  12854  ennnfonelemkh  12858  ennnfonelemrn  12865  gsumwsubmcl  13403  gsumwmhm  13405  dveflem  15273  ply1termlem  15289  plyaddlem1  15294  plymullem1  15295  plycoeid3  15304  plycolemc  15305  dvply1  15312  0sgmppw  15540  1sgmprm  15541  lgseisenlem1  15622  lgsquadlem2  15630