Theorem nn0uz 9835

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9548	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9534	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9801	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2255	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  0cc0 8075   ≤ cle 8257  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9838  2eluzge0  9853  eluznn0  9877  fseq1p1m1  10374  fz01or  10391  fznn0sub2  10408  nn0split  10416  fzossnn0  10457  frecfzennn  10734  frechashgf1o  10736  xnn0nnen  10745  exple1  10903  bcval5  11071  bcpasc  11074  hashcl  11089  hashfzo0  11133  zfz1isolemsplit  11148  ccatval2  11224  ccatass  11234  ccatrn  11235  swrdccat2  11301  wrdeqs1cat  11350  cats1un  11351  cats1fvd  11396  binom1dif  12111  isumnn0nn  12117  arisum2  12123  expcnvre  12127  explecnv  12129  geoserap  12131  geolim  12135  geolim2  12136  geoisum  12141  geoisumr  12142  mertenslemub  12158  mertenslemi1  12159  mertenslem2  12160  mertensabs  12161  efcllemp  12282  ef0lem  12284  efval  12285  eff  12287  efcvg  12290  efcvgfsum  12291  reefcl  12292  ege2le3  12295  efcj  12297  eftlcvg  12311  eftlub  12314  effsumlt  12316  ef4p  12318  efgt1p2  12319  efgt1p  12320  eflegeo  12325  eirraplem  12401  bitsfzolem  12578  bitsfzo  12579  bitsfi  12581  bitsinv1lem  12585  bitsinv1  12586  nninfctlemfo  12674  alginv  12682  algcvg  12683  algcvga  12686  algfx  12687  eucalgcvga  12693  eucalg  12694  phiprmpw  12857  prmdiv  12870  pcfac  12986  ennnfonelemh  13088  ennnfonelemp1  13090  ennnfonelemom  13092  ennnfonelemkh  13096  ennnfonelemrn  13103  gsumwsubmcl  13642  gsumwmhm  13644  dveflem  15520  ply1termlem  15536  plyaddlem1  15541  plymullem1  15542  plycoeid3  15551  plycolemc  15552  dvply1  15559  0sgmppw  15790  1sgmprm  15791  lgseisenlem1  15872  lgsquadlem2  15880  clwwlknonex2lem1  16361  eupth2lemsfi  16402  depindlem1  16430  gfsump1  16798