Theorem nn0uz 9665

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9379	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9365	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9632	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2228	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  {crab 2487   class class class wbr 4043  ‘cfv 5268  0cc0 7907   ≤ cle 8090  ℕ₀cn0 9277  ℤcz 9354  ℤ_≥cuz 9630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9668  2eluzge0  9678  eluznn0  9702  fseq1p1m1  10198  fz01or  10215  fznn0sub2  10232  nn0split  10240  fzossnn0  10280  frecfzennn  10552  frechashgf1o  10554  xnn0nnen  10563  exple1  10721  bcval5  10889  bcpasc  10892  hashcl  10907  hashfzo0  10949  zfz1isolemsplit  10964  ccatval2  11029  ccatass  11039  ccatrn  11040  binom1dif  11717  isumnn0nn  11723  arisum2  11729  expcnvre  11733  explecnv  11735  geoserap  11737  geolim  11741  geolim2  11742  geoisum  11747  geoisumr  11748  mertenslemub  11764  mertenslemi1  11765  mertenslem2  11766  mertensabs  11767  efcllemp  11888  ef0lem  11890  efval  11891  eff  11893  efcvg  11896  efcvgfsum  11897  reefcl  11898  ege2le3  11901  efcj  11903  eftlcvg  11917  eftlub  11920  effsumlt  11922  ef4p  11924  efgt1p2  11925  efgt1p  11926  eflegeo  11931  eirraplem  12007  bitsfzolem  12184  bitsfzo  12185  bitsfi  12187  bitsinv1lem  12191  bitsinv1  12192  nninfctlemfo  12280  alginv  12288  algcvg  12289  algcvga  12292  algfx  12293  eucalgcvga  12299  eucalg  12300  phiprmpw  12463  prmdiv  12476  pcfac  12592  ennnfonelemh  12694  ennnfonelemp1  12696  ennnfonelemom  12698  ennnfonelemkh  12702  ennnfonelemrn  12709  gsumwsubmcl  13246  gsumwmhm  13248  dveflem  15116  ply1termlem  15132  plyaddlem1  15137  plymullem1  15138  plycoeid3  15147  plycolemc  15148  dvply1  15155  0sgmppw  15383  1sgmprm  15384  lgseisenlem1  15465  lgsquadlem2  15473