ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0uz GIF version

Theorem nn0uz 9383
Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0uz 0 = (ℤ‘0)

Proof of Theorem nn0uz
StepHypRef Expression
1 nn0zrab 9102 . 2 0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2 0z 9088 . . 3 0 ∈ ℤ
3 uzval 9351 . . 3 (0 ∈ ℤ → (ℤ‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
42, 3ax-mp 5 . 2 (ℤ‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
51, 4eqtr4i 2164 1 0 = (ℤ‘0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1332  wcel 1481  {crab 2421   class class class wbr 3936  cfv 5130  0cc0 7643  cle 7824  0cn0 9000  cz 9077  cuz 9349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350
This theorem is referenced by:  elnn0uz  9386  2eluzge0  9396  eluznn0  9419  fseq1p1m1  9904  fz01or  9921  fznn0sub2  9935  nn0split  9943  fzossnn0  9982  frecfzennn  10229  frechashgf1o  10231  exple1  10379  bcval5  10540  bcpasc  10543  hashcl  10558  hashfzo0  10600  zfz1isolemsplit  10612  binom1dif  11287  isumnn0nn  11293  arisum2  11299  expcnvre  11303  explecnv  11305  geoserap  11307  geolim  11311  geolim2  11312  geoisum  11317  geoisumr  11318  mertenslemub  11334  mertenslemi1  11335  mertenslem2  11336  mertensabs  11337  efcllemp  11399  ef0lem  11401  efval  11402  eff  11404  efcvg  11407  efcvgfsum  11408  reefcl  11409  ege2le3  11412  efcj  11414  eftlcvg  11428  eftlub  11431  effsumlt  11433  ef4p  11435  efgt1p2  11436  efgt1p  11437  eflegeo  11442  eirraplem  11517  alginv  11762  algcvg  11763  algcvga  11766  algfx  11767  eucalgcvga  11773  eucalg  11774  phiprmpw  11932  ennnfonelemh  11951  ennnfonelemp1  11953  ennnfonelemom  11955  ennnfonelemkh  11959  ennnfonelemrn  11966  dveflem  12893
  Copyright terms: Public domain W3C validator