Theorem nn0uz 9790

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9503	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9489	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9756	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2255	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  0cc0 8031   ≤ cle 8214  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9793  2eluzge0  9808  eluznn0  9832  fseq1p1m1  10328  fz01or  10345  fznn0sub2  10362  nn0split  10370  fzossnn0  10411  frecfzennn  10687  frechashgf1o  10689  xnn0nnen  10698  exple1  10856  bcval5  11024  bcpasc  11027  hashcl  11042  hashfzo0  11086  zfz1isolemsplit  11101  ccatval2  11174  ccatass  11184  ccatrn  11185  swrdccat2  11251  wrdeqs1cat  11300  cats1un  11301  cats1fvd  11346  binom1dif  12047  isumnn0nn  12053  arisum2  12059  expcnvre  12063  explecnv  12065  geoserap  12067  geolim  12071  geolim2  12072  geoisum  12077  geoisumr  12078  mertenslemub  12094  mertenslemi1  12095  mertenslem2  12096  mertensabs  12097  efcllemp  12218  ef0lem  12220  efval  12221  eff  12223  efcvg  12226  efcvgfsum  12227  reefcl  12228  ege2le3  12231  efcj  12233  eftlcvg  12247  eftlub  12250  effsumlt  12252  ef4p  12254  efgt1p2  12255  efgt1p  12256  eflegeo  12261  eirraplem  12337  bitsfzolem  12514  bitsfzo  12515  bitsfi  12517  bitsinv1lem  12521  bitsinv1  12522  nninfctlemfo  12610  alginv  12618  algcvg  12619  algcvga  12622  algfx  12623  eucalgcvga  12629  eucalg  12630  phiprmpw  12793  prmdiv  12806  pcfac  12922  ennnfonelemh  13024  ennnfonelemp1  13026  ennnfonelemom  13028  ennnfonelemkh  13032  ennnfonelemrn  13039  gsumwsubmcl  13578  gsumwmhm  13580  dveflem  15449  ply1termlem  15465  plyaddlem1  15470  plymullem1  15471  plycoeid3  15480  plycolemc  15481  dvply1  15488  0sgmppw  15716  1sgmprm  15717  lgseisenlem1  15798  lgsquadlem2  15806  clwwlknonex2lem1  16287