Theorem nn0uz 9791

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9504	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9490	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9757	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2255	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  0cc0 8032   ≤ cle 8215  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9794  2eluzge0  9809  eluznn0  9833  fseq1p1m1  10329  fz01or  10346  fznn0sub2  10363  nn0split  10371  fzossnn0  10412  frecfzennn  10689  frechashgf1o  10691  xnn0nnen  10700  exple1  10858  bcval5  11026  bcpasc  11029  hashcl  11044  hashfzo0  11088  zfz1isolemsplit  11103  ccatval2  11179  ccatass  11189  ccatrn  11190  swrdccat2  11256  wrdeqs1cat  11305  cats1un  11306  cats1fvd  11351  binom1dif  12053  isumnn0nn  12059  arisum2  12065  expcnvre  12069  explecnv  12071  geoserap  12073  geolim  12077  geolim2  12078  geoisum  12083  geoisumr  12084  mertenslemub  12100  mertenslemi1  12101  mertenslem2  12102  mertensabs  12103  efcllemp  12224  ef0lem  12226  efval  12227  eff  12229  efcvg  12232  efcvgfsum  12233  reefcl  12234  ege2le3  12237  efcj  12239  eftlcvg  12253  eftlub  12256  effsumlt  12258  ef4p  12260  efgt1p2  12261  efgt1p  12262  eflegeo  12267  eirraplem  12343  bitsfzolem  12520  bitsfzo  12521  bitsfi  12523  bitsinv1lem  12527  bitsinv1  12528  nninfctlemfo  12616  alginv  12624  algcvg  12625  algcvga  12628  algfx  12629  eucalgcvga  12635  eucalg  12636  phiprmpw  12799  prmdiv  12812  pcfac  12928  ennnfonelemh  13030  ennnfonelemp1  13032  ennnfonelemom  13034  ennnfonelemkh  13038  ennnfonelemrn  13045  gsumwsubmcl  13584  gsumwmhm  13586  dveflem  15456  ply1termlem  15472  plyaddlem1  15477  plymullem1  15478  plycoeid3  15487  plycolemc  15488  dvply1  15495  0sgmppw  15723  1sgmprm  15724  lgseisenlem1  15805  lgsquadlem2  15813  clwwlknonex2lem1  16294  eupth2lemsfi  16335  depindlem1  16351  gfsump1  16713