Theorem nn0uz 9564

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9280	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9266	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9532	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2201	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  0cc0 7813   ≤ cle 7995  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9567  2eluzge0  9577  eluznn0  9601  fseq1p1m1  10096  fz01or  10113  fznn0sub2  10130  nn0split  10138  fzossnn0  10177  frecfzennn  10428  frechashgf1o  10430  exple1  10578  bcval5  10745  bcpasc  10748  hashcl  10763  hashfzo0  10805  zfz1isolemsplit  10820  binom1dif  11497  isumnn0nn  11503  arisum2  11509  expcnvre  11513  explecnv  11515  geoserap  11517  geolim  11521  geolim2  11522  geoisum  11527  geoisumr  11528  mertenslemub  11544  mertenslemi1  11545  mertenslem2  11546  mertensabs  11547  efcllemp  11668  ef0lem  11670  efval  11671  eff  11673  efcvg  11676  efcvgfsum  11677  reefcl  11678  ege2le3  11681  efcj  11683  eftlcvg  11697  eftlub  11700  effsumlt  11702  ef4p  11704  efgt1p2  11705  efgt1p  11706  eflegeo  11711  eirraplem  11786  alginv  12049  algcvg  12050  algcvga  12053  algfx  12054  eucalgcvga  12060  eucalg  12061  phiprmpw  12224  prmdiv  12237  pcfac  12350  ennnfonelemh  12407  ennnfonelemp1  12409  ennnfonelemom  12411  ennnfonelemkh  12415  ennnfonelemrn  12422  dveflem  14226  lgseisenlem1  14489