Theorem nn0uz 9936

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9648	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9634	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9902	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2262	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  0cc0 8169   ≤ cle 8351  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9939  2eluzge0  9954  eluznn0  9978  fseq1p1m1  10479  fz01or  10496  fznn0sub2  10513  nn0split  10521  fzossnn0  10562  frecfzennn  10841  frechashgf1o  10843  xnn0nnen  10852  exple1  11010  bcval5  11179  bcpasc  11182  hashcl  11198  hashfzo0  11242  hashf1  11265  zfz1isolemsplit  11268  ccatval2  11344  ccatass  11354  ccatrn  11355  swrdccat2  11421  wrdeqs1cat  11470  cats1un  11471  cats1fvd  11516  binom1dif  12232  isumnn0nn  12238  arisum2  12244  expcnvre  12248  explecnv  12250  geoserap  12252  geolim  12256  geolim2  12257  geoisum  12262  geoisumr  12263  mertenslemub  12279  mertenslemi1  12280  mertenslem2  12281  mertensabs  12282  efcllemp  12403  ef0lem  12405  efval  12406  eff  12408  efcvg  12411  efcvgfsum  12412  reefcl  12413  ege2le3  12416  efcj  12418  eftlcvg  12432  eftlub  12435  effsumlt  12437  ef4p  12439  efgt1p2  12440  efgt1p  12441  eflegeo  12446  eirraplem  12522  bitsfzolem  12699  bitsfzo  12700  bitsfi  12702  bitsinv1lem  12706  bitsinv1  12707  nninfctlemfo  12795  alginv  12803  algcvg  12804  algcvga  12807  algfx  12808  eucalgcvga  12814  eucalg  12815  phiprmpw  12978  prmdiv  12991  pcfac  13107  ennnfonelemh  13273  ennnfonelemp1  13275  ennnfonelemom  13277  ennnfonelemkh  13281  ennnfonelemrn  13288  gzsumwsubmcl  13778  gzsumwmhm  13780  gsump1  14134  dveflem  15750  ply1termlem  15766  plyaddlem1  15771  plymullem1  15772  plycoeid3  15781  plycolemc  15782  dvply1  15789  0sgmppw  16021  1sgmprm  16022  lgseisenlem1  16103  lgsquadlem2  16111  clwwlknonex2lem1  16592  eupth2lemsfi  16633  depindlem1  16661