Theorem nn0uz 9508

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9224	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9210	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9476	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2194	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {crab 2452   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  0cc0 7761   ≤ cle 7942  ℕ₀cn0 9122  ℤcz 9199  ℤ_≥cuz 9474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9511  2eluzge0  9521  eluznn0  9545  fseq1p1m1  10037  fz01or  10054  fznn0sub2  10071  nn0split  10079  fzossnn0  10118  frecfzennn  10369  frechashgf1o  10371  exple1  10519  bcval5  10684  bcpasc  10687  hashcl  10702  hashfzo0  10745  zfz1isolemsplit  10760  binom1dif  11437  isumnn0nn  11443  arisum2  11449  expcnvre  11453  explecnv  11455  geoserap  11457  geolim  11461  geolim2  11462  geoisum  11467  geoisumr  11468  mertenslemub  11484  mertenslemi1  11485  mertenslem2  11486  mertensabs  11487  efcllemp  11608  ef0lem  11610  efval  11611  eff  11613  efcvg  11616  efcvgfsum  11617  reefcl  11618  ege2le3  11621  efcj  11623  eftlcvg  11637  eftlub  11640  effsumlt  11642  ef4p  11644  efgt1p2  11645  efgt1p  11646  eflegeo  11651  eirraplem  11726  alginv  11988  algcvg  11989  algcvga  11992  algfx  11993  eucalgcvga  11999  eucalg  12000  phiprmpw  12163  prmdiv  12176  pcfac  12289  ennnfonelemh  12346  ennnfonelemp1  12348  ennnfonelemom  12350  ennnfonelemkh  12354  ennnfonelemrn  12361  dveflem  13440