Theorem nn0uz 9907

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9619	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9605	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9873	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2258	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  0cc0 8143   ≤ cle 8325  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9910  2eluzge0  9925  eluznn0  9949  fseq1p1m1  10450  fz01or  10467  fznn0sub2  10484  nn0split  10492  fzossnn0  10533  frecfzennn  10812  frechashgf1o  10814  xnn0nnen  10823  exple1  10981  bcval5  11150  bcpasc  11153  hashcl  11169  hashfzo0  11213  zfz1isolemsplit  11235  ccatval2  11311  ccatass  11321  ccatrn  11322  swrdccat2  11388  wrdeqs1cat  11437  cats1un  11438  cats1fvd  11483  binom1dif  12198  isumnn0nn  12204  arisum2  12210  expcnvre  12214  explecnv  12216  geoserap  12218  geolim  12222  geolim2  12223  geoisum  12228  geoisumr  12229  mertenslemub  12245  mertenslemi1  12246  mertenslem2  12247  mertensabs  12248  efcllemp  12369  ef0lem  12371  efval  12372  eff  12374  efcvg  12377  efcvgfsum  12378  reefcl  12379  ege2le3  12382  efcj  12384  eftlcvg  12398  eftlub  12401  effsumlt  12403  ef4p  12405  efgt1p2  12406  efgt1p  12407  eflegeo  12412  eirraplem  12488  bitsfzolem  12665  bitsfzo  12666  bitsfi  12668  bitsinv1lem  12672  bitsinv1  12673  nninfctlemfo  12761  alginv  12769  algcvg  12770  algcvga  12773  algfx  12774  eucalgcvga  12780  eucalg  12781  phiprmpw  12944  prmdiv  12957  pcfac  13073  ennnfonelemh  13239  ennnfonelemp1  13241  ennnfonelemom  13243  ennnfonelemkh  13247  ennnfonelemrn  13254  gsumwsubmcl  13751  gsumwmhm  13753  gfsump1  14108  dveflem  15717  ply1termlem  15733  plyaddlem1  15738  plymullem1  15739  plycoeid3  15748  plycolemc  15749  dvply1  15756  0sgmppw  15987  1sgmprm  15988  lgseisenlem1  16069  lgsquadlem2  16077  clwwlknonex2lem1  16558  eupth2lemsfi  16599  depindlem1  16627