Theorem nn0uz 9957

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9669	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9655	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9923	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2262	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  0cc0 8179   ≤ cle 8361  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  elnn0uz  9960  2eluzge0  9975  eluznn0  9999  fseq1p1m1  10501  fz01or  10518  fznn0sub2  10535  nn0split  10543  fzossnn0  10584  frecfzennn  10863  frechashgf1o  10865  xnn0nnen  10874  exple1  11032  bcval5  11201  bcpasc  11204  hashcl  11220  hashfzo0  11264  hashf1  11287  zfz1isolemsplit  11290  ccatval2  11366  ccatass  11376  ccatrn  11377  swrdccat2  11443  wrdeqs1cat  11492  cats1un  11493  cats1fvd  11538  binom1dif  12254  isumnn0nn  12260  arisum2  12266  expcnvre  12270  explecnv  12272  geoserap  12274  geolim  12278  geolim2  12279  geoisum  12284  geoisumr  12285  mertenslemub  12301  mertenslemi1  12302  mertenslem2  12303  mertensabs  12304  efcllemp  12425  ef0lem  12427  efval  12428  eff  12430  efcvg  12433  efcvgfsum  12434  reefcl  12435  ege2le3  12438  efcj  12440  eftlcvg  12454  eftlub  12457  effsumlt  12459  ef4p  12461  efgt1p2  12462  efgt1p  12463  eflegeo  12468  eirraplem  12544  bitsfzolem  12721  bitsfzo  12722  bitsfi  12724  bitsinv1lem  12728  bitsinv1  12729  nninfctlemfo  12817  alginv  12825  algcvg  12826  algcvga  12829  algfx  12830  eucalgcvga  12836  eucalg  12837  phiprmpw  13000  prmdiv  13013  pcfac  13129  ennnfonelemh  13295  ennnfonelemp1  13297  ennnfonelemom  13299  ennnfonelemkh  13303  ennnfonelemrn  13310  gzsumwsubmcl  13801  gzsumwmhm  13803  gsump1  14157  dveflem  15827  ply1termlem  15843  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849  plycoeid3  15858  plycolemc  15859  dvply1  15866  log2tlbndlog2  16082  log2ublem2  16084  birthdaylem3  16089  0sgmppw  16107  1sgmprm  16108  lgseisenlem1  16189  lgsquadlem2  16197  clwwlknonex2lem1  16678  eupth2lemsfi  16719  depindlem1  16747