Theorem nn0uz 9500

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9216	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9202	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9468	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2189	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {crab 2448   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  0cc0 7753   ≤ cle 7934  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9503  2eluzge0  9513  eluznn0  9537  fseq1p1m1  10029  fz01or  10046  fznn0sub2  10063  nn0split  10071  fzossnn0  10110  frecfzennn  10361  frechashgf1o  10363  exple1  10511  bcval5  10676  bcpasc  10679  hashcl  10694  hashfzo0  10736  zfz1isolemsplit  10751  binom1dif  11428  isumnn0nn  11434  arisum2  11440  expcnvre  11444  explecnv  11446  geoserap  11448  geolim  11452  geolim2  11453  geoisum  11458  geoisumr  11459  mertenslemub  11475  mertenslemi1  11476  mertenslem2  11477  mertensabs  11478  efcllemp  11599  ef0lem  11601  efval  11602  eff  11604  efcvg  11607  efcvgfsum  11608  reefcl  11609  ege2le3  11612  efcj  11614  eftlcvg  11628  eftlub  11631  effsumlt  11633  ef4p  11635  efgt1p2  11636  efgt1p  11637  eflegeo  11642  eirraplem  11717  alginv  11979  algcvg  11980  algcvga  11983  algfx  11984  eucalgcvga  11990  eucalg  11991  phiprmpw  12154  prmdiv  12167  pcfac  12280  ennnfonelemh  12337  ennnfonelemp1  12339  ennnfonelemom  12341  ennnfonelemkh  12345  ennnfonelemrn  12352  dveflem  13327