Theorem nn0uz 9753

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9467	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9453	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9720	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2253	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  0cc0 7995   ≤ cle 8178  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9756  2eluzge0  9766  eluznn0  9790  fseq1p1m1  10286  fz01or  10303  fznn0sub2  10320  nn0split  10328  fzossnn0  10369  frecfzennn  10643  frechashgf1o  10645  xnn0nnen  10654  exple1  10812  bcval5  10980  bcpasc  10983  hashcl  10998  hashfzo0  11040  zfz1isolemsplit  11055  ccatval2  11128  ccatass  11138  ccatrn  11139  swrdccat2  11198  wrdeqs1cat  11247  cats1un  11248  cats1fvd  11293  binom1dif  11993  isumnn0nn  11999  arisum2  12005  expcnvre  12009  explecnv  12011  geoserap  12013  geolim  12017  geolim2  12018  geoisum  12023  geoisumr  12024  mertenslemub  12040  mertenslemi1  12041  mertenslem2  12042  mertensabs  12043  efcllemp  12164  ef0lem  12166  efval  12167  eff  12169  efcvg  12172  efcvgfsum  12173  reefcl  12174  ege2le3  12177  efcj  12179  eftlcvg  12193  eftlub  12196  effsumlt  12198  ef4p  12200  efgt1p2  12201  efgt1p  12202  eflegeo  12207  eirraplem  12283  bitsfzolem  12460  bitsfzo  12461  bitsfi  12463  bitsinv1lem  12467  bitsinv1  12468  nninfctlemfo  12556  alginv  12564  algcvg  12565  algcvga  12568  algfx  12569  eucalgcvga  12575  eucalg  12576  phiprmpw  12739  prmdiv  12752  pcfac  12868  ennnfonelemh  12970  ennnfonelemp1  12972  ennnfonelemom  12974  ennnfonelemkh  12978  ennnfonelemrn  12985  gsumwsubmcl  13524  gsumwmhm  13526  dveflem  15394  ply1termlem  15410  plyaddlem1  15415  plymullem1  15416  plycoeid3  15425  plycolemc  15426  dvply1  15433  0sgmppw  15661  1sgmprm  15662  lgseisenlem1  15743  lgsquadlem2  15751