Theorem nn0uz 9521

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9237	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9223	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9489	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2194	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {crab 2452   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  0cc0 7774   ≤ cle 7955  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9524  2eluzge0  9534  eluznn0  9558  fseq1p1m1  10050  fz01or  10067  fznn0sub2  10084  nn0split  10092  fzossnn0  10131  frecfzennn  10382  frechashgf1o  10384  exple1  10532  bcval5  10697  bcpasc  10700  hashcl  10715  hashfzo0  10758  zfz1isolemsplit  10773  binom1dif  11450  isumnn0nn  11456  arisum2  11462  expcnvre  11466  explecnv  11468  geoserap  11470  geolim  11474  geolim2  11475  geoisum  11480  geoisumr  11481  mertenslemub  11497  mertenslemi1  11498  mertenslem2  11499  mertensabs  11500  efcllemp  11621  ef0lem  11623  efval  11624  eff  11626  efcvg  11629  efcvgfsum  11630  reefcl  11631  ege2le3  11634  efcj  11636  eftlcvg  11650  eftlub  11653  effsumlt  11655  ef4p  11657  efgt1p2  11658  efgt1p  11659  eflegeo  11664  eirraplem  11739  alginv  12001  algcvg  12002  algcvga  12005  algfx  12006  eucalgcvga  12012  eucalg  12013  phiprmpw  12176  prmdiv  12189  pcfac  12302  ennnfonelemh  12359  ennnfonelemp1  12361  ennnfonelemom  12363  ennnfonelemkh  12367  ennnfonelemrn  12374  dveflem  13481