Theorem nn0uz 9972

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9678	. 2 ⊢ ℕ0 = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
2		0z 9664	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		uzval 9938	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘})
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℤ≥‘0) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 0 ≤ 𝑘}
5	1, 4	eqtr4i 2262	1 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  0cc0 8185   ≤ cle 8367  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9653  ℤ_≥cuz 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937

This theorem is used by:  elnn0uz  9975  2eluzge0  9990  eluznn0  10014  fseq1p1m1  10517  fz01or  10534  fznn0sub2  10551  nn0split  10559  fzossnn0  10600  frecfzennn  10883  frechashgf1o  10885  xnn0nnen  10894  exple1  11052  bcval5  11222  bcpasc  11225  hashcl  11241  hashfzo0  11285  hashf1  11308  zfz1isolemsplit  11311  ccatval2  11387  ccatass  11397  ccatrn  11398  swrdccat2  11464  wrdeqs1cat  11513  cats1un  11514  cats1fvd  11559  binom1dif  12278  isumnn0nn  12284  arisum2  12290  expcnvre  12294  explecnv  12296  geoserap  12298  geolim  12302  geolim2  12303  geoisum  12308  geoisumr  12309  mertenslemub  12325  mertenslemi1  12326  mertenslem2  12327  mertensabs  12328  efcllemp  12449  ef0lem  12451  efval  12452  eff  12454  efcvg  12457  efcvgfsum  12458  reefcl  12459  ege2le3  12462  efcj  12464  eftlcvg  12478  eftlub  12481  effsumlt  12483  ef4p  12485  efgt1p2  12486  efgt1p  12487  eflegeo  12492  eirraplem  12568  bitsfzolem  12745  bitsfzo  12746  bitsfi  12748  bitsinv1lem  12752  bitsinv1  12753  nninfctlemfo  12841  alginv  12849  algcvg  12850  algcvga  12853  algfx  12854  eucalgcvga  12860  eucalg  12861  phiprmpw  13028  prmdiv  13041  pcfac  13157  ennnfonelemh  13352  ennnfonelemp1  13354  ennnfonelemom  13356  ennnfonelemkh  13360  ennnfonelemrn  13367  gzsumwsubmcl  13859  gzsumwmhm  13861  gsump1  14246  dveflem  15969  ply1termlem  15985  plyaddlem1  15990  plymullem1  15991  plycoeid3  16000  plycolemc  16001  dvply1  16008  log2tlbndlog2  16237  log2ublem2  16239  birthdaylem3  16244  0sgmppw  16304  1sgmprm  16305  chtublem  16312  lgseisenlem1  16411  lgsquadlem2  16419  clwwlknonex2lem1  16900  eupth2lemsfi  16941  depindlem1  16969