Theorem nnnle0 9441

Description: A positive integer is not less than or equal to zero. (Contributed by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnle0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 ≤ 0)

Proof of Theorem nnnle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nngt0 9081	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
2		0z 9403	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		nnz 9411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zltnle 9438	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
6	1, 5	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 ≤ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  0cc0 7945   < clt 8127   ≤ cle 8128  ℕcn 9056  ℤcz 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393

This theorem is referenced by:  lsw0  11063