Theorem nnz 9481

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9479	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕcn 9126  ℤcz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-z 9463

This theorem is referenced by:  elnnz1  9485  znegcl  9493  nnnle0  9511  nnleltp1  9522  nnltp1le  9523  elz2  9534  nnlem1lt  9547  nnltlem1  9548  nnm1ge0  9549  prime  9562  nneo  9566  zeo  9568  btwnz  9582  indstr  9805  eluz2b2  9815  elnn1uz2  9819  qaddcl  9847  qreccl  9854  elpqb  9862  elfz1end  10268  fznatpl1  10289  fznn  10302  elfz1b  10303  elfzo0  10399  fzo1fzo0n0  10400  elfzo0z  10401  elfzo1  10408  ubmelm1fzo  10449  intfracq  10559  zmodcl  10583  zmodfz  10585  zmodfzo  10586  zmodid2  10591  zmodidfzo  10592  modfzo0difsn  10634  mulexpzap  10818  nnesq  10898  expnlbnd  10903  expnlbnd2  10904  nn0ltexp2  10948  facdiv  10977  faclbnd  10980  bc0k  10995  bcval5  11002  seq3coll  11082  ccatval21sw  11158  caucvgrelemcau  11512  resqrexlemlo  11545  resqrexlemcalc3  11548  resqrexlemgt0  11552  absexpzap  11612  climuni  11825  fsum3  11919  arisum  12030  trireciplem  12032  expcnvap0  12034  geo2sum  12046  geo2lim  12048  0.999...  12053  geoihalfsum  12054  cvgratz  12064  zproddc  12111  fprodseq  12115  prod1dc  12118  dvdsval3  12323  nndivdvds  12328  modmulconst  12355  dvdsle  12376  dvdsssfz1  12384  fzm1ndvds  12388  dvdsfac  12392  oexpneg  12409  nnoddm1d2  12442  divalg2  12458  divalgmod  12459  modremain  12461  ndvdsadd  12463  nndvdslegcd  12507  divgcdz  12513  divgcdnn  12517  divgcdnnr  12518  modgcd  12533  gcddiv  12561  gcdmultiple  12562  gcdmultiplez  12563  gcdzeq  12564  gcdeq  12565  rpmulgcd  12568  rplpwr  12569  rppwr  12570  sqgcd  12571  dvdssqlem  12572  dvdssq  12573  eucalginv  12599  lcmgcdlem  12620  lcmgcdnn  12625  lcmass  12628  coprmgcdb  12631  qredeq  12639  qredeu  12640  cncongr1  12646  cncongr2  12647  1idssfct  12658  isprm2lem  12659  isprm3  12661  isprm4  12662  prmind2  12663  prmdc  12673  divgcdodd  12686  isprm6  12690  sqrt2irr  12705  pw2dvds  12709  sqrt2irraplemnn  12722  divnumden  12739  divdenle  12740  nn0gcdsq  12743  phivalfi  12755  phicl2  12757  phiprmpw  12765  hashgcdlem  12781  dvdsfi  12782  hashgcdeq  12783  phisum  12784  nnoddn2prm  12804  pythagtriplem2  12810  pythagtriplem3  12811  pythagtriplem4  12812  pythagtriplem6  12814  pythagtriplem7  12815  pythagtriplem8  12816  pythagtriplem9  12817  pythagtriplem11  12818  pythagtriplem13  12820  pythagtriplem15  12822  pythagtriplem19  12826  pythagtrip  12827  pceu  12839  pccl  12843  pcdiv  12846  pcqcl  12850  pcdvds  12859  pcndvds  12861  pcndvds2  12863  pcelnn  12865  pcz  12876  pcmpt  12887  fldivp1  12892  pcfac  12894  infpnlem1  12903  infpnlem2  12904  prmunb  12906  1arith  12911  oddennn  12984  evenennn  12985  unennn  12989  mulgnn  13684  mulgnngsum  13685  mulgaddcom  13704  mulginvcom  13705  mulgmodid  13719  ghmmulg  13814  mulgass2  14042  znfi  14640  znhash  14641  znidomb  14643  znrrg  14645  rpcxproot  15609  logbgcd1irr  15662  sgmnncl  15683  lgsval  15704  lgsval4a  15722  lgssq2  15741  gausslemma2dlem0c  15751  gausslemma2dlem0e  15753  gausslemma2dlem1a  15758  gausslemma2dlem3  15763  gausslemma2dlem5  15766  lgsquadlem1  15777  lgsquadlem2  15778  lgsquad3  15784  2lgslem1a1  15786  2lgslem3  15801  2lgsoddprm  15813  trilpolemcl  16519