Theorem nnz 9675

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9673	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3244	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕcn 9314  ℤcz 9656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-z 9657

This theorem is used by:  elnnz1  9679  znegcl  9687  nnnle0  9705  nnleltp1  9716  nnltp1le  9717  elz2  9728  nnlem1lt  9742  nnltlem1  9743  nnm1ge0  9744  prime  9757  nneo  9761  zeo  9763  btwnz  9777  indstr  10010  eluz2b2  10020  elnn1uz2  10024  qaddcl  10052  qreccl  10059  elpqb  10068  elfz1end  10479  fznatpl1  10501  fznn  10514  elfz1b  10515  elfzo0  10611  fzo1fzo0n0  10613  elfzo0z  10614  elfzo1  10621  ubmelm1fzo  10662  intfracq  10779  zmodcl  10803  zmodfz  10805  zmodfzo  10806  zmodid2  10811  zmodidfzo  10812  modfzo0difsn  10854  mulexpzap  11038  nnesq  11119  expnlbnd  11124  expnlbnd2  11125  nn0ltexp2  11170  facdiv  11199  faclbnd  11202  bc0k  11217  bcval5  11224  bcm1n  11230  seq3coll  11317  ccatval21sw  11396  caucvgrelemcau  11769  resqrexlemlo  11802  resqrexlemcalc3  11805  resqrexlemgt0  11809  absexpzap  11870  climuni  12085  fsum3  12180  arisum  12291  trireciplem  12293  expcnvap0  12295  geo2sum  12307  geo2lim  12309  0.999...  12314  geoihalfsum  12315  cvgratz  12325  zproddc  12372  fprodseq  12376  prod1dc  12379  dvdsval3  12584  nndivdvds  12589  modmulconst  12616  dvdsle  12637  dvdsssfz1  12645  fzm1ndvds  12649  dvdsfac  12653  oexpneg  12670  nnoddm1d2  12703  divalg2  12719  divalgmod  12720  modremain  12722  ndvdsadd  12724  nndvdslegcd  12768  divgcdz  12774  divgcdnn  12778  divgcdnnr  12779  modgcd  12794  gcddiv  12822  gcdmultiple  12823  gcdmultiplez  12824  gcdzeq  12825  gcdeq  12826  rpmulgcd  12829  rplpwr  12830  rppwr  12831  sqgcd  12832  dvdssqlem  12833  dvdssq  12834  eucalginv  12860  lcmgcdlem  12881  lcmgcdnn  12886  lcmass  12889  coprmgcdb  12892  qredeq  12900  qredeu  12901  cncongr1  12907  cncongr2  12908  1idssfct  12919  isprm2lem  12920  isprm3  12922  isprm4  12923  prmind2  12924  prmdc  12934  divgcdodd  12948  isprm6  12952  sqrt2irr  12967  sqrt2irraplemnn  12985  divnumden  13002  divdenle  13003  nn0gcdsq  13006  phivalfi  13020  phicl2  13022  phiprmpw  13030  hashgcdlem  13046  dvdsfi  13047  hashgcdeq  13048  phisum  13049  nnoddn2prm  13069  pythagtriplem2  13075  pythagtriplem3  13076  pythagtriplem4  13077  pythagtriplem6  13079  pythagtriplem7  13080  pythagtriplem8  13081  pythagtriplem9  13082  pythagtriplem11  13083  pythagtriplem13  13085  pythagtriplem15  13087  pythagtriplem19  13091  pythagtrip  13092  pceu  13104  pccl  13108  pcdiv  13111  pcqcl  13115  pcdvds  13124  pcndvds  13126  pcndvds2  13128  pcelnn  13130  pcz  13141  pcmpt  13152  fldivp1  13157  pcfac  13159  infpnlem1  13168  infpnlem2  13169  prmunb  13171  1arith  13176  ballotfilemiex  13303  oddennn  13342  evenennn  13343  unennn  13347  mulgnn  13989  mulgnngzsum  13990  mulgaddcom  14009  mulginvcom  14010  mulgmodid  14024  ghmmulg  14119  mulgass2  14471  znfi  15100  znhash  15101  znidomb  15103  znrrg  15105  root1idef  16096  rpcxproot  16159  logbgcd1irr  16215  birthdaylem1g  16237  birthdaylem2  16238  birthdaylem3  16239  prmdvdsfi  16255  sgmnncl  16269  prmorcht  16294  chtublem  16307  pcbcctr  16315  bclbnd  16319  bposlem1  16323  bposlem5  16327  bpos  16332  lgsval  16340  lgsval4a  16358  lgssq2  16377  gausslemma2dlem0c  16387  gausslemma2dlem0e  16389  gausslemma2dlem1a  16394  gausslemma2dlem3  16399  gausslemma2dlem5  16402  lgsquadlem1  16413  lgsquadlem2  16414  lgsquad3  16420  2lgslem1a1  16422  2lgslem3  16437  2lgsoddprm  16449  trilpolemcl  17305