Theorem nnz 9231

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9229	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3143	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ℕcn 8878  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-z 9213

This theorem is referenced by:  elnnz1  9235  znegcl  9243  nnleltp1  9271  nnltp1le  9272  elz2  9283  nnlem1lt  9296  nnltlem1  9297  nnm1ge0  9298  prime  9311  nneo  9315  zeo  9317  btwnz  9331  indstr  9552  eluz2b2  9562  elnn1uz2  9566  qaddcl  9594  qreccl  9601  elpqb  9608  elfz1end  10011  fznatpl1  10032  fznn  10045  elfz1b  10046  elfzo0  10138  fzo1fzo0n0  10139  elfzo0z  10140  elfzo1  10146  ubmelm1fzo  10182  intfracq  10276  zmodcl  10300  zmodfz  10302  zmodfzo  10303  zmodid2  10308  zmodidfzo  10309  modfzo0difsn  10351  mulexpzap  10516  nnesq  10595  expnlbnd  10600  expnlbnd2  10601  nn0ltexp2  10644  facdiv  10672  faclbnd  10675  bc0k  10690  bcval5  10697  seq3coll  10777  caucvgrelemcau  10944  resqrexlemlo  10977  resqrexlemcalc3  10980  resqrexlemgt0  10984  absexpzap  11044  climuni  11256  fsum3  11350  arisum  11461  trireciplem  11463  expcnvap0  11465  geo2sum  11477  geo2lim  11479  0.999...  11484  geoihalfsum  11485  cvgratz  11495  zproddc  11542  fprodseq  11546  prod1dc  11549  dvdsval3  11753  nndivdvds  11758  modmulconst  11785  dvdsle  11804  dvdsssfz1  11812  fzm1ndvds  11816  dvdsfac  11820  oexpneg  11836  nnoddm1d2  11869  divalg2  11885  divalgmod  11886  modremain  11888  ndvdsadd  11890  nndvdslegcd  11920  divgcdz  11926  divgcdnn  11930  divgcdnnr  11931  modgcd  11946  gcddiv  11974  gcdmultiple  11975  gcdmultiplez  11976  gcdzeq  11977  gcdeq  11978  rpmulgcd  11981  rplpwr  11982  rppwr  11983  sqgcd  11984  dvdssqlem  11985  dvdssq  11986  eucalginv  12010  lcmgcdlem  12031  lcmgcdnn  12036  lcmass  12039  coprmgcdb  12042  qredeq  12050  qredeu  12051  cncongr1  12057  cncongr2  12058  1idssfct  12069  isprm2lem  12070  isprm3  12072  isprm4  12073  prmind2  12074  prmdc  12084  divgcdodd  12097  isprm6  12101  sqrt2irr  12116  pw2dvds  12120  sqrt2irraplemnn  12133  divnumden  12150  divdenle  12151  nn0gcdsq  12154  phivalfi  12166  phicl2  12168  phiprmpw  12176  hashgcdlem  12192  hashgcdeq  12193  phisum  12194  nnoddn2prm  12214  pythagtriplem2  12220  pythagtriplem3  12221  pythagtriplem4  12222  pythagtriplem6  12224  pythagtriplem7  12225  pythagtriplem8  12226  pythagtriplem9  12227  pythagtriplem11  12228  pythagtriplem13  12230  pythagtriplem15  12232  pythagtriplem19  12236  pythagtrip  12237  pceu  12249  pccl  12253  pcdiv  12256  pcqcl  12260  pcdvds  12268  pcndvds  12270  pcndvds2  12272  pcelnn  12274  pcz  12285  pcmpt  12295  fldivp1  12300  pcfac  12302  infpnlem1  12311  infpnlem2  12312  prmunb  12314  1arith  12319  oddennn  12347  evenennn  12348  unennn  12352  rpcxproot  13628  logbgcd1irr  13679  lgsval  13699  lgsval4a  13717  lgssq2  13736  trilpolemcl  14069