Theorem nnz 9404

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9402	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3191	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  ℕcn 9049  ℤcz 9385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-inn 9050  df-z 9386

This theorem is referenced by:  elnnz1  9408  znegcl  9416  nnnle0  9434  nnleltp1  9445  nnltp1le  9446  elz2  9457  nnlem1lt  9470  nnltlem1  9471  nnm1ge0  9472  prime  9485  nneo  9489  zeo  9491  btwnz  9505  indstr  9727  eluz2b2  9737  elnn1uz2  9741  qaddcl  9769  qreccl  9776  elpqb  9784  elfz1end  10190  fznatpl1  10211  fznn  10224  elfz1b  10225  elfzo0  10319  fzo1fzo0n0  10320  elfzo0z  10321  elfzo1  10327  ubmelm1fzo  10368  intfracq  10478  zmodcl  10502  zmodfz  10504  zmodfzo  10505  zmodid2  10510  zmodidfzo  10511  modfzo0difsn  10553  mulexpzap  10737  nnesq  10817  expnlbnd  10822  expnlbnd2  10823  nn0ltexp2  10867  facdiv  10896  faclbnd  10899  bc0k  10914  bcval5  10921  seq3coll  11000  ccatval21sw  11075  caucvgrelemcau  11341  resqrexlemlo  11374  resqrexlemcalc3  11377  resqrexlemgt0  11381  absexpzap  11441  climuni  11654  fsum3  11748  arisum  11859  trireciplem  11861  expcnvap0  11863  geo2sum  11875  geo2lim  11877  0.999...  11882  geoihalfsum  11883  cvgratz  11893  zproddc  11940  fprodseq  11944  prod1dc  11947  dvdsval3  12152  nndivdvds  12157  modmulconst  12184  dvdsle  12205  dvdsssfz1  12213  fzm1ndvds  12217  dvdsfac  12221  oexpneg  12238  nnoddm1d2  12271  divalg2  12287  divalgmod  12288  modremain  12290  ndvdsadd  12292  nndvdslegcd  12336  divgcdz  12342  divgcdnn  12346  divgcdnnr  12347  modgcd  12362  gcddiv  12390  gcdmultiple  12391  gcdmultiplez  12392  gcdzeq  12393  gcdeq  12394  rpmulgcd  12397  rplpwr  12398  rppwr  12399  sqgcd  12400  dvdssqlem  12401  dvdssq  12402  eucalginv  12428  lcmgcdlem  12449  lcmgcdnn  12454  lcmass  12457  coprmgcdb  12460  qredeq  12468  qredeu  12469  cncongr1  12475  cncongr2  12476  1idssfct  12487  isprm2lem  12488  isprm3  12490  isprm4  12491  prmind2  12492  prmdc  12502  divgcdodd  12515  isprm6  12519  sqrt2irr  12534  pw2dvds  12538  sqrt2irraplemnn  12551  divnumden  12568  divdenle  12569  nn0gcdsq  12572  phivalfi  12584  phicl2  12586  phiprmpw  12594  hashgcdlem  12610  dvdsfi  12611  hashgcdeq  12612  phisum  12613  nnoddn2prm  12633  pythagtriplem2  12639  pythagtriplem3  12640  pythagtriplem4  12641  pythagtriplem6  12643  pythagtriplem7  12644  pythagtriplem8  12645  pythagtriplem9  12646  pythagtriplem11  12647  pythagtriplem13  12649  pythagtriplem15  12651  pythagtriplem19  12655  pythagtrip  12656  pceu  12668  pccl  12672  pcdiv  12675  pcqcl  12679  pcdvds  12688  pcndvds  12690  pcndvds2  12692  pcelnn  12694  pcz  12705  pcmpt  12716  fldivp1  12721  pcfac  12723  infpnlem1  12732  infpnlem2  12733  prmunb  12735  1arith  12740  oddennn  12813  evenennn  12814  unennn  12818  mulgnn  13512  mulgnngsum  13513  mulgaddcom  13532  mulginvcom  13533  mulgmodid  13547  ghmmulg  13642  mulgass2  13870  znfi  14467  znhash  14468  znidomb  14470  znrrg  14472  rpcxproot  15436  logbgcd1irr  15489  sgmnncl  15510  lgsval  15531  lgsval4a  15549  lgssq2  15568  gausslemma2dlem0c  15578  gausslemma2dlem0e  15580  gausslemma2dlem1a  15585  gausslemma2dlem3  15590  gausslemma2dlem5  15593  lgsquadlem1  15604  lgsquadlem2  15605  lgsquad3  15611  2lgslem1a1  15613  2lgslem3  15628  2lgsoddprm  15640  trilpolemcl  16091