Theorem nnz 9646

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9644	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3244	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕcn 9287  ℤcz 9627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-z 9628

This theorem is referenced by:  elnnz1  9650  znegcl  9658  nnnle0  9676  nnleltp1  9687  nnltp1le  9688  elz2  9699  nnlem1lt  9713  nnltlem1  9714  nnm1ge0  9715  prime  9728  nneo  9732  zeo  9734  btwnz  9748  indstr  9976  eluz2b2  9986  elnn1uz2  9990  qaddcl  10018  qreccl  10025  elpqb  10033  elfz1end  10444  fznatpl1  10466  fznn  10479  elfz1b  10480  elfzo0  10576  fzo1fzo0n0  10578  elfzo0z  10579  elfzo1  10586  ubmelm1fzo  10627  intfracq  10740  zmodcl  10764  zmodfz  10766  zmodfzo  10767  zmodid2  10772  zmodidfzo  10773  modfzo0difsn  10815  mulexpzap  10999  nnesq  11080  expnlbnd  11085  expnlbnd2  11086  nn0ltexp2  11130  facdiv  11159  faclbnd  11162  bc0k  11177  bcval5  11184  bcm1n  11190  seq3coll  11277  ccatval21sw  11356  caucvgrelemcau  11729  resqrexlemlo  11762  resqrexlemcalc3  11765  resqrexlemgt0  11769  absexpzap  11829  climuni  12042  fsum3  12137  arisum  12248  trireciplem  12250  expcnvap0  12252  geo2sum  12264  geo2lim  12266  0.999...  12271  geoihalfsum  12272  cvgratz  12282  zproddc  12329  fprodseq  12333  prod1dc  12336  dvdsval3  12541  nndivdvds  12546  modmulconst  12573  dvdsle  12594  dvdsssfz1  12602  fzm1ndvds  12606  dvdsfac  12610  oexpneg  12627  nnoddm1d2  12660  divalg2  12676  divalgmod  12677  modremain  12679  ndvdsadd  12681  nndvdslegcd  12725  divgcdz  12731  divgcdnn  12735  divgcdnnr  12736  modgcd  12751  gcddiv  12779  gcdmultiple  12780  gcdmultiplez  12781  gcdzeq  12782  gcdeq  12783  rpmulgcd  12786  rplpwr  12787  rppwr  12788  sqgcd  12789  dvdssqlem  12790  dvdssq  12791  eucalginv  12817  lcmgcdlem  12838  lcmgcdnn  12843  lcmass  12846  coprmgcdb  12849  qredeq  12857  qredeu  12858  cncongr1  12864  cncongr2  12865  1idssfct  12876  isprm2lem  12877  isprm3  12879  isprm4  12880  prmind2  12881  prmdc  12891  divgcdodd  12904  isprm6  12908  sqrt2irr  12923  pw2dvds  12927  sqrt2irraplemnn  12940  divnumden  12957  divdenle  12958  nn0gcdsq  12961  phivalfi  12973  phicl2  12975  phiprmpw  12983  hashgcdlem  12999  dvdsfi  13000  hashgcdeq  13001  phisum  13002  nnoddn2prm  13022  pythagtriplem2  13028  pythagtriplem3  13029  pythagtriplem4  13030  pythagtriplem6  13032  pythagtriplem7  13033  pythagtriplem8  13034  pythagtriplem9  13035  pythagtriplem11  13036  pythagtriplem13  13038  pythagtriplem15  13040  pythagtriplem19  13044  pythagtrip  13045  pceu  13057  pccl  13061  pcdiv  13064  pcqcl  13068  pcdvds  13077  pcndvds  13079  pcndvds2  13081  pcelnn  13083  pcz  13094  pcmpt  13105  fldivp1  13110  pcfac  13112  infpnlem1  13121  infpnlem2  13122  prmunb  13124  1arith  13129  ballotfilemiex  13227  oddennn  13266  evenennn  13267  unennn  13271  mulgnn  13912  mulgnngzsum  13913  mulgaddcom  13932  mulginvcom  13933  mulgmodid  13947  ghmmulg  14042  mulgass2  14346  znfi  14973  znhash  14974  znidomb  14976  znrrg  14978  rpcxproot  15999  logbgcd1irr  16052  birthdaylem1g  16070  birthdaylem2  16071  birthdaylem3  16072  sgmnncl  16085  lgsval  16106  lgsval4a  16124  lgssq2  16143  gausslemma2dlem0c  16153  gausslemma2dlem0e  16155  gausslemma2dlem1a  16160  gausslemma2dlem3  16165  gausslemma2dlem5  16168  lgsquadlem1  16179  lgsquadlem2  16180  lgsquad3  16186  2lgslem1a1  16188  2lgslem3  16203  2lgsoddprm  16215  trilpolemcl  17060