Theorem nnz 9613

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9611	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3238	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℕcn 9254  ℤcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-z 9595

This theorem is referenced by:  elnnz1  9617  znegcl  9625  nnnle0  9643  nnleltp1  9654  nnltp1le  9655  elz2  9666  nnlem1lt  9680  nnltlem1  9681  nnm1ge0  9682  prime  9695  nneo  9699  zeo  9701  btwnz  9715  indstr  9943  eluz2b2  9953  elnn1uz2  9957  qaddcl  9985  qreccl  9992  elpqb  10000  elfz1end  10410  fznatpl1  10432  fznn  10445  elfz1b  10446  elfzo0  10542  fzo1fzo0n0  10544  elfzo0z  10545  elfzo1  10552  ubmelm1fzo  10593  intfracq  10706  zmodcl  10730  zmodfz  10732  zmodfzo  10733  zmodid2  10738  zmodidfzo  10739  modfzo0difsn  10781  mulexpzap  10965  nnesq  11046  expnlbnd  11051  expnlbnd2  11052  nn0ltexp2  11096  facdiv  11125  faclbnd  11128  bc0k  11143  bcval5  11150  bcm1n  11156  seq3coll  11239  ccatval21sw  11318  caucvgrelemcau  11690  resqrexlemlo  11723  resqrexlemcalc3  11726  resqrexlemgt0  11730  absexpzap  11790  climuni  12003  fsum3  12098  arisum  12209  trireciplem  12211  expcnvap0  12213  geo2sum  12225  geo2lim  12227  0.999...  12232  geoihalfsum  12233  cvgratz  12243  zproddc  12290  fprodseq  12294  prod1dc  12297  dvdsval3  12502  nndivdvds  12507  modmulconst  12534  dvdsle  12555  dvdsssfz1  12563  fzm1ndvds  12567  dvdsfac  12571  oexpneg  12588  nnoddm1d2  12621  divalg2  12637  divalgmod  12638  modremain  12640  ndvdsadd  12642  nndvdslegcd  12686  divgcdz  12692  divgcdnn  12696  divgcdnnr  12697  modgcd  12712  gcddiv  12740  gcdmultiple  12741  gcdmultiplez  12742  gcdzeq  12743  gcdeq  12744  rpmulgcd  12747  rplpwr  12748  rppwr  12749  sqgcd  12750  dvdssqlem  12751  dvdssq  12752  eucalginv  12778  lcmgcdlem  12799  lcmgcdnn  12804  lcmass  12807  coprmgcdb  12810  qredeq  12818  qredeu  12819  cncongr1  12825  cncongr2  12826  1idssfct  12837  isprm2lem  12838  isprm3  12840  isprm4  12841  prmind2  12842  prmdc  12852  divgcdodd  12865  isprm6  12869  sqrt2irr  12884  pw2dvds  12888  sqrt2irraplemnn  12901  divnumden  12918  divdenle  12919  nn0gcdsq  12922  phivalfi  12934  phicl2  12936  phiprmpw  12944  hashgcdlem  12960  dvdsfi  12961  hashgcdeq  12962  phisum  12963  nnoddn2prm  12983  pythagtriplem2  12989  pythagtriplem3  12990  pythagtriplem4  12991  pythagtriplem6  12993  pythagtriplem7  12994  pythagtriplem8  12995  pythagtriplem9  12996  pythagtriplem11  12997  pythagtriplem13  12999  pythagtriplem15  13001  pythagtriplem19  13005  pythagtrip  13006  pceu  13018  pccl  13022  pcdiv  13025  pcqcl  13029  pcdvds  13038  pcndvds  13040  pcndvds2  13042  pcelnn  13044  pcz  13055  pcmpt  13066  fldivp1  13071  pcfac  13073  infpnlem1  13082  infpnlem2  13083  prmunb  13085  1arith  13090  ballotfilemiex  13188  oddennn  13227  evenennn  13228  unennn  13232  mulgnn  13927  mulgnngsum  13928  mulgaddcom  13947  mulginvcom  13948  mulgmodid  13962  ghmmulg  14057  mulgass2  14286  znfi  14915  znhash  14916  znidomb  14918  znrrg  14920  rpcxproot  15891  logbgcd1irr  15944  sgmnncl  15968  lgsval  15989  lgsval4a  16007  lgssq2  16026  gausslemma2dlem0c  16036  gausslemma2dlem0e  16038  gausslemma2dlem1a  16043  gausslemma2dlem3  16048  gausslemma2dlem5  16051  lgsquadlem1  16062  lgsquadlem2  16063  lgsquad3  16069  2lgslem1a1  16071  2lgslem3  16086  2lgsoddprm  16098  trilpolemcl  16933