Theorem nnz 9541

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9539	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3224	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℕcn 9186  ℤcz 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-z 9523

This theorem is referenced by:  elnnz1  9545  znegcl  9553  nnnle0  9571  nnleltp1  9582  nnltp1le  9583  elz2  9594  nnlem1lt  9607  nnltlem1  9608  nnm1ge0  9609  prime  9622  nneo  9626  zeo  9628  btwnz  9642  indstr  9870  eluz2b2  9880  elnn1uz2  9884  qaddcl  9912  qreccl  9919  elpqb  9927  elfz1end  10333  fznatpl1  10354  fznn  10367  elfz1b  10368  elfzo0  10464  fzo1fzo0n0  10466  elfzo0z  10467  elfzo1  10474  ubmelm1fzo  10515  intfracq  10626  zmodcl  10650  zmodfz  10652  zmodfzo  10653  zmodid2  10658  zmodidfzo  10659  modfzo0difsn  10701  mulexpzap  10885  nnesq  10965  expnlbnd  10970  expnlbnd2  10971  nn0ltexp2  11015  facdiv  11044  faclbnd  11047  bc0k  11062  bcval5  11069  seq3coll  11150  ccatval21sw  11229  caucvgrelemcau  11601  resqrexlemlo  11634  resqrexlemcalc3  11637  resqrexlemgt0  11641  absexpzap  11701  climuni  11914  fsum3  12009  arisum  12120  trireciplem  12122  expcnvap0  12124  geo2sum  12136  geo2lim  12138  0.999...  12143  geoihalfsum  12144  cvgratz  12154  zproddc  12201  fprodseq  12205  prod1dc  12208  dvdsval3  12413  nndivdvds  12418  modmulconst  12445  dvdsle  12466  dvdsssfz1  12474  fzm1ndvds  12478  dvdsfac  12482  oexpneg  12499  nnoddm1d2  12532  divalg2  12548  divalgmod  12549  modremain  12551  ndvdsadd  12553  nndvdslegcd  12597  divgcdz  12603  divgcdnn  12607  divgcdnnr  12608  modgcd  12623  gcddiv  12651  gcdmultiple  12652  gcdmultiplez  12653  gcdzeq  12654  gcdeq  12655  rpmulgcd  12658  rplpwr  12659  rppwr  12660  sqgcd  12661  dvdssqlem  12662  dvdssq  12663  eucalginv  12689  lcmgcdlem  12710  lcmgcdnn  12715  lcmass  12718  coprmgcdb  12721  qredeq  12729  qredeu  12730  cncongr1  12736  cncongr2  12737  1idssfct  12748  isprm2lem  12749  isprm3  12751  isprm4  12752  prmind2  12753  prmdc  12763  divgcdodd  12776  isprm6  12780  sqrt2irr  12795  pw2dvds  12799  sqrt2irraplemnn  12812  divnumden  12829  divdenle  12830  nn0gcdsq  12833  phivalfi  12845  phicl2  12847  phiprmpw  12855  hashgcdlem  12871  dvdsfi  12872  hashgcdeq  12873  phisum  12874  nnoddn2prm  12894  pythagtriplem2  12900  pythagtriplem3  12901  pythagtriplem4  12902  pythagtriplem6  12904  pythagtriplem7  12905  pythagtriplem8  12906  pythagtriplem9  12907  pythagtriplem11  12908  pythagtriplem13  12910  pythagtriplem15  12912  pythagtriplem19  12916  pythagtrip  12917  pceu  12929  pccl  12933  pcdiv  12936  pcqcl  12940  pcdvds  12949  pcndvds  12951  pcndvds2  12953  pcelnn  12955  pcz  12966  pcmpt  12977  fldivp1  12982  pcfac  12984  infpnlem1  12993  infpnlem2  12994  prmunb  12996  1arith  13001  oddennn  13074  evenennn  13075  unennn  13079  mulgnn  13774  mulgnngsum  13775  mulgaddcom  13794  mulginvcom  13795  mulgmodid  13809  ghmmulg  13904  mulgass2  14133  znfi  14731  znhash  14732  znidomb  14734  znrrg  14736  rpcxproot  15705  logbgcd1irr  15758  sgmnncl  15782  lgsval  15803  lgsval4a  15821  lgssq2  15840  gausslemma2dlem0c  15850  gausslemma2dlem0e  15852  gausslemma2dlem1a  15857  gausslemma2dlem3  15862  gausslemma2dlem5  15865  lgsquadlem1  15876  lgsquadlem2  15877  lgsquad3  15883  2lgslem1a1  15885  2lgslem3  15900  2lgsoddprm  15912  trilpolemcl  16749