Theorem nnz 9668

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9666	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3244	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕcn 9307  ℤcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-z 9650

This theorem is used by:  elnnz1  9672  znegcl  9680  nnnle0  9698  nnleltp1  9709  nnltp1le  9710  elz2  9721  nnlem1lt  9735  nnltlem1  9736  nnm1ge0  9737  prime  9750  nneo  9754  zeo  9756  btwnz  9770  indstr  10003  eluz2b2  10013  elnn1uz2  10017  qaddcl  10045  qreccl  10052  elpqb  10061  elfz1end  10472  fznatpl1  10494  fznn  10507  elfz1b  10508  elfzo0  10604  fzo1fzo0n0  10606  elfzo0z  10607  elfzo1  10614  ubmelm1fzo  10655  intfracq  10771  zmodcl  10795  zmodfz  10797  zmodfzo  10798  zmodid2  10803  zmodidfzo  10804  modfzo0difsn  10846  mulexpzap  11030  nnesq  11111  expnlbnd  11116  expnlbnd2  11117  nn0ltexp2  11162  facdiv  11191  faclbnd  11194  bc0k  11209  bcval5  11216  bcm1n  11222  seq3coll  11309  ccatval21sw  11388  caucvgrelemcau  11761  resqrexlemlo  11794  resqrexlemcalc3  11797  resqrexlemgt0  11801  absexpzap  11862  climuni  12077  fsum3  12172  arisum  12283  trireciplem  12285  expcnvap0  12287  geo2sum  12299  geo2lim  12301  0.999...  12306  geoihalfsum  12307  cvgratz  12317  zproddc  12364  fprodseq  12368  prod1dc  12371  dvdsval3  12576  nndivdvds  12581  modmulconst  12608  dvdsle  12629  dvdsssfz1  12637  fzm1ndvds  12641  dvdsfac  12645  oexpneg  12662  nnoddm1d2  12695  divalg2  12711  divalgmod  12712  modremain  12714  ndvdsadd  12716  nndvdslegcd  12760  divgcdz  12766  divgcdnn  12770  divgcdnnr  12771  modgcd  12786  gcddiv  12814  gcdmultiple  12815  gcdmultiplez  12816  gcdzeq  12817  gcdeq  12818  rpmulgcd  12821  rplpwr  12822  rppwr  12823  sqgcd  12824  dvdssqlem  12825  dvdssq  12826  eucalginv  12852  lcmgcdlem  12873  lcmgcdnn  12878  lcmass  12881  coprmgcdb  12884  qredeq  12892  qredeu  12893  cncongr1  12899  cncongr2  12900  1idssfct  12911  isprm2lem  12912  isprm3  12914  isprm4  12915  prmind2  12916  prmdc  12926  divgcdodd  12940  isprm6  12944  sqrt2irr  12959  sqrt2irraplemnn  12977  divnumden  12994  divdenle  12995  nn0gcdsq  12998  phivalfi  13012  phicl2  13014  phiprmpw  13022  hashgcdlem  13038  dvdsfi  13039  hashgcdeq  13040  phisum  13041  nnoddn2prm  13061  pythagtriplem2  13067  pythagtriplem3  13068  pythagtriplem4  13069  pythagtriplem6  13071  pythagtriplem7  13072  pythagtriplem8  13073  pythagtriplem9  13074  pythagtriplem11  13075  pythagtriplem13  13077  pythagtriplem15  13079  pythagtriplem19  13083  pythagtrip  13084  pceu  13096  pccl  13100  pcdiv  13103  pcqcl  13107  pcdvds  13116  pcndvds  13118  pcndvds2  13120  pcelnn  13122  pcz  13133  pcmpt  13144  fldivp1  13149  pcfac  13151  infpnlem1  13160  infpnlem2  13161  prmunb  13163  1arith  13168  ballotfilemiex  13295  oddennn  13334  evenennn  13335  unennn  13339  mulgnn  13980  mulgnngzsum  13981  mulgaddcom  14000  mulginvcom  14001  mulgmodid  14015  ghmmulg  14110  mulgass2  14414  znfi  15041  znhash  15042  znidomb  15044  znrrg  15046  rpcxproot  16072  logbgcd1irr  16125  birthdaylem1g  16147  birthdaylem2  16148  birthdaylem3  16149  prmdvdsfi  16165  sgmnncl  16179  prmorcht  16204  chtublem  16217  pcbcctr  16225  bclbnd  16229  bposlem1  16233  bposlem5  16237  lgsval  16245  lgsval4a  16263  lgssq2  16282  gausslemma2dlem0c  16292  gausslemma2dlem0e  16294  gausslemma2dlem1a  16299  gausslemma2dlem3  16304  gausslemma2dlem5  16307  lgsquadlem1  16318  lgsquadlem2  16319  lgsquad3  16325  2lgslem1a1  16327  2lgslem3  16342  2lgsoddprm  16354  trilpolemcl  17208