ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnz GIF version

Theorem nnz 8694
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnz (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz
StepHypRef Expression
1 nnssz 8692 . 2 ℕ ⊆ ℤ
21sseli 3010 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1436  cn 8349  cz 8675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3930  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-cnex 7372  ax-resscn 7373  ax-1cn 7374  ax-1re 7375  ax-icn 7376  ax-addcl 7377  ax-addrcl 7378  ax-mulcl 7379  ax-addcom 7381  ax-addass 7383  ax-distr 7385  ax-i2m1 7386  ax-0lt1 7387  ax-0id 7389  ax-rnegex 7390  ax-cnre 7392  ax-pre-ltirr 7393  ax-pre-ltwlin 7394  ax-pre-lttrn 7395  ax-pre-ltadd 7397
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-br 3820  df-opab 3874  df-id 4092  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fv 4985  df-riota 5562  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-pnf 7460  df-mnf 7461  df-xr 7462  df-ltxr 7463  df-le 7464  df-sub 7591  df-neg 7592  df-inn 8350  df-z 8676
This theorem is referenced by:  elnnz1  8698  znegcl  8706  nnleltp1  8734  nnltp1le  8735  elz2  8743  nnlem1lt  8755  nnltlem1  8756  nnm1ge0  8757  prime  8770  nneo  8774  zeo  8776  btwnz  8790  indstr  9005  eluz2b2  9014  elnn1uz2  9018  qaddcl  9044  qreccl  9051  elfz1end  9393  fznatpl1  9412  fznn  9425  elfz1b  9426  elfzo0  9513  fzo1fzo0n0  9514  elfzo0z  9515  elfzo1  9521  ubmelm1fzo  9557  intfracq  9647  zmodcl  9671  zmodfz  9673  zmodfzo  9674  zmodid2  9679  zmodidfzo  9680  modfzo0difsn  9722  expinnval  9848  mulexpzap  9885  nnesq  9961  expnlbnd  9966  expnlbnd2  9967  facdiv  10034  faclbnd  10037  bc0k  10052  ibcval5  10059  iseqcoll  10135  caucvgrelemcau  10300  resqrexlemlo  10333  resqrexlemcalc3  10336  resqrexlemgt0  10340  absexpzap  10400  climuni  10566  fisum  10657  dvdsval3  10666  nndivdvds  10668  modmulconst  10694  dvdsle  10711  dvdsssfz1  10719  fzm1ndvds  10723  dvdsfac  10727  oexpneg  10743  nnoddm1d2  10776  divalg2  10792  divalgmod  10793  modremain  10795  ndvdsadd  10797  nndvdslegcd  10823  divgcdz  10829  divgcdnn  10832  divgcdnnr  10833  modgcd  10848  gcddiv  10874  gcdmultiple  10875  gcdmultiplez  10876  gcdzeq  10877  gcdeq  10878  rpmulgcd  10881  rplpwr  10882  rppwr  10883  sqgcd  10884  dvdssqlem  10885  dvdssq  10886  eucalginv  10904  lcmgcdlem  10925  lcmgcdnn  10930  lcmass  10933  coprmgcdb  10936  qredeq  10944  qredeu  10945  cncongr1  10951  cncongr2  10952  1idssfct  10963  isprm2lem  10964  isprm3  10966  isprm4  10967  prmind2  10968  divgcdodd  10988  isprm6  10992  sqrt2irr  11007  pw2dvds  11010  sqrt2irraplemnn  11023  divnumden  11040  divdenle  11041  nn0gcdsq  11044  phivalfi  11054  phicl2  11056  phiprmpw  11064  hashgcdlem  11069  hashgcdeq  11070  oddennn  11071  evenennn  11072  unennn  11076
  Copyright terms: Public domain W3C validator