Theorem nnz 9301

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9299	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3166	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  ℕcn 8948  ℤcz 9282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-z 9283

This theorem is referenced by:  elnnz1  9305  znegcl  9313  nnleltp1  9341  nnltp1le  9342  elz2  9353  nnlem1lt  9366  nnltlem1  9367  nnm1ge0  9368  prime  9381  nneo  9385  zeo  9387  btwnz  9401  indstr  9622  eluz2b2  9632  elnn1uz2  9636  qaddcl  9664  qreccl  9671  elpqb  9678  elfz1end  10084  fznatpl1  10105  fznn  10118  elfz1b  10119  elfzo0  10211  fzo1fzo0n0  10212  elfzo0z  10213  elfzo1  10219  ubmelm1fzo  10255  intfracq  10350  zmodcl  10374  zmodfz  10376  zmodfzo  10377  zmodid2  10382  zmodidfzo  10383  modfzo0difsn  10425  mulexpzap  10590  nnesq  10670  expnlbnd  10675  expnlbnd2  10676  nn0ltexp2  10720  facdiv  10749  faclbnd  10752  bc0k  10767  bcval5  10774  seq3coll  10853  caucvgrelemcau  11020  resqrexlemlo  11053  resqrexlemcalc3  11056  resqrexlemgt0  11060  absexpzap  11120  climuni  11332  fsum3  11426  arisum  11537  trireciplem  11539  expcnvap0  11541  geo2sum  11553  geo2lim  11555  0.999...  11560  geoihalfsum  11561  cvgratz  11571  zproddc  11618  fprodseq  11622  prod1dc  11625  dvdsval3  11829  nndivdvds  11834  modmulconst  11861  dvdsle  11881  dvdsssfz1  11889  fzm1ndvds  11893  dvdsfac  11897  oexpneg  11913  nnoddm1d2  11946  divalg2  11962  divalgmod  11963  modremain  11965  ndvdsadd  11967  nndvdslegcd  11997  divgcdz  12003  divgcdnn  12007  divgcdnnr  12008  modgcd  12023  gcddiv  12051  gcdmultiple  12052  gcdmultiplez  12053  gcdzeq  12054  gcdeq  12055  rpmulgcd  12058  rplpwr  12059  rppwr  12060  sqgcd  12061  dvdssqlem  12062  dvdssq  12063  eucalginv  12087  lcmgcdlem  12108  lcmgcdnn  12113  lcmass  12116  coprmgcdb  12119  qredeq  12127  qredeu  12128  cncongr1  12134  cncongr2  12135  1idssfct  12146  isprm2lem  12147  isprm3  12149  isprm4  12150  prmind2  12151  prmdc  12161  divgcdodd  12174  isprm6  12178  sqrt2irr  12193  pw2dvds  12197  sqrt2irraplemnn  12210  divnumden  12227  divdenle  12228  nn0gcdsq  12231  phivalfi  12243  phicl2  12245  phiprmpw  12253  hashgcdlem  12269  hashgcdeq  12270  phisum  12271  nnoddn2prm  12291  pythagtriplem2  12297  pythagtriplem3  12298  pythagtriplem4  12299  pythagtriplem6  12301  pythagtriplem7  12302  pythagtriplem8  12303  pythagtriplem9  12304  pythagtriplem11  12305  pythagtriplem13  12307  pythagtriplem15  12309  pythagtriplem19  12313  pythagtrip  12314  pceu  12326  pccl  12330  pcdiv  12333  pcqcl  12337  pcdvds  12346  pcndvds  12348  pcndvds2  12350  pcelnn  12352  pcz  12363  pcmpt  12374  fldivp1  12379  pcfac  12381  infpnlem1  12390  infpnlem2  12391  prmunb  12393  1arith  12398  oddennn  12442  evenennn  12443  unennn  12447  mulgnn  13065  mulgaddcom  13083  mulginvcom  13084  mulgmodid  13098  ghmmulg  13192  mulgass2  13407  rpcxproot  14786  logbgcd1irr  14837  lgsval  14858  lgsval4a  14876  lgssq2  14895  trilpolemcl  15239