Theorem nnz 9364

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9362	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3180	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℕcn 9009  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-z 9346

This theorem is referenced by:  elnnz1  9368  znegcl  9376  nnleltp1  9404  nnltp1le  9405  elz2  9416  nnlem1lt  9429  nnltlem1  9430  nnm1ge0  9431  prime  9444  nneo  9448  zeo  9450  btwnz  9464  indstr  9686  eluz2b2  9696  elnn1uz2  9700  qaddcl  9728  qreccl  9735  elpqb  9743  elfz1end  10149  fznatpl1  10170  fznn  10183  elfz1b  10184  elfzo0  10277  fzo1fzo0n0  10278  elfzo0z  10279  elfzo1  10285  ubmelm1fzo  10321  intfracq  10431  zmodcl  10455  zmodfz  10457  zmodfzo  10458  zmodid2  10463  zmodidfzo  10464  modfzo0difsn  10506  mulexpzap  10690  nnesq  10770  expnlbnd  10775  expnlbnd2  10776  nn0ltexp2  10820  facdiv  10849  faclbnd  10852  bc0k  10867  bcval5  10874  seq3coll  10953  caucvgrelemcau  11164  resqrexlemlo  11197  resqrexlemcalc3  11200  resqrexlemgt0  11204  absexpzap  11264  climuni  11477  fsum3  11571  arisum  11682  trireciplem  11684  expcnvap0  11686  geo2sum  11698  geo2lim  11700  0.999...  11705  geoihalfsum  11706  cvgratz  11716  zproddc  11763  fprodseq  11767  prod1dc  11770  dvdsval3  11975  nndivdvds  11980  modmulconst  12007  dvdsle  12028  dvdsssfz1  12036  fzm1ndvds  12040  dvdsfac  12044  oexpneg  12061  nnoddm1d2  12094  divalg2  12110  divalgmod  12111  modremain  12113  ndvdsadd  12115  nndvdslegcd  12159  divgcdz  12165  divgcdnn  12169  divgcdnnr  12170  modgcd  12185  gcddiv  12213  gcdmultiple  12214  gcdmultiplez  12215  gcdzeq  12216  gcdeq  12217  rpmulgcd  12220  rplpwr  12221  rppwr  12222  sqgcd  12223  dvdssqlem  12224  dvdssq  12225  eucalginv  12251  lcmgcdlem  12272  lcmgcdnn  12277  lcmass  12280  coprmgcdb  12283  qredeq  12291  qredeu  12292  cncongr1  12298  cncongr2  12299  1idssfct  12310  isprm2lem  12311  isprm3  12313  isprm4  12314  prmind2  12315  prmdc  12325  divgcdodd  12338  isprm6  12342  sqrt2irr  12357  pw2dvds  12361  sqrt2irraplemnn  12374  divnumden  12391  divdenle  12392  nn0gcdsq  12395  phivalfi  12407  phicl2  12409  phiprmpw  12417  hashgcdlem  12433  dvdsfi  12434  hashgcdeq  12435  phisum  12436  nnoddn2prm  12456  pythagtriplem2  12462  pythagtriplem3  12463  pythagtriplem4  12464  pythagtriplem6  12466  pythagtriplem7  12467  pythagtriplem8  12468  pythagtriplem9  12469  pythagtriplem11  12470  pythagtriplem13  12472  pythagtriplem15  12474  pythagtriplem19  12478  pythagtrip  12479  pceu  12491  pccl  12495  pcdiv  12498  pcqcl  12502  pcdvds  12511  pcndvds  12513  pcndvds2  12515  pcelnn  12517  pcz  12528  pcmpt  12539  fldivp1  12544  pcfac  12546  infpnlem1  12555  infpnlem2  12556  prmunb  12558  1arith  12563  oddennn  12636  evenennn  12637  unennn  12641  mulgnn  13334  mulgnngsum  13335  mulgaddcom  13354  mulginvcom  13355  mulgmodid  13369  ghmmulg  13464  mulgass2  13692  znfi  14289  znhash  14290  znidomb  14292  znrrg  14294  rpcxproot  15258  logbgcd1irr  15311  sgmnncl  15332  lgsval  15353  lgsval4a  15371  lgssq2  15390  gausslemma2dlem0c  15400  gausslemma2dlem0e  15402  gausslemma2dlem1a  15407  gausslemma2dlem3  15412  gausslemma2dlem5  15415  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  lgsquad3  15433  2lgslem1a1  15435  2lgslem3  15450  2lgsoddprm  15462  trilpolemcl  15794