Theorem nnz 9345

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9343	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3179	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℕcn 8990  ℤcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-z 9327

This theorem is referenced by:  elnnz1  9349  znegcl  9357  nnleltp1  9385  nnltp1le  9386  elz2  9397  nnlem1lt  9410  nnltlem1  9411  nnm1ge0  9412  prime  9425  nneo  9429  zeo  9431  btwnz  9445  indstr  9667  eluz2b2  9677  elnn1uz2  9681  qaddcl  9709  qreccl  9716  elpqb  9724  elfz1end  10130  fznatpl1  10151  fznn  10164  elfz1b  10165  elfzo0  10258  fzo1fzo0n0  10259  elfzo0z  10260  elfzo1  10266  ubmelm1fzo  10302  intfracq  10412  zmodcl  10436  zmodfz  10438  zmodfzo  10439  zmodid2  10444  zmodidfzo  10445  modfzo0difsn  10487  mulexpzap  10671  nnesq  10751  expnlbnd  10756  expnlbnd2  10757  nn0ltexp2  10801  facdiv  10830  faclbnd  10833  bc0k  10848  bcval5  10855  seq3coll  10934  caucvgrelemcau  11145  resqrexlemlo  11178  resqrexlemcalc3  11181  resqrexlemgt0  11185  absexpzap  11245  climuni  11458  fsum3  11552  arisum  11663  trireciplem  11665  expcnvap0  11667  geo2sum  11679  geo2lim  11681  0.999...  11686  geoihalfsum  11687  cvgratz  11697  zproddc  11744  fprodseq  11748  prod1dc  11751  dvdsval3  11956  nndivdvds  11961  modmulconst  11988  dvdsle  12009  dvdsssfz1  12017  fzm1ndvds  12021  dvdsfac  12025  oexpneg  12042  nnoddm1d2  12075  divalg2  12091  divalgmod  12092  modremain  12094  ndvdsadd  12096  nndvdslegcd  12132  divgcdz  12138  divgcdnn  12142  divgcdnnr  12143  modgcd  12158  gcddiv  12186  gcdmultiple  12187  gcdmultiplez  12188  gcdzeq  12189  gcdeq  12190  rpmulgcd  12193  rplpwr  12194  rppwr  12195  sqgcd  12196  dvdssqlem  12197  dvdssq  12198  eucalginv  12224  lcmgcdlem  12245  lcmgcdnn  12250  lcmass  12253  coprmgcdb  12256  qredeq  12264  qredeu  12265  cncongr1  12271  cncongr2  12272  1idssfct  12283  isprm2lem  12284  isprm3  12286  isprm4  12287  prmind2  12288  prmdc  12298  divgcdodd  12311  isprm6  12315  sqrt2irr  12330  pw2dvds  12334  sqrt2irraplemnn  12347  divnumden  12364  divdenle  12365  nn0gcdsq  12368  phivalfi  12380  phicl2  12382  phiprmpw  12390  hashgcdlem  12406  dvdsfi  12407  hashgcdeq  12408  phisum  12409  nnoddn2prm  12429  pythagtriplem2  12435  pythagtriplem3  12436  pythagtriplem4  12437  pythagtriplem6  12439  pythagtriplem7  12440  pythagtriplem8  12441  pythagtriplem9  12442  pythagtriplem11  12443  pythagtriplem13  12445  pythagtriplem15  12447  pythagtriplem19  12451  pythagtrip  12452  pceu  12464  pccl  12468  pcdiv  12471  pcqcl  12475  pcdvds  12484  pcndvds  12486  pcndvds2  12488  pcelnn  12490  pcz  12501  pcmpt  12512  fldivp1  12517  pcfac  12519  infpnlem1  12528  infpnlem2  12529  prmunb  12531  1arith  12536  oddennn  12609  evenennn  12610  unennn  12614  mulgnn  13256  mulgnngsum  13257  mulgaddcom  13276  mulginvcom  13277  mulgmodid  13291  ghmmulg  13386  mulgass2  13614  znfi  14211  znhash  14212  znidomb  14214  znrrg  14216  rpcxproot  15150  logbgcd1irr  15203  sgmnncl  15224  lgsval  15245  lgsval4a  15263  lgssq2  15282  gausslemma2dlem0c  15292  gausslemma2dlem0e  15294  gausslemma2dlem1a  15299  gausslemma2dlem3  15304  gausslemma2dlem5  15307  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  lgsquad3  15325  2lgslem1a1  15327  2lgslem3  15342  2lgsoddprm  15354  trilpolemcl  15681