Theorem nnz 9274

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9272	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3153	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ℕcn 8921  ℤcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-z 9256

This theorem is referenced by:  elnnz1  9278  znegcl  9286  nnleltp1  9314  nnltp1le  9315  elz2  9326  nnlem1lt  9339  nnltlem1  9340  nnm1ge0  9341  prime  9354  nneo  9358  zeo  9360  btwnz  9374  indstr  9595  eluz2b2  9605  elnn1uz2  9609  qaddcl  9637  qreccl  9644  elpqb  9651  elfz1end  10057  fznatpl1  10078  fznn  10091  elfz1b  10092  elfzo0  10184  fzo1fzo0n0  10185  elfzo0z  10186  elfzo1  10192  ubmelm1fzo  10228  intfracq  10322  zmodcl  10346  zmodfz  10348  zmodfzo  10349  zmodid2  10354  zmodidfzo  10355  modfzo0difsn  10397  mulexpzap  10562  nnesq  10642  expnlbnd  10647  expnlbnd2  10648  nn0ltexp2  10691  facdiv  10720  faclbnd  10723  bc0k  10738  bcval5  10745  seq3coll  10824  caucvgrelemcau  10991  resqrexlemlo  11024  resqrexlemcalc3  11027  resqrexlemgt0  11031  absexpzap  11091  climuni  11303  fsum3  11397  arisum  11508  trireciplem  11510  expcnvap0  11512  geo2sum  11524  geo2lim  11526  0.999...  11531  geoihalfsum  11532  cvgratz  11542  zproddc  11589  fprodseq  11593  prod1dc  11596  dvdsval3  11800  nndivdvds  11805  modmulconst  11832  dvdsle  11852  dvdsssfz1  11860  fzm1ndvds  11864  dvdsfac  11868  oexpneg  11884  nnoddm1d2  11917  divalg2  11933  divalgmod  11934  modremain  11936  ndvdsadd  11938  nndvdslegcd  11968  divgcdz  11974  divgcdnn  11978  divgcdnnr  11979  modgcd  11994  gcddiv  12022  gcdmultiple  12023  gcdmultiplez  12024  gcdzeq  12025  gcdeq  12026  rpmulgcd  12029  rplpwr  12030  rppwr  12031  sqgcd  12032  dvdssqlem  12033  dvdssq  12034  eucalginv  12058  lcmgcdlem  12079  lcmgcdnn  12084  lcmass  12087  coprmgcdb  12090  qredeq  12098  qredeu  12099  cncongr1  12105  cncongr2  12106  1idssfct  12117  isprm2lem  12118  isprm3  12120  isprm4  12121  prmind2  12122  prmdc  12132  divgcdodd  12145  isprm6  12149  sqrt2irr  12164  pw2dvds  12168  sqrt2irraplemnn  12181  divnumden  12198  divdenle  12199  nn0gcdsq  12202  phivalfi  12214  phicl2  12216  phiprmpw  12224  hashgcdlem  12240  hashgcdeq  12241  phisum  12242  nnoddn2prm  12262  pythagtriplem2  12268  pythagtriplem3  12269  pythagtriplem4  12270  pythagtriplem6  12272  pythagtriplem7  12273  pythagtriplem8  12274  pythagtriplem9  12275  pythagtriplem11  12276  pythagtriplem13  12278  pythagtriplem15  12280  pythagtriplem19  12284  pythagtrip  12285  pceu  12297  pccl  12301  pcdiv  12304  pcqcl  12308  pcdvds  12316  pcndvds  12318  pcndvds2  12320  pcelnn  12322  pcz  12333  pcmpt  12343  fldivp1  12348  pcfac  12350  infpnlem1  12359  infpnlem2  12360  prmunb  12362  1arith  12367  oddennn  12395  evenennn  12396  unennn  12400  mulgnn  12994  mulgaddcom  13012  mulginvcom  13013  mulgmodid  13027  mulgass2  13240  rpcxproot  14373  logbgcd1irr  14424  lgsval  14444  lgsval4a  14462  lgssq2  14481  trilpolemcl  14824