Theorem nnz 9210

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9208	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2	1	sseli 3138	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ℕcn 8857  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-z 9192

This theorem is referenced by:  elnnz1  9214  znegcl  9222  nnleltp1  9250  nnltp1le  9251  elz2  9262  nnlem1lt  9275  nnltlem1  9276  nnm1ge0  9277  prime  9290  nneo  9294  zeo  9296  btwnz  9310  indstr  9531  eluz2b2  9541  elnn1uz2  9545  qaddcl  9573  qreccl  9580  elpqb  9587  elfz1end  9990  fznatpl1  10011  fznn  10024  elfz1b  10025  elfzo0  10117  fzo1fzo0n0  10118  elfzo0z  10119  elfzo1  10125  ubmelm1fzo  10161  intfracq  10255  zmodcl  10279  zmodfz  10281  zmodfzo  10282  zmodid2  10287  zmodidfzo  10288  modfzo0difsn  10330  mulexpzap  10495  nnesq  10574  expnlbnd  10579  expnlbnd2  10580  nn0ltexp2  10623  facdiv  10651  faclbnd  10654  bc0k  10669  bcval5  10676  seq3coll  10755  caucvgrelemcau  10922  resqrexlemlo  10955  resqrexlemcalc3  10958  resqrexlemgt0  10962  absexpzap  11022  climuni  11234  fsum3  11328  arisum  11439  trireciplem  11441  expcnvap0  11443  geo2sum  11455  geo2lim  11457  0.999...  11462  geoihalfsum  11463  cvgratz  11473  zproddc  11520  fprodseq  11524  prod1dc  11527  dvdsval3  11731  nndivdvds  11736  modmulconst  11763  dvdsle  11782  dvdsssfz1  11790  fzm1ndvds  11794  dvdsfac  11798  oexpneg  11814  nnoddm1d2  11847  divalg2  11863  divalgmod  11864  modremain  11866  ndvdsadd  11868  nndvdslegcd  11898  divgcdz  11904  divgcdnn  11908  divgcdnnr  11909  modgcd  11924  gcddiv  11952  gcdmultiple  11953  gcdmultiplez  11954  gcdzeq  11955  gcdeq  11956  rpmulgcd  11959  rplpwr  11960  rppwr  11961  sqgcd  11962  dvdssqlem  11963  dvdssq  11964  eucalginv  11988  lcmgcdlem  12009  lcmgcdnn  12014  lcmass  12017  coprmgcdb  12020  qredeq  12028  qredeu  12029  cncongr1  12035  cncongr2  12036  1idssfct  12047  isprm2lem  12048  isprm3  12050  isprm4  12051  prmind2  12052  prmdc  12062  divgcdodd  12075  isprm6  12079  sqrt2irr  12094  pw2dvds  12098  sqrt2irraplemnn  12111  divnumden  12128  divdenle  12129  nn0gcdsq  12132  phivalfi  12144  phicl2  12146  phiprmpw  12154  hashgcdlem  12170  hashgcdeq  12171  phisum  12172  nnoddn2prm  12192  pythagtriplem2  12198  pythagtriplem3  12199  pythagtriplem4  12200  pythagtriplem6  12202  pythagtriplem7  12203  pythagtriplem8  12204  pythagtriplem9  12205  pythagtriplem11  12206  pythagtriplem13  12208  pythagtriplem15  12210  pythagtriplem19  12214  pythagtrip  12215  pceu  12227  pccl  12231  pcdiv  12234  pcqcl  12238  pcdvds  12246  pcndvds  12248  pcndvds2  12250  pcelnn  12252  pcz  12263  pcmpt  12273  fldivp1  12278  pcfac  12280  infpnlem1  12289  infpnlem2  12290  prmunb  12292  1arith  12297  oddennn  12325  evenennn  12326  unennn  12330  rpcxproot  13474  logbgcd1irr  13525  lgsval  13545  lgsval4a  13563  lgssq2  13582  trilpolemcl  13916