Theorem crngpropd 13595

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a commutative ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ringpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ringpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ringpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
crngpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem crngpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringpropd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
3		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4	2, 3	mgpbasg 13482	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
5	1, 4	sylan9eq 2249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6		ringpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
8		ringpropd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
9		ringpropd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
10	1, 6, 8, 9	ringpropd 13594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
11	10	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐿 ∈ Ring)
12		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
13		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
14	12, 13	mgpbasg 13482	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
15	11, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
16	7, 15	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
17	9	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
18		eqid 2196	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
19	2, 18	mgpplusgg 13480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
21	20	oveqdr 5950	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
22		eqid 2196	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
23	12, 22	mgpplusgg 13480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
24	11, 23	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
25	24	oveqdr 5950	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
26	17, 21, 25	3eqtr3d 2237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
27	5, 16, 26	cmnpropd 13425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → ((mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd ↔ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
28	27	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
29	10	anbi1d 465	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
30	28, 29	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
31	2	iscrng 13559	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ CRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd))
32	12	iscrng 13559	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ CRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
33	30, 31, 32	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  CMndccmn 13414  mulGrpcmgp 13476  Ringcrg 13552  CRingccrg 13553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-cmn 13416  df-mgp 13477  df-ring 13554  df-cring 13555

This theorem is referenced by:  zncrng  14201