Theorem crngpropd 14051

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a commutative ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ringpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ringpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ringpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
crngpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem crngpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringpropd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
3		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4	2, 3	mgpbasg 13938	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
5	1, 4	sylan9eq 2284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6		ringpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
8		ringpropd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
9		ringpropd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
10	1, 6, 8, 9	ringpropd 14050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
11	10	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐿 ∈ Ring)
12		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
13		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
14	12, 13	mgpbasg 13938	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
15	11, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
16	7, 15	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
17	9	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
18		eqid 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
19	2, 18	mgpplusgg 13936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
21	20	oveqdr 6045	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
22		eqid 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
23	12, 22	mgpplusgg 13936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
24	11, 23	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
25	24	oveqdr 6045	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
26	17, 21, 25	3eqtr3d 2272	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
27	5, 16, 26	cmnpropd 13881	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → ((mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd ↔ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
28	27	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
29	10	anbi1d 465	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
30	28, 29	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
31	2	iscrng 14015	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ CRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd))
32	12	iscrng 14015	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ CRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
33	30, 31, 32	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Basecbs 13081  +_gcplusg 13159  ._rcmulr 13160  CMndccmn 13870  mulGrpcmgp 13932  Ringcrg 14008  CRingccrg 14009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-cmn 13872  df-mgp 13933  df-ring 14010  df-cring 14011

This theorem is referenced by:  zncrng  14658