Theorem crngpropd 14282

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a commutative ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ringpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ringpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ringpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
crngpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem crngpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringpropd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
3		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4	2, 3	mgpbasg 14165	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
5	1, 4	sylan9eq 2287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6		ringpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
8		ringpropd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
9		ringpropd.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
10	1, 6, 8, 9	ringpropd 14281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
11	10	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐿 ∈ Ring)
12		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
13		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
14	12, 13	mgpbasg 14165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
15	11, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
16	7, 15	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
17	9	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
18		eqid 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
19	2, 18	mgpplusgg 14163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾)))
21	20	oveqdr 6086	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))
22		eqid 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
23	12, 22	mgpplusgg 14163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ Ring → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
24	11, 23	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿)))
25	24	oveqdr 6086	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
26	17, 21, 25	3eqtr3d 2275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
27	5, 16, 26	cmnpropd 14048	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → ((mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd ↔ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
28	27	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
29	10	anbi1d 465	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
30	28, 29	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd)))
31	2	iscrng 14246	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ CRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd))
32	12	iscrng 14246	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ CRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝐿) ∈ CMnd))
33	30, 31, 32	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CRing ↔ 𝐿 ∈ CRing))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  ._rcmulr 13375  CMndccmn 14037  mulGrpcmgp 14159  Ringcrg 14239  CRingccrg 14240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-cmn 14039  df-mgp 14160  df-ring 14241  df-cring 14242

This theorem is referenced by:  zncrng  14919