ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rspsn GIF version

Theorem rspsn 14090
Description: Membership in principal ideals is closely related to divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rspsn.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspsn.k 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspsn.d = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
rspsn ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐺   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,

Proof of Theorem rspsn
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2198 . . . . 5 (𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r𝑅)𝐺) = 𝑥)
21a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r𝑅)𝐺) = 𝑥))
32rexbidv 2498 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (∃𝑎𝐵 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎𝐵 (𝑎(.r𝑅)𝐺) = 𝑥))
4 rlmlmod 14020 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
5 simpr 110 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
6 rspsn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 rlmbasg 14011 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
86, 7eqtrid 2241 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
98adantr 276 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
105, 9eleqtrd 2275 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
11 eqid 2196 . . . . . 6 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
12 eqid 2196 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
13 eqid 2196 . . . . . 6 (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
14 eqid 2196 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
15 eqid 2196 . . . . . 6 (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
1611, 12, 13, 14, 15ellspsn 13973 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
174, 10, 16syl2an2r 595 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
18 rspsn.k . . . . . . . 8 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
19 rspvalg 14028 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
2018, 19eqtrid 2241 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
2120adantr 276 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
2221fveq1d 5560 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}))
2322eleq2d 2266 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺})))
24 rlmscabas 14016 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
256, 24eqtrid 2241 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
2625adantr 276 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
27 rlmvscag 14017 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
2827adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
2928oveqd 5939 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝑎(.r𝑅)𝐺) = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺))
3029eqeq2d 2208 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝐺) ↔ 𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
3126, 30rexeqbidv 2710 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (∃𝑎𝐵 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
3217, 23, 313bitr4d 220 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎𝐵 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝐺)))
336a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
34 rspsn.d . . . . 5 = (∥r𝑅)
3534a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → = (∥r𝑅))
36 ringsrg 13603 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
3736adantr 276 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
38 eqid 2196 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3938a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (.r𝑅) = (.r𝑅))
4033, 35, 37, 39, 5dvdsr2d 13651 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺 𝑥 ↔ ∃𝑎𝐵 (𝑎(.r𝑅)𝐺) = 𝑥))
413, 32, 403bitr4d 220 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 𝑥))
4241eqabdv 2325 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2167  {cab 2182  wrex 2476  {csn 3622   class class class wbr 4033  cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  .rcmulr 12756  Scalarcsca 12758   ·𝑠 cvsca 12759  SRingcsrg 13519  Ringcrg 13552  rcdsr 13642  LModclmod 13843  LSpanclspn 13942  ringLModcrglmod 13990  RSpancrsp 14024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-subg 13300  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-dvdsr 13645  df-subrg 13775  df-lmod 13845  df-lssm 13909  df-lsp 13943  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-rsp 14026
This theorem is referenced by:  zndvds  14205
  Copyright terms: Public domain W3C validator