Theorem rspsn 14843

Description: Membership in principal ideals is closely related to divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspsn.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspsn.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspsn	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐺   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥, ∥

Proof of Theorem rspsn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
3	2	rexbidv 2551	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
4		rlmlmod 14773	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
5		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
6		rspsn.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rlmbasg 14764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
8	6, 7	eqtrid 2283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
10	5, 9	eleqtrd 2317	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
11		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
12		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
13		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
14		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
15		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
16	11, 12, 13, 14, 15	ellspsn 14726	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
17	4, 10, 16	syl2an2r 603	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
18		rspsn.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
19		rspvalg 14781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
20	18, 19	eqtrid 2283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
21	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
22	21	fveq1d 5692	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}))
23	22	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺})))
24		rlmscabas 14769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
25	6, 24	eqtrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
26	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
27		rlmvscag 14770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
29	28	oveqd 6092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺))
30	29	eqeq2d 2250	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ 𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
31	26, 30	rexeqbidv 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
32	17, 23, 31	3bitr4d 220	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺)))
33	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
34		rspsn.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
35	34	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ∥ = (∥r‘𝑅))
36		ringsrg 14325	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
37	36	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
38		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	38	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
40	33, 35, 37, 39, 5	dvdsr2d 14375	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
41	3, 32, 40	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
42	41	eqabdv 2369	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∃wrex 2529  {csn 3705   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330  ._rcmulr 13409  Scalarcsca 13411   ·_𝑠 cvsca 13412  SRingcsrg 14241  Ringcrg 14274  ∥_rcdsr 14365  LModclmod 14596  LSpanclspn 14695  ringLModcrglmod 14743  RSpancrsp 14777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-ip 13426  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787  df-subg 13950  df-cmn 14066  df-abl 14067  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-srg 14242  df-ring 14276  df-dvdsr 14368  df-subrg 14500  df-lmod 14598  df-lssm 14662  df-lsp 14696  df-sra 14744  df-rgmod 14745  df-rsp 14779

This theorem is referenced by:  zndvds  14956