Theorem rspsn 14498

Description: Membership in principal ideals is closely related to divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspsn.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspsn.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspsn	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐺   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥, ∥

Proof of Theorem rspsn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
3	2	rexbidv 2531	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
4		rlmlmod 14428	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
5		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
6		rspsn.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rlmbasg 14419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
8	6, 7	eqtrid 2274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
10	5, 9	eleqtrd 2308	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
11		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
12		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
13		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
14		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
15		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
16	11, 12, 13, 14, 15	ellspsn 14381	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
17	4, 10, 16	syl2an2r 597	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
18		rspsn.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
19		rspvalg 14436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
20	18, 19	eqtrid 2274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
21	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
22	21	fveq1d 5629	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}))
23	22	eleq2d 2299	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺})))
24		rlmscabas 14424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
25	6, 24	eqtrid 2274	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
26	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
27		rlmvscag 14425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
29	28	oveqd 6018	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺))
30	29	eqeq2d 2241	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ 𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
31	26, 30	rexeqbidv 2745	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
32	17, 23, 31	3bitr4d 220	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺)))
33	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
34		rspsn.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
35	34	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ∥ = (∥r‘𝑅))
36		ringsrg 14010	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
37	36	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
38		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	38	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
40	33, 35, 37, 39, 5	dvdsr2d 14059	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
41	3, 32, 40	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
42	41	eqabdv 2358	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∃wrex 2509  {csn 3666   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  Basecbs 13032  ._rcmulr 13111  Scalarcsca 13113   ·_𝑠 cvsca 13114  SRingcsrg 13926  Ringcrg 13959  ∥_rcdsr 14049  LModclmod 14251  LSpanclspn 14350  ringLModcrglmod 14398  RSpancrsp 14432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-sca 13126  df-vsca 13127  df-ip 13128  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-sbg 13538  df-subg 13707  df-cmn 13823  df-abl 13824  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-srg 13927  df-ring 13961  df-dvdsr 14052  df-subrg 14183  df-lmod 14253  df-lssm 14317  df-lsp 14351  df-sra 14399  df-rgmod 14400  df-rsp 14434

This theorem is referenced by:  zndvds  14613