Theorem rspsn 14100

Description: Membership in principal ideals is closely related to divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspsn.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspsn.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspsn	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐺   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥, ∥

Proof of Theorem rspsn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2198	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
3	2	rexbidv 2498	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
4		rlmlmod 14030	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
5		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
6		rspsn.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rlmbasg 14021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
8	6, 7	eqtrid 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
10	5, 9	eleqtrd 2275	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
11		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
12		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
13		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
14		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
15		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
16	11, 12, 13, 14, 15	ellspsn 13983	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
17	4, 10, 16	syl2an2r 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
18		rspsn.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
19		rspvalg 14038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
20	18, 19	eqtrid 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
21	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
22	21	fveq1d 5561	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}))
23	22	eleq2d 2266	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺})))
24		rlmscabas 14026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
25	6, 24	eqtrid 2241	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
26	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
27		rlmvscag 14027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
29	28	oveqd 5940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺))
30	29	eqeq2d 2208	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ 𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
31	26, 30	rexeqbidv 2710	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
32	17, 23, 31	3bitr4d 220	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺)))
33	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
34		rspsn.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
35	34	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ∥ = (∥r‘𝑅))
36		ringsrg 13613	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
37	36	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
38		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	38	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
40	33, 35, 37, 39, 5	dvdsr2d 13661	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
41	3, 32, 40	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
42	41	eqabdv 2325	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ∃wrex 2476  {csn 3623   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  Basecbs 12688  ._rcmulr 12766  Scalarcsca 12768   ·_𝑠 cvsca 12769  SRingcsrg 13529  Ringcrg 13562  ∥_rcdsr 13652  LModclmod 13853  LSpanclspn 13952  ringLModcrglmod 14000  RSpancrsp 14034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-iress 12696  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-sca 12781  df-vsca 12782  df-ip 12783  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-grp 13145  df-minusg 13146  df-sbg 13147  df-subg 13310  df-cmn 13426  df-abl 13427  df-mgp 13487  df-ur 13526  df-srg 13530  df-ring 13564  df-dvdsr 13655  df-subrg 13785  df-lmod 13855  df-lssm 13919  df-lsp 13953  df-sra 14001  df-rgmod 14002  df-rsp 14036

This theorem is referenced by:  zndvds  14215