Theorem rspsn 14567

Description: Membership in principal ideals is closely related to divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspsn.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspsn.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspsn	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐺   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥, ∥

Proof of Theorem rspsn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
3	2	rexbidv 2533	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
4		rlmlmod 14497	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
5		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
6		rspsn.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rlmbasg 14488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
8	6, 7	eqtrid 2276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
10	5, 9	eleqtrd 2310	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
11		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
12		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
13		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
14		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
15		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
16	11, 12, 13, 14, 15	ellspsn 14450	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘(ringLMod‘𝑅))) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
17	4, 10, 16	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
18		rspsn.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
19		rspvalg 14505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
20	18, 19	eqtrid 2276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
21	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
22	21	fveq1d 5641	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺}))
23	22	eleq2d 2301	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{𝐺})))
24		rlmscabas 14493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
25	6, 24	eqtrid 2276	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
26	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
27		rlmvscag 14494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
29	28	oveqd 6035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺))
30	29	eqeq2d 2243	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ 𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
31	26, 30	rexeqbidv 2747	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝑥 = (𝑎( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝐺)))
32	17, 23, 31	3bitr4d 220	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺)))
33	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
34		rspsn.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
35	34	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ∥ = (∥r‘𝑅))
36		ringsrg 14079	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
37	36	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
38		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	38	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
40	33, 35, 37, 39, 5	dvdsr2d 14128	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
41	3, 32, 40	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
42	41	eqabdv 2360	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ∃wrex 2511  {csn 3669   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13100  ._rcmulr 13179  Scalarcsca 13181   ·_𝑠 cvsca 13182  SRingcsrg 13995  Ringcrg 14028  ∥_rcdsr 14118  LModclmod 14320  LSpanclspn 14419  ringLModcrglmod 14467  RSpancrsp 14501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-iress 13108  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-ip 13196  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-sbg 13606  df-subg 13775  df-cmn 13891  df-abl 13892  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-srg 13996  df-ring 14030  df-dvdsr 14121  df-subrg 14252  df-lmod 14322  df-lssm 14386  df-lsp 14420  df-sra 14468  df-rgmod 14469  df-rsp 14503

This theorem is referenced by:  zndvds  14682