Theorem lidlrsppropdg 13828

Description: The left ideals and ring span of a ring depend only on the ring components. Here 𝑊 is expected to be either 𝐵 (when closure is available) or V (when strong equality is available). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lidlpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lidlpropd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
lidlpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lidlpropd.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lidlpropd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
lidlpropdg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
lidlpropdg.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
lidlrsppropdg	⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lidlrsppropdg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lidlpropdg.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
3		rlmbasg 13788	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑋 → (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
5	1, 4	eqtrd 2222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
6		lidlpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7		lidlpropdg.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑌)
8		rlmbasg 13788	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑌 → (Base‘𝐿) = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
10	6, 9	eqtrd 2222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
11		lidlpropd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
12		lidlpropd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
13		rlmplusgg 13789	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑋 → (+g‘𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾)))
14	2, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾)))
15	14	oveqdr 5925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦))
16		rlmplusgg 13789	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑌 → (+g‘𝐿) = (+g‘(ringLMod‘𝐿)))
17	7, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐿) = (+g‘(ringLMod‘𝐿)))
18	17	oveqdr 5925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
19	12, 15, 18	3eqtr3d 2230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
20		rlmvscag 13794	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑋 → (.r‘𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾)))
21	2, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾)))
22	21	oveqdr 5925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦))
23		lidlpropd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
24	22, 23	eqeltrrd 2267	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) ∈ 𝑊)
25		lidlpropd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
26		rlmvscag 13794	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑌 → (.r‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿)))
27	7, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐿) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿)))
28	27	oveqdr 5925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
29	25, 22, 28	3eqtr3d 2230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
30		rlmscabas 13793	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑋 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
31	2, 30	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
32	1, 31	eqtrd 2222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
33		rlmscabas 13793	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑌 → (Base‘𝐿) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
34	7, 33	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐿) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
35	6, 34	eqtrd 2222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
36		rlmfn 13786	. . . . 5 ⊢ ringLMod Fn V
37	2	elexd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
38		funfvex 5551	. . . . . 6 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝐾 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
39	38	funfni 5335	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝐾 ∈ V) → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
40	36, 37, 39	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
41	7	elexd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
42		funfvex 5551	. . . . . 6 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝐿 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
43	42	funfni 5335	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝐿 ∈ V) → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
44	36, 41, 43	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
45	5, 10, 11, 19, 24, 29, 32, 35, 40, 44	lsspropdg 13764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
46		lidlvalg 13804	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑋 → (LIdeal‘𝐾) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)))
47	2, 46	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝐾) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)))
48		lidlvalg 13804	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑌 → (LIdeal‘𝐿) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
49	7, 48	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝐿) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
50	45, 47, 49	3eqtr4d 2232	. 2 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿))
51	5, 10, 11, 19, 24, 29, 32, 35, 40, 44	lsppropd 13765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
52		rspvalg 13805	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑋 → (RSpan‘𝐾) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)))
53	2, 52	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (RSpan‘𝐾) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)))
54		rspvalg 13805	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ 𝑌 → (RSpan‘𝐿) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
55	7, 54	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (RSpan‘𝐿) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
56	51, 53, 55	3eqtr4d 2232	. 2 ⊢ (𝜑 → (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿))
57	50, 56	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144   Fn wfn 5230  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  Basecbs 12515  +_gcplusg 12592  ._rcmulr 12593  Scalarcsca 12595   ·_𝑠 cvsca 12596  LSubSpclss 13685  LSpanclspn 13719  ringLModcrglmod 13767  LIdealclidl 13800  RSpancrsp 13801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-iress 12523  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-sca 12608  df-vsca 12609  df-ip 12610  df-lssm 13686  df-lsp 13720  df-sra 13768  df-rgmod 13769  df-lidl 13802  df-rsp 13803

This theorem is referenced by:  crngridl  13861