ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srabaseg GIF version

Theorem srabaseg 13723
Description: Base set of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
srapart.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
srapart.ex (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
srabaseg (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π΄))

Proof of Theorem srabaseg
StepHypRef Expression
1 srapart.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
2 srapart.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3 srapart.ex . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑋)
4 baseslid 12544 . 2 (Base = Slot (Baseβ€˜ndx) ∧ (Baseβ€˜ndx) ∈ β„•)
5 scandxnbasendx 12638 . 2 (Scalarβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
6 vscandxnbasendx 12643 . 2 ( ·𝑠 β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
7 ipndxnbasendx 12656 . 2 (Β·π‘–β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sralemg 13722 1 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π΄))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   βŠ† wss 3144  β€˜cfv 5232  Basecbs 12487  subringAlg csra 13717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-ltadd 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-ltxr 8017  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-5 9001  df-6 9002  df-7 9003  df-8 9004  df-ndx 12490  df-slot 12491  df-base 12493  df-sets 12494  df-iress 12495  df-mulr 12576  df-sca 12578  df-vsca 12579  df-ip 12580  df-sra 13719
This theorem is referenced by:  sratopng  13731  sraring  13733  sralmod  13734  sralmod0g  13735  rlmbasg  13739
  Copyright terms: Public domain W3C validator