Theorem 0exp0e1 14131

Description: The zeroth power of zero equals one. See comment of exp0 14130. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0exp0e1	⊢ (0↑0) = 1

Proof of Theorem 0exp0e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11223	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		exp0 14130	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → (0↑0) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0↑0) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126  ↑cexp 14126

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-i2m1 11193  ax-rnegex 11196  ax-cnre 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-neg 11469  df-z 12617  df-seq 14067  df-exp 14127

This theorem is used by:  faclbnd  14355  faclbnd3  14357  faclbnd4lem3  14360  facubnd  14365  ef0lem  16165  nn0expgcd  16655  coefv0  26475  tayl0  26599  cxpexp  26906  musum  27428  logexprlim  27462  etransclem14  47077  exple2lt6  49295