Theorem 0exp0e1 14122

Description: The zeroth power of zero equals one. See comment of exp0 14121. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0exp0e1	⊢ (0↑0) = 1

Proof of Theorem 0exp0e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11215	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		exp0 14121	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → (0↑0) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (0↑0) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117  1c1 11118  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-i2m1 11185  ax-rnegex 11188  ax-cnre 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-neg 11461  df-z 12609  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  faclbnd  14346  faclbnd3  14348  faclbnd4lem3  14351  facubnd  14356  ef0lem  16156  nn0expgcd  16646  coefv0  26458  tayl0  26578  cxpexp  26886  musum  27408  logexprlim  27442  etransclem14  47022  exple2lt6  49203