Theorem exp1 14135

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
exp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12272	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		expnnval 14132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
3	1, 2	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
4		1z 12652	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		seq1 14082	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1)
7	3, 6	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
8		fvconst2g 7205	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
9	1, 8	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
10	7, 9	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  1c1 11129   · cmul 11133  ℕcn 12261  ℤcz 12619  seqcseq 14069  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by:  expp1  14136  expn1  14139  expcllem  14140  expeq0  14160  expp1z  14179  expm1  14180  sqval  14182  exp1d  14209  expmordi  14235  expnbnd  14300  digit1  14305  faclbnd4lem1  14361  climcndslem1  15942  climcndslem2  15943  geoisum1  15972  bpoly1  16143  ef4p  16207  efgt1p2  16208  efgt1p  16209  rpnnen2lem3  16310  modxp1i  17168  numexp1  17174  psgnpmtr  19643  lt6abl  20028  cphipval  25477  iblcnlem1  26022  itgcnlem  26024  dvexp  26187  dveflem  26213  plyid  26441  coeidp  26496  dgrid  26497  cxp1  26916  1cubrlem  27086  1cubr  27087  log2ublem3  27193  basellem5  27329  perfectlem2  27474  logdivsum  27777  log2sumbnd  27788  ipval2  31196  0dp2dp  33362  cos9thpiminplylem5  34304  subfacval2  35774  dvasin  38461  areacirclem1  38465  goldratmolem2  47759  1t10e1p1e11  48206  fmtnoge3  48441  fmtno0  48451  fmtno1  48452  lighneallem2  48517  lighneallem3  48518  41prothprmlem2  48529  perfectALTVlem2  48646  8exp8mod9  48660  tgblthelfgott  48739  exple2lt6  49302  pw2m1lepw2m1  49458  logbpw2m1  49505  nnpw2pmod  49521