Theorem exp1 13990

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
exp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12156	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		expnnval 13987	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
4		1z 12521	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		seq1 13937	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1)
7	3, 6	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
8		fvconst2g 7148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
9	1, 8	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
10	7, 9	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   · cmul 11031  ℕcn 12145  ℤcz 12488  seqcseq 13924  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  expp1  13991  expn1  13994  expcllem  13995  expeq0  14015  expp1z  14034  expm1  14035  sqval  14037  exp1d  14064  expmordi  14090  expnbnd  14155  digit1  14160  faclbnd4lem1  14216  climcndslem1  15772  climcndslem2  15773  geoisum1  15802  bpoly1  15974  ef4p  16038  efgt1p2  16039  efgt1p  16040  rpnnen2lem3  16141  modxp1i  16998  numexp1  17004  psgnpmtr  19439  lt6abl  19824  cphipval  25199  iblcnlem1  25745  itgcnlem  25747  dvexp  25913  dveflem  25939  plyid  26170  coeidp  26225  dgrid  26226  cxp1  26636  1cubrlem  26807  1cubr  26808  log2ublem3  26914  basellem5  27051  perfectlem2  27197  logdivsum  27500  log2sumbnd  27511  ipval2  30782  0dp2dp  32990  cos9thpiminplylem5  33943  subfacval2  35381  dvasin  37901  areacirclem1  37905  1t10e1p1e11  47552  fmtnoge3  47772  fmtno0  47782  fmtno1  47783  lighneallem2  47848  lighneallem3  47849  41prothprmlem2  47860  perfectALTVlem2  47964  8exp8mod9  47978  tgblthelfgott  48057  exple2lt6  48606  pw2m1lepw2m1  48762  logbpw2m1  48809  nnpw2pmod  48825