Theorem exp1 14213

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
exp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12349	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		expnnval 14210	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
3	1, 2	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
4		1z 12729	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		seq1 14160	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1)
7	3, 6	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
8		fvconst2g 7208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
9	1, 8	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
10	7, 9	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  1c1 11204   · cmul 11208  ℕcn 12338  ℤcz 12696  seqcseq 14147  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  expp1  14214  expn1  14217  expcllem  14218  expeq0  14238  expp1z  14257  expm1  14258  sqval  14260  exp1d  14287  expmordi  14313  expnbnd  14379  digit1  14384  faclbnd4lem1  14440  climcndslem1  16023  climcndslem2  16024  geoisum1  16053  bpoly1  16222  ef4p  16286  efgt1p2  16287  efgt1p  16288  rpnnen2lem3  16389  modxp1i  17253  numexp1  17259  psgnpmtr  19729  lt6abl  20114  cphipval  25569  iblcnlem1  26113  itgcnlem  26115  dvexp  26278  dveflem  26304  plyid  26532  coeidp  26587  dgrid  26588  cxp1  27004  1cubrlem  27174  1cubr  27175  log2ublem3  27281  basellem5  27417  perfectlem2  27562  logdivsum  27865  log2sumbnd  27876  fltoprmlem2  27999  ipval2  31314  0dp2dp  33521  cos9thpiminplylem5  34464  subfacval2  36038  dvasin  38715  areacirclem1  38719  goldratmolem2  48026  1t10e1p1e11  48473  fmtnoge3  48708  fmtno0  48718  fmtno1  48719  lighneallem2  48784  lighneallem3  48785  41prothprmlem2  48796  perfectALTVlem2  48913  8exp8mod9  48927  tgblthelfgott  49006  exple2lt6  49569  pw2m1lepw2m1  49725  logbpw2m1  49772  nnpw2pmod  49788