Theorem exp1 14028

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
exp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12218	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		expnnval 14025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
4		1z 12587	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		seq1 13974	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1)
7	3, 6	eqtrdi 2789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
8		fvconst2g 7197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
9	1, 8	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
10	7, 9	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4626   × cxp 5672  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  ℂcc 11103  1c1 11106   · cmul 11110  ℕcn 12207  ℤcz 12553  seqcseq 13961  ↑cexp 14022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-seq 13962  df-exp 14023

This theorem is referenced by:  expp1  14029  expn1  14032  expcllem  14033  expeq0  14053  expp1z  14072  expm1  14073  sqval  14075  exp1d  14101  expmordi  14127  expnbnd  14190  digit1  14195  faclbnd4lem1  14248  climcndslem1  15790  climcndslem2  15791  geoisum1  15820  bpoly1  15990  ef4p  16051  efgt1p2  16052  efgt1p  16053  rpnnen2lem3  16154  modxp1i  16998  numexp1  17005  psgnpmtr  19370  lt6abl  19754  cphipval  24741  iblcnlem1  25286  itgcnlem  25288  dvexp  25451  dveflem  25477  plyid  25704  coeidp  25758  dgrid  25759  cxp1  26160  1cubrlem  26325  1cubr  26326  log2ublem3  26432  basellem5  26568  perfectlem2  26712  logdivsum  27015  log2sumbnd  27026  ipval2  29937  0dp2dp  32052  subfacval2  34115  dvasin  36509  areacirclem1  36513  1t10e1p1e11  45952  fmtnoge3  46132  fmtno0  46142  fmtno1  46143  lighneallem2  46208  lighneallem3  46209  41prothprmlem2  46220  perfectALTVlem2  46324  8exp8mod9  46338  tgblthelfgott  46417  exple2lt6  46941  pw2m1lepw2m1  47102  logbpw2m1  47154  nnpw2pmod  47170