Theorem exp1 13788

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
exp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11984	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		expnnval 13785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
3	1, 2	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
4		1z 12350	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		seq1 13734	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1)
7	3, 6	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
8		fvconst2g 7077	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
9	1, 8	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
10	7, 9	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   · cmul 10876  ℕcn 11973  ℤcz 12319  seqcseq 13721  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  expp1  13789  expn1  13792  expcllem  13793  expeq0  13813  expp1z  13832  expm1  13833  sqval  13835  exp1d  13859  expmordi  13885  expnbnd  13947  digit1  13952  faclbnd4lem1  14007  climcndslem1  15561  climcndslem2  15562  geoisum1  15591  bpoly1  15761  ef4p  15822  efgt1p2  15823  efgt1p  15824  rpnnen2lem3  15925  modxp1i  16771  numexp1  16778  psgnpmtr  19118  lt6abl  19496  cphipval  24407  iblcnlem1  24952  itgcnlem  24954  dvexp  25117  dveflem  25143  plyid  25370  coeidp  25424  dgrid  25425  cxp1  25826  1cubrlem  25991  1cubr  25992  log2ublem3  26098  basellem5  26234  perfectlem2  26378  logdivsum  26681  log2sumbnd  26692  ipval2  29069  0dp2dp  31183  subfacval2  33149  dvasin  35861  areacirclem1  35865  1t10e1p1e11  44802  fmtnoge3  44982  fmtno0  44992  fmtno1  44993  lighneallem2  45058  lighneallem3  45059  41prothprmlem2  45070  perfectALTVlem2  45174  8exp8mod9  45188  tgblthelfgott  45267  exple2lt6  45700  pw2m1lepw2m1  45861  logbpw2m1  45913  nnpw2pmod  45929