Theorem faclbnd3 14215

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12403	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		nnre 12152	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
4		nnge1 12173	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑀)
6		nn0z 12512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		uzid 12766	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9		peano2uz 12814	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
11	3, 5, 10	leexp2ad 14177	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)))
12		nnnn0 12408	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
13		faclbnd 14213	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
14	12, 13	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
15		nn0re 12410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
16		reexpcl 14001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
17	15, 16	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
18		peano2nn0 12441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19		reexpcl 14001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
20	15, 18, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
21		reexpcl 14001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
22	15, 21	mpancom 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
23		faccl 14206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
25		remulcl 11111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
26	22, 24, 25	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
27		letr 11227	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
28	17, 20, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
29	12, 28	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
30	11, 14, 29	mp2and 699	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
31		elnn0 12403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32		0exp 14020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
33		0le1 11660	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
34	32, 33	eqbrtrdi 5137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) ≤ 1)
35		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) = (0↑0))
36		0exp0e1 13989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
37		1le1 11765	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 1
38	36, 37	eqbrtri 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑0) ≤ 1
39	35, 38	eqbrtrdi 5137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
40	34, 39	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0↑𝑁) ≤ 1)
41	31, 40	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
42		1nn 12156	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
43		nnmulcl 12169	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
44	42, 23, 43	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
45	44	nnge1d 12193	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (!‘𝑁)))
46		0re 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		reexpcl 14001	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
48	46, 47	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
49		1re 11132	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
50		remulcl 11111	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
51	49, 24, 50	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52		letr 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
53	49, 52	mp3an2 1451	. . . . . . 7 ⊢ (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
54	48, 51, 53	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
55	41, 45, 54	mp2and 699	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
56	55	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
57		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑁) = (0↑𝑁))
58		oveq12 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
59	58	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
60	59, 36	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = 1)
61	60	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁)))
62	57, 61	breq12d 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
63	62	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
64	56, 63	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
65	30, 64	jaoian 958	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
66	1, 65	sylanb 581	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ↑cexp 13984  !cfa 14196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14219