MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd3 14251
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 12473 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
2 nnre 12218 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
32adantr 481 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
4 nnge1 12239 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
54adantr 481 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
6 nn0z 12582 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
76adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
8 uzid 12836 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
9 peano2uz 12884 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
113, 5, 10leexp2ad 14216 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)))
12 nnnn0 12478 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
13 faclbnd 14249 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
1412, 13sylan 580 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
15 nn0re 12480 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
16 reexpcl 14043 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
1715, 16sylan 580 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
18 peano2nn0 12511 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
19 reexpcl 14043 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
2015, 18, 19syl2an 596 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
21 reexpcl 14043 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
2215, 21mpancom 686 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
23 faccl 14242 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2423nnred 12226 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
25 remulcl 11194 . . . . . . 7 (((๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
2622, 24, 25syl2an 596 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
27 letr 11307 . . . . . 6 (((๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
2817, 20, 26, 27syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
2912, 28sylan 580 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
3011, 14, 29mp2and 697 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
31 elnn0 12473 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
32 0exp 14062 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) = 0)
33 0le1 11736 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
3432, 33eqbrtrdi 5187 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
35 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ (0โ†‘๐‘) = (0โ†‘0))
36 0exp0e1 14031 . . . . . . . . . 10 (0โ†‘0) = 1
37 1le1 11841 . . . . . . . . . 10 1 โ‰ค 1
3836, 37eqbrtri 5169 . . . . . . . . 9 (0โ†‘0) โ‰ค 1
3935, 38eqbrtrdi 5187 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
4034, 39jaoi 855 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
4131, 40sylbi 216 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
42 1nn 12222 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
43 nnmulcl 12235 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„• โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
4442, 23, 43sylancr 587 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
4544nnge1d 12259 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
46 0re 11215 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
47 reexpcl 14043 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
4846, 47mpan 688 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
49 1re 11213 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
50 remulcl 11194 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
5149, 24, 50sylancr 587 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
52 letr 11307 . . . . . . . 8 (((0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5349, 52mp3an2 1449 . . . . . . 7 (((0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5448, 51, 53syl2anc 584 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5541, 45, 54mp2and 697 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
5655adantl 482 . . . 4 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
57 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) = (0โ†‘๐‘))
58 oveq12 7417 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = (0โ†‘0))
5958anidms 567 . . . . . . . 8 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = (0โ†‘0))
6059, 36eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = 1)
6160oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) = (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
6257, 61breq12d 5161 . . . . 5 (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
6362adantr 481 . . . 4 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
6456, 63mpbird 256 . . 3 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
6530, 64jaoian 955 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
661, 65sylanb 581 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11248  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„คโ‰ฅcuz 12821  โ†‘cexp 14026  !cfa 14232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14255
  Copyright terms: Public domain W3C validator