MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd3 14293
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 12514 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
2 nnre 12259 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
32adantr 479 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
4 nnge1 12280 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
54adantr 479 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
6 nn0z 12623 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
76adantl 480 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
8 uzid 12877 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
9 peano2uz 12925 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
113, 5, 10leexp2ad 14258 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)))
12 nnnn0 12519 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
13 faclbnd 14291 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
1412, 13sylan 578 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
15 nn0re 12521 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
16 reexpcl 14085 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
1715, 16sylan 578 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
18 peano2nn0 12552 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
19 reexpcl 14085 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
2015, 18, 19syl2an 594 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
21 reexpcl 14085 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
2215, 21mpancom 686 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
23 faccl 14284 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2423nnred 12267 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
25 remulcl 11233 . . . . . . 7 (((๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
2622, 24, 25syl2an 594 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
27 letr 11348 . . . . . 6 (((๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
2817, 20, 26, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
2912, 28sylan 578 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
3011, 14, 29mp2and 697 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
31 elnn0 12514 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
32 0exp 14104 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) = 0)
33 0le1 11777 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
3432, 33eqbrtrdi 5191 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
35 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ (0โ†‘๐‘) = (0โ†‘0))
36 0exp0e1 14073 . . . . . . . . . 10 (0โ†‘0) = 1
37 1le1 11882 . . . . . . . . . 10 1 โ‰ค 1
3836, 37eqbrtri 5173 . . . . . . . . 9 (0โ†‘0) โ‰ค 1
3935, 38eqbrtrdi 5191 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
4034, 39jaoi 855 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
4131, 40sylbi 216 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
42 1nn 12263 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
43 nnmulcl 12276 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„• โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
4442, 23, 43sylancr 585 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
4544nnge1d 12300 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
46 0re 11256 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
47 reexpcl 14085 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
4846, 47mpan 688 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
49 1re 11254 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
50 remulcl 11233 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
5149, 24, 50sylancr 585 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
52 letr 11348 . . . . . . . 8 (((0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5349, 52mp3an2 1445 . . . . . . 7 (((0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5448, 51, 53syl2anc 582 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5541, 45, 54mp2and 697 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
5655adantl 480 . . . 4 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
57 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) = (0โ†‘๐‘))
58 oveq12 7435 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = (0โ†‘0))
5958anidms 565 . . . . . . . 8 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = (0โ†‘0))
6059, 36eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = 1)
6160oveq1d 7441 . . . . . 6 (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) = (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
6257, 61breq12d 5165 . . . . 5 (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
6362adantr 479 . . . 4 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
6456, 63mpbird 256 . . 3 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
6530, 64jaoian 954 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
661, 65sylanb 579 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   โ‰ค cle 11289  โ„•cn 12252  โ„•0cn0 12512  โ„คcz 12598  โ„คโ‰ฅcuz 12862  โ†‘cexp 14068  !cfa 14274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14297
  Copyright terms: Public domain W3C validator