MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd3 13747
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 11981 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 nnre 11726 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
32adantr 484 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
4 nnge1 11747 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
54adantr 484 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑀)
6 nn0z 12089 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
76adantl 485 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 uzid 12342 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
9 peano2uz 12386 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
113, 5, 10leexp2ad 13712 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)))
12 nnnn0 11986 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
13 faclbnd 13745 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
1412, 13sylan 583 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
15 nn0re 11988 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
16 reexpcl 13541 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
1715, 16sylan 583 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
18 peano2nn0 12019 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19 reexpcl 13541 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2015, 18, 19syl2an 599 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
21 reexpcl 13541 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
2215, 21mpancom 688 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
23 faccl 13738 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnred 11734 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
25 remulcl 10703 . . . . . . 7 (((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
2622, 24, 25syl2an 599 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
27 letr 10815 . . . . . 6 (((𝑀𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2817, 20, 26, 27syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2912, 28sylan 583 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
3011, 14, 29mp2and 699 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
31 elnn0 11981 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32 0exp 13559 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
33 0le1 11244 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
3432, 33eqbrtrdi 5070 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) ≤ 1)
35 oveq2 7181 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) = (0↑0))
36 0exp0e1 13529 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
37 1le1 11349 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 1
3836, 37eqbrtri 5052 . . . . . . . . 9 (0↑0) ≤ 1
3935, 38eqbrtrdi 5070 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
4034, 39jaoi 856 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0↑𝑁) ≤ 1)
4131, 40sylbi 220 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
42 1nn 11730 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
43 nnmulcl 11743 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
4442, 23, 43sylancr 590 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
4544nnge1d 11767 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (!‘𝑁)))
46 0re 10724 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
47 reexpcl 13541 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
4846, 47mpan 690 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
49 1re 10722 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
50 remulcl 10703 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
5149, 24, 50sylancr 590 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52 letr 10815 . . . . . . . 8 (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5349, 52mp3an2 1450 . . . . . . 7 (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5448, 51, 53syl2anc 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5541, 45, 54mp2and 699 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
5655adantl 485 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
57 oveq1 7180 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁) = (0↑𝑁))
58 oveq12 7182 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑀) = (0↑0))
5958anidms 570 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = (0↑0))
6059, 36eqtrdi 2790 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = 1)
6160oveq1d 7188 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁)))
6257, 61breq12d 5044 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
6362adantr 484 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
6456, 63mpbird 260 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
6530, 64jaoian 956 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
661, 65sylanb 584 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5031  cfv 6340  (class class class)co 7173  cr 10617  0cc0 10618  1c1 10619   + caddc 10621   · cmul 10623  cle 10757  cn 11719  0cn0 11979  cz 12065  cuz 12327  cexp 13524  !cfa 13728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-rp 12476  df-seq 13464  df-exp 13525  df-fac 13729
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  13751
  Copyright terms: Public domain W3C validator