MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd3 14248
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 12470 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 nnre 12215 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
32adantr 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
4 nnge1 12236 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
54adantr 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑀)
6 nn0z 12579 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
76adantl 483 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 uzid 12833 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
9 peano2uz 12881 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
113, 5, 10leexp2ad 14213 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)))
12 nnnn0 12475 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
13 faclbnd 14246 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
1412, 13sylan 581 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
15 nn0re 12477 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
16 reexpcl 14040 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
1715, 16sylan 581 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
18 peano2nn0 12508 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19 reexpcl 14040 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2015, 18, 19syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
21 reexpcl 14040 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
2215, 21mpancom 687 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
23 faccl 14239 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnred 12223 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
25 remulcl 11191 . . . . . . 7 (((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
2622, 24, 25syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
27 letr 11304 . . . . . 6 (((𝑀𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2817, 20, 26, 27syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2912, 28sylan 581 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
3011, 14, 29mp2and 698 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
31 elnn0 12470 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32 0exp 14059 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
33 0le1 11733 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
3432, 33eqbrtrdi 5186 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) ≤ 1)
35 oveq2 7412 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) = (0↑0))
36 0exp0e1 14028 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
37 1le1 11838 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 1
3836, 37eqbrtri 5168 . . . . . . . . 9 (0↑0) ≤ 1
3935, 38eqbrtrdi 5186 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
4034, 39jaoi 856 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0↑𝑁) ≤ 1)
4131, 40sylbi 216 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
42 1nn 12219 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
43 nnmulcl 12232 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
4442, 23, 43sylancr 588 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
4544nnge1d 12256 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (!‘𝑁)))
46 0re 11212 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
47 reexpcl 14040 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
4846, 47mpan 689 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
49 1re 11210 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
50 remulcl 11191 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
5149, 24, 50sylancr 588 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52 letr 11304 . . . . . . . 8 (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5349, 52mp3an2 1450 . . . . . . 7 (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5448, 51, 53syl2anc 585 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5541, 45, 54mp2and 698 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
5655adantl 483 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
57 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁) = (0↑𝑁))
58 oveq12 7413 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑀) = (0↑0))
5958anidms 568 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = (0↑0))
6059, 36eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = 1)
6160oveq1d 7419 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁)))
6257, 61breq12d 5160 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
6362adantr 482 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
6456, 63mpbird 257 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
6530, 64jaoian 956 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
661, 65sylanb 582 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cle 11245  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  cexp 14023  !cfa 14229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14252
  Copyright terms: Public domain W3C validator