MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd3 14257
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 12478 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
2 nnre 12223 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
32adantr 480 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
4 nnge1 12244 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
54adantr 480 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
6 nn0z 12587 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
76adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
8 uzid 12841 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
9 peano2uz 12889 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
113, 5, 10leexp2ad 14222 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)))
12 nnnn0 12483 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
13 faclbnd 14255 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
1412, 13sylan 579 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
15 nn0re 12485 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
16 reexpcl 14049 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
1715, 16sylan 579 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
18 peano2nn0 12516 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
19 reexpcl 14049 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
2015, 18, 19syl2an 595 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
21 reexpcl 14049 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
2215, 21mpancom 685 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
23 faccl 14248 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2423nnred 12231 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
25 remulcl 11197 . . . . . . 7 (((๐‘€โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
2622, 24, 25syl2an 595 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
27 letr 11312 . . . . . 6 (((๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
2817, 20, 26, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
2912, 28sylan 579 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘ + 1)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
3011, 14, 29mp2and 696 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
31 elnn0 12478 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
32 0exp 14068 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) = 0)
33 0le1 11741 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
3432, 33eqbrtrdi 5180 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
35 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ (0โ†‘๐‘) = (0โ†‘0))
36 0exp0e1 14037 . . . . . . . . . 10 (0โ†‘0) = 1
37 1le1 11846 . . . . . . . . . 10 1 โ‰ค 1
3836, 37eqbrtri 5162 . . . . . . . . 9 (0โ†‘0) โ‰ค 1
3935, 38eqbrtrdi 5180 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
4034, 39jaoi 854 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
4131, 40sylbi 216 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค 1)
42 1nn 12227 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
43 nnmulcl 12240 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„• โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
4442, 23, 43sylancr 586 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
4544nnge1d 12264 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
46 0re 11220 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
47 reexpcl 14049 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
4846, 47mpan 687 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
49 1re 11218 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
50 remulcl 11197 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
5149, 24, 50sylancr 586 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
52 letr 11312 . . . . . . . 8 (((0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5349, 52mp3an2 1445 . . . . . . 7 (((0โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5448, 51, 53syl2anc 583 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((0โ†‘๐‘) โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
5541, 45, 54mp2and 696 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
5655adantl 481 . . . 4 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
57 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) = (0โ†‘๐‘))
58 oveq12 7414 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = (0โ†‘0))
5958anidms 566 . . . . . . . 8 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = (0โ†‘0))
6059, 36eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘€) = 1)
6160oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) = (1 ยท (!โ€˜๐‘)))
6257, 61breq12d 5154 . . . . 5 (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
6362adantr 480 . . . 4 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” (0โ†‘๐‘) โ‰ค (1 ยท (!โ€˜๐‘))))
6456, 63mpbird 257 . . 3 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
6530, 64jaoian 953 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
661, 65sylanb 580 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ†‘cexp 14032  !cfa 14238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14261
  Copyright terms: Public domain W3C validator