MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd4lem3 14334
Description: Lemma for faclbnd4 14336. The 𝑁 = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem3
StepHypRef Expression
1 elnn0 12528 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2 0exp 14138 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (0↑𝐾) = 0)
32adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) = 0)
4 nnnn0 12533 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
5 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
6 nn0sqcl 14130 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
7 nn0expcl 14116 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
85, 6, 7sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
98adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
10 nn0addcl 12561 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
11 nn0expcl 14116 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
1210, 11syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
139, 12nn0mulcld 12592 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
144, 13sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
1514nn0ge0d 12590 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
163, 15eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
17 1nn 12277 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
18 elnn0 12528 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
19 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20 0nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
21 nn0addcl 12561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
2219, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
23 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 0) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
2422, 23mpdan 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → 𝑀 = 0)
26 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = (0 + 0))
27 00id 11436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
2826, 27eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = 0)
2925, 28oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (0↑0))
30 0exp0e1 14107 . . . . . . . . . . . . . 14 (0↑0) = 1
3129, 30eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = 1)
3231, 17eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
3324, 32jaoi 858 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
3418, 33sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
35 nnmulcl 12290 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
3617, 34, 35sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
3736nnge1d 12314 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
3837adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
39 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = (0↑0))
4039, 30eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = 1)
41 sq0i 14232 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 = 0 → (𝐾↑2) = 0)
4241oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑0))
43 2cn 12341 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
44 exp0 14106 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2↑0) = 1
4642, 45eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = 1)
47 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (𝑀 + 𝐾) = (𝑀 + 0))
4847oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
4946, 48oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
5040, 49breq12d 5156 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
5150adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
5238, 51mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
5316, 52jaodan 960 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0)) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
541, 53sylan2b 594 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
55 nn0cn 12536 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
5655exp0d 14180 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑0) = 1)
5756oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = ((0↑𝐾) · 1))
58 nn0expcl 14116 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
5920, 58mpan 690 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
6059nn0cnd 12589 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℂ)
6160mulridd 11278 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · 1) = (0↑𝐾))
6257, 61sylan9eq 2797 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = (0↑𝐾))
6313nn0cnd 12589 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
6463mulridd 11278 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
6554, 62, 643brtr4d 5175 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
6665adantr 480 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
67 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁𝐾) = (0↑𝐾))
68 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀𝑁) = (𝑀↑0))
6967, 68oveq12d 7449 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) = ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)))
70 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
71 fac0 14315 . . . . . 6 (!‘0) = 1
7270, 71eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
7372oveq2d 7447 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
7469, 73breq12d 5156 . . 3 (𝑁 = 0 → (((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
7574adantl 481 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
7666, 75mpbird 257 1 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cexp 14102  !cfa 14312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14335  faclbnd4  14336
  Copyright terms: Public domain W3C validator