Theorem faclbnd4lem3 13710

Description: Lemma for faclbnd4 13712. The 𝑁 = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem3	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11941	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2		0exp 13519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (0↑𝐾) = 0)
3	2	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) = 0)
4		nnnn0 11946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
5		2nn0 11956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		nn0sqcl 13511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
7		nn0expcl 13498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 11974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
11		nn0expcl 13498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syldan 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0mulcld 12004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
14	4, 13	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
16	3, 15	eqbrtrd 5057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
17		1nn 11690	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
18		elnn0 11941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
19		nnnn0 11946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20		0nn0 11954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		nn0addcl 11974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
22	19, 20, 21	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
23		nnexpcl 13497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 0) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
24	22, 23	mpdan 686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
25		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → 𝑀 = 0)
26		oveq1 7162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = (0 + 0))
27		00id 10858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = 0)
29	25, 28	oveq12d 7173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (0↑0))
30		0exp0e1 13489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0↑0) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = 1)
32	31, 17	eqeltrdi 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
33	24, 32	jaoi 854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
34	18, 33	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
35		nnmulcl 11703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
36	17, 34, 35	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
37	36	nnge1d 11727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
38	37	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
39		oveq2 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = (0↑0))
40	39, 30	eqtrdi 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = 1)
41		sq0i 13611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝐾↑2) = 0)
42	41	oveq2d 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑0))
43		2cn 11754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
44		exp0 13488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑0) = 1
46	42, 45	eqtrdi 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = 1)
47		oveq2 7163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀 + 𝐾) = (𝑀 + 0))
48	47	oveq2d 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
49	46, 48	oveq12d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
50	40, 49	breq12d 5048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
51	50	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
52	38, 51	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
53	16, 52	jaodan 955	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0)) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
54	1, 53	sylan2b 596	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
55		nn0cn 11949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
56	55	exp0d 13559	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑0) = 1)
57	56	oveq2d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = ((0↑𝐾) · 1))
58		nn0expcl 13498	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
59	20, 58	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
60	59	nn0cnd 12001	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℂ)
61	60	mulid1d 10701	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · 1) = (0↑𝐾))
62	57, 61	sylan9eq 2813	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = (0↑𝐾))
63	13	nn0cnd 12001	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
64	63	mulid1d 10701	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
65	54, 62, 64	3brtr4d 5067	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
66	65	adantr 484	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
67		oveq1 7162	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝐾) = (0↑𝐾))
68		oveq2 7163	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀↑𝑁) = (𝑀↑0))
69	67, 68	oveq12d 7173	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) = ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)))
70		fveq2 6662	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
71		fac0 13691	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
72	70, 71	eqtrdi 2809	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
73	72	oveq2d 7171	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
74	69, 73	breq12d 5048	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
75	74	adantl 485	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
76	66, 75	mpbird 260	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585   ≤ cle 10719  ℕcn 11679  2c2 11734  ℕ₀cn0 11939  ↑cexp 13484  !cfa 13688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-seq 13424  df-exp 13485  df-fac 13689

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  13711  faclbnd4  13712