MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd4lem3 13286
Description: Lemma for faclbnd4 13288. The 𝑁 = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem3
StepHypRef Expression
1 elnn0 11496 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2 0exp 13102 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (0↑𝐾) = 0)
32adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) = 0)
4 nnnn0 11501 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
5 2nn0 11511 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
6 nn0sqcl 13094 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
7 nn0expcl 13081 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
85, 6, 7sylancr 575 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
98adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
10 nn0addcl 11530 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
11 nn0expcl 13081 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
1210, 11syldan 579 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
139, 12nn0mulcld 11558 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
144, 13sylan2 580 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
1514nn0ge0d 11556 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
163, 15eqbrtrd 4808 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
17 1nn 11233 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
18 elnn0 11496 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
19 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20 0nn0 11509 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
21 nn0addcl 11530 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
2219, 20, 21sylancl 574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
23 nnexpcl 13080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 0) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
2422, 23mpdan 667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → 𝑀 = 0)
26 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = (0 + 0))
27 00id 10413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
2826, 27syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = 0)
2925, 28oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (0↑0))
30 0exp0e1 13072 . . . . . . . . . . . . . 14 (0↑0) = 1
3129, 30syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = 1)
3231, 17syl6eqel 2858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
3324, 32jaoi 844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
3418, 33sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
35 nnmulcl 11245 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
3617, 34, 35sylancr 575 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
3736nnge1d 11265 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
3837adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
39 oveq2 6801 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = (0↑0))
4039, 30syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = 1)
41 sq0i 13163 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 = 0 → (𝐾↑2) = 0)
4241oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑0))
43 2cn 11293 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
44 exp0 13071 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2↑0) = 1
4642, 45syl6eq 2821 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = 1)
47 oveq2 6801 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (𝑀 + 𝐾) = (𝑀 + 0))
4847oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
4946, 48oveq12d 6811 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
5040, 49breq12d 4799 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
5150adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
5238, 51mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
5316, 52jaodan 938 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0)) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
541, 53sylan2b 581 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
55 nn0cn 11504 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
5655exp0d 13209 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑0) = 1)
5756oveq2d 6809 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = ((0↑𝐾) · 1))
58 nn0expcl 13081 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
5920, 58mpan 670 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
6059nn0cnd 11555 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℂ)
6160mulid1d 10259 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · 1) = (0↑𝐾))
6257, 61sylan9eq 2825 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = (0↑𝐾))
6313nn0cnd 11555 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
6463mulid1d 10259 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
6554, 62, 643brtr4d 4818 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
6665adantr 466 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
67 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁𝐾) = (0↑𝐾))
68 oveq2 6801 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀𝑁) = (𝑀↑0))
6967, 68oveq12d 6811 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) = ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)))
70 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
71 fac0 13267 . . . . . 6 (!‘0) = 1
7270, 71syl6eq 2821 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
7372oveq2d 6809 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
7469, 73breq12d 4799 . . 3 (𝑁 = 0 → (((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
7574adantl 467 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
7666, 75mpbird 247 1 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 834   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cle 10277  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cexp 13067  !cfa 13264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  13287  faclbnd4  13288
  Copyright terms: Public domain W3C validator