Theorem faclbnd4lem3 14334

Description: Lemma for faclbnd4 14336. The 𝑁 = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem3	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12528	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2		0exp 14138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (0↑𝐾) = 0)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) = 0)
4		nnnn0 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
5		2nn0 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		nn0sqcl 14130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
7		nn0expcl 14116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 12561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
11		nn0expcl 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0mulcld 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
14	4, 13	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
16	3, 15	eqbrtrd 5165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
17		1nn 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
18		elnn0 12528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
19		nnnn0 12533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20		0nn0 12541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		nn0addcl 12561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
22	19, 20, 21	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
23		nnexpcl 14115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 0) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
24	22, 23	mpdan 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
25		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → 𝑀 = 0)
26		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = (0 + 0))
27		00id 11436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = 0)
29	25, 28	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (0↑0))
30		0exp0e1 14107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0↑0) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = 1)
32	31, 17	eqeltrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
33	24, 32	jaoi 858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
34	18, 33	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
35		nnmulcl 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
36	17, 34, 35	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
37	36	nnge1d 12314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
39		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = (0↑0))
40	39, 30	eqtrdi 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = 1)
41		sq0i 14232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝐾↑2) = 0)
42	41	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑0))
43		2cn 12341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
44		exp0 14106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑0) = 1
46	42, 45	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = 1)
47		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀 + 𝐾) = (𝑀 + 0))
48	47	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
49	46, 48	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
50	40, 49	breq12d 5156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
51	50	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
52	38, 51	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
53	16, 52	jaodan 960	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0)) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
54	1, 53	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
55		nn0cn 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
56	55	exp0d 14180	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑0) = 1)
57	56	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = ((0↑𝐾) · 1))
58		nn0expcl 14116	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
59	20, 58	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
60	59	nn0cnd 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℂ)
61	60	mulridd 11278	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · 1) = (0↑𝐾))
62	57, 61	sylan9eq 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = (0↑𝐾))
63	13	nn0cnd 12589	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
64	63	mulridd 11278	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
65	54, 62, 64	3brtr4d 5175	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
66	65	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
67		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝐾) = (0↑𝐾))
68		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀↑𝑁) = (𝑀↑0))
69	67, 68	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) = ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)))
70		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
71		fac0 14315	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
72	70, 71	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
73	72	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
74	69, 73	breq12d 5156	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
75	74	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
76	66, 75	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102  !cfa 14312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14335  faclbnd4  14336