Theorem faclbnd4lem3 14351

Description: Lemma for faclbnd4 14353. The 𝑁 = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem3	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12523	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2		0exp 14153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (0↑𝐾) = 0)
3	2	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) = 0)
4		nnnn0 12528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
5		2nn0 12538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		nn0sqcl 14145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
7		nn0expcl 14131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 12556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
11		nn0expcl 14131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0mulcld 12587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
14	4, 13	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
16	3, 15	eqbrtrd 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
17		1nn 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
18		elnn0 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
19		nnnn0 12528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20		0nn0 12536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		nn0addcl 12556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
22	19, 20, 21	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
23		nnexpcl 14130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 0) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
24	22, 23	mpdan 700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
25		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → 𝑀 = 0)
26		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = (0 + 0))
27		00id 11402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = 0)
29	25, 28	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (0↑0))
30		0exp0e1 14122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0↑0) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = 1)
32	31, 17	eqeltrdi 2873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
33	24, 32	jaoi 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
34	18, 33	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
35		nnmulcl 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
36	17, 34, 35	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
37	36	nnge1d 12301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
38	37	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
39		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = (0↑0))
40	39, 30	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = 1)
41		sq0i 14249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝐾↑2) = 0)
42	41	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑0))
43		2cn 12333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
44		exp0 14121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑0) = 1
46	42, 45	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = 1)
47		oveq2 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀 + 𝐾) = (𝑀 + 0))
48	47	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
49	46, 48	oveq12d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
50	40, 49	breq12d 5124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
51	50	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
52	38, 51	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
53	16, 52	jaodan 972	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0)) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
54	1, 53	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
55		nn0cn 12531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
56	55	exp0d 14196	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑0) = 1)
57	56	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = ((0↑𝐾) · 1))
58		nn0expcl 14131	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
59	20, 58	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
60	59	nn0cnd 12584	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℂ)
61	60	mulridd 11243	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · 1) = (0↑𝐾))
62	57, 61	sylan9eq 2820	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = (0↑𝐾))
63	13	nn0cnd 12584	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
64	63	mulridd 11243	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
65	54, 62, 64	3brtr4d 5145	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
66	65	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
67		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝐾) = (0↑𝐾))
68		oveq2 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀↑𝑁) = (𝑀↑0))
69	67, 68	oveq12d 7437	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) = ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)))
70		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
71		fac0 14332	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
72	70, 71	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
73	72	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
74	69, 73	breq12d 5124	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
75	74	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
76	66, 75	mpbird 260	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122   ≤ cle 11261  ℕcn 12250  2c2 12312  ℕ₀cn0 12521  ↑cexp 14117  !cfa 14329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330

This theorem is used by:  faclbnd4lem4  14352  faclbnd4  14353