Theorem faclbnd4lem3 13937

Description: Lemma for faclbnd4 13939. The 𝑁 = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem3	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12165	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2		0exp 13746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (0↑𝐾) = 0)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) = 0)
4		nnnn0 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
5		2nn0 12180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		nn0sqcl 13738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
7		nn0expcl 13724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 12198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
11		nn0expcl 13724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0mulcld 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
14	4, 13	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
16	3, 15	eqbrtrd 5092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
17		1nn 11914	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
18		elnn0 12165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
19		nnnn0 12170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20		0nn0 12178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		nn0addcl 12198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
22	19, 20, 21	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
23		nnexpcl 13723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 0) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
24	22, 23	mpdan 683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
25		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → 𝑀 = 0)
26		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = (0 + 0))
27		00id 11080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = 0)
29	25, 28	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (0↑0))
30		0exp0e1 13715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0↑0) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = 1)
32	31, 17	eqeltrdi 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
33	24, 32	jaoi 853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
34	18, 33	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
35		nnmulcl 11927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
36	17, 34, 35	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
37	36	nnge1d 11951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
39		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = (0↑0))
40	39, 30	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = 1)
41		sq0i 13838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝐾↑2) = 0)
42	41	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑0))
43		2cn 11978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
44		exp0 13714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑0) = 1
46	42, 45	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = 1)
47		oveq2 7263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀 + 𝐾) = (𝑀 + 0))
48	47	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
49	46, 48	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
50	40, 49	breq12d 5083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
51	50	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
52	38, 51	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
53	16, 52	jaodan 954	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0)) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
54	1, 53	sylan2b 593	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
55		nn0cn 12173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
56	55	exp0d 13786	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑0) = 1)
57	56	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = ((0↑𝐾) · 1))
58		nn0expcl 13724	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
59	20, 58	mpan 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
60	59	nn0cnd 12225	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℂ)
61	60	mulid1d 10923	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · 1) = (0↑𝐾))
62	57, 61	sylan9eq 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = (0↑𝐾))
63	13	nn0cnd 12225	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
64	63	mulid1d 10923	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
65	54, 62, 64	3brtr4d 5102	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
66	65	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
67		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝐾) = (0↑𝐾))
68		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀↑𝑁) = (𝑀↑0))
69	67, 68	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) = ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)))
70		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
71		fac0 13918	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
72	70, 71	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
73	72	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
74	69, 73	breq12d 5083	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
75	74	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
76	66, 75	mpbird 256	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710  !cfa 13915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  13938  faclbnd4  13939