MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd4lem3 14242
Description: Lemma for faclbnd4 14244. The 𝑁 = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem3
StepHypRef Expression
1 elnn0 12461 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2 0exp 14050 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (0↑𝐾) = 0)
32adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) = 0)
4 nnnn0 12466 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
5 2nn0 12476 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
6 nn0sqcl 14042 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
7 nn0expcl 14028 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
85, 6, 7sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
98adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
10 nn0addcl 12494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
11 nn0expcl 14028 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
1210, 11syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
139, 12nn0mulcld 12524 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
144, 13sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
1514nn0ge0d 12522 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
163, 15eqbrtrd 5166 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
17 1nn 12210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
18 elnn0 12461 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
19 nnnn0 12466 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20 0nn0 12474 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
21 nn0addcl 12494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
2219, 20, 21sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
23 nnexpcl 14027 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 0) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
2422, 23mpdan 686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → 𝑀 = 0)
26 oveq1 7403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = (0 + 0))
27 00id 11376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
2826, 27eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = 0)
2925, 28oveq12d 7414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (0↑0))
30 0exp0e1 14019 . . . . . . . . . . . . . 14 (0↑0) = 1
3129, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = 1)
3231, 17eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
3324, 32jaoi 856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
3418, 33sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
35 nnmulcl 12223 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
3617, 34, 35sylancr 588 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
3736nnge1d 12247 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
3837adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
39 oveq2 7404 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = (0↑0))
4039, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = 1)
41 sq0i 14144 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 = 0 → (𝐾↑2) = 0)
4241oveq2d 7412 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑0))
43 2cn 12274 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
44 exp0 14018 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2↑0) = 1
4642, 45eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = 1)
47 oveq2 7404 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (𝑀 + 𝐾) = (𝑀 + 0))
4847oveq2d 7412 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
4946, 48oveq12d 7414 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
5040, 49breq12d 5157 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
5150adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
5238, 51mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
5316, 52jaodan 957 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0)) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
541, 53sylan2b 595 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
55 nn0cn 12469 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
5655exp0d 14092 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑0) = 1)
5756oveq2d 7412 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = ((0↑𝐾) · 1))
58 nn0expcl 14028 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
5920, 58mpan 689 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
6059nn0cnd 12521 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℂ)
6160mulridd 11218 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · 1) = (0↑𝐾))
6257, 61sylan9eq 2793 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = (0↑𝐾))
6313nn0cnd 12521 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
6463mulridd 11218 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
6554, 62, 643brtr4d 5176 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
6665adantr 482 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
67 oveq1 7403 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁𝐾) = (0↑𝐾))
68 oveq2 7404 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀𝑁) = (𝑀↑0))
6967, 68oveq12d 7414 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) = ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)))
70 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
71 fac0 14223 . . . . . 6 (!‘0) = 1
7270, 71eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
7372oveq2d 7412 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
7469, 73breq12d 5157 . . 3 (𝑁 = 0 → (((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
7574adantl 483 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
7666, 75mpbird 257 1 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5144  cfv 6535  (class class class)co 7396  cc 11095  0cc0 11097  1c1 11098   + caddc 11100   · cmul 11102  cle 11236  cn 12199  2c2 12254  0cn0 12459  cexp 14014  !cfa 14220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-seq 13954  df-exp 14015  df-fac 14221
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14243  faclbnd4  14244
  Copyright terms: Public domain W3C validator