Theorem faclbnd4lem3 14331

Description: Lemma for faclbnd4 14333. The 𝑁 = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem3	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12526	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2		0exp 14135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (0↑𝐾) = 0)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) = 0)
4		nnnn0 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
5		2nn0 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		nn0sqcl 14127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
7		nn0expcl 14113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 12559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
11		nn0expcl 14113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
13	9, 12	nn0mulcld 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
14	4, 13	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
16	3, 15	eqbrtrd 5170	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
17		1nn 12275	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
18		elnn0 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
19		nnnn0 12531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20		0nn0 12539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		nn0addcl 12559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
22	19, 20, 21	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
23		nnexpcl 14112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 0) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
24	22, 23	mpdan 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
25		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → 𝑀 = 0)
26		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = (0 + 0))
27		00id 11434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 0) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = 0)
29	25, 28	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (0↑0))
30		0exp0e1 14104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0↑0) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = 1)
32	31, 17	eqeltrdi 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
33	24, 32	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
34	18, 33	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
35		nnmulcl 12288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
36	17, 34, 35	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
37	36	nnge1d 12312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
39		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = (0↑0))
40	39, 30	eqtrdi 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = 1)
41		sq0i 14229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝐾↑2) = 0)
42	41	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑0))
43		2cn 12339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
44		exp0 14103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑0) = 1
46	42, 45	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = 1)
47		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀 + 𝐾) = (𝑀 + 0))
48	47	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
49	46, 48	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 = 0 → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
50	40, 49	breq12d 5161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 0 → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
51	50	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
52	38, 51	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 = 0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
53	16, 52	jaodan 959	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0)) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
54	1, 53	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
55		nn0cn 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
56	55	exp0d 14177	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑0) = 1)
57	56	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = ((0↑𝐾) · 1))
58		nn0expcl 14113	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
59	20, 58	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
60	59	nn0cnd 12587	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℂ)
61	60	mulridd 11276	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · 1) = (0↑𝐾))
62	57, 61	sylan9eq 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = (0↑𝐾))
63	13	nn0cnd 12587	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
64	63	mulridd 11276	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
65	54, 62, 64	3brtr4d 5180	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
66	65	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
67		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝐾) = (0↑𝐾))
68		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀↑𝑁) = (𝑀↑0))
69	67, 68	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) = ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)))
70		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
71		fac0 14312	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
72	70, 71	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
73	72	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
74	69, 73	breq12d 5161	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
75	74	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
76	66, 75	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   ≤ cle 11294  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14099  !cfa 14309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14332  faclbnd4  14333