MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem faclbnd4lem3 14252
Description: Lemma for faclbnd4 14254. The ๐‘ = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem3 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
Proof of Theorem faclbnd4lem3
StepHypRef Expression
1 elnn0 12471 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โˆจ ๐พ = 0))
2 0exp 14060 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐พ) = 0)
32adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (0โ†‘๐พ) = 0)
4 nnnn0 12476 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
5 2nn0 12486 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•0
6 nn0sqcl 14052 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
7 nn0expcl 14038 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
85, 6, 7sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
98adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
10 nn0addcl 12504 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐พ) โˆˆ โ„•0)
11 nn0expcl 14038 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘€ + ๐พ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) โˆˆ โ„•0)
1210, 11syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) โˆˆ โ„•0)
139, 12nn0mulcld 12534 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„•0)
144, 13sylan2 594 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„•0)
1514nn0ge0d 12532 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))))
163, 15eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (0โ†‘๐พ) โ‰ค ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))))
17 1nn 12220 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•
18 elnn0 12471 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
19 nnnn0 12476 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
20 0nn0 12484 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„•0
21 nn0addcl 12504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + 0) โˆˆ โ„•0)
2219, 20, 21sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ + 0) โˆˆ โ„•0)
23 nnexpcl 14037 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ + 0) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)) โˆˆ โ„•)
2422, 23mpdan 686 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)) โˆˆ โ„•)
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ = 0 โ†’ ๐‘€ = 0)
26 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ + 0) = (0 + 0))
27 00id 11386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
2826, 27eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ + 0) = 0)
2925, 28oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)) = (0โ†‘0))
30 0exp0e1 14029 . . . . . . . . . . . . . 14 (0โ†‘0) = 1
3129, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)) = 1)
3231, 17eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)) โˆˆ โ„•)
3324, 32jaoi 856 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)) โˆˆ โ„•)
3418, 33sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)) โˆˆ โ„•)
35 nnmulcl 12233 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)) โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) โˆˆ โ„•)
3617, 34, 35sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))) โˆˆ โ„•)
3736nnge1d 12257 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (1 ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))))
3837adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ = 0) โ†’ 1 โ‰ค (1 ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))))
39 oveq2 7414 . . . . . . . . . 10 (๐พ = 0 โ†’ (0โ†‘๐พ) = (0โ†‘0))
4039, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (๐พ = 0 โ†’ (0โ†‘๐พ) = 1)
41 sq0i 14154 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ = 0 โ†’ (๐พโ†‘2) = 0)
4241oveq2d 7422 . . . . . . . . . . 11 (๐พ = 0 โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) = (2โ†‘0))
43 2cn 12284 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
44 exp0 14028 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘0) = 1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2โ†‘0) = 1
4642, 45eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐พ = 0 โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) = 1)
47 oveq2 7414 . . . . . . . . . . 11 (๐พ = 0 โ†’ (๐‘€ + ๐พ) = (๐‘€ + 0))
4847oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (๐พ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) = (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)))
4946, 48oveq12d 7424 . . . . . . . . 9 (๐พ = 0 โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) = (1 ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0))))
5040, 49breq12d 5161 . . . . . . . 8 (๐พ = 0 โ†’ ((0โ†‘๐พ) โ‰ค ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โ†” 1 โ‰ค (1 ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)))))
5150adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((0โ†‘๐พ) โ‰ค ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โ†” 1 โ‰ค (1 ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + 0)))))
5238, 51mpbird 257 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ = 0) โ†’ (0โ†‘๐พ) โ‰ค ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))))
5316, 52jaodan 957 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐พ โˆˆ โ„• โˆจ ๐พ = 0)) โ†’ (0โ†‘๐พ) โ‰ค ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))))
541, 53sylan2b 595 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0โ†‘๐พ) โ‰ค ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))))
55 nn0cn 12479 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5655exp0d 14102 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€โ†‘0) = 1)
5756oveq2d 7422 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((0โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘0)) = ((0โ†‘๐พ) ยท 1))
58 nn0expcl 14038 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0โ†‘๐พ) โˆˆ โ„•0)
5920, 58mpan 689 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐พ) โˆˆ โ„•0)
6059nn0cnd 12531 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0โ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
6160mulridd 11228 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((0โ†‘๐พ) ยท 1) = (0โ†‘๐พ))
6257, 61sylan9eq 2793 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((0โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘0)) = (0โ†‘๐พ))
6313nn0cnd 12531 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„‚)
6463mulridd 11228 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท 1) = ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))))
6554, 62, 643brtr4d 5180 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((0โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘0)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท 1))
6665adantr 482 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((0โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘0)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท 1))
67 oveq1 7413 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘โ†‘๐พ) = (0โ†‘๐พ))
68 oveq2 7414 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) = (๐‘€โ†‘0))
6967, 68oveq12d 7424 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) = ((0โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘0)))
70 fveq2 6889 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘) = (!โ€˜0))
71 fac0 14233 . . . . . 6 (!โ€˜0) = 1
7270, 71eqtrdi 2789 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘) = 1)
7372oveq2d 7422 . . . 4 (๐‘ = 0 โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท 1))
7469, 73breq12d 5161 . . 3 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” ((0โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘0)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท 1)))
7574adantl 483 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โ†” ((0โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘0)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท 1)))
7666, 75mpbird 257 1 (((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โ‰ค cle 11246  โ„•cn 12209  2c2 12264  โ„•0cn0 12469  โ†‘cexp 14024  !cfa 14230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  14253  faclbnd4  14254
  Copyright terms: Public domain W3C validator