MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facubnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facubnd 14260
Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
facubnd (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘))

Proof of Theorem facubnd
Dummy variables ๐‘š ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘š) = (!โ€˜0))
2 fac0 14236 . . . 4 (!โ€˜0) = 1
31, 2eqtrdi 2789 . . 3 (๐‘š = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘š) = 1)
4 id 22 . . . . 5 (๐‘š = 0 โ†’ ๐‘š = 0)
54, 4oveq12d 7427 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘š) = (0โ†‘0))
6 0exp0e1 14032 . . . 4 (0โ†‘0) = 1
75, 6eqtrdi 2789 . . 3 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘š) = 1)
83, 7breq12d 5162 . 2 (๐‘š = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘š) โ‰ค (๐‘šโ†‘๐‘š) โ†” 1 โ‰ค 1))
9 fveq2 6892 . . 3 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘š) = (!โ€˜๐‘˜))
10 id 22 . . . 4 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ๐‘š = ๐‘˜)
1110, 10oveq12d 7427 . . 3 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘š) = (๐‘˜โ†‘๐‘˜))
129, 11breq12d 5162 . 2 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘š) โ‰ค (๐‘šโ†‘๐‘š) โ†” (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)))
13 fveq2 6892 . . 3 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘š) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
14 id 22 . . . 4 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ ๐‘š = (๐‘˜ + 1))
1514, 14oveq12d 7427 . . 3 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘š) = ((๐‘˜ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1613, 15breq12d 5162 . 2 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘š) โ‰ค (๐‘šโ†‘๐‘š) โ†” (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
17 fveq2 6892 . . 3 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘š) = (!โ€˜๐‘))
18 id 22 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ๐‘š = ๐‘)
1918, 18oveq12d 7427 . . 3 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘š) = (๐‘โ†‘๐‘))
2017, 19breq12d 5162 . 2 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘š) โ‰ค (๐‘šโ†‘๐‘š) โ†” (!โ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘)))
21 1le1 11842 . 2 1 โ‰ค 1
22 faccl 14243 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2423nnred 12227 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
25 nn0re 12481 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
2625adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
27 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2826, 27reexpcld 14128 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
29 nn0p1nn 12511 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3029adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3130nnred 12227 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
3231, 27reexpcld 14128 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
33 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜))
34 nn0ge0 12497 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
3534adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
3626lep1d 12145 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))
37 leexp1a 14140 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘˜) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜))
3826, 31, 27, 35, 36, 37syl32anc 1379 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘˜) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜))
3924, 28, 32, 33, 38letrd 11371 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜))
4030nngt0d 12261 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ 0 < (๐‘˜ + 1))
41 lemul1 12066 . . . . . 6 (((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) โ†” ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
4224, 32, 31, 40, 41syl112anc 1375 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) โ†” ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
4339, 42mpbid 231 . . . 4 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
44 facp1 14238 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
4544adantr 482 . . . 4 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
4630nncnd 12228 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
4746, 27expp1d 14112 . . . 4 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐‘˜ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
4843, 45, 473brtr4d 5181 . . 3 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
4948ex 414 . 2 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
508, 12, 16, 20, 21, 49nn0ind 12657 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234
This theorem is referenced by:  logfacubnd  26724  pgrple2abl  47041
  Copyright terms: Public domain W3C validator