Theorem facubnd 14253

Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
facubnd	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁))

Proof of Theorem facubnd

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6827	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = (!‘0))
2		fac0 14229	. . . 4 ⊢ (!‘0) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = 1)
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → 𝑚 = 0)
5	4, 4	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑𝑚) = (0↑0))
6		0exp0e1 14019	. . . 4 ⊢ (0↑0) = 1
7	5, 6	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑𝑚) = 1)
8	3, 7	breq12d 5085	. 2 ⊢ (𝑚 = 0 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ 1 ≤ 1))
9		fveq2 6827	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (!‘𝑚) = (!‘𝑘))
10		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝑚 = 𝑘)
11	10, 10	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚↑𝑚) = (𝑘↑𝑘))
12	9, 11	breq12d 5085	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)))
13		fveq2 6827	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑘 + 1)))
14		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → 𝑚 = (𝑘 + 1))
15	14, 14	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚↑𝑚) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
16	13, 15	breq12d 5085	. 2 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
17		fveq2 6827	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (!‘𝑚) = (!‘𝑁))
18		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → 𝑚 = 𝑁)
19	18, 18	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚↑𝑚) = (𝑁↑𝑁))
20	17, 19	breq12d 5085	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁)))
21		1le1 11769	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
22		faccl 14236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
25		nn0re 12437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
27		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	26, 27	reexpcld 14116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘↑𝑘) ∈ ℝ)
29		nn0p1nn 12467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
31	30	nnred 12180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
32	31, 27	reexpcld 14116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
33		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘))
34		nn0ge0 12453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 0 ≤ 𝑘)
36	26	lep1d 12078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
37		leexp1a 14128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘↑𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
38	26, 31, 27, 35, 36, 37	syl32anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘↑𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
39	24, 28, 32, 33, 38	letrd 11294	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
40	30	nngt0d 12217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 0 < (𝑘 + 1))
41		lemul1 11998	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
42	24, 32, 31, 40, 41	syl112anc 1382	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
43	39, 42	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
44		facp1 14231	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
45	44	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
46	30	nncnd 12181	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
47	46, 27	expp1d 14100	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
48	43, 45, 47	3brtr4d 5104	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
49	48	ex 413	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
50	8, 12, 16, 20, 21, 49	nn0ind 12615	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014  !cfa 14226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227

This theorem is referenced by:  logfacubnd  27202  pgrple2abl  48856