MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facubnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facubnd 14200
Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
facubnd (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁))

Proof of Theorem facubnd
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6842 . . . 4 (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = (!‘0))
2 fac0 14176 . . . 4 (!‘0) = 1
31, 2eqtrdi 2792 . . 3 (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = 1)
4 id 22 . . . . 5 (𝑚 = 0 → 𝑚 = 0)
54, 4oveq12d 7375 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚𝑚) = (0↑0))
6 0exp0e1 13972 . . . 4 (0↑0) = 1
75, 6eqtrdi 2792 . . 3 (𝑚 = 0 → (𝑚𝑚) = 1)
83, 7breq12d 5118 . 2 (𝑚 = 0 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ 1 ≤ 1))
9 fveq2 6842 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → (!‘𝑚) = (!‘𝑘))
10 id 22 . . . 4 (𝑚 = 𝑘𝑚 = 𝑘)
1110, 10oveq12d 7375 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚𝑚) = (𝑘𝑘))
129, 11breq12d 5118 . 2 (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)))
13 fveq2 6842 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑘 + 1)))
14 id 22 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → 𝑚 = (𝑘 + 1))
1514, 14oveq12d 7375 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚𝑚) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
1613, 15breq12d 5118 . 2 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
17 fveq2 6842 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → (!‘𝑚) = (!‘𝑁))
18 id 22 . . . 4 (𝑚 = 𝑁𝑚 = 𝑁)
1918, 18oveq12d 7375 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚𝑚) = (𝑁𝑁))
2017, 19breq12d 5118 . 2 (𝑚 = 𝑁 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
21 1le1 11783 . 2 1 ≤ 1
22 faccl 14183 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2322adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2423nnred 12168 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
25 nn0re 12422 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
2625adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
27 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2826, 27reexpcld 14068 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘𝑘) ∈ ℝ)
29 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3130nnred 12168 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
3231, 27reexpcld 14068 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
33 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘))
34 nn0ge0 12438 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
3534adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 0 ≤ 𝑘)
3626lep1d 12086 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
37 leexp1a 14080 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
3826, 31, 27, 35, 36, 37syl32anc 1378 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
3924, 28, 32, 33, 38letrd 11312 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
4030nngt0d 12202 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 0 < (𝑘 + 1))
41 lemul1 12007 . . . . . 6 (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
4224, 32, 31, 40, 41syl112anc 1374 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
4339, 42mpbid 231 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
44 facp1 14178 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4544adantr 481 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4630nncnd 12169 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4746, 27expp1d 14052 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
4843, 45, 473brtr4d 5137 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
4948ex 413 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
508, 12, 16, 20, 21, 49nn0ind 12598 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cexp 13967  !cfa 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174
This theorem is referenced by:  logfacubnd  26569  pgrple2abl  46431
  Copyright terms: Public domain W3C validator