Theorem facubnd 14349

Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
facubnd	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁))

Proof of Theorem facubnd

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = (!‘0))
2		fac0 14325	. . . 4 ⊢ (!‘0) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = 1)
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → 𝑚 = 0)
5	4, 4	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑𝑚) = (0↑0))
6		0exp0e1 14117	. . . 4 ⊢ (0↑0) = 1
7	5, 6	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑𝑚) = 1)
8	3, 7	breq12d 5179	. 2 ⊢ (𝑚 = 0 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ 1 ≤ 1))
9		fveq2 6920	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (!‘𝑚) = (!‘𝑘))
10		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝑚 = 𝑘)
11	10, 10	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚↑𝑚) = (𝑘↑𝑘))
12	9, 11	breq12d 5179	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)))
13		fveq2 6920	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑘 + 1)))
14		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → 𝑚 = (𝑘 + 1))
15	14, 14	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚↑𝑚) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
16	13, 15	breq12d 5179	. 2 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
17		fveq2 6920	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (!‘𝑚) = (!‘𝑁))
18		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → 𝑚 = 𝑁)
19	18, 18	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚↑𝑚) = (𝑁↑𝑁))
20	17, 19	breq12d 5179	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁)))
21		1le1 11918	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
22		faccl 14332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
25		nn0re 12562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
27		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	26, 27	reexpcld 14213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘↑𝑘) ∈ ℝ)
29		nn0p1nn 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
31	30	nnred 12308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
32	31, 27	reexpcld 14213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
33		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘))
34		nn0ge0 12578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 0 ≤ 𝑘)
36	26	lep1d 12226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
37		leexp1a 14225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘↑𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
38	26, 31, 27, 35, 36, 37	syl32anc 1378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘↑𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
39	24, 28, 32, 33, 38	letrd 11447	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
40	30	nngt0d 12342	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 0 < (𝑘 + 1))
41		lemul1 12146	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
42	24, 32, 31, 40, 41	syl112anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
43	39, 42	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
44		facp1 14327	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
45	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
46	30	nncnd 12309	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
47	46, 27	expp1d 14197	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
48	43, 45, 47	3brtr4d 5198	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
49	48	ex 412	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
50	8, 12, 16, 20, 21, 49	nn0ind 12738	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112  !cfa 14322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323

This theorem is referenced by:  logfacubnd  27283  pgrple2abl  48090