MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facubnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facubnd 14264
Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
facubnd (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘))

Proof of Theorem facubnd
Dummy variables ๐‘š ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘š) = (!โ€˜0))
2 fac0 14240 . . . 4 (!โ€˜0) = 1
31, 2eqtrdi 2786 . . 3 (๐‘š = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘š) = 1)
4 id 22 . . . . 5 (๐‘š = 0 โ†’ ๐‘š = 0)
54, 4oveq12d 7429 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘š) = (0โ†‘0))
6 0exp0e1 14036 . . . 4 (0โ†‘0) = 1
75, 6eqtrdi 2786 . . 3 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘š) = 1)
83, 7breq12d 5160 . 2 (๐‘š = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘š) โ‰ค (๐‘šโ†‘๐‘š) โ†” 1 โ‰ค 1))
9 fveq2 6890 . . 3 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘š) = (!โ€˜๐‘˜))
10 id 22 . . . 4 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ๐‘š = ๐‘˜)
1110, 10oveq12d 7429 . . 3 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘š) = (๐‘˜โ†‘๐‘˜))
129, 11breq12d 5160 . 2 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘š) โ‰ค (๐‘šโ†‘๐‘š) โ†” (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)))
13 fveq2 6890 . . 3 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘š) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
14 id 22 . . . 4 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ ๐‘š = (๐‘˜ + 1))
1514, 14oveq12d 7429 . . 3 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘š) = ((๐‘˜ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1613, 15breq12d 5160 . 2 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘š) โ‰ค (๐‘šโ†‘๐‘š) โ†” (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
17 fveq2 6890 . . 3 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘š) = (!โ€˜๐‘))
18 id 22 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ๐‘š = ๐‘)
1918, 18oveq12d 7429 . . 3 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘š) = (๐‘โ†‘๐‘))
2017, 19breq12d 5160 . 2 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘š) โ‰ค (๐‘šโ†‘๐‘š) โ†” (!โ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘)))
21 1le1 11846 . 2 1 โ‰ค 1
22 faccl 14247 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2322adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2423nnred 12231 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
25 nn0re 12485 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
2625adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
27 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2826, 27reexpcld 14132 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
29 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3029adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3130nnred 12231 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
3231, 27reexpcld 14132 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
33 simpr 483 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜))
34 nn0ge0 12501 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
3534adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
3626lep1d 12149 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))
37 leexp1a 14144 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘˜) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜))
3826, 31, 27, 35, 36, 37syl32anc 1376 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘˜) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜))
3924, 28, 32, 33, 38letrd 11375 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜))
4030nngt0d 12265 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ 0 < (๐‘˜ + 1))
41 lemul1 12070 . . . . . 6 (((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) โ†” ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
4224, 32, 31, 40, 41syl112anc 1372 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) โ†” ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
4339, 42mpbid 231 . . . 4 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
44 facp1 14242 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
4544adantr 479 . . . 4 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
4630nncnd 12232 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
4746, 27expp1d 14116 . . . 4 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐‘˜ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
4843, 45, 473brtr4d 5179 . . 3 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
4948ex 411 . 2 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘˜) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค ((๐‘˜ + 1)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
508, 12, 16, 20, 21, 49nn0ind 12661 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14031  !cfa 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238
This theorem is referenced by:  logfacubnd  26960  pgrple2abl  47129
  Copyright terms: Public domain W3C validator