Theorem facubnd 14256

Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
facubnd	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁))

Proof of Theorem facubnd

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = (!‘0))
2		fac0 14232	. . . 4 ⊢ (!‘0) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = 1)
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → 𝑚 = 0)
5	4, 4	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑𝑚) = (0↑0))
6		0exp0e1 14028	. . . 4 ⊢ (0↑0) = 1
7	5, 6	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑𝑚) = 1)
8	3, 7	breq12d 5160	. 2 ⊢ (𝑚 = 0 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ 1 ≤ 1))
9		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (!‘𝑚) = (!‘𝑘))
10		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝑚 = 𝑘)
11	10, 10	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚↑𝑚) = (𝑘↑𝑘))
12	9, 11	breq12d 5160	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)))
13		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑘 + 1)))
14		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → 𝑚 = (𝑘 + 1))
15	14, 14	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚↑𝑚) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
16	13, 15	breq12d 5160	. 2 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
17		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (!‘𝑚) = (!‘𝑁))
18		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → 𝑚 = 𝑁)
19	18, 18	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚↑𝑚) = (𝑁↑𝑁))
20	17, 19	breq12d 5160	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁)))
21		1le1 11838	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
22		faccl 14239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
25		nn0re 12477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
27		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	26, 27	reexpcld 14124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘↑𝑘) ∈ ℝ)
29		nn0p1nn 12507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
31	30	nnred 12223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
32	31, 27	reexpcld 14124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
33		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘))
34		nn0ge0 12493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 0 ≤ 𝑘)
36	26	lep1d 12141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
37		leexp1a 14136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘↑𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
38	26, 31, 27, 35, 36, 37	syl32anc 1378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘↑𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
39	24, 28, 32, 33, 38	letrd 11367	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
40	30	nngt0d 12257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 0 < (𝑘 + 1))
41		lemul1 12062	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
42	24, 32, 31, 40, 41	syl112anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
43	39, 42	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
44		facp1 14234	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
45	44	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
46	30	nncnd 12224	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
47	46, 27	expp1d 14108	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
48	43, 45, 47	3brtr4d 5179	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
49	48	ex 413	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
50	8, 12, 16, 20, 21, 49	nn0ind 12653	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ↑cexp 14023  !cfa 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230

This theorem is referenced by:  logfacubnd  26713  pgrple2abl  46994