Theorem facubnd 14449

Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
facubnd	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁))

Proof of Theorem facubnd

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = (!‘0))
2		fac0 14425	. . . 4 ⊢ (!‘0) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = 1)
4		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → 𝑚 = 0)
5	4, 4	oveq12d 7440	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑𝑚) = (0↑0))
6		0exp0e1 14214	. . . 4 ⊢ (0↑0) = 1
7	5, 6	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑𝑚) = 1)
8	3, 7	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝑚 = 0 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ 1 ≤ 1))
9		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (!‘𝑚) = (!‘𝑘))
10		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝑚 = 𝑘)
11	10, 10	oveq12d 7440	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚↑𝑚) = (𝑘↑𝑘))
12	9, 11	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)))
13		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑘 + 1)))
14		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → 𝑚 = (𝑘 + 1))
15	14, 14	oveq12d 7440	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚↑𝑚) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
16	13, 15	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
17		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (!‘𝑚) = (!‘𝑁))
18		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → 𝑚 = 𝑁)
19	18, 18	oveq12d 7440	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚↑𝑚) = (𝑁↑𝑁))
20	17, 19	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁)))
21		1le1 11949	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
22		faccl 14432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12355	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
25		nn0re 12620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
27		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	26, 27	reexpcld 14311	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘↑𝑘) ∈ ℝ)
29		nn0p1nn 12650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
31	30	nnred 12355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
32	31, 27	reexpcld 14311	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
33		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘))
34		nn0ge0 12636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
35	34	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 0 ≤ 𝑘)
36	26	lep1d 12253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
37		leexp1a 14323	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘↑𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
38	26, 31, 27, 35, 36, 37	syl32anc 1405	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘↑𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
39	24, 28, 32, 33, 38	letrd 11472	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
40	30	nngt0d 12392	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 0 < (𝑘 + 1))
41		lemul1 12174	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
42	24, 32, 31, 40, 41	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
43	39, 42	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
44		facp1 14427	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
45	44	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
46	30	nncnd 12356	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
47	46, 27	expp1d 14295	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
48	43, 45, 47	3brtr4d 5136	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
49	48	ex 418	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
50	8, 12, 16, 20, 21, 49	nn0ind 12799	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   < clt 11348   ≤ cle 11349  ℕcn 12340  ℕ₀cn0 12611  ↑cexp 14209  !cfa 14422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423

This theorem is used by:  logfacubnd  27555  pgrple2abl  49584