Theorem exple2lt6 49584

Description: A nonnegative integer to the power of itself is less than 6 if it is less than or equal to 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
exple2lt6	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)

Proof of Theorem exple2lt6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0le2is012 12770	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
2		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
3	2, 2	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝑁) = (0↑0))
4		0exp0e1 14216	. . . . 5 ⊢ (0↑0) = 1
5		1lt6 12537	. . . . 5 ⊢ 1 < 6
6	4, 5	eqbrtri 5125	. . . 4 ⊢ (0↑0) < 6
7	3, 6	eqbrtrdi 5143	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝑁) < 6)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
9	8, 8	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁↑𝑁) = (1↑1))
10		ax-1cn 11265	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		exp1 14217	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1↑1) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1↑1) = 1
13	12, 5	eqbrtri 5125	. . . 4 ⊢ (1↑1) < 6
14	9, 13	eqbrtrdi 5143	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁↑𝑁) < 6)
15		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → 𝑁 = 2)
16	15, 15	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁↑𝑁) = (2↑2))
17		sq2 14347	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
18		4lt6 12534	. . . . 5 ⊢ 4 < 6
19	17, 18	eqbrtri 5125	. . . 4 ⊢ (2↑2) < 6
20	16, 19	eqbrtrdi 5143	. . 3 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁↑𝑁) < 6)
21	7, 14, 20	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)
22	1, 21	syl 18	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207  1c1 11208   < clt 11350   ≤ cle 11351  2c2 12404  4c4 12406  6c6 12408  ℕ₀cn0 12613  ↑cexp 14211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-seq 14152  df-exp 14212

This theorem is used by:  pgrple2abl  49585