Theorem exple2lt6 45373

Description: A nonnegative integer to the power of itself is less than 6 if it is less than or equal to 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
exple2lt6	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)

Proof of Theorem exple2lt6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0le2is012 12241	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
3	2, 2	oveq12d 7231	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝑁) = (0↑0))
4		0exp0e1 13640	. . . . 5 ⊢ (0↑0) = 1
5		1lt6 12015	. . . . 5 ⊢ 1 < 6
6	4, 5	eqbrtri 5074	. . . 4 ⊢ (0↑0) < 6
7	3, 6	eqbrtrdi 5092	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝑁) < 6)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
9	8, 8	oveq12d 7231	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁↑𝑁) = (1↑1))
10		ax-1cn 10787	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		exp1 13641	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1↑1) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1↑1) = 1
13	12, 5	eqbrtri 5074	. . . 4 ⊢ (1↑1) < 6
14	9, 13	eqbrtrdi 5092	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁↑𝑁) < 6)
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → 𝑁 = 2)
16	15, 15	oveq12d 7231	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁↑𝑁) = (2↑2))
17		sq2 13766	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
18		4lt6 12012	. . . . 5 ⊢ 4 < 6
19	17, 18	eqbrtri 5074	. . . 4 ⊢ (2↑2) < 6
20	16, 19	eqbrtrdi 5092	. . 3 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁↑𝑁) < 6)
21	7, 14, 20	3jaoi 1429	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)
22	1, 21	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ w3o 1088   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   < clt 10867   ≤ cle 10868  2c2 11885  4c4 11887  6c6 11889  ℕ₀cn0 12090  ↑cexp 13635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-exp 13636

This theorem is referenced by:  pgrple2abl  45374