Theorem exple2lt6 49294

Description: A nonnegative integer to the power of itself is less than 6 if it is less than or equal to 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
exple2lt6	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)

Proof of Theorem exple2lt6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0le2is012 12685	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
2		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
3	2, 2	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝑁) = (0↑0))
4		0exp0e1 14130	. . . . 5 ⊢ (0↑0) = 1
5		1lt6 12452	. . . . 5 ⊢ 1 < 6
6	4, 5	eqbrtri 5126	. . . 4 ⊢ (0↑0) < 6
7	3, 6	eqbrtrdi 5144	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝑁) < 6)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
9	8, 8	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁↑𝑁) = (1↑1))
10		ax-1cn 11182	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		exp1 14131	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1↑1) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1↑1) = 1
13	12, 5	eqbrtri 5126	. . . 4 ⊢ (1↑1) < 6
14	9, 13	eqbrtrdi 5144	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁↑𝑁) < 6)
15		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → 𝑁 = 2)
16	15, 15	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁↑𝑁) = (2↑2))
17		sq2 14261	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
18		4lt6 12449	. . . . 5 ⊢ 4 < 6
19	17, 18	eqbrtri 5126	. . . 4 ⊢ (2↑2) < 6
20	16, 19	eqbrtrdi 5144	. . 3 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁↑𝑁) < 6)
21	7, 14, 20	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)
22	1, 21	syl 18	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   < clt 11267   ≤ cle 11268  2c2 12319  4c4 12321  6c6 12323  ℕ₀cn0 12528  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  pgrple2abl  49295