Theorem exple2lt6 48209

Description: A nonnegative integer to the power of itself is less than 6 if it is less than or equal to 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
exple2lt6	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)

Proof of Theorem exple2lt6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0le2is012 12680	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
3	2, 2	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝑁) = (0↑0))
4		0exp0e1 14104	. . . . 5 ⊢ (0↑0) = 1
5		1lt6 12449	. . . . 5 ⊢ 1 < 6
6	4, 5	eqbrtri 5169	. . . 4 ⊢ (0↑0) < 6
7	3, 6	eqbrtrdi 5187	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝑁) < 6)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
9	8, 8	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁↑𝑁) = (1↑1))
10		ax-1cn 11211	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		exp1 14105	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1↑1) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1↑1) = 1
13	12, 5	eqbrtri 5169	. . . 4 ⊢ (1↑1) < 6
14	9, 13	eqbrtrdi 5187	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁↑𝑁) < 6)
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → 𝑁 = 2)
16	15, 15	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁↑𝑁) = (2↑2))
17		sq2 14233	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
18		4lt6 12446	. . . . 5 ⊢ 4 < 6
19	17, 18	eqbrtri 5169	. . . 4 ⊢ (2↑2) < 6
20	16, 19	eqbrtrdi 5187	. . 3 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁↑𝑁) < 6)
21	7, 14, 20	3jaoi 1427	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)
22	1, 21	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293   ≤ cle 11294  2c2 12319  4c4 12321  6c6 12323  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  pgrple2abl  48210