Theorem exple2lt6 45965

Description: A nonnegative integer to the power of itself is less than 6 if it is less than or equal to 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
exple2lt6	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)

Proof of Theorem exple2lt6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0le2is012 12464	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
3	2, 2	oveq12d 7335	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝑁) = (0↑0))
4		0exp0e1 13867	. . . . 5 ⊢ (0↑0) = 1
5		1lt6 12238	. . . . 5 ⊢ 1 < 6
6	4, 5	eqbrtri 5108	. . . 4 ⊢ (0↑0) < 6
7	3, 6	eqbrtrdi 5126	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑𝑁) < 6)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
9	8, 8	oveq12d 7335	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁↑𝑁) = (1↑1))
10		ax-1cn 11009	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		exp1 13868	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (1↑1) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1↑1) = 1
13	12, 5	eqbrtri 5108	. . . 4 ⊢ (1↑1) < 6
14	9, 13	eqbrtrdi 5126	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁↑𝑁) < 6)
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → 𝑁 = 2)
16	15, 15	oveq12d 7335	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁↑𝑁) = (2↑2))
17		sq2 13994	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
18		4lt6 12235	. . . . 5 ⊢ 4 < 6
19	17, 18	eqbrtri 5108	. . . 4 ⊢ (2↑2) < 6
20	16, 19	eqbrtrdi 5126	. . 3 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁↑𝑁) < 6)
21	7, 14, 20	3jaoi 1426	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)
22	1, 21	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 2) → (𝑁↑𝑁) < 6)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  (class class class)co 7317  ℂcc 10949  0cc0 10951  1c1 10952   < clt 11089   ≤ cle 11090  2c2 12108  4c4 12110  6c6 12112  ℕ₀cn0 12313  ↑cexp 13862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-seq 13802  df-exp 13863

This theorem is referenced by:  pgrple2abl  45966