Theorem etransclem14 46233

Description: Value of the term 𝑇, when 𝐽 = 0 and (𝐶‘0) = 𝑃 − 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem14.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem14.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem14.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem14.t	⊢ 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
etransclem14.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
etransclem14.cpm1	⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))

Assertion

Ref	Expression
etransclem14	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem14.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
2		etransclem14.cpm1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
3		fzssre 45300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝑁) ⊆ ℝ
4		etransclem14.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
5		etransclem14.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
6		nn0uz 12777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
8		eluzfz1 13434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
10	4, 9	ffvelcdmd 7019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
11	3, 10	sselid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
12	2, 11	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	lttri3d 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))))
14	2, 13	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)))
15	14	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
16	15	iffalsed 4487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
17	12	recnd 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
18	2	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐶‘0))
19	17, 18	subeq0bd 11546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) = 0)
20	19	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (!‘0))
21		fac0 14183	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
23	22	oveq2d 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
24		etransclem14.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
25		nnm1nn0 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
27	26	faccld 14191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 12144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
29	28	div1d 11892	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
30	23, 29	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
31		etransclem14.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
32	31, 19	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑0))
33		0exp0e1 13973	. . . . . . 7 ⊢ (0↑0) = 1
34	32, 33	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
35	30, 34	oveq12d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
36	28	mulridd 11132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
37	16, 35, 36	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
38	31	oveq1d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝑗) = (0 − 𝑗))
39		df-neg 11350	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑗 = (0 − 𝑗)
40	38, 39	eqtr4di 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝑗) = -𝑗)
41	40	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) = (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))
42	41	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))
43	42	ifeq2d 4497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))
44	43	prodeq2ad 45577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))
45	37, 44	oveq12d 7367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
46	45	oveq2d 7365	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))
47	1, 46	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4476   class class class wbr 5092  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014   < clt 11149   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ↑cexp 13968  !cfa 14180  ∏cprod 15810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-prod 15811

This theorem is referenced by:  etransclem28  46247