Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem14 44114
Description: Value of the term 𝑇, when 𝐽 = 0 and (𝐶‘0) = 𝑃 − 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem14.n (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem14.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem14.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem14.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem14.j (𝜑𝐽 = 0)
etransclem14.cpm1 (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
Assertion
Ref Expression
etransclem14 (𝜑𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem14
StepHypRef Expression
1 etransclem14.t . 2 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
2 etransclem14.cpm1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
3 fzssre 43177 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℝ
4 etransclem14.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
5 etransclem14.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
6 nn0uz 12713 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
75, 6eleqtrdi 2847 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
8 eluzfz1 13356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
104, 9ffvelcdmd 7012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
113, 10sselid 3929 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
122, 11eqeltrrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
1311, 12lttri3d 11208 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))))
142, 13mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)))
1514simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
1615iffalsed 4483 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
1712recnd 11096 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
182eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐶‘0))
1917, 18subeq0bd 11494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) = 0)
2019fveq2d 6823 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (!‘0))
21 fac0 14083 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
2220, 21eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
2322oveq2d 7345 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
24 etransclem14.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
25 nnm1nn0 12367 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2726faccld 14091 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
2827nncnd 12082 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
2928div1d 11836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
3023, 29eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
31 etransclem14.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 = 0)
3231, 19oveq12d 7347 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑0))
33 0exp0e1 13880 . . . . . . 7 (0↑0) = 1
3432, 33eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
3530, 34oveq12d 7347 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
3628mulid1d 11085 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
3716, 35, 363eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
3831oveq1d 7344 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽𝑗) = (0 − 𝑗))
39 df-neg 11301 . . . . . . . . 9 -𝑗 = (0 − 𝑗)
4038, 39eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽𝑗) = -𝑗)
4140oveq1d 7344 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))
4241oveq2d 7345 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))
4342ifeq2d 4492 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
4443prodeq2ad 43458 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
4537, 44oveq12d 7347 . . 3 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
4645oveq2d 7345 . 2 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
471, 46eqtrid 2788 1 (𝜑𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  ifcif 4472   class class class wbr 5089  wf 6469  cfv 6473  (class class class)co 7329  cr 10963  0cc0 10964  1c1 10965   · cmul 10969   < clt 11102  cmin 11298  -cneg 11299   / cdiv 11725  cn 12066  0cn0 12326  cuz 12675  ...cfz 13332  cexp 13875  !cfa 14080  cprod 15706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-seq 13815  df-exp 13876  df-fac 14081  df-prod 15707
This theorem is referenced by:  etransclem28  44128
  Copyright terms: Public domain W3C validator