Theorem etransclem14 46492

Description: Value of the term 𝑇, when 𝐽 = 0 and (𝐶‘0) = 𝑃 − 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem14.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem14.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem14.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem14.t	⊢ 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
etransclem14.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
etransclem14.cpm1	⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))

Assertion

Ref	Expression
etransclem14	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem14.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
2		etransclem14.cpm1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
3		fzssre 45562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝑁) ⊆ ℝ
4		etransclem14.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
5		etransclem14.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
6		nn0uz 12789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
8		eluzfz1 13447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
10	4, 9	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
11	3, 10	sselid 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
12	2, 11	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	lttri3d 11273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))))
14	2, 13	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)))
15	14	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
16	15	iffalsed 4490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
17	12	recnd 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
18	2	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐶‘0))
19	17, 18	subeq0bd 11563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) = 0)
20	19	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (!‘0))
21		fac0 14199	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
23	22	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
24		etransclem14.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
25		nnm1nn0 12442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
27	26	faccld 14207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 12161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
29	28	div1d 11909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
30	23, 29	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
31		etransclem14.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
32	31, 19	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑0))
33		0exp0e1 13989	. . . . . . 7 ⊢ (0↑0) = 1
34	32, 33	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
35	30, 34	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
36	28	mulridd 11149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
37	16, 35, 36	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
38	31	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝑗) = (0 − 𝑗))
39		df-neg 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑗 = (0 − 𝑗)
40	38, 39	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝑗) = -𝑗)
41	40	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) = (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))
42	41	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))
43	42	ifeq2d 4500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))
44	43	prodeq2ad 45838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))
45	37, 44	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
46	45	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))
47	1, 46	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4479   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   < clt 11166   − cmin 11364  -cneg 11365   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  !cfa 14196  ∏cprod 15826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-prod 15827

This theorem is referenced by:  etransclem28  46506