Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem14 44479
Description: Value of the term 𝑇, when 𝐽 = 0 and (𝐶‘0) = 𝑃 − 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem14.n (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem14.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem14.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem14.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem14.j (𝜑𝐽 = 0)
etransclem14.cpm1 (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
Assertion
Ref Expression
etransclem14 (𝜑𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem14
StepHypRef Expression
1 etransclem14.t . 2 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
2 etransclem14.cpm1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
3 fzssre 43538 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℝ
4 etransclem14.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
5 etransclem14.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
6 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
75, 6eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
8 eluzfz1 13448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
104, 9ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
113, 10sselid 3942 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
122, 11eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
1311, 12lttri3d 11295 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))))
142, 13mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)))
1514simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
1615iffalsed 4497 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
1712recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
182eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐶‘0))
1917, 18subeq0bd 11581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) = 0)
2019fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (!‘0))
21 fac0 14176 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
2220, 21eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
2322oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
24 etransclem14.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
25 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2726faccld 14184 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
2827nncnd 12169 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
2928div1d 11923 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
3023, 29eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
31 etransclem14.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 = 0)
3231, 19oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑0))
33 0exp0e1 13972 . . . . . . 7 (0↑0) = 1
3432, 33eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
3530, 34oveq12d 7375 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
3628mulid1d 11172 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
3716, 35, 363eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
3831oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽𝑗) = (0 − 𝑗))
39 df-neg 11388 . . . . . . . . 9 -𝑗 = (0 − 𝑗)
4038, 39eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽𝑗) = -𝑗)
4140oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))
4241oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))
4342ifeq2d 4506 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
4443prodeq2ad 43823 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
4537, 44oveq12d 7375 . . 3 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
4645oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
471, 46eqtrid 2788 1 (𝜑𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4486   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cuz 12763  ...cfz 13424  cexp 13967  !cfa 14173  cprod 15788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-prod 15789
This theorem is referenced by:  etransclem28  44493
  Copyright terms: Public domain W3C validator