Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem14 41253
Description: Value of the term 𝑇, when 𝐽 = 0 and (𝐶‘0) = 𝑃 − 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem14.n (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem14.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem14.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem14.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
etransclem14.j (𝜑𝐽 = 0)
etransclem14.cpm1 (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
Assertion
Ref Expression
etransclem14 (𝜑𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem14
StepHypRef Expression
1 etransclem14.t . 2 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
2 etransclem14.cpm1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
3 fzssre 40320 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℝ
4 etransclem14.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
5 etransclem14.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
6 nn0uz 12011 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
75, 6syl6eleq 2916 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
8 eluzfz1 12648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
104, 9ffvelrnd 6614 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
113, 10sseldi 3825 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
122, 11eqeltrrd 2907 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
1311, 12lttri3d 10503 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))))
142, 13mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)))
1514simprd 491 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
1615iffalsed 4319 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
1712recnd 10392 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
182eqcomd 2831 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐶‘0))
1917, 18subeq0bd 10787 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) = 0)
2019fveq2d 6441 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (!‘0))
21 fac0 13363 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
2220, 21syl6eq 2877 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
2322oveq2d 6926 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
24 etransclem14.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
25 nnm1nn0 11668 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2726faccld 13371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
2827nncnd 11375 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
2928div1d 11126 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
3023, 29eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
31 etransclem14.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 = 0)
3231, 19oveq12d 6928 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑0))
33 0exp0e1 13166 . . . . . . 7 (0↑0) = 1
3432, 33syl6eq 2877 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
3530, 34oveq12d 6928 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
3628mulid1d 10381 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
3716, 35, 363eqtrd 2865 . . . 4 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
3831oveq1d 6925 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽𝑗) = (0 − 𝑗))
39 df-neg 10595 . . . . . . . . 9 -𝑗 = (0 − 𝑗)
4038, 39syl6eqr 2879 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽𝑗) = -𝑗)
4140oveq1d 6925 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) = (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))
4241oveq2d 6926 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))
4342ifeq2d 4327 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
4443prodeq2ad 40613 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))
4537, 44oveq12d 6928 . . 3 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))))))
4645oveq2d 6926 . 2 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
471, 46syl5eq 2873 1 (𝜑𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  ifcif 4308   class class class wbr 4875  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264   < clt 10398  cmin 10592  -cneg 10593   / cdiv 11016  cn 11357  0cn0 11625  cuz 11975  ...cfz 12626  cexp 13161  !cfa 13360  cprod 15015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-prod 15016
This theorem is referenced by:  etransclem28  41267
  Copyright terms: Public domain W3C validator