Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem14 44964
Description: Value of the term ๐‘‡, when ๐ฝ = 0 and (๐ถโ€˜0) = ๐‘ƒ โˆ’ 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem14.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem14.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
etransclem14.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
etransclem14.t ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))))
etransclem14.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = 0)
etransclem14.cpm1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
Assertion
Ref Expression
etransclem14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))))))
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘€   ๐œ‘,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘—)   ๐‘ƒ(๐‘—)   ๐‘‡(๐‘—)   ๐ฝ(๐‘—)   ๐‘(๐‘—)

Proof of Theorem etransclem14
StepHypRef Expression
1 etransclem14.t . 2 ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))))
2 etransclem14.cpm1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3 fzssre 44024 . . . . . . . . . 10 (0...๐‘) โŠ† โ„
4 etransclem14.c . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
5 etransclem14.m . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
6 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . . 13 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
75, 6eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
8 eluzfz1 13508 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘€))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘€))
104, 9ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ (0...๐‘))
113, 10sselid 3981 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„)
122, 11eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1311, 12lttri3d 11354 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” (ยฌ (๐ถโ€˜0) < (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0))))
142, 13mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ (๐ถโ€˜0) < (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)))
1514simprd 497 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0))
1615iffalsed 4540 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))))
1712recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
182eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (๐ถโ€˜0))
1917, 18subeq0bd 11640 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) = 0)
2019fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = (!โ€˜0))
21 fac0 14236 . . . . . . . . 9 (!โ€˜0) = 1
2220, 21eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = 1)
2322oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) = ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / 1))
24 etransclem14.n . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
25 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2726faccld 14244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
2827nncnd 12228 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2928div1d 11982 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / 1) = (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
3023, 29eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) = (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
31 etransclem14.j . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = 0)
3231, 19oveq12d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = (0โ†‘0))
33 0exp0e1 14032 . . . . . . 7 (0โ†‘0) = 1
3432, 33eqtrdi 2789 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) = 1)
3530, 34oveq12d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) = ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท 1))
3628mulridd 11231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท 1) = (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
3716, 35, 363eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) = (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
3831oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐‘—) = (0 โˆ’ ๐‘—))
39 df-neg 11447 . . . . . . . . 9 -๐‘— = (0 โˆ’ ๐‘—)
4038, 39eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐‘—) = -๐‘—)
4140oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))) = (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))
4241oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) = (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))
4342ifeq2d 4549 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) = if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))))
4443prodeq2ad 44308 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) = โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))))
4537, 44oveq12d 7427 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))) = ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))))))
4645oveq2d 7425 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))))) = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))))))
471, 46eqtrid 2785 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ถโ€˜๐‘—))) ยท ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4529   class class class wbr 5149  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233  โˆcprod 15849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-prod 15850
This theorem is referenced by:  etransclem28  44978
  Copyright terms: Public domain W3C validator