Theorem etransclem14 46253

Description: Value of the term 𝑇, when 𝐽 = 0 and (𝐶‘0) = 𝑃 − 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem14.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem14.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem14.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem14.t	⊢ 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
etransclem14.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
etransclem14.cpm1	⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))

Assertion

Ref	Expression
etransclem14	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem14.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
2		etransclem14.cpm1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
3		fzssre 45319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝑁) ⊆ ℝ
4		etransclem14.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
5		etransclem14.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
6		nn0uz 12842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
8		eluzfz1 13499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
10	4, 9	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
11	3, 10	sselid 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
12	2, 11	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	lttri3d 11321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))))
14	2, 13	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)))
15	14	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
16	15	iffalsed 4502	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
17	12	recnd 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
18	2	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐶‘0))
19	17, 18	subeq0bd 11611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) = 0)
20	19	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (!‘0))
21		fac0 14248	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
23	22	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
24		etransclem14.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
25		nnm1nn0 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
27	26	faccld 14256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 12209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
29	28	div1d 11957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
30	23, 29	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
31		etransclem14.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
32	31, 19	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑0))
33		0exp0e1 14038	. . . . . . 7 ⊢ (0↑0) = 1
34	32, 33	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
35	30, 34	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
36	28	mulridd 11198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
37	16, 35, 36	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
38	31	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝑗) = (0 − 𝑗))
39		df-neg 11415	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑗 = (0 − 𝑗)
40	38, 39	eqtr4di 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝑗) = -𝑗)
41	40	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) = (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))
42	41	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))
43	42	ifeq2d 4512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))
44	43	prodeq2ad 45597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))
45	37, 44	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
46	45	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))
47	1, 46	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ↑cexp 14033  !cfa 14245  ∏cprod 15876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-prod 15877

This theorem is referenced by:  etransclem28  46267