Theorem etransclem14 43789

Description: Value of the term 𝑇, when 𝐽 = 0 and (𝐶‘0) = 𝑃 − 1 (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem14.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem14.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem14.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem14.t	⊢ 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
etransclem14.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
etransclem14.cpm1	⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))

Assertion

Ref	Expression
etransclem14	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem14.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
2		etransclem14.cpm1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (𝑃 − 1))
3		fzssre 42853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝑁) ⊆ ℝ
4		etransclem14.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
5		etransclem14.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
6		nn0uz 12620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
8		eluzfz1 13263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
10	4, 9	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
11	3, 10	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
12	2, 11	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
13	11, 12	lttri3d 11115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))))
14	2, 13	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐶‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)))
15	14	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
16	15	iffalsed 4470	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))))
17	12	recnd 11003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
18	2	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐶‘0))
19	17, 18	subeq0bd 11401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) = 0)
20	19	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (!‘0))
21		fac0 13990	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
23	22	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
24		etransclem14.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
25		nnm1nn0 12274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
27	26	faccld 13998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 11989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
29	28	div1d 11743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
30	23, 29	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
31		etransclem14.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
32	31, 19	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = (0↑0))
33		0exp0e1 13787	. . . . . . 7 ⊢ (0↑0) = 1
34	32, 33	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) = 1)
35	30, 34	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
36	28	mulid1d 10992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
37	16, 35, 36	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
38	31	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝑗) = (0 − 𝑗))
39		df-neg 11208	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑗 = (0 − 𝑗)
40	38, 39	eqtr4di 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝑗) = -𝑗)
41	40	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) = (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))
42	41	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))
43	42	ifeq2d 4479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))
44	43	prodeq2ad 43133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))
45	37, 44	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))))))
46	45	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))
47	1, 46	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐶‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  !cfa 13987  ∏cprod 15615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-prod 15616

This theorem is referenced by:  etransclem28  43803