MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef0lem 15420
Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef0lem (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
2 nn0uz 12268 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtrrdi 2921 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4 elnn0 11887 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
53, 4sylib 219 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6 nnnn0 11892 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
76adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 eftval.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
98eftval 15418 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
11 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑘) = (0↑𝑘))
12 0exp 13452 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
1311, 12sylan9eq 2873 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) = 0)
1413oveq1d 7160 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
15 faccl 13631 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
16 nncn 11634 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
17 nnne0 11659 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
1816, 17div0d 11403 . . . . . . . 8 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
197, 15, 183syl 18 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
2010, 14, 193eqtrd 2857 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 0)
21 nnne0 11659 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
22 velsn 4573 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
2322necon3bbii 3060 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
2421, 23sylibr 235 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2524adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2625iffalsed 4474 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
2720, 26eqtr4d 2856 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
28 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
29 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
30 0exp0e1 13422 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
3129, 30syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
3231oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
33 0nn0 11900 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
348eftval 15418 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
36 fac0 13624 . . . . . . . . . 10 (!‘0) = 1
3736oveq2i 7156 . . . . . . . . 9 (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
38 1div1e1 11318 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
3937, 38eqtr2i 2842 . . . . . . . 8 1 = (1 / (!‘0))
4032, 35, 393eqtr4g 2878 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
4128, 40sylan9eqr 2875 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = 1)
42 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
4342, 22sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
4443iftrued 4471 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
4541, 44eqtr4d 2856 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
4627, 45jaodan 951 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
475, 46syldan 591 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
4833, 2eleqtri 2908 . . . 4 0 ∈ (ℤ‘0)
4948a1i 11 . . 3 (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ‘0))
50 1cnd 10624 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
51 fz0sn 12995 . . . . 5 (0...0) = {0}
5251eqimss2i 4023 . . . 4 {0} ⊆ (0...0)
5352a1i 11 . . 3 (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
5447, 49, 50, 53fsumcvg2 15072 . 2 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
55 0z 11980 . . 3 0 ∈ ℤ
5655, 40seq1i 13371 . 2 (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
5754, 56breqtrd 5083 1 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wss 3933  ifcif 4463  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cuz 12231  ...cfz 12880  seqcseq 13357  cexp 13417  !cfa 13621  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833
This theorem is referenced by:  ef0  15432
  Copyright terms: Public domain W3C validator