MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef0lem 15421
Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef0lem (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
2 nn0uz 12266 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtrrdi 2927 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4 elnn0 11885 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
53, 4sylib 221 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6 nnnn0 11890 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
76adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 eftval.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
98eftval 15419 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
11 oveq1 7145 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑘) = (0↑𝑘))
12 0exp 13458 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
1311, 12sylan9eq 2879 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) = 0)
1413oveq1d 7153 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
15 faccl 13637 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
16 nncn 11631 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
17 nnne0 11657 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
1816, 17div0d 11400 . . . . . . . 8 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
197, 15, 183syl 18 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
2010, 14, 193eqtrd 2863 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 0)
21 nnne0 11657 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
22 velsn 4564 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
2322necon3bbii 3060 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
2421, 23sylibr 237 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2524adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2625iffalsed 4459 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
2720, 26eqtr4d 2862 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
28 fveq2 6651 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
29 oveq1 7145 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
30 0exp0e1 13428 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
3129, 30syl6eq 2875 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
3231oveq1d 7153 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
33 0nn0 11898 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
348eftval 15419 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
36 fac0 13630 . . . . . . . . . 10 (!‘0) = 1
3736oveq2i 7149 . . . . . . . . 9 (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
38 1div1e1 11315 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
3937, 38eqtr2i 2848 . . . . . . . 8 1 = (1 / (!‘0))
4032, 35, 393eqtr4g 2884 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
4128, 40sylan9eqr 2881 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = 1)
42 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
4342, 22sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
4443iftrued 4456 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
4541, 44eqtr4d 2862 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
4627, 45jaodan 955 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
475, 46syldan 594 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
4833, 2eleqtri 2914 . . . 4 0 ∈ (ℤ‘0)
4948a1i 11 . . 3 (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ‘0))
50 1cnd 10621 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
51 fz0sn 13000 . . . . 5 (0...0) = {0}
5251eqimss2i 4010 . . . 4 {0} ⊆ (0...0)
5352a1i 11 . . 3 (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
5447, 49, 50, 53fsumcvg2 15073 . 2 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
55 0z 11978 . . 3 0 ∈ ℤ
5655, 40seq1i 13376 . 2 (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
5754, 56breqtrd 5073 1 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wss 3918  ifcif 4448  {csn 4548   class class class wbr 5047  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   / cdiv 11282  cn 11623  0cn0 11883  cuz 12229  ...cfz 12883  seqcseq 13362  cexp 13423  !cfa 13627  cli 14830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-seq 13363  df-exp 13424  df-fac 13628  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834
This theorem is referenced by:  ef0  15433
  Copyright terms: Public domain W3C validator