Theorem ef0lem 16170

Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef0lem	⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
2		nn0uz 12929	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrrdi 2873	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4		elnn0 12534	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
5	3, 4	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6		nnnn0 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		eftval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
9	8	eftval 16168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
10	7, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11		oveq1 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑘) = (0↑𝑘))
12		0exp 14165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
13	11, 12	sylan9eq 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) = 0)
14	13	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
15		faccl 14351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
16		nncn 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
17		nnne0 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
18	16, 17	div0d 12018	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
19	7, 15, 18	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
20	10, 14, 19	3eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 0)
21		nnne0 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
22		velsn 4603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
23	22	necon3bbii 3004	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
24	21, 23	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
25	24	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
26	25	iffalsed 4496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
27	20, 26	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
28		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
29		oveq1 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
30		0exp0e1 14134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
32	31	oveq1d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
33		0nn0 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	8	eftval 16168	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
36		fac0 14344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘0) = 1
37	36	oveq2i 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
38		1div1e1 11933	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 1) = 1
39	37, 38	eqtr2i 2786	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 / (!‘0))
40	32, 35, 39	3eqtr4g 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
41	28, 40	sylan9eqr 2819	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = 1)
42		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
43	42, 22	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
44	43	iftrued 4493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
45	41, 44	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
46	27, 45	jaodan 972	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
47	5, 46	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
48	33, 2	eleqtri 2860	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
49	48	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
50		1cnd 11230	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
51		fz0sn 13686	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
52	51	eqimss2i 3995	. . . 4 ⊢ {0} ⊆ (0...0)
53	52	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
54	47, 49, 50, 53	fsumcvg2 15817	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
55		0z 12630	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
56	55, 40	seq1i 14083	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
57	54, 56	breqtrd 5135	1 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  ifcif 4485  {csn 4587   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   / cdiv 11899  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565  seqcseq 14069  ↑cexp 14129  !cfa 14341   ⇝ cli 15575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579

This theorem is used by:  ef0  16183