Theorem ef0lem 16013

Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef0lem	⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
2		nn0uz 12801	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4		elnn0 12415	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
5	3, 4	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6		nnnn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		eftval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
9	8	eftval 16011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑘) = (0↑𝑘))
12		0exp 14032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
13	11, 12	sylan9eq 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) = 0)
14	13	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
15		faccl 14218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
16		nncn 12165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
17		nnne0 12191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
18	16, 17	div0d 11928	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
19	7, 15, 18	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
20	10, 14, 19	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 0)
21		nnne0 12191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
22		velsn 4598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
23	22	necon3bbii 2980	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
24	21, 23	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
26	25	iffalsed 4492	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
27	20, 26	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
28		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
29		oveq1 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
30		0exp0e1 14001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
32	31	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
33		0nn0 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	8	eftval 16011	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
36		fac0 14211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘0) = 1
37	36	oveq2i 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
38		1div1e1 11844	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 1) = 1
39	37, 38	eqtr2i 2761	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 / (!‘0))
40	32, 35, 39	3eqtr4g 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
41	28, 40	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = 1)
42		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
43	42, 22	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
44	43	iftrued 4489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
45	41, 44	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
46	27, 45	jaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
47	5, 46	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
48	33, 2	eleqtri 2835	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
49	48	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
50		1cnd 11139	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
51		fz0sn 13555	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
52	51	eqimss2i 3997	. . . 4 ⊢ {0} ⊆ (0...0)
53	52	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
54	47, 49, 50, 53	fsumcvg2 15662	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
55		0z 12511	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
56	55, 40	seq1i 13950	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
57	54, 56	breqtrd 5126	1 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  seqcseq 13936  ↑cexp 13996  !cfa 14208   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423

This theorem is referenced by:  ef0  16026