MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef0lem 15211
Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef0lem (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
2 nn0uz 12028 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleqr 2869 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4 elnn0 11644 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
53, 4sylib 210 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6 nnnn0 11650 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
76adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 eftval.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
98eftval 15209 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
11 oveq1 6929 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑘) = (0↑𝑘))
12 0exp 13213 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
1311, 12sylan9eq 2833 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) = 0)
1413oveq1d 6937 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
15 faccl 13388 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
16 nncn 11383 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
17 nnne0 11410 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
1816, 17div0d 11150 . . . . . . . 8 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
197, 15, 183syl 18 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
2010, 14, 193eqtrd 2817 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 0)
21 nnne0 11410 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
22 velsn 4413 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
2322necon3bbii 3015 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
2421, 23sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2524adantl 475 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2625iffalsed 4317 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
2720, 26eqtr4d 2816 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
28 fveq2 6446 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
29 oveq1 6929 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
30 0exp0e1 13183 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
3129, 30syl6eq 2829 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
3231oveq1d 6937 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
33 0nn0 11659 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
348eftval 15209 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
36 fac0 13381 . . . . . . . . . 10 (!‘0) = 1
3736oveq2i 6933 . . . . . . . . 9 (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
38 1div1e1 11065 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
3937, 38eqtr2i 2802 . . . . . . . 8 1 = (1 / (!‘0))
4032, 35, 393eqtr4g 2838 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
4128, 40sylan9eqr 2835 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = 1)
42 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
4342, 22sylibr 226 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
4443iftrued 4314 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
4541, 44eqtr4d 2816 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
4627, 45jaodan 943 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
475, 46syldan 585 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
4833, 2eleqtri 2856 . . . 4 0 ∈ (ℤ‘0)
4948a1i 11 . . 3 (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ‘0))
50 1cnd 10371 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
51 fz0sn 12758 . . . . 5 (0...0) = {0}
5251eqimss2i 3878 . . . 4 {0} ⊆ (0...0)
5352a1i 11 . . 3 (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
5447, 49, 50, 53fsumcvg2 14865 . 2 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
55 0z 11739 . . 3 0 ∈ ℤ
5655, 40seq1i 13133 . 2 (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
5754, 56breqtrd 4912 1 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wss 3791  ifcif 4306  {csn 4397   class class class wbr 4886  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   / cdiv 11032  cn 11374  0cn0 11642  cuz 11992  ...cfz 12643  seqcseq 13119  cexp 13178  !cfa 13378  cli 14623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627
This theorem is referenced by:  ef0  15223
  Copyright terms: Public domain W3C validator