Theorem ef0lem 15776

Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef0lem	⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
2		nn0uz 12608	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrrdi 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4		elnn0 12223	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
5	3, 4	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6		nnnn0 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		eftval.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
9	8	eftval 15774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11		oveq1 7275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑘) = (0↑𝑘))
12		0exp 13806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
13	11, 12	sylan9eq 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) = 0)
14	13	oveq1d 7283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
15		faccl 13985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
16		nncn 11969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
17		nnne0 11995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
18	16, 17	div0d 11738	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
19	7, 15, 18	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
20	10, 14, 19	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 0)
21		nnne0 11995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
22		velsn 4578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
23	22	necon3bbii 2991	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
24	21, 23	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
25	24	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
26	25	iffalsed 4471	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
27	20, 26	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
28		fveq2 6767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
29		oveq1 7275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
30		0exp0e1 13775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
31	29, 30	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
32	31	oveq1d 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
33		0nn0 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	8	eftval 15774	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
36		fac0 13978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘0) = 1
37	36	oveq2i 7279	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
38		1div1e1 11653	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 1) = 1
39	37, 38	eqtr2i 2767	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 / (!‘0))
40	32, 35, 39	3eqtr4g 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
41	28, 40	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = 1)
42		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
43	42, 22	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
44	43	iftrued 4468	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
45	41, 44	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
46	27, 45	jaodan 955	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
47	5, 46	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
48	33, 2	eleqtri 2837	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
49	48	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
50		1cnd 10958	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
51		fz0sn 13344	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
52	51	eqimss2i 3980	. . . 4 ⊢ {0} ⊆ (0...0)
53	52	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
54	47, 49, 50, 53	fsumcvg2 15427	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
55		0z 12318	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
56	55, 40	seq1i 13723	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
57	54, 56	breqtrd 5100	1 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  ifcif 4460  {csn 4562   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  0cc0 10859  1c1 10860   + caddc 10862   / cdiv 11620  ℕcn 11961  ℕ₀cn0 12221  ℤ_≥cuz 12570  ...cfz 13227  seqcseq 13709  ↑cexp 13770  !cfa 13975   ⇝ cli 15181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-rp 12719  df-fz 13228  df-seq 13710  df-exp 13771  df-fac 13976  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-clim 15185

This theorem is referenced by:  ef0  15788