MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef0lem 15961
Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef0lem (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
2 nn0uz 12805 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtrrdi 2849 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4 elnn0 12415 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
53, 4sylib 217 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6 nnnn0 12420 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
76adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 eftval.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
98eftval 15959 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
11 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑘) = (0↑𝑘))
12 0exp 14003 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
1311, 12sylan9eq 2796 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) = 0)
1413oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
15 faccl 14183 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
16 nncn 12161 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
17 nnne0 12187 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ≠ 0)
1816, 17div0d 11930 . . . . . . . 8 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
197, 15, 183syl 18 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
2010, 14, 193eqtrd 2780 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 0)
21 nnne0 12187 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
22 velsn 4602 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
2322necon3bbii 2991 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
2421, 23sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2524adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2625iffalsed 4497 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
2720, 26eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
28 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
29 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
30 0exp0e1 13972 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
3129, 30eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
3231oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
33 0nn0 12428 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
348eftval 15959 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0))
36 fac0 14176 . . . . . . . . . 10 (!‘0) = 1
3736oveq2i 7368 . . . . . . . . 9 (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
38 1div1e1 11845 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
3937, 38eqtr2i 2765 . . . . . . . 8 1 = (1 / (!‘0))
4032, 35, 393eqtr4g 2801 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
4128, 40sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = 1)
42 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
4342, 22sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
4443iftrued 4494 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
4541, 44eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
4627, 45jaodan 956 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
475, 46syldan 591 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
4833, 2eleqtri 2836 . . . 4 0 ∈ (ℤ‘0)
4948a1i 11 . . 3 (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ‘0))
50 1cnd 11150 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
51 fz0sn 13541 . . . . 5 (0...0) = {0}
5251eqimss2i 4003 . . . 4 {0} ⊆ (0...0)
5352a1i 11 . . 3 (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
5447, 49, 50, 53fsumcvg2 15612 . 2 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
55 0z 12510 . . 3 0 ∈ ℤ
5655, 40seq1i 13920 . 2 (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
5754, 56breqtrd 5131 1 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  !cfa 14173  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370
This theorem is referenced by:  ef0  15973
  Copyright terms: Public domain W3C validator