MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coefv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coefv0 26287
Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coefv0 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Proof of Theorem coefv0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11253 . . 3 0 ∈ ℂ
2 coefv0.1 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3 eqid 2737 . . . 4 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
42, 3coeid2 26278 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
51, 4mpan2 691 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
6 dgrcl 26272 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7 nn0uz 12920 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
86, 7eleqtrdi 2851 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
9 fzss2 13604 . . . 4 ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ‘0) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
11 elfz1eq 13575 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
12 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘0))
13 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
14 0exp0e1 14107 . . . . . . . 8 (0↑0) = 1
1513, 14eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
1612, 15oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
1711, 16syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
182coef3 26271 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19 0nn0 12541 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
20 ffvelcdm 7101 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2221mulridd 11278 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
2317, 22sylan9eqr 2799 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
2421adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2523, 24eqeltrd 2841 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
26 eldifn 4132 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...0))
27 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)))
28 elfznn0 13660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30 elnn0 12528 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3129, 30sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3231ord 865 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
33 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
34 0z 12624 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
35 elfz3 13574 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0...0)
3733, 36eqeltrdi 2849 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0...0))
3832, 37syl6 35 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (0...0)))
3926, 38mt3d 148 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41400expd 14179 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (0↑𝑘) = 0)
4241oveq2d 7447 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴𝑘) · 0))
43 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4418, 29, 43syl2an 596 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4544mul01d 11460 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
4642, 45eqtrd 2777 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = 0)
47 fzfid 14014 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
4810, 25, 46, 47fsumss 15761 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
4922, 21eqeltrd 2841 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ)
5016fsum1 15783 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
5134, 49, 50sylancr 587 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
5251, 22eqtrd 2777 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
535, 48, 523eqtr2d 2783 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  wss 3951  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  cexp 14102  Σcsu 15722  Polycply 26223  coeffccoe 26225  degcdgr 26226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-0p 25705  df-ply 26227  df-coe 26229  df-dgr 26230
This theorem is referenced by:  coemulc  26294  dgreq0  26305  vieta1lem2  26353  aareccl  26368  ftalem5  27120  signsply0  34566  elaa2  46249
  Copyright terms: Public domain W3C validator