Theorem coefv0 25409

Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
coefv0.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coefv0	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Proof of Theorem coefv0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10967	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		coefv0.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
4	2, 3	coeid2 25400	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
5	1, 4	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
6		dgrcl 25394	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7		nn0uz 12620	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
8	6, 7	eleqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
9		fzss2 13296	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
11		elfz1eq 13267	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
12		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘0))
13		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
14		0exp0e1 13787	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑0) = 1
15	13, 14	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
16	12, 15	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
17	11, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
18	2	coef3 25393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		0nn0 12248	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		ffvelrn 6959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
22	21	mulid1d 10992	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
23	17, 22	sylan9eqr 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
24	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
25	23, 24	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
26		eldifn 4062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...0))
27		eldifi 4061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)))
28		elfznn0 13349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30		elnn0 12235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
31	29, 30	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
32	31	ord 861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
33		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
34		0z 12330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
35		elfz3 13266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0...0)
37	33, 36	eqeltrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0...0))
38	32, 37	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (0...0)))
39	26, 38	mt3d 148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	39	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41	40	0expd 13857	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (0↑𝑘) = 0)
42	41	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · 0))
43		ffvelrn 6959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
44	18, 29, 43	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
45	44	mul01d 11174	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · 0) = 0)
46	42, 45	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = 0)
47		fzfid 13693	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
48	10, 25, 46, 47	fsumss 15437	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
49	22, 21	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ)
50	16	fsum1 15459	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
51	34, 49, 50	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
52	51, 22	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
53	5, 48, 52	3eqtr2d 2784	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  Σcsu 15397  Polycply 25345  coeffccoe 25347  degcdgr 25348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-0p 24834  df-ply 25349  df-coe 25351  df-dgr 25352

This theorem is referenced by:  coemulc  25416  dgreq0  25426  vieta1lem2  25471  aareccl  25486  ftalem5  26226  signsply0  32530  elaa2  43775