MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coefv0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coefv0 25754
Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
coefv0 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜0) = (π΄β€˜0))
Proof of Theorem coefv0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11203 . . 3 0 ∈ β„‚
2 coefv0.1 . . . 4 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
3 eqid 2733 . . . 4 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
42, 3coeid2 25745 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜0) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
51, 4mpan2 690 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜0) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
6 dgrcl 25739 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
7 nn0uz 12861 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
86, 7eleqtrdi 2844 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
9 fzss2 13538 . . . 4 ((degβ€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0...0) βŠ† (0...(degβ€˜πΉ)))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (0...0) βŠ† (0...(degβ€˜πΉ)))
11 elfz1eq 13509 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ π‘˜ = 0)
12 fveq2 6889 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜0))
13 oveq2 7414 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (0β†‘π‘˜) = (0↑0))
14 0exp0e1 14029 . . . . . . . 8 (0↑0) = 1
1513, 14eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (0β†‘π‘˜) = 1)
1612, 15oveq12d 7424 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜0) Β· 1))
1711, 16syl 17 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜0) Β· 1))
182coef3 25738 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
19 0nn0 12484 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
20 ffvelcdm 7081 . . . . . . 7 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
2118, 19, 20sylancl 587 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
2221mulridd 11228 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((π΄β€˜0) Β· 1) = (π΄β€˜0))
2317, 22sylan9eqr 2795 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = (π΄β€˜0))
2421adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
2523, 24eqeltrd 2834 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
26 eldifn 4127 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...0))
27 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ)))
28 elfznn0 13591 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
30 elnn0 12471 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
3129, 30sylib 217 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
3231ord 863 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ = 0))
33 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ π‘˜ = 0)
34 0z 12566 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„€
35 elfz3 13508 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ β„€ β†’ 0 ∈ (0...0))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0...0)
3733, 36eqeltrdi 2842 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ π‘˜ ∈ (0...0))
3832, 37syl6 35 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ (0...0)))
3926, 38mt3d 148 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4039adantl 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
41400expd 14101 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ (0β†‘π‘˜) = 0)
4241oveq2d 7422 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0))
43 ffvelcdm 7081 . . . . . 6 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4418, 29, 43syl2an 597 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4544mul01d 11410 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
4642, 45eqtrd 2773 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = 0)
47 fzfid 13935 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) ∈ Fin)
4810, 25, 46, 47fsumss 15668 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
4922, 21eqeltrd 2834 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((π΄β€˜0) Β· 1) ∈ β„‚)
5016fsum1 15690 . . . 4 ((0 ∈ β„€ ∧ ((π΄β€˜0) Β· 1) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜0) Β· 1))
5134, 49, 50sylancr 588 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜0) Β· 1))
5251, 22eqtrd 2773 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = (π΄β€˜0))
535, 48, 523eqtr2d 2779 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜0) = (π΄β€˜0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   Β· cmul 11112  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  ...cfz 13481  β†‘cexp 14024  Ξ£csu 15629  Polycply 25690  coeffccoe 25692  degcdgr 25693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-0p 25179  df-ply 25694  df-coe 25696  df-dgr 25697
This theorem is referenced by:  coemulc  25761  dgreq0  25771  vieta1lem2  25816  aareccl  25831  ftalem5  26571  signsply0  33551  elaa2  44937
  Copyright terms: Public domain W3C validator