Theorem coefv0 26481

Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
coefv0.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coefv0	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Proof of Theorem coefv0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11226	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		coefv0.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
4	2, 3	coeid2 26472	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
5	1, 4	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
6		dgrcl 26466	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7		nn0uz 12929	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
8	6, 7	eleqtrdi 2872	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
9		fzss2 13623	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
11		elfz1eq 13593	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
12		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘0))
13		oveq2 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
14		0exp0e1 14134	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑0) = 1
15	13, 14	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
16	12, 15	oveq12d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
17	11, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
18	2	coef3 26465	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		0nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		ffvelcdm 7078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
22	21	mulridd 11254	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
23	17, 22	sylan9eqr 2819	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
24	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
25	23, 24	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
26		eldifn 4082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...0))
27		eldifi 4081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)))
28		elfznn0 13679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30		elnn0 12534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
31	29, 30	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
32	31	ord 878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
33		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
34		0z 12630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
35		elfz3 13592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0...0)
37	33, 36	eqeltrdi 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0...0))
38	32, 37	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (0...0)))
39	26, 38	mt3d 149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	39	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41	40	0expd 14207	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (0↑𝑘) = 0)
42	41	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · 0))
43		ffvelcdm 7078	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
44	18, 29, 43	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
45	44	mul01d 11437	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · 0) = 0)
46	42, 45	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = 0)
47		fzfid 14041	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
48	10, 25, 46, 47	fsumss 15815	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
49	22, 21	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ)
50	16	fsum1 15837	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
51	34, 49, 50	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
52	51, 22	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
53	5, 48, 52	3eqtr2d 2803	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   · cmul 11133  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565  ↑cexp 14129  Σcsu 15777  Polycply 26416  coeffccoe 26418  degcdgr 26419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-0p 25904  df-ply 26420  df-coe 26422  df-dgr 26423

This theorem is used by:  coemulc  26488  dgreq0  26498  vieta1lem2  26550  aareccl  26569  ftalem5  27321  signsply0  35067  elaa2  47070