Theorem coefv0 26205

Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
coefv0.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coefv0	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Proof of Theorem coefv0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11227	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		coefv0.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
4	2, 3	coeid2 26196	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
5	1, 4	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
6		dgrcl 26190	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7		nn0uz 12894	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
8	6, 7	eleqtrdi 2844	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
9		fzss2 13581	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
11		elfz1eq 13552	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
12		fveq2 6876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘0))
13		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
14		0exp0e1 14084	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑0) = 1
15	13, 14	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
16	12, 15	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
17	11, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
18	2	coef3 26189	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		0nn0 12516	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		ffvelcdm 7071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
22	21	mulridd 11252	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
23	17, 22	sylan9eqr 2792	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
24	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
25	23, 24	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
26		eldifn 4107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...0))
27		eldifi 4106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)))
28		elfznn0 13637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30		elnn0 12503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
31	29, 30	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
32	31	ord 864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
33		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
34		0z 12599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
35		elfz3 13551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0...0)
37	33, 36	eqeltrdi 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0...0))
38	32, 37	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (0...0)))
39	26, 38	mt3d 148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	39	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41	40	0expd 14157	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (0↑𝑘) = 0)
42	41	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · 0))
43		ffvelcdm 7071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
44	18, 29, 43	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
45	44	mul01d 11434	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · 0) = 0)
46	42, 45	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = 0)
47		fzfid 13991	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
48	10, 25, 46, 47	fsumss 15741	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
49	22, 21	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ)
50	16	fsum1 15763	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
51	34, 49, 50	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
52	51, 22	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
53	5, 48, 52	3eqtr2d 2776	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  ↑cexp 14079  Σcsu 15702  Polycply 26141  coeffccoe 26143  degcdgr 26144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-0p 25623  df-ply 26145  df-coe 26147  df-dgr 26148

This theorem is referenced by:  coemulc  26212  dgreq0  26223  vieta1lem2  26271  aareccl  26286  ftalem5  27039  signsply0  34583  elaa2  46263