MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coefv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coefv0 24410
Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coefv0 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Proof of Theorem coefv0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10355 . . 3 0 ∈ ℂ
2 coefv0.1 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3 eqid 2825 . . . 4 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
42, 3coeid2 24401 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
51, 4mpan2 682 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
6 dgrcl 24395 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7 nn0uz 12011 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
86, 7syl6eleq 2916 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
9 fzss2 12681 . . . 4 ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ‘0) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
11 elfz1eq 12652 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
12 fveq2 6437 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘0))
13 oveq2 6918 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
14 0exp0e1 13166 . . . . . . . 8 (0↑0) = 1
1513, 14syl6eq 2877 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
1612, 15oveq12d 6928 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
1711, 16syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
182coef3 24394 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19 0nn0 11642 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
20 ffvelrn 6611 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2118, 19, 20sylancl 580 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2221mulid1d 10381 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
2317, 22sylan9eqr 2883 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
2421adantr 474 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2523, 24eqeltrd 2906 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
26 eldifn 3962 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...0))
27 eldifi 3961 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)))
28 elfznn0 12734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30 elnn0 11627 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3129, 30sylib 210 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3231ord 895 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
33 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
34 0z 11722 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
35 elfz3 12651 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0...0)
3733, 36syl6eqel 2914 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0...0))
3832, 37syl6 35 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (0...0)))
3926, 38mt3d 143 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039adantl 475 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41400expd 13325 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (0↑𝑘) = 0)
4241oveq2d 6926 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴𝑘) · 0))
43 ffvelrn 6611 . . . . . 6 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4418, 29, 43syl2an 589 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4544mul01d 10561 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
4642, 45eqtrd 2861 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = 0)
47 fzfid 13074 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
4810, 25, 46, 47fsumss 14840 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
4922, 21eqeltrd 2906 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ)
5016fsum1 14860 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
5134, 49, 50sylancr 581 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
5251, 22eqtrd 2861 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
535, 48, 523eqtr2d 2867 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  cdif 3795  wss 3798  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264  cn 11357  0cn0 11625  cz 11711  cuz 11975  ...cfz 12626  cexp 13161  Σcsu 14800  Polycply 24346  coeffccoe 24348  degcdgr 24349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-0p 23843  df-ply 24350  df-coe 24352  df-dgr 24353
This theorem is referenced by:  coemulc  24417  dgreq0  24427  vieta1lem2  24472  aareccl  24487  ftalem5  25223  signsply0  31171  elaa2  41239
  Copyright terms: Public domain W3C validator