Theorem coefv0 24410

Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
coefv0.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coefv0	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Proof of Theorem coefv0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10355	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		coefv0.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
4	2, 3	coeid2 24401	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
5	1, 4	mpan2 682	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
6		dgrcl 24395	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7		nn0uz 12011	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
8	6, 7	syl6eleq 2916	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
9		fzss2 12681	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
11		elfz1eq 12652	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
12		fveq2 6437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘0))
13		oveq2 6918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
14		0exp0e1 13166	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑0) = 1
15	13, 14	syl6eq 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
16	12, 15	oveq12d 6928	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
17	11, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
18	2	coef3 24394	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		0nn0 11642	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		ffvelrn 6611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
22	21	mulid1d 10381	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
23	17, 22	sylan9eqr 2883	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
24	21	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
25	23, 24	eqeltrd 2906	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
26		eldifn 3962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...0))
27		eldifi 3961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)))
28		elfznn0 12734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30		elnn0 11627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
31	29, 30	sylib 210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
32	31	ord 895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
33		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
34		0z 11722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
35		elfz3 12651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0...0)
37	33, 36	syl6eqel 2914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0...0))
38	32, 37	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (0...0)))
39	26, 38	mt3d 143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	39	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41	40	0expd 13325	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (0↑𝑘) = 0)
42	41	oveq2d 6926	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · 0))
43		ffvelrn 6611	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
44	18, 29, 43	syl2an 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
45	44	mul01d 10561	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · 0) = 0)
46	42, 45	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = 0)
47		fzfid 13074	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
48	10, 25, 46, 47	fsumss 14840	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
49	22, 21	eqeltrd 2906	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ)
50	16	fsum1 14860	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
51	34, 49, 50	sylancr 581	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
52	51, 22	eqtrd 2861	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
53	5, 48, 52	3eqtr2d 2867	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264  ℕcn 11357  ℕ₀cn0 11625  ℤcz 11711  ℤ_≥cuz 11975  ...cfz 12626  ↑cexp 13161  Σcsu 14800  Polycply 24346  coeffccoe 24348  degcdgr 24349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-0p 23843  df-ply 24350  df-coe 24352  df-dgr 24353

This theorem is referenced by:  coemulc  24417  dgreq0  24427  vieta1lem2  24472  aareccl  24487  ftalem5  25223  signsply0  31171  elaa2  41239