MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coefv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coefv0 26302
Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coefv0 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Proof of Theorem coefv0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11251 . . 3 0 ∈ ℂ
2 coefv0.1 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3 eqid 2735 . . . 4 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
42, 3coeid2 26293 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
51, 4mpan2 691 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
6 dgrcl 26287 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7 nn0uz 12918 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
86, 7eleqtrdi 2849 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
9 fzss2 13601 . . . 4 ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ‘0) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
11 elfz1eq 13572 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
12 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘0))
13 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
14 0exp0e1 14104 . . . . . . . 8 (0↑0) = 1
1513, 14eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
1612, 15oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
1711, 16syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
182coef3 26286 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19 0nn0 12539 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
20 ffvelcdm 7101 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2221mulridd 11276 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
2317, 22sylan9eqr 2797 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
2421adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2523, 24eqeltrd 2839 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
26 eldifn 4142 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...0))
27 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)))
28 elfznn0 13657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30 elnn0 12526 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3129, 30sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3231ord 864 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
33 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
34 0z 12622 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
35 elfz3 13571 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0...0)
3733, 36eqeltrdi 2847 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0...0))
3832, 37syl6 35 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (0...0)))
3926, 38mt3d 148 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41400expd 14176 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (0↑𝑘) = 0)
4241oveq2d 7447 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴𝑘) · 0))
43 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4418, 29, 43syl2an 596 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4544mul01d 11458 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
4642, 45eqtrd 2775 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = 0)
47 fzfid 14011 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
4810, 25, 46, 47fsumss 15758 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
4922, 21eqeltrd 2839 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ)
5016fsum1 15780 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
5134, 49, 50sylancr 587 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
5251, 22eqtrd 2775 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
535, 48, 523eqtr2d 2781 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  wss 3963  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  Σcsu 15719  Polycply 26238  coeffccoe 26240  degcdgr 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244  df-dgr 26245
This theorem is referenced by:  coemulc  26309  dgreq0  26320  vieta1lem2  26368  aareccl  26383  ftalem5  27135  signsply0  34545  elaa2  46190
  Copyright terms: Public domain W3C validator