MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coefv0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coefv0 26100
Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
coefv0 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜0) = (π΄β€˜0))
Proof of Theorem coefv0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11213 . . 3 0 ∈ β„‚
2 coefv0.1 . . . 4 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
3 eqid 2731 . . . 4 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
42, 3coeid2 26091 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜0) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
51, 4mpan2 688 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜0) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
6 dgrcl 26085 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
7 nn0uz 12871 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
86, 7eleqtrdi 2842 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
9 fzss2 13548 . . . 4 ((degβ€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0...0) βŠ† (0...(degβ€˜πΉ)))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (0...0) βŠ† (0...(degβ€˜πΉ)))
11 elfz1eq 13519 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ π‘˜ = 0)
12 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜0))
13 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (0β†‘π‘˜) = (0↑0))
14 0exp0e1 14039 . . . . . . . 8 (0↑0) = 1
1513, 14eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (0β†‘π‘˜) = 1)
1612, 15oveq12d 7430 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜0) Β· 1))
1711, 16syl 17 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (0...0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜0) Β· 1))
182coef3 26084 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
19 0nn0 12494 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
20 ffvelcdm 7083 . . . . . . 7 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
2118, 19, 20sylancl 585 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
2221mulridd 11238 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((π΄β€˜0) Β· 1) = (π΄β€˜0))
2317, 22sylan9eqr 2793 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = (π΄β€˜0))
2421adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
2523, 24eqeltrd 2832 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
26 eldifn 4127 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...0))
27 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ)))
28 elfznn0 13601 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
30 elnn0 12481 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
3129, 30sylib 217 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∨ π‘˜ = 0))
3231ord 861 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ = 0))
33 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ π‘˜ = 0)
34 0z 12576 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„€
35 elfz3 13518 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ β„€ β†’ 0 ∈ (0...0))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0...0)
3733, 36eqeltrdi 2840 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ π‘˜ ∈ (0...0))
3832, 37syl6 35 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ (0...0)))
3926, 38mt3d 148 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4039adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
41400expd 14111 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ (0β†‘π‘˜) = 0)
4241oveq2d 7428 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0))
43 ffvelcdm 7083 . . . . . 6 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4418, 29, 43syl2an 595 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4544mul01d 11420 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
4642, 45eqtrd 2771 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(degβ€˜πΉ)) βˆ– (0...0))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = 0)
47 fzfid 13945 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) ∈ Fin)
4810, 25, 46, 47fsumss 15678 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
4922, 21eqeltrd 2832 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((π΄β€˜0) Β· 1) ∈ β„‚)
5016fsum1 15700 . . . 4 ((0 ∈ β„€ ∧ ((π΄β€˜0) Β· 1) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜0) Β· 1))
5134, 49, 50sylancr 586 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜0) Β· 1))
5251, 22eqtrd 2771 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((π΄β€˜π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = (π΄β€˜0))
535, 48, 523eqtr2d 2777 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜0) = (π΄β€˜0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   Β· cmul 11121  β„•cn 12219  β„•0cn0 12479  β„€cz 12565  β„€β‰₯cuz 12829  ...cfz 13491  β†‘cexp 14034  Ξ£csu 15639  Polycply 26036  coeffccoe 26038  degcdgr 26039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-0p 25519  df-ply 26040  df-coe 26042  df-dgr 26043
This theorem is referenced by:  coemulc  26107  dgreq0  26118  vieta1lem2  26163  aareccl  26178  ftalem5  26922  signsply0  34026  elaa2  45409
  Copyright terms: Public domain W3C validator