Theorem 0nonelalab 43160

Description: Technical lemma for open interval. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
0nonelaleb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
0nonelaleb.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
0nonelaleb.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
0nonelaleb.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
0nonelalab.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
0nonelalab	⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem 0nonelalab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11311	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		0nonelaleb.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0nonelalab.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4		elioore 13506	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		0nonelaleb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
7	2	rexrd 11359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		0nonelaleb.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		elioo2 13517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
11	7, 9, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
12	3, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
13	12	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
14	1, 2, 5, 6, 13	lttrd 11471	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
15	1, 14	ltned 11446	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  (,)cioo 13476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-addrcl 11261  ax-rnegex 11271  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-ioo 13480

This theorem is used by:  dvrelogpow2b  43161