Theorem 0nonelalab 40920

Description: Technical lemma for open interval. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
0nonelaleb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
0nonelaleb.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
0nonelaleb.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
0nonelaleb.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
0nonelalab.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
0nonelalab	⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem 0nonelalab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11213	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		0nonelaleb.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0nonelalab.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4		elioore 13350	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		0nonelaleb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
7	2	rexrd 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		0nonelaleb.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		elioo2 13361	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
12	3, 11	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
13	12	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
14	1, 2, 5, 6, 13	lttrd 11371	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
15	1, 14	ltned 11346	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,)cioo 13320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13324

This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  40921