Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nonelalab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nonelalab 41593
Description: Technical lemma for open interval. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
0nonelaleb.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
0nonelaleb.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
0nonelaleb.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
0nonelaleb.4 (𝜑𝐴𝐵)
0nonelalab.5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
0nonelalab (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem 0nonelalab
StepHypRef Expression
1 0red 11245 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 0nonelaleb.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 0nonelalab.5 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4 elioore 13384 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 0nonelaleb.3 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
72rexrd 11292 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
8 0nonelaleb.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 11292 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
10 elioo2 13395 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
117, 9, 10syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
123, 11mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
1312simp2d 1140 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐶)
141, 2, 5, 6, 13lttrd 11403 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐶)
151, 14ltned 11378 1 (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084  wcel 2098  wne 2930   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  cr 11135  0cc0 11136  *cxr 11275   < clt 11276  cle 11277  (,)cioo 13354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-addrcl 11197  ax-rnegex 11207  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-ioo 13358
This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  41594
  Copyright terms: Public domain W3C validator