Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nonelalab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nonelalab 42068
Description: Technical lemma for open interval. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
0nonelaleb.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
0nonelaleb.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
0nonelaleb.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
0nonelaleb.4 (𝜑𝐴𝐵)
0nonelalab.5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
0nonelalab (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem 0nonelalab
StepHypRef Expression
1 0red 11264 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 0nonelaleb.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 0nonelalab.5 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4 elioore 13417 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 0nonelaleb.3 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
72rexrd 11311 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
8 0nonelaleb.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 11311 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
10 elioo2 13428 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
117, 9, 10syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
123, 11mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
1312simp2d 1144 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐶)
141, 2, 5, 6, 13lttrd 11422 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐶)
151, 14ltned 11397 1 (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1087  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391
This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  42069
  Copyright terms: Public domain W3C validator