Theorem 0nonelalab 39668

Description: Technical lemma for open interval. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
0nonelaleb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
0nonelaleb.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
0nonelaleb.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
0nonelaleb.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
0nonelalab.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
0nonelalab	⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem 0nonelalab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10695	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		0nonelaleb.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0nonelalab.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4		elioore 12822	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		0nonelaleb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
7	2	rexrd 10742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		0nonelaleb.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 10742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		elioo2 12833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
11	7, 9, 10	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
12	3, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
13	12	simp2d 1140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
14	1, 2, 5, 6, 13	lttrd 10852	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
15	1, 14	ltned 10827	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5036  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  0cc0 10588  ℝ^*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727  (,)cioo 12792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-addrcl 10649  ax-rnegex 10659  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-ioo 12796

This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  39669