Theorem 0nonelalab 42028

Description: Technical lemma for open interval. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
0nonelaleb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
0nonelaleb.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
0nonelaleb.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
0nonelaleb.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
0nonelalab.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
0nonelalab	⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem 0nonelalab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11153	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		0nonelaleb.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0nonelalab.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4		elioore 13312	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		0nonelaleb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
7	2	rexrd 11200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		0nonelaleb.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		elioo2 13323	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
12	3, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
13	12	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
14	1, 2, 5, 6, 13	lttrd 11311	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
15	1, 14	ltned 11286	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  (,)cioo 13282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-ioo 13286

This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  42029