Theorem 0nonelalab 42049

Description: Technical lemma for open interval. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
0nonelaleb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
0nonelaleb.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
0nonelaleb.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
0nonelaleb.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
0nonelalab.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
0nonelalab	⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem 0nonelalab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11262	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		0nonelaleb.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0nonelalab.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4		elioore 13414	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		0nonelaleb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
7	2	rexrd 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		0nonelaleb.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		elioo2 13425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
12	3, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
13	12	simp2d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
14	1, 2, 5, 6, 13	lttrd 11420	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
15	1, 14	ltned 11395	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  (,)cioo 13384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ioo 13388

This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  42050