Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelog2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog2b 41238
Description: Derivative of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelog2b.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
dvrelog2b.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
dvrelog2b.3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
dvrelog2b.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
dvrelog2b.5 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ))
dvrelog2b.6 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
Assertion
Ref Expression
dvrelog2b (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = ๐บ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ)   ๐บ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem dvrelog2b
StepHypRef Expression
1 dvrelog2b.5 . . . . 5 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ))
21a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ)))
3 2cnd 12295 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4 2ne0 12321 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โ‰  0)
6 1red 11220 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
7 1lt2 12388 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 < 2)
96, 8ltned 11355 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โ‰  2)
109necomd 2995 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โ‰  1)
115, 10nelprd 4659 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ยฌ 2 โˆˆ {0, 1})
123, 11eldifd 3959 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}))
13 elioore 13359 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
14 recn 11204 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1615adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
17 elsni 4645 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ {0} โ†’ ๐‘ฅ = 0)
18 dvrelog2b.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
19 0xr 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 โˆˆ โ„*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„*)
21 dvrelog2b.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
22 xrlenlt 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” ยฌ ๐ด < 0))
2320, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” ยฌ ๐ด < 0))
2418, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด < 0)
2524orcd 870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐ด < 0 โˆจ ยฌ 0 < ๐ต))
26 ianor 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ยฌ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โ†” (ยฌ ๐ด < 0 โˆจ ยฌ 0 < ๐ต))
2725, 26sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต))
28 dvrelog2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
29 elioo5 13386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)))
3021, 28, 20, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)))
3130notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” ยฌ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)))
3227, 31mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
3332a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต)))
3433imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
3534pm2.01da 796 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
37 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต)))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต)))
3936, 38mtbird 325 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
4017, 39sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {0}) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
4140ex 412 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {0} โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)))
4241con2d 134 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0}))
4342imp 406 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0})
4416, 43eldifd 3959 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
45 logbval 26508 . . . . . 6 ((2 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (2 logb ๐‘ฅ) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))
4612, 44, 45syl2anc 583 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 logb ๐‘ฅ) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))
4746mpteq2dva 5248 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))))
482, 47eqtrd 2771 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))))
4948oveq2d 7428 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))))
50 reelprrecn 11206 . . . . 5 โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚}
5150a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚})
5239ex 412 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)))
5352con2d 134 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ = 0))
54 biidd 262 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†” ๐‘ฅ = 0))
5554necon3bbid 2977 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = 0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0))
5655pm5.74i 271 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ = 0) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
5753, 56sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
5857imp 406 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
5916, 58logcld 26316 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6013adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
616, 60, 58redivcld 12047 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
62 dvrelog2b.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
63 eqid 2731 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))
64 eqid 2731 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ))
6521, 28, 18, 62, 63, 64dvrelog3 41237 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ)))
66 2cnd 12295 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
674a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
6866, 67logcld 26316 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
69 0red 11222 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
70 2rp 12984 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
71 loggt0b 26377 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (0 < (logโ€˜2) โ†” 1 < 2))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (logโ€˜2) โ†” 1 < 2)
737, 72mpbir 230 . . . . . . 7 0 < (logโ€˜2)
7473a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < (logโ€˜2))
7569, 74ltned 11355 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  (logโ€˜2))
7675necomd 2995 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜2) โ‰  0)
7751, 59, 61, 65, 68, 76dvmptdivc 25718 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((1 / ๐‘ฅ) / (logโ€˜2))))
783, 5logcld 26316 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
7976adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โ‰  0)
8016, 78, 58, 79recdiv2d 12013 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ) / (logโ€˜2)) = (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
8180mpteq2dva 5248 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((1 / ๐‘ฅ) / (logโ€˜2))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
82 dvrelog2b.6 . . . . . 6 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
8382a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
8483eqcomd 2737 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) = ๐บ)
8581, 84eqtrd 2771 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((1 / ๐‘ฅ) / (logโ€˜2))) = ๐บ)
8677, 85eqtrd 2771 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))) = ๐บ)
8749, 86eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = ๐บ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   โˆ– cdif 3945  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   ยท cmul 11119  โ„*cxr 11252   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   / cdiv 11876  2c2 12272  โ„+crp 12979  (,)cioo 13329   D cdv 25613  logclog 26300   logb clogb 26506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-logb 26507
This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  41240  aks4d1p1p6  41245
  Copyright terms: Public domain W3C validator