Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelog2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog2b 42048
Description: Derivative of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelog2b.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
dvrelog2b.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
dvrelog2b.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
dvrelog2b.4 (𝜑𝐴𝐵)
dvrelog2b.5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
dvrelog2b.6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
Assertion
Ref Expression
dvrelog2b (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvrelog2b
StepHypRef Expression
1 dvrelog2b.5 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)))
3 2cnd 12342 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
4 2ne0 12368 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
6 1red 11260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
7 1lt2 12435 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 2)
96, 8ltned 11395 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≠ 2)
109necomd 2994 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 1)
115, 10nelprd 4662 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 2 ∈ {0, 1})
123, 11eldifd 3974 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
13 elioore 13414 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 recn 11243 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17 elsni 4648 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
18 dvrelog2b.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
19 0xr 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21 dvrelog2b.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
22 xrlenlt 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2418, 23mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
2524orcd 873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 0 ∨ ¬ 0 < 𝐵))
26 ianor 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 < 0 ∨ ¬ 0 < 𝐵))
2725, 26sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵))
28 dvrelog2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
29 elioo5 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3021, 28, 20, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3130notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3227, 31mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3332a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3433imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3534pm2.01da 799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
37 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3936, 38mtbird 325 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 0) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4017, 39sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4140ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ {0} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
4241con2d 134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ {0}))
4342imp 406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
4416, 43eldifd 3974 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
45 logbval 26824 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
4612, 44, 45syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
4746mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2))))
482, 47eqtrd 2775 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2))))
4948oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))))
50 reelprrecn 11245 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5239ex 412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5352con2d 134 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 0))
54 biidd 262 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 0 ↔ 𝑥 = 0))
5554necon3bbid 2976 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (¬ 𝑥 = 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
5655pm5.74i 271 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 0) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ≠ 0))
5753, 56sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ≠ 0))
5857imp 406 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
5916, 58logcld 26627 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
6013adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
616, 60, 58redivcld 12093 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
62 dvrelog2b.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
63 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))
64 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))
6521, 28, 18, 62, 63, 64dvrelog3 42047 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
66 2cnd 12342 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
674a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
6866, 67logcld 26627 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
69 0red 11262 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
70 2rp 13037 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
71 loggt0b 26689 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
737, 72mpbir 231 . . . . . . 7 0 < (log‘2)
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (log‘2))
7569, 74ltned 11395 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
7675necomd 2994 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) ≠ 0)
7751, 59, 61, 65, 68, 76dvmptdivc 26018 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))))
783, 5logcld 26627 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
7976adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ≠ 0)
8016, 78, 58, 79recdiv2d 12059 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / 𝑥) / (log‘2)) = (1 / (𝑥 · (log‘2))))
8180mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
82 dvrelog2b.6 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
8382a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
8483eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))) = 𝐺)
8581, 84eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))) = 𝐺)
8677, 85eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))) = 𝐺)
8749, 86eqtrd 2775 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  2c2 12319  +crp 13032  (,)cioo 13384   D cdv 25913  logclog 26611   logb clogb 26822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-logb 26823
This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  42050  aks4d1p1p6  42055
  Copyright terms: Public domain W3C validator