Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelog2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog2b 41237
Description: Derivative of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelog2b.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
dvrelog2b.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
dvrelog2b.3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
dvrelog2b.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
dvrelog2b.5 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ))
dvrelog2b.6 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
Assertion
Ref Expression
dvrelog2b (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = ๐บ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ)   ๐บ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem dvrelog2b
StepHypRef Expression
1 dvrelog2b.5 . . . . 5 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ))
21a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ)))
3 2cnd 12294 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4 2ne0 12320 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โ‰  0)
6 1red 11219 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
7 1lt2 12387 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 < 2)
96, 8ltned 11354 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โ‰  2)
109necomd 2994 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โ‰  1)
115, 10nelprd 4658 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ยฌ 2 โˆˆ {0, 1})
123, 11eldifd 3958 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}))
13 elioore 13358 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
14 recn 11202 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1615adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
17 elsni 4644 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ {0} โ†’ ๐‘ฅ = 0)
18 dvrelog2b.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
19 0xr 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 โˆˆ โ„*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„*)
21 dvrelog2b.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
22 xrlenlt 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” ยฌ ๐ด < 0))
2320, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” ยฌ ๐ด < 0))
2418, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด < 0)
2524orcd 869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐ด < 0 โˆจ ยฌ 0 < ๐ต))
26 ianor 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ยฌ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โ†” (ยฌ ๐ด < 0 โˆจ ยฌ 0 < ๐ต))
2725, 26sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต))
28 dvrelog2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
29 elioo5 13385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โˆˆ โ„*) โ†’ (0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)))
3021, 28, 20, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)))
3130notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” ยฌ (๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต)))
3227, 31mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
3332a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต)))
3433imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
3534pm2.01da 795 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ยฌ 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
37 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต)))
3837adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” 0 โˆˆ (๐ด(,)๐ต)))
3936, 38mtbird 324 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
4017, 39sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {0}) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
4140ex 411 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {0} โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)))
4241con2d 134 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0}))
4342imp 405 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0})
4416, 43eldifd 3958 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
45 logbval 26507 . . . . . 6 ((2 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (2 logb ๐‘ฅ) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))
4612, 44, 45syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 logb ๐‘ฅ) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))
4746mpteq2dva 5247 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))))
482, 47eqtrd 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))))
4948oveq2d 7427 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))))
50 reelprrecn 11204 . . . . 5 โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚}
5150a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚})
5239ex 411 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)))
5352con2d 134 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ = 0))
54 biidd 261 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†” ๐‘ฅ = 0))
5554necon3bbid 2976 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = 0 โ†” ๐‘ฅ โ‰  0))
5655pm5.74i 270 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ = 0) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
5753, 56sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
5857imp 405 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
5916, 58logcld 26315 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6013adantl 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
616, 60, 58redivcld 12046 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
62 dvrelog2b.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
63 eqid 2730 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))
64 eqid 2730 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ))
6521, 28, 18, 62, 63, 64dvrelog3 41236 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ)))
66 2cnd 12294 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
674a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
6866, 67logcld 26315 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
69 0red 11221 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
70 2rp 12983 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
71 loggt0b 26376 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (0 < (logโ€˜2) โ†” 1 < 2))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (logโ€˜2) โ†” 1 < 2)
737, 72mpbir 230 . . . . . . 7 0 < (logโ€˜2)
7473a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < (logโ€˜2))
7569, 74ltned 11354 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  (logโ€˜2))
7675necomd 2994 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜2) โ‰  0)
7751, 59, 61, 65, 68, 76dvmptdivc 25717 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((1 / ๐‘ฅ) / (logโ€˜2))))
783, 5logcld 26315 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
7976adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โ‰  0)
8016, 78, 58, 79recdiv2d 12012 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((1 / ๐‘ฅ) / (logโ€˜2)) = (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
8180mpteq2dva 5247 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((1 / ๐‘ฅ) / (logโ€˜2))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
82 dvrelog2b.6 . . . . . 6 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
8382a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
8483eqcomd 2736 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) = ๐บ)
8581, 84eqtrd 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((1 / ๐‘ฅ) / (logโ€˜2))) = ๐บ)
8677, 85eqtrd 2770 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))) = ๐บ)
8749, 86eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = ๐บ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โˆ– cdif 3944  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„+crp 12978  (,)cioo 13328   D cdv 25612  logclog 26299   logb clogb 26505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-logb 26506
This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  41239  aks4d1p1p6  41244
  Copyright terms: Public domain W3C validator