Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelog2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog2b 40523
Description: Derivative of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelog2b.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
dvrelog2b.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
dvrelog2b.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
dvrelog2b.4 (𝜑𝐴𝐵)
dvrelog2b.5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
dvrelog2b.6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
Assertion
Ref Expression
dvrelog2b (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvrelog2b
StepHypRef Expression
1 dvrelog2b.5 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)))
3 2cnd 12231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
4 2ne0 12257 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
6 1red 11156 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
7 1lt2 12324 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 2)
96, 8ltned 11291 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≠ 2)
109necomd 2999 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 1)
115, 10nelprd 4617 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 2 ∈ {0, 1})
123, 11eldifd 3921 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
13 elioore 13294 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 recn 11141 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17 elsni 4603 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
18 dvrelog2b.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
19 0xr 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21 dvrelog2b.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
22 xrlenlt 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2418, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
2524orcd 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 0 ∨ ¬ 0 < 𝐵))
26 ianor 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 < 0 ∨ ¬ 0 < 𝐵))
2725, 26sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵))
28 dvrelog2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
29 elioo5 13321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3021, 28, 20, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3130notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3227, 31mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3332a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3433imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3534pm2.01da 797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
37 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3936, 38mtbird 324 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 0) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4017, 39sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4140ex 413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ {0} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
4241con2d 134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ {0}))
4342imp 407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
4416, 43eldifd 3921 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
45 logbval 26116 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
4612, 44, 45syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
4746mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2))))
482, 47eqtrd 2776 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2))))
4948oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))))
50 reelprrecn 11143 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5239ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5352con2d 134 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 0))
54 biidd 261 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 0 ↔ 𝑥 = 0))
5554necon3bbid 2981 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (¬ 𝑥 = 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
5655pm5.74i 270 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 0) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ≠ 0))
5753, 56sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ≠ 0))
5857imp 407 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
5916, 58logcld 25926 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
6013adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
616, 60, 58redivcld 11983 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
62 dvrelog2b.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
63 eqid 2736 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))
64 eqid 2736 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))
6521, 28, 18, 62, 63, 64dvrelog3 40522 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
66 2cnd 12231 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
674a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
6866, 67logcld 25926 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
69 0red 11158 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
70 2rp 12920 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
71 loggt0b 25987 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
737, 72mpbir 230 . . . . . . 7 0 < (log‘2)
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (log‘2))
7569, 74ltned 11291 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
7675necomd 2999 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) ≠ 0)
7751, 59, 61, 65, 68, 76dvmptdivc 25329 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))))
783, 5logcld 25926 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
7976adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ≠ 0)
8016, 78, 58, 79recdiv2d 11949 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / 𝑥) / (log‘2)) = (1 / (𝑥 · (log‘2))))
8180mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
82 dvrelog2b.6 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
8382a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
8483eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))) = 𝐺)
8581, 84eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))) = 𝐺)
8677, 85eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))) = 𝐺)
8749, 86eqtrd 2776 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  (,)cioo 13264   D cdv 25227  logclog 25910   logb clogb 26114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-logb 26115
This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  40525  aks4d1p1p6  40530
  Copyright terms: Public domain W3C validator