Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelog2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog2b 42067
Description: Derivative of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelog2b.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
dvrelog2b.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
dvrelog2b.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
dvrelog2b.4 (𝜑𝐴𝐵)
dvrelog2b.5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
dvrelog2b.6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
Assertion
Ref Expression
dvrelog2b (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvrelog2b
StepHypRef Expression
1 dvrelog2b.5 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)))
3 2cnd 12344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
4 2ne0 12370 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
6 1red 11262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
7 1lt2 12437 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 2)
96, 8ltned 11397 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≠ 2)
109necomd 2996 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 1)
115, 10nelprd 4657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 2 ∈ {0, 1})
123, 11eldifd 3962 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
13 elioore 13417 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 recn 11245 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17 elsni 4643 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
18 dvrelog2b.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
19 0xr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21 dvrelog2b.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
22 xrlenlt 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2418, 23mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
2524orcd 874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 0 ∨ ¬ 0 < 𝐵))
26 ianor 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 < 0 ∨ ¬ 0 < 𝐵))
2725, 26sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵))
28 dvrelog2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
29 elioo5 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3021, 28, 20, 29syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3130notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3227, 31mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3332a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3433imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3534pm2.01da 799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
37 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3936, 38mtbird 325 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 0) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4017, 39sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4140ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ {0} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
4241con2d 134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ {0}))
4342imp 406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
4416, 43eldifd 3962 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
45 logbval 26809 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
4612, 44, 45syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
4746mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2))))
482, 47eqtrd 2777 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2))))
4948oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))))
50 reelprrecn 11247 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5239ex 412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5352con2d 134 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 0))
54 biidd 262 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 0 ↔ 𝑥 = 0))
5554necon3bbid 2978 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (¬ 𝑥 = 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
5655pm5.74i 271 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 0) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ≠ 0))
5753, 56sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ≠ 0))
5857imp 406 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
5916, 58logcld 26612 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
6013adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
616, 60, 58redivcld 12095 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
62 dvrelog2b.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
63 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))
64 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))
6521, 28, 18, 62, 63, 64dvrelog3 42066 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
66 2cnd 12344 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
674a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
6866, 67logcld 26612 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
69 0red 11264 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
70 2rp 13039 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
71 loggt0b 26674 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
737, 72mpbir 231 . . . . . . 7 0 < (log‘2)
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (log‘2))
7569, 74ltned 11397 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
7675necomd 2996 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) ≠ 0)
7751, 59, 61, 65, 68, 76dvmptdivc 26003 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))))
783, 5logcld 26612 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
7976adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ≠ 0)
8016, 78, 58, 79recdiv2d 12061 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / 𝑥) / (log‘2)) = (1 / (𝑥 · (log‘2))))
8180mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
82 dvrelog2b.6 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
8382a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
8483eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))) = 𝐺)
8581, 84eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))) = 𝐺)
8677, 85eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))) = 𝐺)
8749, 86eqtrd 2777 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  (,)cioo 13387   D cdv 25898  logclog 26596   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  42069  aks4d1p1p6  42074
  Copyright terms: Public domain W3C validator