Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelog2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog2b 39713
Description: Derivative of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelog2b.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
dvrelog2b.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
dvrelog2b.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
dvrelog2b.4 (𝜑𝐴𝐵)
dvrelog2b.5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
dvrelog2b.6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
Assertion
Ref Expression
dvrelog2b (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvrelog2b
StepHypRef Expression
1 dvrelog2b.5 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)))
3 2cnd 11794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
4 2ne0 11820 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
6 1red 10720 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
7 1lt2 11887 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 2)
96, 8ltned 10854 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≠ 2)
109necomd 2989 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 1)
115, 10nelprd 4547 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 2 ∈ {0, 1})
123, 11eldifd 3854 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
13 elioore 12851 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 recn 10705 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17 elsni 4533 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
18 dvrelog2b.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
19 0xr 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21 dvrelog2b.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
22 xrlenlt 10784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2320, 21, 22syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2418, 23mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
2524orcd 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 0 ∨ ¬ 0 < 𝐵))
26 ianor 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 < 0 ∨ ¬ 0 < 𝐵))
2725, 26sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵))
28 dvrelog2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
29 elioo5 12878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3021, 28, 20, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3130notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐵)))
3227, 31mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3332a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3433imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3534pm2.01da 799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3635adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
37 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3837adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3936, 38mtbird 328 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 0) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4017, 39sylan2 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4140ex 416 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ {0} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
4241con2d 136 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ {0}))
4342imp 410 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
4416, 43eldifd 3854 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
45 logbval 25504 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
4612, 44, 45syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
4746mpteq2dva 5125 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2))))
482, 47eqtrd 2773 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2))))
4948oveq2d 7186 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))))
50 reelprrecn 10707 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5239ex 416 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5352con2d 136 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 0))
54 biidd 265 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 0 ↔ 𝑥 = 0))
5554necon3bbid 2971 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (¬ 𝑥 = 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
5655pm5.74i 274 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 0) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ≠ 0))
5753, 56sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ≠ 0))
5857imp 410 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
5916, 58logcld 25314 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
6013adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
616, 60, 58redivcld 11546 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
62 dvrelog2b.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
63 eqid 2738 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))
64 eqid 2738 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))
6521, 28, 18, 62, 63, 64dvrelog3 39712 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
66 2cnd 11794 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
674a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
6866, 67logcld 25314 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
69 0red 10722 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
70 2rp 12477 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
71 loggt0b 25375 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
737, 72mpbir 234 . . . . . . 7 0 < (log‘2)
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (log‘2))
7569, 74ltned 10854 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
7675necomd 2989 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) ≠ 0)
7751, 59, 61, 65, 68, 76dvmptdivc 24717 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))))
783, 5logcld 25314 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
7976adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ≠ 0)
8016, 78, 58, 79recdiv2d 11512 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / 𝑥) / (log‘2)) = (1 / (𝑥 · (log‘2))))
8180mpteq2dva 5125 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
82 dvrelog2b.6 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
8382a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
8483eqcomd 2744 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))) = 𝐺)
8581, 84eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 𝑥) / (log‘2))) = 𝐺)
8677, 85eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘2)))) = 𝐺)
8749, 86eqtrd 2773 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  cdif 3840  {csn 4516  {cpr 4518   class class class wbr 5030  cmpt 5110  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   · cmul 10620  *cxr 10752   < clt 10753  cle 10754   / cdiv 11375  2c2 11771  +crp 12472  (,)cioo 12821   D cdv 24615  logclog 25298   logb clogb 25502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-pi 15518  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300  df-logb 25503
This theorem is referenced by:  dvrelogpow2b  39715  aks4d1p1p6  39720
  Copyright terms: Public domain W3C validator