MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltned 10768
Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltned (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem ltned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltned.2 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
31, 2gtned 10767 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
43necomd 3075 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 3020   class class class wbr 5062  cr 10528   < clt 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672
This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13068  modsumfzodifsn  13305  seqf1olem1  13402  nprm  16024  4sqlem10  16275  4sqlem17  16289  pgpfaclem2  19126  fvmptnn04ifb  21375  dvferm2lem  24498  lhop2  24527  ftc1lem5  24552  deg1tmle  24626  plyeq0lem  24715  aaliou3lem7  24853  dvloglem  25144  isosctrlem1  25309  bndatandm  25420  vma1  25657  rplogsumlem2  25975  rpvmasumlem  25977  axlowdimlem13  26654  axlowdimlem16  26657  strlem6  29947  hstrlem6  29955  fzone1  30436  pmtrto1cl  30655  psgnfzto1stlem  30656  cycpmrn  30699  1smat1  30955  submateqlem1  30958  submateqlem2  30959  madjusmdetlem2  30979  xrge0iifcnv  31062  reprlt  31776  reprgt  31778  reprinfz1  31779  erdszelem8  32329  ivthALT  33567  knoppndvlem1  33735  knoppndvlem2  33736  knoppndvlem7  33741  knoppndvlem21  33755  poimirlem1  34760  poimirlem6  34765  poimirlem7  34766  poimirlem9  34768  poimirlem15  34774  poimirlem22  34781  rtprmirr  39057  sn-0ne2  39099  radcnvrat  40507  isosctrlem1ALT  41129  ltdiv23neg  41527  lptre2pt  41782  cncfiooicclem1  42037  cncfioobdlem  42040  ditgeqiooicc  42106  itgioocnicc  42123  iblcncfioo  42124  stirlinglem7  42227  fourierdlem34  42288  fourierdlem42  42296  fourierdlem54  42307  fourierdlem60  42313  fourierdlem73  42326  fourierdlem74  42327  fourierdlem76  42329  fourierdlem81  42334  fourierdlem82  42335  fourierdlem84  42337  fourierdlem93  42346  fourierdlem103  42356  fourierdlem104  42357  fourierdlem111  42364  fourierswlem  42377  pimrecltneg  42863  eenglngeehlnmlem2  44553
  Copyright terms: Public domain W3C validator