Theorem ltned 11427

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11426	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 3011	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ℝcr 11180   < clt 11324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is used by:  fzodisjsn  13812  fzone1  13899  modsumfzodifsn  14067  seqf1olem1  14164  nprm  16843  4sqlem10  17105  4sqlem17  17119  pgpfaclem2  20278  prmidl0  21614  fvmptnn04ifb  23149  dvferm2lem  26286  lhop2  26315  ftc1lem5  26340  deg1tmle  26416  plyeq0lem  26509  aaliou3lem7  26658  dvloglem  26958  rtprmirr  27070  isosctrlem1  27128  bndatandm  27239  vma1  27475  rplogsumlem2  27794  rpvmasumlem  27796  axlowdimlem13  29514  axlowdimlem16  29517  strlem6  32840  hstrlem6  32848  pmtrto1cl  33642  psgnfzto1stlem  33643  cycpmrn  33686  drngidlhash  33965  krull  33985  esplyfval2  34179  esplyfval3  34186  cos9thpiminply  34402  1smat1  34418  submateqlem1  34421  submateqlem2  34422  xrge0iifcnv  34547  reprlt  35231  reprgt  35233  reprinfz1  35234  erdszelem8  35932  ivthALT  37093  knoppndvlem1  37348  knoppndvlem2  37349  knoppndvlem7  37354  knoppndvlem21  37368  irrdiff  38215  qdiff  38216  poimirlem1  38507  poimirlem6  38512  poimirlem7  38513  poimirlem9  38515  poimirlem15  38521  poimirlem22  38528  3lexlogpow5ineq1  43072  3lexlogpow5ineq2  43073  3lexlogpow5ineq4  43074  3lexlogpow5ineq3  43075  3lexlogpow2ineq1  43076  3lexlogpow2ineq2  43077  3lexlogpow5ineq5  43078  aks4d1lem1  43080  dvrelog2b  43084  0nonelalab  43085  dvrelogpow2b  43086  aks4d1p1p3  43087  aks4d1p1p2  43088  aks4d1p1p4  43089  aks4d1p1p6  43091  aks4d1p1p7  43092  aks4d1p1p5  43093  aks4d1p1  43094  aks4d1p2  43095  aks4d1p3  43096  aks4d1p5  43098  aks4d1p6  43099  aks4d1p7d1  43100  aks4d1p7  43101  aks4d1p8d3  43104  aks4d1p8  43105  aks4d1p9  43106  aks6d1c2p2  43137  aks6d1c3  43141  2np3bcnp1  43162  2ap1caineq  43163  sticksstones1  43164  sticksstones2  43165  sticksstones10  43173  sticksstones12a  43175  sticksstones12  43176  sticksstones22  43186  aks6d1c6lem4  43191  aks6d1c7lem2  43199  aks5lem8  43219  sn-0ne2  43425  radcnvrat  45257  isosctrlem1ALT  45875  ltdiv23neg  46349  lptre2pt  46594  cncfiooicclem1  46847  cncfioobdlem  46850  ditgeqiooicc  46914  itgioocnicc  46931  iblcncfioo  46932  stirlinglem7  47034  fourierdlem34  47095  fourierdlem42  47103  fourierdlem54  47114  fourierdlem60  47120  fourierdlem73  47133  fourierdlem74  47134  fourierdlem76  47136  fourierdlem81  47141  fourierdlem82  47142  fourierdlem84  47144  fourierdlem93  47153  fourierdlem103  47163  fourierdlem104  47164  fourierdlem111  47171  fourierswlem  47184  pimrecltneg  47678  upgrimpthslem2  48950  stgrusgra  49001  eenglngeehlnmlem2  49794