Theorem ltned 11246

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11245	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2983	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  ℝcr 11002   < clt 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13594  fzone1  13681  modsumfzodifsn  13848  seqf1olem1  13945  nprm  16596  4sqlem10  16856  4sqlem17  16870  pgpfaclem2  19994  fvmptnn04ifb  22764  dvferm2lem  25915  lhop2  25945  ftc1lem5  25972  deg1tmle  26048  plyeq0lem  26140  aaliou3lem7  26282  dvloglem  26582  rtprmirr  26695  isosctrlem1  26753  bndatandm  26864  vma1  27101  rplogsumlem2  27421  rpvmasumlem  27423  axlowdimlem13  28930  axlowdimlem16  28933  strlem6  32231  hstrlem6  32239  pmtrto1cl  33063  psgnfzto1stlem  33064  cycpmrn  33107  drngidlhash  33394  prmidl0  33410  krull  33439  cos9thpiminply  33796  1smat1  33812  submateqlem1  33815  submateqlem2  33816  xrge0iifcnv  33941  reprlt  34627  reprgt  34629  reprinfz1  34630  erdszelem8  35230  ivthALT  36368  knoppndvlem1  36545  knoppndvlem2  36546  knoppndvlem7  36551  knoppndvlem21  36565  irrdiff  37359  poimirlem1  37660  poimirlem6  37665  poimirlem7  37666  poimirlem9  37668  poimirlem15  37674  poimirlem22  37681  3lexlogpow5ineq1  42086  3lexlogpow5ineq2  42087  3lexlogpow5ineq4  42088  3lexlogpow5ineq3  42089  3lexlogpow2ineq1  42090  3lexlogpow2ineq2  42091  3lexlogpow5ineq5  42092  aks4d1lem1  42094  dvrelog2b  42098  0nonelalab  42099  dvrelogpow2b  42100  aks4d1p1p3  42101  aks4d1p1p2  42102  aks4d1p1p4  42103  aks4d1p1p6  42105  aks4d1p1p7  42106  aks4d1p1p5  42107  aks4d1p1  42108  aks4d1p2  42109  aks4d1p3  42110  aks4d1p5  42112  aks4d1p6  42113  aks4d1p7d1  42114  aks4d1p7  42115  aks4d1p8d3  42118  aks4d1p8  42119  aks4d1p9  42120  aks6d1c2p2  42151  aks6d1c3  42155  2np3bcnp1  42176  2ap1caineq  42177  sticksstones1  42178  sticksstones2  42179  sticksstones10  42187  sticksstones12a  42189  sticksstones12  42190  sticksstones22  42200  aks6d1c6lem4  42205  aks6d1c7lem2  42213  aks5lem8  42233  sn-0ne2  42438  radcnvrat  44346  isosctrlem1ALT  44965  ltdiv23neg  45431  lptre2pt  45677  cncfiooicclem1  45930  cncfioobdlem  45933  ditgeqiooicc  45997  itgioocnicc  46014  iblcncfioo  46015  stirlinglem7  46117  fourierdlem34  46178  fourierdlem42  46186  fourierdlem54  46197  fourierdlem60  46203  fourierdlem73  46216  fourierdlem74  46217  fourierdlem76  46219  fourierdlem81  46224  fourierdlem82  46225  fourierdlem84  46227  fourierdlem93  46236  fourierdlem103  46246  fourierdlem104  46247  fourierdlem111  46254  fourierswlem  46267  pimrecltneg  46761  upgrimpthslem2  47938  stgrusgra  47989  eenglngeehlnmlem2  48769