Theorem ltned 11269

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11268	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2987	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ℝcr 11025   < clt 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13613  fzone1  13700  modsumfzodifsn  13867  seqf1olem1  13964  nprm  16615  4sqlem10  16875  4sqlem17  16889  pgpfaclem2  20013  fvmptnn04ifb  22795  dvferm2lem  25946  lhop2  25976  ftc1lem5  26003  deg1tmle  26079  plyeq0lem  26171  aaliou3lem7  26313  dvloglem  26613  rtprmirr  26726  isosctrlem1  26784  bndatandm  26895  vma1  27132  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  axlowdimlem13  29027  axlowdimlem16  29030  strlem6  32331  hstrlem6  32339  pmtrto1cl  33181  psgnfzto1stlem  33182  cycpmrn  33225  drngidlhash  33515  prmidl0  33531  krull  33560  esplyfval2  33723  esplyfval3  33730  cos9thpiminply  33945  1smat1  33961  submateqlem1  33964  submateqlem2  33965  xrge0iifcnv  34090  reprlt  34776  reprgt  34778  reprinfz1  34779  erdszelem8  35392  ivthALT  36529  knoppndvlem1  36712  knoppndvlem2  36713  knoppndvlem7  36718  knoppndvlem21  36732  irrdiff  37531  poimirlem1  37822  poimirlem6  37827  poimirlem7  37828  poimirlem9  37830  poimirlem15  37836  poimirlem22  37843  3lexlogpow5ineq1  42308  3lexlogpow5ineq2  42309  3lexlogpow5ineq4  42310  3lexlogpow5ineq3  42311  3lexlogpow2ineq1  42312  3lexlogpow2ineq2  42313  3lexlogpow5ineq5  42314  aks4d1lem1  42316  dvrelog2b  42320  0nonelalab  42321  dvrelogpow2b  42322  aks4d1p1p3  42323  aks4d1p1p2  42324  aks4d1p1p4  42325  aks4d1p1p6  42327  aks4d1p1p7  42328  aks4d1p1p5  42329  aks4d1p1  42330  aks4d1p2  42331  aks4d1p3  42332  aks4d1p5  42334  aks4d1p6  42335  aks4d1p7d1  42336  aks4d1p7  42337  aks4d1p8d3  42340  aks4d1p8  42341  aks4d1p9  42342  aks6d1c2p2  42373  aks6d1c3  42377  2np3bcnp1  42398  2ap1caineq  42399  sticksstones1  42400  sticksstones2  42401  sticksstones10  42409  sticksstones12a  42411  sticksstones12  42412  sticksstones22  42422  aks6d1c6lem4  42427  aks6d1c7lem2  42435  aks5lem8  42455  sn-0ne2  42661  radcnvrat  44555  isosctrlem1ALT  45174  ltdiv23neg  45638  lptre2pt  45884  cncfiooicclem1  46137  cncfioobdlem  46140  ditgeqiooicc  46204  itgioocnicc  46221  iblcncfioo  46222  stirlinglem7  46324  fourierdlem34  46385  fourierdlem42  46393  fourierdlem54  46404  fourierdlem60  46410  fourierdlem73  46423  fourierdlem74  46424  fourierdlem76  46426  fourierdlem81  46431  fourierdlem82  46432  fourierdlem84  46434  fourierdlem93  46443  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fourierdlem111  46461  fourierswlem  46474  pimrecltneg  46968  upgrimpthslem2  48154  stgrusgra  48205  eenglngeehlnmlem2  48984