Theorem ltned 11270

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11269	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2980	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13618  modsumfzodifsn  13869  seqf1olem1  13966  nprm  16617  4sqlem10  16877  4sqlem17  16891  pgpfaclem2  19981  fvmptnn04ifb  22754  dvferm2lem  25906  lhop2  25936  ftc1lem5  25963  deg1tmle  26039  plyeq0lem  26131  aaliou3lem7  26273  dvloglem  26573  rtprmirr  26686  isosctrlem1  26744  bndatandm  26855  vma1  27092  rplogsumlem2  27412  rpvmasumlem  27414  axlowdimlem13  28917  axlowdimlem16  28920  strlem6  32218  hstrlem6  32226  fzone1  32756  pmtrto1cl  33054  psgnfzto1stlem  33055  cycpmrn  33098  drngidlhash  33381  prmidl0  33397  krull  33426  cos9thpiminply  33754  1smat1  33770  submateqlem1  33773  submateqlem2  33774  xrge0iifcnv  33899  reprlt  34586  reprgt  34588  reprinfz1  34589  erdszelem8  35170  ivthALT  36308  knoppndvlem1  36485  knoppndvlem2  36486  knoppndvlem7  36491  knoppndvlem21  36505  irrdiff  37299  poimirlem1  37600  poimirlem6  37605  poimirlem7  37606  poimirlem9  37608  poimirlem15  37614  poimirlem22  37621  3lexlogpow5ineq1  42027  3lexlogpow5ineq2  42028  3lexlogpow5ineq4  42029  3lexlogpow5ineq3  42030  3lexlogpow2ineq1  42031  3lexlogpow2ineq2  42032  3lexlogpow5ineq5  42033  aks4d1lem1  42035  dvrelog2b  42039  0nonelalab  42040  dvrelogpow2b  42041  aks4d1p1p3  42042  aks4d1p1p2  42043  aks4d1p1p4  42044  aks4d1p1p6  42046  aks4d1p1p7  42047  aks4d1p1p5  42048  aks4d1p1  42049  aks4d1p2  42050  aks4d1p3  42051  aks4d1p5  42053  aks4d1p6  42054  aks4d1p7d1  42055  aks4d1p7  42056  aks4d1p8d3  42059  aks4d1p8  42060  aks4d1p9  42061  aks6d1c2p2  42092  aks6d1c3  42096  2np3bcnp1  42117  2ap1caineq  42118  sticksstones1  42119  sticksstones2  42120  sticksstones10  42128  sticksstones12a  42130  sticksstones12  42131  sticksstones22  42141  aks6d1c6lem4  42146  aks6d1c7lem2  42154  aks5lem8  42174  sn-0ne2  42379  radcnvrat  44287  isosctrlem1ALT  44907  ltdiv23neg  45374  lptre2pt  45622  cncfiooicclem1  45875  cncfioobdlem  45878  ditgeqiooicc  45942  itgioocnicc  45959  iblcncfioo  45960  stirlinglem7  46062  fourierdlem34  46123  fourierdlem42  46131  fourierdlem54  46142  fourierdlem60  46148  fourierdlem73  46161  fourierdlem74  46162  fourierdlem76  46164  fourierdlem81  46169  fourierdlem82  46170  fourierdlem84  46172  fourierdlem93  46181  fourierdlem103  46191  fourierdlem104  46192  fourierdlem111  46199  fourierswlem  46212  pimrecltneg  46706  upgrimpthslem2  47893  stgrusgra  47944  eenglngeehlnmlem2  48724