Theorem ltned 11374

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 3012	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ℝcr 11127   < clt 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276

This theorem is used by:  fzodisjsn  13757  fzone1  13844  modsumfzodifsn  14012  seqf1olem1  14109  nprm  16784  4sqlem10  17045  4sqlem17  17059  pgpfaclem2  20217  prmidl0  21547  fvmptnn04ifb  23082  dvferm2lem  26220  lhop2  26249  ftc1lem5  26274  deg1tmle  26350  plyeq0lem  26443  aaliou3lem7  26592  dvloglem  26893  rtprmirr  27005  isosctrlem1  27063  bndatandm  27174  vma1  27410  rplogsumlem2  27729  rpvmasumlem  27731  axlowdimlem13  29419  axlowdimlem16  29422  strlem6  32745  hstrlem6  32753  pmtrto1cl  33547  psgnfzto1stlem  33548  cycpmrn  33591  drngidlhash  33869  krull  33889  esplyfval2  34083  esplyfval3  34090  cos9thpiminply  34306  1smat1  34322  submateqlem1  34325  submateqlem2  34326  xrge0iifcnv  34451  reprlt  35135  reprgt  35137  reprinfz1  35138  erdszelem8  35785  ivthALT  36962  knoppndvlem1  37217  knoppndvlem2  37218  knoppndvlem7  37223  knoppndvlem21  37237  irrdiff  38086  qdiff  38087  poimirlem1  38378  poimirlem6  38383  poimirlem7  38384  poimirlem9  38386  poimirlem15  38392  poimirlem22  38399  3lexlogpow5ineq1  42928  3lexlogpow5ineq2  42929  3lexlogpow5ineq4  42930  3lexlogpow5ineq3  42931  3lexlogpow2ineq1  42932  3lexlogpow2ineq2  42933  3lexlogpow5ineq5  42934  aks4d1lem1  42936  dvrelog2b  42940  0nonelalab  42941  dvrelogpow2b  42942  aks4d1p1p3  42943  aks4d1p1p2  42944  aks4d1p1p4  42945  aks4d1p1p6  42947  aks4d1p1p7  42948  aks4d1p1p5  42949  aks4d1p1  42950  aks4d1p2  42951  aks4d1p3  42952  aks4d1p5  42954  aks4d1p6  42955  aks4d1p7d1  42956  aks4d1p7  42957  aks4d1p8d3  42960  aks4d1p8  42961  aks4d1p9  42962  aks6d1c2p2  42993  aks6d1c3  42997  2np3bcnp1  43018  2ap1caineq  43019  sticksstones1  43020  sticksstones2  43021  sticksstones10  43029  sticksstones12a  43031  sticksstones12  43032  sticksstones22  43042  aks6d1c6lem4  43047  aks6d1c7lem2  43055  aks5lem8  43075  sn-0ne2  43289  radcnvrat  45146  isosctrlem1ALT  45764  ltdiv23neg  46231  lptre2pt  46476  cncfiooicclem1  46729  cncfioobdlem  46732  ditgeqiooicc  46796  itgioocnicc  46813  iblcncfioo  46814  stirlinglem7  46916  fourierdlem34  46977  fourierdlem42  46985  fourierdlem54  46996  fourierdlem60  47002  fourierdlem73  47015  fourierdlem74  47016  fourierdlem76  47018  fourierdlem81  47023  fourierdlem82  47024  fourierdlem84  47026  fourierdlem93  47035  fourierdlem103  47045  fourierdlem104  47046  fourierdlem111  47053  fourierswlem  47066  pimrecltneg  47560  upgrimpthslem2  48832  stgrusgra  48883  eenglngeehlnmlem2  49676