Theorem ltned 11347

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11346	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 3013	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ℝcr 11100   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13728  fzone1  13815  modsumfzodifsn  13982  seqf1olem1  14079  nprm  16747  4sqlem10  17008  4sqlem17  17022  pgpfaclem2  20155  prmidl0  21459  fvmptnn04ifb  22989  dvferm2lem  26126  lhop2  26155  ftc1lem5  26180  deg1tmle  26256  plyeq0lem  26348  aaliou3lem7  26491  dvloglem  26791  rtprmirr  26903  isosctrlem1  26961  bndatandm  27072  vma1  27308  rplogsumlem2  27627  rpvmasumlem  27629  axlowdimlem13  29282  axlowdimlem16  29285  strlem6  32586  hstrlem6  32594  pmtrto1cl  33397  psgnfzto1stlem  33398  cycpmrn  33441  drngidlhash  33719  krull  33739  esplyfval2  33933  esplyfval3  33940  cos9thpiminply  34156  1smat1  34172  submateqlem1  34175  submateqlem2  34176  xrge0iifcnv  34301  reprlt  34984  reprgt  34986  reprinfz1  34987  erdszelem8  35668  ivthALT  36824  knoppndvlem1  37079  knoppndvlem2  37080  knoppndvlem7  37085  knoppndvlem21  37099  irrdiff  37948  qdiff  37949  poimirlem1  38250  poimirlem6  38255  poimirlem7  38256  poimirlem9  38258  poimirlem15  38264  poimirlem22  38271  3lexlogpow5ineq1  42799  3lexlogpow5ineq2  42800  3lexlogpow5ineq4  42801  3lexlogpow5ineq3  42802  3lexlogpow2ineq1  42803  3lexlogpow2ineq2  42804  3lexlogpow5ineq5  42805  aks4d1lem1  42807  dvrelog2b  42811  0nonelalab  42812  dvrelogpow2b  42813  aks4d1p1p3  42814  aks4d1p1p2  42815  aks4d1p1p4  42816  aks4d1p1p6  42818  aks4d1p1p7  42819  aks4d1p1p5  42820  aks4d1p1  42821  aks4d1p2  42822  aks4d1p3  42823  aks4d1p5  42825  aks4d1p6  42826  aks4d1p7d1  42827  aks4d1p7  42828  aks4d1p8d3  42831  aks4d1p8  42832  aks4d1p9  42833  aks6d1c2p2  42864  aks6d1c3  42868  2np3bcnp1  42889  2ap1caineq  42890  sticksstones1  42891  sticksstones2  42892  sticksstones10  42900  sticksstones12a  42902  sticksstones12  42903  sticksstones22  42913  aks6d1c6lem4  42918  aks6d1c7lem2  42926  aks5lem8  42946  sn-0ne2  43145  radcnvrat  45004  isosctrlem1ALT  45622  ltdiv23neg  46089  lptre2pt  46334  cncfiooicclem1  46587  cncfioobdlem  46590  ditgeqiooicc  46654  itgioocnicc  46671  iblcncfioo  46672  stirlinglem7  46774  fourierdlem34  46835  fourierdlem42  46843  fourierdlem54  46854  fourierdlem60  46860  fourierdlem73  46873  fourierdlem74  46874  fourierdlem76  46876  fourierdlem81  46881  fourierdlem82  46882  fourierdlem84  46884  fourierdlem93  46893  fourierdlem103  46903  fourierdlem104  46904  fourierdlem111  46911  fourierswlem  46924  pimrecltneg  47418  upgrimpthslem2  48650  stgrusgra  48701  eenglngeehlnmlem2  49495