Theorem ltned 11350

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11349	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2997	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13670  modsumfzodifsn  13909  seqf1olem1  14007  nprm  16625  4sqlem10  16880  4sqlem17  16894  pgpfaclem2  19952  fvmptnn04ifb  22353  dvferm2lem  25503  lhop2  25532  ftc1lem5  25557  deg1tmle  25635  plyeq0lem  25724  aaliou3lem7  25862  dvloglem  26156  isosctrlem1  26323  bndatandm  26434  vma1  26670  rplogsumlem2  26988  rpvmasumlem  26990  axlowdimlem13  28212  axlowdimlem16  28215  strlem6  31509  hstrlem6  31517  fzone1  32011  pmtrto1cl  32258  psgnfzto1stlem  32259  cycpmrn  32302  drngidlhash  32552  prmidl0  32569  krull  32594  1smat1  32784  submateqlem1  32787  submateqlem2  32788  madjusmdetlem2  32808  xrge0iifcnv  32913  reprlt  33631  reprgt  33633  reprinfz1  33634  erdszelem8  34189  ivthALT  35220  knoppndvlem1  35388  knoppndvlem2  35389  knoppndvlem7  35394  knoppndvlem21  35408  irrdiff  36207  poimirlem1  36489  poimirlem6  36494  poimirlem7  36495  poimirlem9  36497  poimirlem15  36503  poimirlem22  36510  3lexlogpow5ineq1  40919  3lexlogpow5ineq2  40920  3lexlogpow5ineq4  40921  3lexlogpow5ineq3  40922  3lexlogpow2ineq1  40923  3lexlogpow2ineq2  40924  3lexlogpow5ineq5  40925  aks4d1lem1  40927  dvrelog2b  40931  0nonelalab  40932  dvrelogpow2b  40933  aks4d1p1p3  40934  aks4d1p1p2  40935  aks4d1p1p4  40936  aks4d1p1p6  40938  aks4d1p1p7  40939  aks4d1p1p5  40940  aks4d1p1  40941  aks4d1p2  40942  aks4d1p3  40943  aks4d1p5  40945  aks4d1p6  40946  aks4d1p7d1  40947  aks4d1p7  40948  aks4d1p8d3  40951  aks4d1p8  40952  aks4d1p9  40953  aks6d1c2p2  40957  2np3bcnp1  40960  2ap1caineq  40961  sticksstones1  40962  sticksstones2  40963  sticksstones10  40971  sticksstones12a  40973  sticksstones12  40974  sticksstones22  40984  metakunt6  40990  metakunt7  40991  metakunt11  40995  metakunt12  40996  metakunt27  41011  metakunt28  41012  metakunt29  41013  metakunt30  41014  rtprmirr  41237  sn-0ne2  41279  radcnvrat  43073  isosctrlem1ALT  43695  ltdiv23neg  44104  lptre2pt  44356  cncfiooicclem1  44609  cncfioobdlem  44612  ditgeqiooicc  44676  itgioocnicc  44693  iblcncfioo  44694  stirlinglem7  44796  fourierdlem34  44857  fourierdlem42  44865  fourierdlem54  44876  fourierdlem60  44882  fourierdlem73  44895  fourierdlem74  44896  fourierdlem76  44898  fourierdlem81  44903  fourierdlem82  44904  fourierdlem84  44906  fourierdlem93  44915  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem111  44933  fourierswlem  44946  pimrecltneg  45440  eenglngeehlnmlem2  47424