MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltned 10467
Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltned (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem ltned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltned.2 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
31, 2gtned 10466 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
43necomd 3044 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  wne 2989   class class class wbr 4855  cr 10229   < clt 10368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-resscn 10287  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-po 5245  df-so 5246  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-er 7988  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-ltxr 10373
This theorem is referenced by:  fzodisjsn  12749  modsumfzodifsn  12986  seqf1olem1  13082  nprm  15638  4sqlem10  15887  4sqlem17  15901  pgpfaclem2  18702  fvmptnn04ifb  20889  dvferm2lem  23985  lhop2  24014  ftc1lem5  24039  deg1tmle  24113  plyeq0lem  24202  aaliou3lem7  24340  dvloglem  24630  isosctrlem1  24784  bndatandm  24892  vma1  25128  rplogsumlem2  25410  rpvmasumlem  25412  axlowdimlem13  26070  axlowdimlem16  26073  strlem6  29465  hstrlem6  29473  pmtrto1cl  30196  psgnfzto1stlem  30197  1smat1  30217  submateqlem1  30220  submateqlem2  30221  madjusmdetlem2  30241  xrge0iifcnv  30326  reprlt  31044  reprgt  31046  reprinfz1  31047  erdszelem8  31524  ivthALT  32672  knoppndvlem1  32841  knoppndvlem2  32842  knoppndvlem7  32847  knoppndvlem21  32861  poimirlem1  33741  poimirlem6  33746  poimirlem7  33747  poimirlem9  33749  poimirlem15  33755  poimirlem22  33762  radcnvrat  39030  isosctrlem1ALT  39681  ltdiv23neg  40113  lptre2pt  40369  cncfiooicclem1  40603  cncfioobdlem  40606  ditgeqiooicc  40672  itgioocnicc  40689  iblcncfioo  40690  stirlinglem7  40793  fourierdlem34  40854  fourierdlem42  40862  fourierdlem54  40873  fourierdlem60  40879  fourierdlem73  40892  fourierdlem74  40893  fourierdlem76  40895  fourierdlem81  40900  fourierdlem82  40901  fourierdlem84  40903  fourierdlem93  40912  fourierdlem103  40922  fourierdlem104  40923  fourierdlem111  40930  fourierswlem  40943  pimrecltneg  41432
  Copyright terms: Public domain W3C validator