Theorem ltned 11394

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11393	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2993	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   class class class wbr 5147  ℝcr 11151   < clt 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13733  modsumfzodifsn  13981  seqf1olem1  14078  nprm  16721  4sqlem10  16980  4sqlem17  16994  pgpfaclem2  20116  fvmptnn04ifb  22872  dvferm2lem  26038  lhop2  26068  ftc1lem5  26095  deg1tmle  26171  plyeq0lem  26263  aaliou3lem7  26405  dvloglem  26704  rtprmirr  26817  isosctrlem1  26875  bndatandm  26986  vma1  27223  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545  axlowdimlem13  28983  axlowdimlem16  28986  strlem6  32284  hstrlem6  32292  fzone1  32807  pmtrto1cl  33101  psgnfzto1stlem  33102  cycpmrn  33145  drngidlhash  33441  prmidl0  33457  krull  33486  1smat1  33764  submateqlem1  33767  submateqlem2  33768  xrge0iifcnv  33893  reprlt  34612  reprgt  34614  reprinfz1  34615  erdszelem8  35182  ivthALT  36317  knoppndvlem1  36494  knoppndvlem2  36495  knoppndvlem7  36500  knoppndvlem21  36514  irrdiff  37308  poimirlem1  37607  poimirlem6  37612  poimirlem7  37613  poimirlem9  37615  poimirlem15  37621  poimirlem22  37628  3lexlogpow5ineq1  42035  3lexlogpow5ineq2  42036  3lexlogpow5ineq4  42037  3lexlogpow5ineq3  42038  3lexlogpow2ineq1  42039  3lexlogpow2ineq2  42040  3lexlogpow5ineq5  42041  aks4d1lem1  42043  dvrelog2b  42047  0nonelalab  42048  dvrelogpow2b  42049  aks4d1p1p3  42050  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1p6  42054  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p1p5  42056  aks4d1p1  42057  aks4d1p2  42058  aks4d1p3  42059  aks4d1p5  42061  aks4d1p6  42062  aks4d1p7d1  42063  aks4d1p7  42064  aks4d1p8d3  42067  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  aks6d1c2p2  42100  aks6d1c3  42104  2np3bcnp1  42125  2ap1caineq  42126  sticksstones1  42127  sticksstones2  42128  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  sticksstones12  42139  sticksstones22  42149  aks6d1c6lem4  42154  aks6d1c7lem2  42162  aks5lem8  42182  metakunt6  42191  metakunt7  42192  metakunt11  42196  metakunt12  42197  metakunt27  42212  metakunt28  42213  metakunt29  42214  metakunt30  42215  sn-0ne2  42412  radcnvrat  44309  isosctrlem1ALT  44931  ltdiv23neg  45343  lptre2pt  45595  cncfiooicclem1  45848  cncfioobdlem  45851  ditgeqiooicc  45915  itgioocnicc  45932  iblcncfioo  45933  stirlinglem7  46035  fourierdlem34  46096  fourierdlem42  46104  fourierdlem54  46115  fourierdlem60  46121  fourierdlem73  46134  fourierdlem74  46135  fourierdlem76  46137  fourierdlem81  46142  fourierdlem82  46143  fourierdlem84  46145  fourierdlem93  46154  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fourierdlem111  46172  fourierswlem  46185  pimrecltneg  46679  stgrusgra  47861  eenglngeehlnmlem2  48587