Theorem ltned 11281

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11280	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2988	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13625  fzone1  13712  modsumfzodifsn  13879  seqf1olem1  13976  nprm  16627  4sqlem10  16887  4sqlem17  16901  pgpfaclem2  20025  fvmptnn04ifb  22807  dvferm2lem  25958  lhop2  25988  ftc1lem5  26015  deg1tmle  26091  plyeq0lem  26183  aaliou3lem7  26325  dvloglem  26625  rtprmirr  26738  isosctrlem1  26796  bndatandm  26907  vma1  27144  rplogsumlem2  27464  rpvmasumlem  27466  axlowdimlem13  29039  axlowdimlem16  29042  strlem6  32343  hstrlem6  32351  pmtrto1cl  33192  psgnfzto1stlem  33193  cycpmrn  33236  drngidlhash  33526  prmidl0  33542  krull  33571  esplyfval2  33741  esplyfval3  33748  cos9thpiminply  33965  1smat1  33981  submateqlem1  33984  submateqlem2  33985  xrge0iifcnv  34110  reprlt  34796  reprgt  34798  reprinfz1  34799  erdszelem8  35411  ivthALT  36548  knoppndvlem1  36731  knoppndvlem2  36732  knoppndvlem7  36737  knoppndvlem21  36751  irrdiff  37575  poimirlem1  37866  poimirlem6  37871  poimirlem7  37872  poimirlem9  37874  poimirlem15  37880  poimirlem22  37887  3lexlogpow5ineq1  42418  3lexlogpow5ineq2  42419  3lexlogpow5ineq4  42420  3lexlogpow5ineq3  42421  3lexlogpow2ineq1  42422  3lexlogpow2ineq2  42423  3lexlogpow5ineq5  42424  aks4d1lem1  42426  dvrelog2b  42430  0nonelalab  42431  dvrelogpow2b  42432  aks4d1p1p3  42433  aks4d1p1p2  42434  aks4d1p1p4  42435  aks4d1p1p6  42437  aks4d1p1p7  42438  aks4d1p1p5  42439  aks4d1p1  42440  aks4d1p2  42441  aks4d1p3  42442  aks4d1p5  42444  aks4d1p6  42445  aks4d1p7d1  42446  aks4d1p7  42447  aks4d1p8d3  42450  aks4d1p8  42451  aks4d1p9  42452  aks6d1c2p2  42483  aks6d1c3  42487  2np3bcnp1  42508  2ap1caineq  42509  sticksstones1  42510  sticksstones2  42511  sticksstones10  42519  sticksstones12a  42521  sticksstones12  42522  sticksstones22  42532  aks6d1c6lem4  42537  aks6d1c7lem2  42545  aks5lem8  42565  sn-0ne2  42770  radcnvrat  44664  isosctrlem1ALT  45283  ltdiv23neg  45746  lptre2pt  45992  cncfiooicclem1  46245  cncfioobdlem  46248  ditgeqiooicc  46312  itgioocnicc  46329  iblcncfioo  46330  stirlinglem7  46432  fourierdlem34  46493  fourierdlem42  46501  fourierdlem54  46512  fourierdlem60  46518  fourierdlem73  46531  fourierdlem74  46532  fourierdlem76  46534  fourierdlem81  46539  fourierdlem82  46540  fourierdlem84  46542  fourierdlem93  46551  fourierdlem103  46561  fourierdlem104  46562  fourierdlem111  46569  fourierswlem  46582  pimrecltneg  47076  upgrimpthslem2  48262  stgrusgra  48313  eenglngeehlnmlem2  49092