Theorem ltned 11280

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11279	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2990	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   class class class wbr 5079  ℝcr 11035   < clt 11177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13650  fzone1  13737  modsumfzodifsn  13904  seqf1olem1  14001  nprm  16655  4sqlem10  16916  4sqlem17  16930  pgpfaclem2  20057  fvmptnn04ifb  22841  dvferm2lem  25978  lhop2  26007  ftc1lem5  26032  deg1tmle  26108  plyeq0lem  26200  aaliou3lem7  26340  dvloglem  26637  rtprmirr  26749  isosctrlem1  26807  bndatandm  26918  vma1  27154  rplogsumlem2  27473  rpvmasumlem  27475  axlowdimlem13  29048  axlowdimlem16  29051  strlem6  32352  hstrlem6  32360  pmtrto1cl  33187  psgnfzto1stlem  33188  cycpmrn  33231  drngidlhash  33524  prmidl0  33540  krull  33569  esplyfval2  33756  esplyfval3  33763  cos9thpiminply  33979  1smat1  33995  submateqlem1  33998  submateqlem2  33999  xrge0iifcnv  34124  reprlt  34810  reprgt  34812  reprinfz1  34813  erdszelem8  35433  ivthALT  36570  knoppndvlem1  36825  knoppndvlem2  36826  knoppndvlem7  36831  knoppndvlem21  36845  irrdiff  37693  qdiff  37694  poimirlem1  37995  poimirlem6  38000  poimirlem7  38001  poimirlem9  38003  poimirlem15  38009  poimirlem22  38016  3lexlogpow5ineq1  42546  3lexlogpow5ineq2  42547  3lexlogpow5ineq4  42548  3lexlogpow5ineq3  42549  3lexlogpow2ineq1  42550  3lexlogpow2ineq2  42551  3lexlogpow5ineq5  42552  aks4d1lem1  42554  dvrelog2b  42558  0nonelalab  42559  dvrelogpow2b  42560  aks4d1p1p3  42561  aks4d1p1p2  42562  aks4d1p1p4  42563  aks4d1p1p6  42565  aks4d1p1p7  42566  aks4d1p1p5  42567  aks4d1p1  42568  aks4d1p2  42569  aks4d1p3  42570  aks4d1p5  42572  aks4d1p6  42573  aks4d1p7d1  42574  aks4d1p7  42575  aks4d1p8d3  42578  aks4d1p8  42579  aks4d1p9  42580  aks6d1c2p2  42611  aks6d1c3  42615  2np3bcnp1  42636  2ap1caineq  42637  sticksstones1  42638  sticksstones2  42639  sticksstones10  42647  sticksstones12a  42649  sticksstones12  42650  sticksstones22  42660  aks6d1c6lem4  42665  aks6d1c7lem2  42673  aks5lem8  42693  sn-0ne2  42890  radcnvrat  44765  isosctrlem1ALT  45384  ltdiv23neg  45845  lptre2pt  46090  cncfiooicclem1  46343  cncfioobdlem  46346  ditgeqiooicc  46410  itgioocnicc  46427  iblcncfioo  46428  stirlinglem7  46530  fourierdlem34  46591  fourierdlem42  46599  fourierdlem54  46610  fourierdlem60  46616  fourierdlem73  46629  fourierdlem74  46630  fourierdlem76  46632  fourierdlem81  46637  fourierdlem82  46638  fourierdlem84  46640  fourierdlem93  46649  fourierdlem103  46659  fourierdlem104  46660  fourierdlem111  46667  fourierswlem  46680  pimrecltneg  47174  upgrimpthslem2  48406  stgrusgra  48457  eenglngeehlnmlem2  49236