Theorem ltned 11347

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11346	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2988	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   class class class wbr 5138  ℝcr 11105   < clt 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13667  modsumfzodifsn  13906  seqf1olem1  14004  nprm  16622  4sqlem10  16879  4sqlem17  16893  pgpfaclem2  19994  fvmptnn04ifb  22675  dvferm2lem  25840  lhop2  25870  ftc1lem5  25897  deg1tmle  25975  plyeq0lem  26064  aaliou3lem7  26203  dvloglem  26498  isosctrlem1  26666  bndatandm  26777  vma1  27014  rplogsumlem2  27334  rpvmasumlem  27336  axlowdimlem13  28681  axlowdimlem16  28684  strlem6  31978  hstrlem6  31986  fzone1  32480  pmtrto1cl  32726  psgnfzto1stlem  32727  cycpmrn  32770  drngidlhash  33021  prmidl0  33038  krull  33063  1smat1  33273  submateqlem1  33276  submateqlem2  33277  madjusmdetlem2  33297  xrge0iifcnv  33402  reprlt  34120  reprgt  34122  reprinfz1  34123  erdszelem8  34678  ivthALT  35710  knoppndvlem1  35878  knoppndvlem2  35879  knoppndvlem7  35884  knoppndvlem21  35898  irrdiff  36697  poimirlem1  36979  poimirlem6  36984  poimirlem7  36985  poimirlem9  36987  poimirlem15  36993  poimirlem22  37000  3lexlogpow5ineq1  41412  3lexlogpow5ineq2  41413  3lexlogpow5ineq4  41414  3lexlogpow5ineq3  41415  3lexlogpow2ineq1  41416  3lexlogpow2ineq2  41417  3lexlogpow5ineq5  41418  aks4d1lem1  41420  dvrelog2b  41424  0nonelalab  41425  dvrelogpow2b  41426  aks4d1p1p3  41427  aks4d1p1p2  41428  aks4d1p1p4  41429  aks4d1p1p6  41431  aks4d1p1p7  41432  aks4d1p1p5  41433  aks4d1p1  41434  aks4d1p2  41435  aks4d1p3  41436  aks4d1p5  41438  aks4d1p6  41439  aks4d1p7d1  41440  aks4d1p7  41441  aks4d1p8d3  41444  aks4d1p8  41445  aks4d1p9  41446  aks6d1c2p2  41450  2np3bcnp1  41453  2ap1caineq  41454  sticksstones1  41455  sticksstones2  41456  sticksstones10  41464  sticksstones12a  41466  sticksstones12  41467  sticksstones22  41477  metakunt6  41483  metakunt7  41484  metakunt11  41488  metakunt12  41489  metakunt27  41504  metakunt28  41505  metakunt29  41506  metakunt30  41507  rtprmirr  41726  sn-0ne2  41768  radcnvrat  43562  isosctrlem1ALT  44184  ltdiv23neg  44589  lptre2pt  44841  cncfiooicclem1  45094  cncfioobdlem  45097  ditgeqiooicc  45161  itgioocnicc  45178  iblcncfioo  45179  stirlinglem7  45281  fourierdlem34  45342  fourierdlem42  45350  fourierdlem54  45361  fourierdlem60  45367  fourierdlem73  45380  fourierdlem74  45381  fourierdlem76  45383  fourierdlem81  45388  fourierdlem82  45389  fourierdlem84  45391  fourierdlem93  45400  fourierdlem103  45410  fourierdlem104  45411  fourierdlem111  45418  fourierswlem  45431  pimrecltneg  45925  eenglngeehlnmlem2  47612