Theorem ltned 11449

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11448	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 3010	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ℝcr 11202   < clt 11346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351

This theorem is used by:  fzodisjsn  13835  fzone1  13922  modsumfzodifsn  14090  seqf1olem1  14187  nprm  16868  4sqlem10  17130  4sqlem17  17144  pgpfaclem2  20303  prmidl0  21639  fvmptnn04ifb  23174  dvferm2lem  26311  lhop2  26340  ftc1lem5  26365  deg1tmle  26441  plyeq0lem  26534  aaliou3lem7  26681  dvloglem  26981  rtprmirr  27093  isosctrlem1  27151  bndatandm  27262  vma1  27498  rplogsumlem2  27817  rpvmasumlem  27819  axlowdimlem13  29537  axlowdimlem16  29540  strlem6  32863  hstrlem6  32871  pmtrto1cl  33706  psgnfzto1stlem  33707  cycpmrn  33750  drngidlhash  34029  krull  34049  esplyfval2  34243  esplyfval3  34250  cos9thpiminply  34466  1smat1  34482  submateqlem1  34485  submateqlem2  34486  xrge0iifcnv  34611  reprlt  35294  reprgt  35296  reprinfz1  35297  erdszelem8  36049  ivthALT  37215  knoppndvlem1  37470  knoppndvlem2  37471  knoppndvlem7  37476  knoppndvlem21  37490  irrdiff  38340  qdiff  38341  poimirlem1  38632  poimirlem6  38637  poimirlem7  38638  poimirlem9  38640  poimirlem15  38646  poimirlem22  38653  3lexlogpow5ineq1  43197  3lexlogpow5ineq2  43198  3lexlogpow5ineq4  43199  3lexlogpow5ineq3  43200  3lexlogpow2ineq1  43201  3lexlogpow2ineq2  43202  3lexlogpow5ineq5  43203  aks4d1lem1  43205  dvrelog2b  43209  0nonelalab  43210  dvrelogpow2b  43211  aks4d1p1p3  43212  aks4d1p1p2  43213  aks4d1p1p4  43214  aks4d1p1p6  43216  aks4d1p1p7  43217  aks4d1p1p5  43218  aks4d1p1  43219  aks4d1p2  43220  aks4d1p3  43221  aks4d1p5  43223  aks4d1p6  43224  aks4d1p7d1  43225  aks4d1p7  43226  aks4d1p8d3  43229  aks4d1p8  43230  aks4d1p9  43231  aks6d1c2p2  43262  aks6d1c3  43266  2np3bcnp1  43287  2ap1caineq  43288  sticksstones1  43289  sticksstones2  43290  sticksstones10  43298  sticksstones12a  43300  sticksstones12  43301  sticksstones22  43311  aks6d1c6lem4  43316  aks6d1c7lem2  43324  aks5lem8  43344  sn-0ne2  43550  radcnvrat  45391  isosctrlem1ALT  46009  ltdiv23neg  46498  lptre2pt  46743  cncfiooicclem1  46996  cncfioobdlem  46999  ditgeqiooicc  47063  itgioocnicc  47080  iblcncfioo  47081  stirlinglem7  47183  fourierdlem34  47244  fourierdlem42  47252  fourierdlem54  47263  fourierdlem60  47269  fourierdlem73  47282  fourierdlem74  47283  fourierdlem76  47285  fourierdlem81  47290  fourierdlem82  47291  fourierdlem84  47293  fourierdlem93  47302  fourierdlem103  47312  fourierdlem104  47313  fourierdlem111  47320  fourierswlem  47333  pimrecltneg  47827  upgrimpthslem2  49099  stgrusgra  49150  eenglngeehlnmlem2  49944