Theorem ltned 11282

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11281	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2987	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13652  fzone1  13739  modsumfzodifsn  13906  seqf1olem1  14003  nprm  16657  4sqlem10  16918  4sqlem17  16932  pgpfaclem2  20059  fvmptnn04ifb  22816  dvferm2lem  25953  lhop2  25982  ftc1lem5  26007  deg1tmle  26083  plyeq0lem  26175  aaliou3lem7  26315  dvloglem  26612  rtprmirr  26724  isosctrlem1  26782  bndatandm  26893  vma1  27129  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  axlowdimlem13  29023  axlowdimlem16  29026  strlem6  32327  hstrlem6  32335  pmtrto1cl  33160  psgnfzto1stlem  33161  cycpmrn  33204  drngidlhash  33494  prmidl0  33510  krull  33539  esplyfval2  33709  esplyfval3  33716  cos9thpiminply  33932  1smat1  33948  submateqlem1  33951  submateqlem2  33952  xrge0iifcnv  34077  reprlt  34763  reprgt  34765  reprinfz1  34766  erdszelem8  35380  ivthALT  36517  knoppndvlem1  36772  knoppndvlem2  36773  knoppndvlem7  36778  knoppndvlem21  36792  irrdiff  37640  qdiff  37641  poimirlem1  37942  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem9  37950  poimirlem15  37956  poimirlem22  37963  3lexlogpow5ineq1  42493  3lexlogpow5ineq2  42494  3lexlogpow5ineq4  42495  3lexlogpow5ineq3  42496  3lexlogpow2ineq1  42497  3lexlogpow2ineq2  42498  3lexlogpow5ineq5  42499  aks4d1lem1  42501  dvrelog2b  42505  0nonelalab  42506  dvrelogpow2b  42507  aks4d1p1p3  42508  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  aks4d1p1  42515  aks4d1p2  42516  aks4d1p3  42517  aks4d1p5  42519  aks4d1p6  42520  aks4d1p7d1  42521  aks4d1p7  42522  aks4d1p8d3  42525  aks4d1p8  42526  aks4d1p9  42527  aks6d1c2p2  42558  aks6d1c3  42562  2np3bcnp1  42583  2ap1caineq  42584  sticksstones1  42585  sticksstones2  42586  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  sticksstones22  42607  aks6d1c6lem4  42612  aks6d1c7lem2  42620  aks5lem8  42640  sn-0ne2  42838  radcnvrat  44741  isosctrlem1ALT  45360  ltdiv23neg  45823  lptre2pt  46068  cncfiooicclem1  46321  cncfioobdlem  46324  ditgeqiooicc  46388  itgioocnicc  46405  iblcncfioo  46406  stirlinglem7  46508  fourierdlem34  46569  fourierdlem42  46577  fourierdlem54  46588  fourierdlem60  46594  fourierdlem73  46607  fourierdlem74  46608  fourierdlem76  46610  fourierdlem81  46615  fourierdlem82  46616  fourierdlem84  46618  fourierdlem93  46627  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem111  46645  fourierswlem  46658  pimrecltneg  47152  upgrimpthslem2  48384  stgrusgra  48435  eenglngeehlnmlem2  49214