Theorem ltned 11256

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11255	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2984	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  ℝcr 11012   < clt 11153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13599  fzone1  13686  modsumfzodifsn  13853  seqf1olem1  13950  nprm  16601  4sqlem10  16861  4sqlem17  16875  pgpfaclem2  19998  fvmptnn04ifb  22767  dvferm2lem  25918  lhop2  25948  ftc1lem5  25975  deg1tmle  26051  plyeq0lem  26143  aaliou3lem7  26285  dvloglem  26585  rtprmirr  26698  isosctrlem1  26756  bndatandm  26867  vma1  27104  rplogsumlem2  27424  rpvmasumlem  27426  axlowdimlem13  28934  axlowdimlem16  28937  strlem6  32238  hstrlem6  32246  pmtrto1cl  33075  psgnfzto1stlem  33076  cycpmrn  33119  drngidlhash  33406  prmidl0  33422  krull  33451  esplyfval2  33605  esplyfval3  33612  cos9thpiminply  33822  1smat1  33838  submateqlem1  33841  submateqlem2  33842  xrge0iifcnv  33967  reprlt  34653  reprgt  34655  reprinfz1  34656  erdszelem8  35263  ivthALT  36400  knoppndvlem1  36577  knoppndvlem2  36578  knoppndvlem7  36583  knoppndvlem21  36597  irrdiff  37391  poimirlem1  37681  poimirlem6  37686  poimirlem7  37687  poimirlem9  37689  poimirlem15  37695  poimirlem22  37702  3lexlogpow5ineq1  42167  3lexlogpow5ineq2  42168  3lexlogpow5ineq4  42169  3lexlogpow5ineq3  42170  3lexlogpow2ineq1  42171  3lexlogpow2ineq2  42172  3lexlogpow5ineq5  42173  aks4d1lem1  42175  dvrelog2b  42179  0nonelalab  42180  dvrelogpow2b  42181  aks4d1p1p3  42182  aks4d1p1p2  42183  aks4d1p1p4  42184  aks4d1p1p6  42186  aks4d1p1p7  42187  aks4d1p1p5  42188  aks4d1p1  42189  aks4d1p2  42190  aks4d1p3  42191  aks4d1p5  42193  aks4d1p6  42194  aks4d1p7d1  42195  aks4d1p7  42196  aks4d1p8d3  42199  aks4d1p8  42200  aks4d1p9  42201  aks6d1c2p2  42232  aks6d1c3  42236  2np3bcnp1  42257  2ap1caineq  42258  sticksstones1  42259  sticksstones2  42260  sticksstones10  42268  sticksstones12a  42270  sticksstones12  42271  sticksstones22  42281  aks6d1c6lem4  42286  aks6d1c7lem2  42294  aks5lem8  42314  sn-0ne2  42524  radcnvrat  44431  isosctrlem1ALT  45050  ltdiv23neg  45516  lptre2pt  45762  cncfiooicclem1  46015  cncfioobdlem  46018  ditgeqiooicc  46082  itgioocnicc  46099  iblcncfioo  46100  stirlinglem7  46202  fourierdlem34  46263  fourierdlem42  46271  fourierdlem54  46282  fourierdlem60  46288  fourierdlem73  46301  fourierdlem74  46302  fourierdlem76  46304  fourierdlem81  46309  fourierdlem82  46310  fourierdlem84  46312  fourierdlem93  46321  fourierdlem103  46331  fourierdlem104  46332  fourierdlem111  46339  fourierswlem  46352  pimrecltneg  46846  upgrimpthslem2  48032  stgrusgra  48083  eenglngeehlnmlem2  48863