Theorem ltned 11317

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11316	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2981	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ℝcr 11074   < clt 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13665  modsumfzodifsn  13916  seqf1olem1  14013  nprm  16665  4sqlem10  16925  4sqlem17  16939  pgpfaclem2  20021  fvmptnn04ifb  22745  dvferm2lem  25897  lhop2  25927  ftc1lem5  25954  deg1tmle  26030  plyeq0lem  26122  aaliou3lem7  26264  dvloglem  26564  rtprmirr  26677  isosctrlem1  26735  bndatandm  26846  vma1  27083  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  axlowdimlem13  28888  axlowdimlem16  28891  strlem6  32192  hstrlem6  32200  fzone1  32730  pmtrto1cl  33063  psgnfzto1stlem  33064  cycpmrn  33107  drngidlhash  33412  prmidl0  33428  krull  33457  cos9thpiminply  33785  1smat1  33801  submateqlem1  33804  submateqlem2  33805  xrge0iifcnv  33930  reprlt  34617  reprgt  34619  reprinfz1  34620  erdszelem8  35192  ivthALT  36330  knoppndvlem1  36507  knoppndvlem2  36508  knoppndvlem7  36513  knoppndvlem21  36527  irrdiff  37321  poimirlem1  37622  poimirlem6  37627  poimirlem7  37628  poimirlem9  37630  poimirlem15  37636  poimirlem22  37643  3lexlogpow5ineq1  42049  3lexlogpow5ineq2  42050  3lexlogpow5ineq4  42051  3lexlogpow5ineq3  42052  3lexlogpow2ineq1  42053  3lexlogpow2ineq2  42054  3lexlogpow5ineq5  42055  aks4d1lem1  42057  dvrelog2b  42061  0nonelalab  42062  dvrelogpow2b  42063  aks4d1p1p3  42064  aks4d1p1p2  42065  aks4d1p1p4  42066  aks4d1p1p6  42068  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p1p5  42070  aks4d1p1  42071  aks4d1p2  42072  aks4d1p3  42073  aks4d1p5  42075  aks4d1p6  42076  aks4d1p7d1  42077  aks4d1p7  42078  aks4d1p8d3  42081  aks4d1p8  42082  aks4d1p9  42083  aks6d1c2p2  42114  aks6d1c3  42118  2np3bcnp1  42139  2ap1caineq  42140  sticksstones1  42141  sticksstones2  42142  sticksstones10  42150  sticksstones12a  42152  sticksstones12  42153  sticksstones22  42163  aks6d1c6lem4  42168  aks6d1c7lem2  42176  aks5lem8  42196  sn-0ne2  42401  radcnvrat  44310  isosctrlem1ALT  44930  ltdiv23neg  45397  lptre2pt  45645  cncfiooicclem1  45898  cncfioobdlem  45901  ditgeqiooicc  45965  itgioocnicc  45982  iblcncfioo  45983  stirlinglem7  46085  fourierdlem34  46146  fourierdlem42  46154  fourierdlem54  46165  fourierdlem60  46171  fourierdlem73  46184  fourierdlem74  46185  fourierdlem76  46187  fourierdlem81  46192  fourierdlem82  46193  fourierdlem84  46195  fourierdlem93  46204  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem111  46222  fourierswlem  46235  pimrecltneg  46729  upgrimpthslem2  47912  stgrusgra  47962  eenglngeehlnmlem2  48731