Theorem ltned 11334

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11333	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 3015	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105  ℝcr 11087   < clt 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13717  fzone1  13804  modsumfzodifsn  13971  seqf1olem1  14068  nprm  16736  4sqlem10  16997  4sqlem17  17011  pgpfaclem2  20145  prmidl0  21438  fvmptnn04ifb  22969  dvferm2lem  26106  lhop2  26135  ftc1lem5  26160  deg1tmle  26236  plyeq0lem  26328  aaliou3lem7  26471  dvloglem  26771  rtprmirr  26883  isosctrlem1  26941  bndatandm  27052  vma1  27288  rplogsumlem2  27607  rpvmasumlem  27609  axlowdimlem13  29213  axlowdimlem16  29216  strlem6  32517  hstrlem6  32525  pmtrto1cl  33332  psgnfzto1stlem  33333  cycpmrn  33376  drngidlhash  33658  krull  33678  esplyfval2  33872  esplyfval3  33879  cos9thpiminply  34095  1smat1  34111  submateqlem1  34114  submateqlem2  34115  xrge0iifcnv  34240  reprlt  34923  reprgt  34925  reprinfz1  34926  erdszelem8  35561  ivthALT  36708  knoppndvlem1  36963  knoppndvlem2  36964  knoppndvlem7  36969  knoppndvlem21  36983  irrdiff  37830  qdiff  37831  poimirlem1  38132  poimirlem6  38137  poimirlem7  38138  poimirlem9  38140  poimirlem15  38146  poimirlem22  38153  3lexlogpow5ineq1  42683  3lexlogpow5ineq2  42684  3lexlogpow5ineq4  42685  3lexlogpow5ineq3  42686  3lexlogpow2ineq1  42687  3lexlogpow2ineq2  42688  3lexlogpow5ineq5  42689  aks4d1lem1  42691  dvrelog2b  42695  0nonelalab  42696  dvrelogpow2b  42697  aks4d1p1p3  42698  aks4d1p1p2  42699  aks4d1p1p4  42700  aks4d1p1p6  42702  aks4d1p1p7  42703  aks4d1p1p5  42704  aks4d1p1  42705  aks4d1p2  42706  aks4d1p3  42707  aks4d1p5  42709  aks4d1p6  42710  aks4d1p7d1  42711  aks4d1p7  42712  aks4d1p8d3  42715  aks4d1p8  42716  aks4d1p9  42717  aks6d1c2p2  42748  aks6d1c3  42752  2np3bcnp1  42773  2ap1caineq  42774  sticksstones1  42775  sticksstones2  42776  sticksstones10  42784  sticksstones12a  42786  sticksstones12  42787  sticksstones22  42797  aks6d1c6lem4  42802  aks6d1c7lem2  42810  aks5lem8  42830  sn-0ne2  43027  radcnvrat  44888  isosctrlem1ALT  45507  ltdiv23neg  45967  lptre2pt  46212  cncfiooicclem1  46465  cncfioobdlem  46468  ditgeqiooicc  46532  itgioocnicc  46549  iblcncfioo  46550  stirlinglem7  46652  fourierdlem34  46713  fourierdlem42  46721  fourierdlem54  46732  fourierdlem60  46738  fourierdlem73  46751  fourierdlem74  46752  fourierdlem76  46754  fourierdlem81  46759  fourierdlem82  46760  fourierdlem84  46762  fourierdlem93  46771  fourierdlem103  46781  fourierdlem104  46782  fourierdlem111  46789  fourierswlem  46802  pimrecltneg  47296  upgrimpthslem2  48528  stgrusgra  48579  eenglngeehlnmlem2  49369