Theorem ltned 10776

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 10775	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 3071	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  ℝcr 10536   < clt 10675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13076  modsumfzodifsn  13313  seqf1olem1  13410  nprm  16032  4sqlem10  16283  4sqlem17  16297  pgpfaclem2  19204  fvmptnn04ifb  21459  dvferm2lem  24583  lhop2  24612  ftc1lem5  24637  deg1tmle  24711  plyeq0lem  24800  aaliou3lem7  24938  dvloglem  25231  isosctrlem1  25396  bndatandm  25507  vma1  25743  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  axlowdimlem13  26740  axlowdimlem16  26743  strlem6  30033  hstrlem6  30041  fzone1  30523  pmtrto1cl  30741  psgnfzto1stlem  30742  cycpmrn  30785  krull  30980  1smat1  31069  submateqlem1  31072  submateqlem2  31073  madjusmdetlem2  31093  xrge0iifcnv  31176  reprlt  31890  reprgt  31892  reprinfz1  31893  erdszelem8  32445  ivthALT  33683  knoppndvlem1  33851  knoppndvlem2  33852  knoppndvlem7  33857  knoppndvlem21  33871  poimirlem1  34908  poimirlem6  34913  poimirlem7  34914  poimirlem9  34916  poimirlem15  34922  poimirlem22  34929  rtprmirr  39214  sn-0ne2  39256  radcnvrat  40666  isosctrlem1ALT  41288  ltdiv23neg  41686  lptre2pt  41941  cncfiooicclem1  42196  cncfioobdlem  42199  ditgeqiooicc  42265  itgioocnicc  42282  iblcncfioo  42283  stirlinglem7  42385  fourierdlem34  42446  fourierdlem42  42454  fourierdlem54  42465  fourierdlem60  42471  fourierdlem73  42484  fourierdlem74  42485  fourierdlem76  42487  fourierdlem81  42492  fourierdlem82  42493  fourierdlem84  42495  fourierdlem93  42504  fourierdlem103  42514  fourierdlem104  42515  fourierdlem111  42522  fourierswlem  42535  pimrecltneg  43021  eenglngeehlnmlem2  44745