Theorem ltned 10765

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 10764	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 3042	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ℝcr 10525   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13070  modsumfzodifsn  13307  seqf1olem1  13405  nprm  16022  4sqlem10  16273  4sqlem17  16287  pgpfaclem2  19197  fvmptnn04ifb  21456  dvferm2lem  24589  lhop2  24618  ftc1lem5  24643  deg1tmle  24718  plyeq0lem  24807  aaliou3lem7  24945  dvloglem  25239  isosctrlem1  25404  bndatandm  25515  vma1  25751  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  axlowdimlem13  26748  axlowdimlem16  26751  strlem6  30039  hstrlem6  30047  fzone1  30549  pmtrto1cl  30791  psgnfzto1stlem  30792  cycpmrn  30835  prmidl0  31034  krull  31051  1smat1  31157  submateqlem1  31160  submateqlem2  31161  madjusmdetlem2  31181  xrge0iifcnv  31286  reprlt  32000  reprgt  32002  reprinfz1  32003  erdszelem8  32558  ivthALT  33796  knoppndvlem1  33964  knoppndvlem2  33965  knoppndvlem7  33970  knoppndvlem21  33984  irrdiff  34740  poimirlem1  35058  poimirlem6  35063  poimirlem7  35064  poimirlem9  35066  poimirlem15  35072  poimirlem22  35079  2np3bcnp1  39348  2ap1caineq  39349  metakunt6  39355  metakunt7  39356  metakunt11  39360  metakunt12  39361  metakunt27  39376  metakunt28  39377  metakunt29  39378  metakunt30  39379  rtprmirr  39502  sn-0ne2  39544  radcnvrat  41018  isosctrlem1ALT  41640  ltdiv23neg  42030  lptre2pt  42282  cncfiooicclem1  42535  cncfioobdlem  42538  ditgeqiooicc  42602  itgioocnicc  42619  iblcncfioo  42620  stirlinglem7  42722  fourierdlem34  42783  fourierdlem42  42791  fourierdlem54  42802  fourierdlem60  42808  fourierdlem73  42821  fourierdlem74  42822  fourierdlem76  42824  fourierdlem81  42829  fourierdlem82  42830  fourierdlem84  42832  fourierdlem93  42841  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem111  42859  fourierswlem  42872  pimrecltneg  43358  eenglngeehlnmlem2  45152