Theorem ltned 11397

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltned	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	gtned 11396	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	3	necomd 2996	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ℝcr 11154   < clt 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300

This theorem is referenced by:  fzodisjsn  13737  modsumfzodifsn  13985  seqf1olem1  14082  nprm  16725  4sqlem10  16985  4sqlem17  16999  pgpfaclem2  20102  fvmptnn04ifb  22857  dvferm2lem  26024  lhop2  26054  ftc1lem5  26081  deg1tmle  26157  plyeq0lem  26249  aaliou3lem7  26391  dvloglem  26690  rtprmirr  26803  isosctrlem1  26861  bndatandm  26972  vma1  27209  rplogsumlem2  27529  rpvmasumlem  27531  axlowdimlem13  28969  axlowdimlem16  28972  strlem6  32275  hstrlem6  32283  fzone1  32802  pmtrto1cl  33119  psgnfzto1stlem  33120  cycpmrn  33163  drngidlhash  33462  prmidl0  33478  krull  33507  1smat1  33803  submateqlem1  33806  submateqlem2  33807  xrge0iifcnv  33932  reprlt  34634  reprgt  34636  reprinfz1  34637  erdszelem8  35203  ivthALT  36336  knoppndvlem1  36513  knoppndvlem2  36514  knoppndvlem7  36519  knoppndvlem21  36533  irrdiff  37327  poimirlem1  37628  poimirlem6  37633  poimirlem7  37634  poimirlem9  37636  poimirlem15  37642  poimirlem22  37649  3lexlogpow5ineq1  42055  3lexlogpow5ineq2  42056  3lexlogpow5ineq4  42057  3lexlogpow5ineq3  42058  3lexlogpow2ineq1  42059  3lexlogpow2ineq2  42060  3lexlogpow5ineq5  42061  aks4d1lem1  42063  dvrelog2b  42067  0nonelalab  42068  dvrelogpow2b  42069  aks4d1p1p3  42070  aks4d1p1p2  42071  aks4d1p1p4  42072  aks4d1p1p6  42074  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p1p5  42076  aks4d1p1  42077  aks4d1p2  42078  aks4d1p3  42079  aks4d1p5  42081  aks4d1p6  42082  aks4d1p7d1  42083  aks4d1p7  42084  aks4d1p8d3  42087  aks4d1p8  42088  aks4d1p9  42089  aks6d1c2p2  42120  aks6d1c3  42124  2np3bcnp1  42145  2ap1caineq  42146  sticksstones1  42147  sticksstones2  42148  sticksstones10  42156  sticksstones12a  42158  sticksstones12  42159  sticksstones22  42169  aks6d1c6lem4  42174  aks6d1c7lem2  42182  aks5lem8  42202  metakunt6  42211  metakunt7  42212  metakunt11  42216  metakunt12  42217  metakunt27  42232  metakunt28  42233  metakunt29  42234  metakunt30  42235  sn-0ne2  42436  radcnvrat  44333  isosctrlem1ALT  44954  ltdiv23neg  45405  lptre2pt  45655  cncfiooicclem1  45908  cncfioobdlem  45911  ditgeqiooicc  45975  itgioocnicc  45992  iblcncfioo  45993  stirlinglem7  46095  fourierdlem34  46156  fourierdlem42  46164  fourierdlem54  46175  fourierdlem60  46181  fourierdlem73  46194  fourierdlem74  46195  fourierdlem76  46197  fourierdlem81  46202  fourierdlem82  46203  fourierdlem84  46205  fourierdlem93  46214  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem111  46232  fourierswlem  46245  pimrecltneg  46739  stgrusgra  47926  eenglngeehlnmlem2  48659