Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelogpow2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelogpow2b 40525
Description: Derivative of the power of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelogpow2b.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvrelogpow2b.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvrelogpow2b.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
dvrelogpow2b.4 (𝜑𝐴𝐵)
dvrelogpow2b.5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁))
dvrelogpow2b.6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)))
dvrelogpow2b.7 𝐶 = (𝑁 / ((log‘2)↑𝑁))
dvrelogpow2b.8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dvrelogpow2b (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvrelogpow2b
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrelogpow2b.5 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁)))
32oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁))))
4 reelprrecn 11143 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6 cnelprrecn 11144 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
8 elioore 13294 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11 dvrelogpow2b.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 dvrelogpow2b.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 dvrelogpow2b.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝐴)
17 dvrelogpow2b.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐵)
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝐵)
19 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2012, 14, 16, 18, 190nonelalab 40524 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≠ 𝑥)
2120necomd 2999 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
2210, 21logcld 25926 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
23 2cnd 12231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
24 0ne2 12360 . . . . . . . . 9 0 ≠ 2
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≠ 2)
2625necomd 2999 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
2723, 26logcld 25926 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
28 0red 11158 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
29 1lt2 12324 . . . . . . . . . 10 1 < 2
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 2)
31 2rp 12920 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
32 loggt0b 25987 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
3430, 33sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (log‘2))
3528, 34ltned 11291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≠ (log‘2))
3635necomd 2999 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ≠ 0)
3722, 27, 36divcld 11931 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑥) / (log‘2)) ∈ ℂ)
38 1red 11156 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
3938, 30ltned 11291 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≠ 2)
4039necomd 2999 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 1)
4126, 40nelprd 4617 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 2 ∈ {0, 1})
4223, 41eldifd 3921 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
43 necom 2997 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 𝑥𝑥 ≠ 0)
4443imbi2i 335 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≠ 𝑥) ↔ ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0))
4520, 44mpbi 229 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
4645neneqd 2948 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 0)
47 velsn 4602 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0)
4846, 47sylnibr 328 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
4910, 48eldifd 3921 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
50 logbval 26116 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
5142, 49, 50syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
5251eleq1d 2822 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥) ∈ ℂ ↔ ((log‘𝑥) / (log‘2)) ∈ ℂ))
5337, 52mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℂ)
5431a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
5554relogcld 25978 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℝ)
569, 55remulcld 11185 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ∈ ℝ)
5754rpne0d 12962 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
5823, 57logcld 25926 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
5910, 58, 21, 36mulne0d 11807 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ≠ 0)
6038, 56, 59redivcld 11983 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / (𝑥 · (log‘2))) ∈ ℝ)
61 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
62 dvrelogpow2b.8 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6362nnnn0d 12473 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6463adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6561, 64expcld 14051 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑁) ∈ ℂ)
6662nncnd 12169 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6766adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
68 nnm1nn0 12454 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
6962, 68syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7069adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7161, 70expcld 14051 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
7267, 71mulcld 11175 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
7311rexrd 11205 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7413rexrd 11205 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
75 0red 11158 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7675, 11, 15ltled 11303 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
77 eqid 2736 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
78 eqid 2736 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
7973, 74, 76, 17, 77, 78dvrelog2b 40523 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
80 dvexp 25317 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
8162, 80syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
82 oveq1 7364 . . . 4 (𝑦 = (2 logb 𝑥) → (𝑦𝑁) = ((2 logb 𝑥)↑𝑁))
83 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑦 = (2 logb 𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
8483oveq2d 7373 . . . 4 (𝑦 = (2 logb 𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
855, 7, 53, 60, 65, 72, 79, 81, 82, 84dvmptco 25336 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))))
86 dvrelogpow2b.6 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)))
8786a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥))))
88 dvrelogpow2b.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶 = (𝑁 / ((log‘2)↑𝑁))
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 = (𝑁 / ((log‘2)↑𝑁)))
9089oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 / ((log‘2)↑𝑁)) · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)))
9166adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
9263nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9427, 36, 93expclzd 14056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑𝑁) ∈ ℂ)
9569adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
9622, 95expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
9727, 36, 93expne0d 14057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑𝑁) ≠ 0)
9891, 94, 96, 10, 97, 21divmuldivd 11972 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 / ((log‘2)↑𝑁)) · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥)))
9994, 10mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥) = (𝑥 · ((log‘2)↑𝑁)))
100 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
101100, 66pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
102101eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑁 = (1 + (𝑁 − 1)))
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑁 = (1 + (𝑁 − 1)))
104103oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑𝑁) = ((log‘2)↑(1 + (𝑁 − 1))))
105 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℕ0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℕ0)
10727, 95, 106expaddd 14053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑(1 + (𝑁 − 1))) = (((log‘2)↑1) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
108104, 107eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑𝑁) = (((log‘2)↑1) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
10927exp1d 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑1) = (log‘2))
110109oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘2)↑1) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) = ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
111108, 110eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑𝑁) = ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
112111oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · ((log‘2)↑𝑁)) = (𝑥 · ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))))
11399, 112eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥) = (𝑥 · ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))))
11427, 95expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
11510, 27, 114mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 · (log‘2)) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 · ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))))
116115eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))) = ((𝑥 · (log‘2)) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
117113, 116eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥) = ((𝑥 · (log‘2)) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
11810, 27mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ∈ ℂ)
119118, 114mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 · (log‘2)) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) = (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2))))
120117, 119eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥) = (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2))))
121120oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥)) = ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2)))))
12298, 121eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 / ((log‘2)↑𝑁)) · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2)))))
12390, 122eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2)))))
12491, 96mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
125 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℤ)
12693, 125zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12727, 36, 126expne0d 14057 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑(𝑁 − 1)) ≠ 0)
128124, 114, 118, 127, 59divdiv1d 11962 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2)))))
129128eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2)))) = (((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
130123, 129eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = (((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
13191, 96, 114, 127divassd 11966 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))))
132131oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))) / (𝑥 · (log‘2))))
133130, 132eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))) / (𝑥 · (log‘2))))
13422, 27, 36, 95expdivd 14065 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1)) = (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
135134eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) = (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1)))
136135oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))))
137136oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
138133, 137eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
13951oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1)))
140139oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))))
141140oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
142141eqcomd 2742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
143138, 142eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
14453, 95expcld 14051 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
14591, 144mulcld 11175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
146145, 118, 59divrecd 11934 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
147143, 146eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
148147mpteq2dva 5205 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))))
14987, 148eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))))
150149eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))) = 𝐺)
15185, 150eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁))) = 𝐺)
1523, 151eqtrd 2776 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  (,)cioo 13264  cexp 13967   D cdv 25227  logclog 25910   logb clogb 26114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-logb 26115
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p6  40530  aks4d1p1p5  40532
  Copyright terms: Public domain W3C validator