Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelogpow2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelogpow2b 40571
Description: Derivative of the power of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelogpow2b.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dvrelogpow2b.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
dvrelogpow2b.3 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
dvrelogpow2b.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
dvrelogpow2b.5 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))
dvrelogpow2b.6 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)))
dvrelogpow2b.7 ๐ถ = (๐‘ / ((logโ€˜2)โ†‘๐‘))
dvrelogpow2b.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
dvrelogpow2b (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = ๐บ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐บ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem dvrelogpow2b
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrelogpow2b.5 . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))
21a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))
32oveq2d 7374 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))))
4 reelprrecn 11148 . . . . 5 โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚}
54a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚})
6 cnelprrecn 11149 . . . . 5 โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚}
76a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚})
8 elioore 13300 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
98adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
109recnd 11188 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
11 dvrelogpow2b.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1211adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
13 dvrelogpow2b.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1413adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
15 dvrelogpow2b.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
1615adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 < ๐ด)
17 dvrelogpow2b.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
1817adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
19 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
2012, 14, 16, 18, 190nonelalab 40570 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 โ‰  ๐‘ฅ)
2120necomd 2996 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
2210, 21logcld 25942 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
23 2cnd 12236 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
24 0ne2 12365 . . . . . . . . 9 0 โ‰  2
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 โ‰  2)
2625necomd 2996 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โ‰  0)
2723, 26logcld 25942 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
28 0red 11163 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
29 1lt2 12329 . . . . . . . . . 10 1 < 2
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 < 2)
31 2rp 12925 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„+
32 loggt0b 26003 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (0 < (logโ€˜2) โ†” 1 < 2))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 < (logโ€˜2) โ†” 1 < 2)
3430, 33sylibr 233 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 < (logโ€˜2))
3528, 34ltned 11296 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 โ‰  (logโ€˜2))
3635necomd 2996 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โ‰  0)
3722, 27, 36divcld 11936 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
38 1red 11161 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3938, 30ltned 11296 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โ‰  2)
4039necomd 2996 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โ‰  1)
4126, 40nelprd 4618 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ยฌ 2 โˆˆ {0, 1})
4223, 41eldifd 3922 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}))
43 necom 2994 . . . . . . . . . . . 12 (0 โ‰  ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฅ โ‰  0)
4443imbi2i 336 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 โ‰  ๐‘ฅ) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
4520, 44mpbi 229 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
4645neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ = 0)
47 velsn 4603 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ {0} โ†” ๐‘ฅ = 0)
4846, 47sylnibr 329 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0})
4910, 48eldifd 3922 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
50 logbval 26132 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (2 logb ๐‘ฅ) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))
5142, 49, 50syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 logb ๐‘ฅ) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)))
5251eleq1d 2819 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((2 logb ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†” ((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2)) โˆˆ โ„‚))
5337, 52mpbird 257 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 logb ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
5431a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
5554relogcld 25994 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
569, 55remulcld 11190 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
5754rpne0d 12967 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โ‰  0)
5823, 57logcld 25942 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
5910, 58, 21, 36mulne0d 11812 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)) โ‰  0)
6038, 56, 59redivcld 11988 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))) โˆˆ โ„)
61 simpr 486 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
62 dvrelogpow2b.8 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6362nnnn0d 12478 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6463adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6561, 64expcld 14057 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
6662nncnd 12174 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6766adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
68 nnm1nn0 12459 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6962, 68syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7069adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7161, 70expcld 14057 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
7267, 71mulcld 11180 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
7311rexrd 11210 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
7413rexrd 11210 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
75 0red 11163 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
7675, 11, 15ltled 11308 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
77 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ))
78 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
7973, 74, 76, 17, 77, 78dvrelog2b 40569 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
80 dvexp 25333 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘๐‘))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ ยท (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
8162, 80syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘๐‘))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ ยท (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
82 oveq1 7365 . . . 4 (๐‘ฆ = (2 logb ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆโ†‘๐‘) = ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))
83 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘ฆ = (2 logb ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
8483oveq2d 7374 . . . 4 (๐‘ฆ = (2 logb ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
855, 7, 53, 60, 65, 72, 79, 81, 82, 84dvmptco 25352 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))))
86 dvrelogpow2b.6 . . . . . 6 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)))
8786a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ))))
88 dvrelogpow2b.7 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ถ = (๐‘ / ((logโ€˜2)โ†‘๐‘))
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐ถ = (๐‘ / ((logโ€˜2)โ†‘๐‘)))
9089oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)) = ((๐‘ / ((logโ€˜2)โ†‘๐‘)) ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)))
9166adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9263nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
9392adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
9427, 36, 93expclzd 14062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜2)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
9569adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
9622, 95expcld 14057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9727, 36, 93expne0d 14063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜2)โ†‘๐‘) โ‰  0)
9891, 94, 96, 10, 97, 21divmuldivd 11977 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((๐‘ / ((logโ€˜2)โ†‘๐‘)) ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)) = ((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (((logโ€˜2)โ†‘๐‘) ยท ๐‘ฅ)))
9994, 10mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((logโ€˜2)โ†‘๐‘) ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜2)โ†‘๐‘)))
100 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
101100, 66pncan3d 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐‘ โˆ’ 1)) = ๐‘)
102101eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (1 + (๐‘ โˆ’ 1)))
103102adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ = (1 + (๐‘ โˆ’ 1)))
104103oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜2)โ†‘๐‘) = ((logโ€˜2)โ†‘(1 + (๐‘ โˆ’ 1))))
105 1nn0 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 โˆˆ โ„•0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
10727, 95, 106expaddd 14059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜2)โ†‘(1 + (๐‘ โˆ’ 1))) = (((logโ€˜2)โ†‘1) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
108104, 107eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜2)โ†‘๐‘) = (((logโ€˜2)โ†‘1) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
10927exp1d 14052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜2)โ†‘1) = (logโ€˜2))
110109oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((logโ€˜2)โ†‘1) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((logโ€˜2) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
111108, 110eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜2)โ†‘๐‘) = ((logโ€˜2) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
112111oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜2)โ†‘๐‘)) = (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜2) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
11399, 112eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((logโ€˜2)โ†‘๐‘) ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜2) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
11427, 95expcld 14057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
11510, 27, 114mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜2) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
116115eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜2) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = ((๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
117113, 116eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((logโ€˜2)โ†‘๐‘) ยท ๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
11810, 27mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
119118, 114mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)) ยท ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
120117, 119eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((logโ€˜2)โ†‘๐‘) ยท ๐‘ฅ) = (((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
121120oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (((logโ€˜2)โ†‘๐‘) ยท ๐‘ฅ)) = ((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
12298, 121eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((๐‘ / ((logโ€˜2)โ†‘๐‘)) ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)) = ((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
12390, 122eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)) = ((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
12491, 96mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
125 1zzd 12539 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
12693, 125zsubcld 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
12727, 36, 126expne0d 14063 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰  0)
128124, 114, 118, 127, 59divdiv1d 11967 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))) = ((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
129128eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) = (((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
130123, 129eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)) = (((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
13191, 96, 114, 127divassd 11971 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐‘ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
132131oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((๐‘ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))) = ((๐‘ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
133130, 132eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)) = ((๐‘ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
13422, 27, 36, 95expdivd 14071 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
135134eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
136135oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = (๐‘ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
137136oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ((logโ€˜2)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))) = ((๐‘ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
138133, 137eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)) = ((๐‘ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
13951oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
140139oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐‘ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
141140oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))) = ((๐‘ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
142141eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ) / (logโ€˜2))โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))) = ((๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
143138, 142eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)) = ((๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
14453, 95expcld 14057 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
14591, 144mulcld 11180 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
146145, 118, 59divrecd 11939 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))) = ((๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
147143, 146eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)) = ((๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
148147mpteq2dva 5206 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (๐ถ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))))
14987, 148eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))))
150149eqcomd 2739 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((๐‘ ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))) = ๐บ)
15185, 150eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))) = ๐บ)
1523, 151eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D ๐น) = ๐บ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โˆ– cdif 3908  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„+crp 12920  (,)cioo 13270  โ†‘cexp 13973   D cdv 25243  logclog 25926   logb clogb 26130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-logb 26131
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p6  40576  aks4d1p1p5  40578
  Copyright terms: Public domain W3C validator