Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelogpow2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelogpow2b 42069
Description: Derivative of the power of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelogpow2b.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvrelogpow2b.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvrelogpow2b.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
dvrelogpow2b.4 (𝜑𝐴𝐵)
dvrelogpow2b.5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁))
dvrelogpow2b.6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)))
dvrelogpow2b.7 𝐶 = (𝑁 / ((log‘2)↑𝑁))
dvrelogpow2b.8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dvrelogpow2b (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvrelogpow2b
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrelogpow2b.5 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁)))
32oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁))))
4 reelprrecn 11247 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6 cnelprrecn 11248 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
8 elioore 13417 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
109recnd 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11 dvrelogpow2b.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 dvrelogpow2b.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 dvrelogpow2b.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝐴)
17 dvrelogpow2b.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐵)
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝐵)
19 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2012, 14, 16, 18, 190nonelalab 42068 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≠ 𝑥)
2120necomd 2996 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
2210, 21logcld 26612 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
23 2cnd 12344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
24 0ne2 12473 . . . . . . . . 9 0 ≠ 2
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≠ 2)
2625necomd 2996 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
2723, 26logcld 26612 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
28 0red 11264 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
29 1lt2 12437 . . . . . . . . . 10 1 < 2
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 2)
31 2rp 13039 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
32 loggt0b 26674 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
3430, 33sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (log‘2))
3528, 34ltned 11397 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≠ (log‘2))
3635necomd 2996 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ≠ 0)
3722, 27, 36divcld 12043 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑥) / (log‘2)) ∈ ℂ)
38 1red 11262 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
3938, 30ltned 11397 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≠ 2)
4039necomd 2996 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 1)
4126, 40nelprd 4657 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 2 ∈ {0, 1})
4223, 41eldifd 3962 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
43 necom 2994 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≠ 𝑥𝑥 ≠ 0)
4443imbi2i 336 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≠ 𝑥) ↔ ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0))
4520, 44mpbi 230 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
4645neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 0)
47 velsn 4642 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0)
4846, 47sylnibr 329 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {0})
4910, 48eldifd 3962 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
50 logbval 26809 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
5142, 49, 50syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) = ((log‘𝑥) / (log‘2)))
5251eleq1d 2826 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥) ∈ ℂ ↔ ((log‘𝑥) / (log‘2)) ∈ ℂ))
5337, 52mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℂ)
5431a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
5554relogcld 26665 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℝ)
569, 55remulcld 11291 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ∈ ℝ)
5754rpne0d 13082 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
5823, 57logcld 26612 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
5910, 58, 21, 36mulne0d 11915 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ≠ 0)
6038, 56, 59redivcld 12095 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / (𝑥 · (log‘2))) ∈ ℝ)
61 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
62 dvrelogpow2b.8 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6362nnnn0d 12587 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6463adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6561, 64expcld 14186 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑁) ∈ ℂ)
6662nncnd 12282 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6766adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
68 nnm1nn0 12567 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
6962, 68syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7069adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
7161, 70expcld 14186 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
7267, 71mulcld 11281 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
7311rexrd 11311 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7413rexrd 11311 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
75 0red 11264 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7675, 11, 15ltled 11409 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
77 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
78 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
7973, 74, 76, 17, 77, 78dvrelog2b 42067 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
80 dvexp 25991 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
8162, 80syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
82 oveq1 7438 . . . 4 (𝑦 = (2 logb 𝑥) → (𝑦𝑁) = ((2 logb 𝑥)↑𝑁))
83 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑦 = (2 logb 𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
8483oveq2d 7447 . . . 4 (𝑦 = (2 logb 𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
855, 7, 53, 60, 65, 72, 79, 81, 82, 84dvmptco 26010 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))))
86 dvrelogpow2b.6 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)))
8786a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥))))
88 dvrelogpow2b.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶 = (𝑁 / ((log‘2)↑𝑁))
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 = (𝑁 / ((log‘2)↑𝑁)))
9089oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 / ((log‘2)↑𝑁)) · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)))
9166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
9263nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9427, 36, 93expclzd 14191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑𝑁) ∈ ℂ)
9569adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
9622, 95expcld 14186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
9727, 36, 93expne0d 14192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑𝑁) ≠ 0)
9891, 94, 96, 10, 97, 21divmuldivd 12084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 / ((log‘2)↑𝑁)) · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥)))
9994, 10mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥) = (𝑥 · ((log‘2)↑𝑁)))
100 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
101100, 66pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
102101eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑁 = (1 + (𝑁 − 1)))
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑁 = (1 + (𝑁 − 1)))
104103oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑𝑁) = ((log‘2)↑(1 + (𝑁 − 1))))
105 1nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℕ0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℕ0)
10727, 95, 106expaddd 14188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑(1 + (𝑁 − 1))) = (((log‘2)↑1) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
108104, 107eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑𝑁) = (((log‘2)↑1) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
10927exp1d 14181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑1) = (log‘2))
110109oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘2)↑1) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) = ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
111108, 110eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑𝑁) = ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
112111oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · ((log‘2)↑𝑁)) = (𝑥 · ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))))
11399, 112eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥) = (𝑥 · ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))))
11427, 95expcld 14186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
11510, 27, 114mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 · (log‘2)) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 · ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))))
116115eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · ((log‘2) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))) = ((𝑥 · (log‘2)) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
117113, 116eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥) = ((𝑥 · (log‘2)) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
11810, 27mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ∈ ℂ)
119118, 114mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 · (log‘2)) · ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) = (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2))))
120117, 119eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥) = (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2))))
121120oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑𝑁) · 𝑥)) = ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2)))))
12298, 121eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 / ((log‘2)↑𝑁)) · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2)))))
12390, 122eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2)))))
12491, 96mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
125 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℤ)
12693, 125zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12727, 36, 126expne0d 14192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑(𝑁 − 1)) ≠ 0)
128124, 114, 118, 127, 59divdiv1d 12074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2)))))
129128eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (((log‘2)↑(𝑁 − 1)) · (𝑥 · (log‘2)))) = (((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
130123, 129eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = (((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
13191, 96, 114, 127divassd 12078 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))))
132131oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑁 · ((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))) / (𝑥 · (log‘2))))
133130, 132eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))) / (𝑥 · (log‘2))))
13422, 27, 36, 95expdivd 14200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1)) = (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))))
135134eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1))) = (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1)))
136135oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))))
137136oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / ((log‘2)↑(𝑁 − 1)))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
138133, 137eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
13951oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1)))
140139oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))))
141140oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
142141eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · (((log‘𝑥) / (log‘2))↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
143138, 142eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))))
14453, 95expcld 14186 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
14591, 144mulcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
146145, 118, 59divrecd 12046 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) / (𝑥 · (log‘2))) = ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
147143, 146eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥)) = ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
148147mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐶 · (((log‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))))
14987, 148eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))))
150149eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 · ((2 logb 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))) = 𝐺)
15185, 150eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑𝑁))) = 𝐺)
1523, 151eqtrd 2777 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  (,)cioo 13387  cexp 14102   D cdv 25898  logclog 26596   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p6  42074  aks4d1p1p5  42076
  Copyright terms: Public domain W3C validator