Theorem elioore 13513

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13512	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1116	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13307	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 593	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350  (,)cioo 13483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-ioo 13487

This theorem is used by:  iooval2  13516  elioo4g  13544  ioossre  13545  zltaddlt1le  13643  tgioo  25124  zcld  25142  ioorcl2  25902  lhop2  26344  dvcvx  26349  pilem2  26788  pilem3  26789  pire  26792  tanrpcl  26842  tangtx  26843  tanabsge  26844  sinq34lt0t  26847  cosq14gt0  26848  sineq0  26861  cos02pilt1  26863  cosne0  26866  cos0pilt1  26869  tanord  26875  divlogrlim  26972  logno1  26973  logccv  27000  angpieqvd  27168  asinsin  27229  reasinsin  27233  scvxcvx  27322  basellem3  27419  basellem8  27424  vmalogdivsum2  27874  vmalogdivsum  27875  2vmadivsumlem  27876  selberg3lem1  27893  selberg3  27895  selberg4lem1  27896  selberg4  27897  selberg3r  27905  selberg4r  27906  selberg34r  27907  pntrlog2bndlem1  27913  pntrlog2bndlem2  27914  pntrlog2bndlem3  27915  pntrlog2bndlem4  27916  pntrlog2bndlem5  27917  pntrlog2bndlem6a  27918  pntrlog2bndlem6  27919  pntpbnd  27924  pntibndlem3  27928  pntibnd  27929  knoppndvlem3  37476  iooelexlt  38394  relowlssretop  38395  relowlpssretop  38396  tan2h  38644  itg2gt0cn  38702  itggt0cn  38717  ftc1cnnclem  38718  ftc1cnnc  38719  ftc1anclem7  38726  ftc1anclem8  38727  ftc1anc  38728  dvasin  38731  areacirclem1  38735  areacirc  38740  lcmineqlem12  43199  dvrelog2b  43225  0nonelalab  43226  dvrelogpow2b  43227  aks4d1p1p6  43232  aks4d1p1p5  43234  redvmptabs  43520  cvgdvgrat  45406  iooabslt  46619  iocopn  46640  iooshift  46642  icoopn  46645  iooiinicc  46662  elioored  46669  iooiinioc  46676  islptre  46739  limciccioolb  46741  limcicciooub  46755  lptre2pt  46758  xlimxrre  46949  sinaover2ne0  46986  icccncfext  47005  cncfiooicclem1  47011  dvbdfbdioolem2  47047  itgcoscmulx  47087  iblcncfioo  47096  wallispilem1  47183  dirkeritg  47220  dirkercncflem2  47222  fourierdlem27  47252  fourierdlem28  47253  fourierdlem31  47256  fourierdlem32  47257  fourierdlem33  47258  fourierdlem39  47264  fourierdlem40  47265  fourierdlem41  47266  fourierdlem47  47271  fourierdlem48  47272  fourierdlem49  47273  fourierdlem56  47280  fourierdlem57  47281  fourierdlem59  47283  fourierdlem60  47284  fourierdlem61  47285  fourierdlem62  47286  fourierdlem64  47288  fourierdlem68  47292  fourierdlem72  47296  fourierdlem73  47297  fourierdlem74  47298  fourierdlem75  47299  fourierdlem76  47300  fourierdlem78  47302  fourierdlem81  47305  fourierdlem84  47308  fourierdlem89  47313  fourierdlem90  47314  fourierdlem91  47315  fourierdlem92  47316  fourierdlem93  47317  fourierdlem97  47321  fourierdlem100  47324  fourierdlem101  47325  fourierdlem103  47327  fourierdlem104  47328  fourierdlem111  47335  fourierdlem112  47336  sqwvfoura  47346  sqwvfourb  47347  fouriersw  47349  etransclem23  47375  etransclem46  47398  smfaddlem1  47881  amgmwlem  51170