Theorem elioore 13418

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1098	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13213	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 581	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296  (,)cioo 13388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-ioo 13392

This theorem is referenced by:  iooval2  13421  elioo4g  13448  ioossre  13449  zltaddlt1le  13546  tgioo  24818  zcld  24836  ioorcl2  25608  lhop2  26055  dvcvx  26060  pilem2  26497  pilem3  26498  pire  26501  tanrpcl  26547  tangtx  26548  tanabsge  26549  sinq34lt0t  26552  cosq14gt0  26553  sineq0  26567  cos02pilt1  26569  cosne0  26572  cos0pilt1  26575  tanord  26581  divlogrlim  26678  logno1  26679  logccv  26706  angpieqvd  26875  asinsin  26936  reasinsin  26940  scvxcvx  27030  basellem3  27127  basellem8  27132  vmalogdivsum2  27583  vmalogdivsum  27584  2vmadivsumlem  27585  selberg3lem1  27602  selberg3  27604  selberg4lem1  27605  selberg4  27606  selberg3r  27614  selberg4r  27615  selberg34r  27616  pntrlog2bndlem1  27622  pntrlog2bndlem2  27623  pntrlog2bndlem3  27624  pntrlog2bndlem4  27625  pntrlog2bndlem5  27626  pntrlog2bndlem6a  27627  pntrlog2bndlem6  27628  pntpbnd  27633  pntibndlem3  27637  pntibnd  27638  knoppndvlem3  36516  iooelexlt  37364  relowlssretop  37365  relowlpssretop  37366  tan2h  37620  itg2gt0cn  37683  itggt0cn  37698  ftc1cnnclem  37699  ftc1cnnc  37700  ftc1anclem7  37707  ftc1anclem8  37708  ftc1anc  37709  dvasin  37712  areacirclem1  37716  areacirc  37721  lcmineqlem12  42042  dvrelog2b  42068  0nonelalab  42069  dvrelogpow2b  42070  aks4d1p1p6  42075  aks4d1p1p5  42077  redvmptabs  42395  cvgdvgrat  44337  iooabslt  45517  iocopn  45538  iooshift  45540  icoopn  45543  iooiinicc  45560  elioored  45567  iooiinioc  45574  islptre  45639  limciccioolb  45641  limcicciooub  45657  lptre2pt  45660  xlimxrre  45851  sinaover2ne0  45888  icccncfext  45907  cncfiooicclem1  45913  dvbdfbdioolem2  45949  itgcoscmulx  45989  iblcncfioo  45998  wallispilem1  46085  dirkeritg  46122  dirkercncflem2  46124  fourierdlem27  46154  fourierdlem28  46155  fourierdlem31  46158  fourierdlem32  46159  fourierdlem33  46160  fourierdlem39  46166  fourierdlem40  46167  fourierdlem41  46168  fourierdlem47  46173  fourierdlem48  46174  fourierdlem49  46175  fourierdlem56  46182  fourierdlem57  46183  fourierdlem59  46185  fourierdlem60  46186  fourierdlem61  46187  fourierdlem62  46188  fourierdlem64  46190  fourierdlem68  46194  fourierdlem72  46198  fourierdlem73  46199  fourierdlem74  46200  fourierdlem75  46201  fourierdlem76  46202  fourierdlem78  46204  fourierdlem81  46207  fourierdlem84  46210  fourierdlem89  46215  fourierdlem90  46216  fourierdlem91  46217  fourierdlem92  46218  fourierdlem93  46219  fourierdlem97  46223  fourierdlem100  46226  fourierdlem101  46227  fourierdlem103  46229  fourierdlem104  46230  fourierdlem111  46237  fourierdlem112  46238  sqwvfoura  46248  sqwvfourb  46249  fouriersw  46251  etransclem23  46277  etransclem46  46300  smfaddlem1  46783  amgmwlem  49376