Theorem elioore 13358

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13357	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1097	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13153	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 579	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252  (,)cioo 13328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13332

This theorem is referenced by:  iooval2  13361  elioo4g  13388  ioossre  13389  zltaddlt1le  13486  tgioo  24532  zcld  24549  ioorcl2  25321  lhop2  25767  dvcvx  25772  pilem2  26200  pilem3  26201  pire  26204  tanrpcl  26250  tangtx  26251  tanabsge  26252  sinq34lt0t  26255  cosq14gt0  26256  sineq0  26269  cos02pilt1  26271  cosne0  26274  cos0pilt1  26277  tanord  26283  divlogrlim  26379  logno1  26380  logccv  26407  angpieqvd  26572  asinsin  26633  reasinsin  26637  scvxcvx  26726  basellem3  26823  basellem8  26828  vmalogdivsum2  27277  vmalogdivsum  27278  2vmadivsumlem  27279  selberg3lem1  27296  selberg3  27298  selberg4lem1  27299  selberg4  27300  selberg3r  27308  selberg4r  27309  selberg34r  27310  pntrlog2bndlem1  27316  pntrlog2bndlem2  27317  pntrlog2bndlem3  27318  pntrlog2bndlem4  27319  pntrlog2bndlem5  27320  pntrlog2bndlem6a  27321  pntrlog2bndlem6  27322  pntpbnd  27327  pntibndlem3  27331  pntibnd  27332  knoppndvlem3  35693  iooelexlt  36546  relowlssretop  36547  relowlpssretop  36548  tan2h  36783  itg2gt0cn  36846  itggt0cn  36861  ftc1cnnclem  36862  ftc1cnnc  36863  ftc1anclem7  36870  ftc1anclem8  36871  ftc1anc  36872  dvasin  36875  areacirclem1  36879  areacirc  36884  lcmineqlem12  41211  dvrelog2b  41237  0nonelalab  41238  dvrelogpow2b  41239  aks4d1p1p6  41244  aks4d1p1p5  41246  cvgdvgrat  43374  iooabslt  44510  iocopn  44531  iooshift  44533  icoopn  44536  iooiinicc  44553  elioored  44560  iooiinioc  44567  islptre  44633  limciccioolb  44635  limcicciooub  44651  lptre2pt  44654  xlimxrre  44845  sinaover2ne0  44882  icccncfext  44901  cncfiooicclem1  44907  dvbdfbdioolem2  44943  itgcoscmulx  44983  iblcncfioo  44992  wallispilem1  45079  dirkeritg  45116  dirkercncflem2  45118  fourierdlem27  45148  fourierdlem28  45149  fourierdlem31  45152  fourierdlem32  45153  fourierdlem33  45154  fourierdlem39  45160  fourierdlem40  45161  fourierdlem41  45162  fourierdlem47  45167  fourierdlem48  45168  fourierdlem49  45169  fourierdlem56  45176  fourierdlem57  45177  fourierdlem59  45179  fourierdlem60  45180  fourierdlem61  45181  fourierdlem62  45182  fourierdlem64  45184  fourierdlem68  45188  fourierdlem72  45192  fourierdlem73  45193  fourierdlem74  45194  fourierdlem75  45195  fourierdlem76  45196  fourierdlem78  45198  fourierdlem81  45201  fourierdlem84  45204  fourierdlem89  45209  fourierdlem90  45210  fourierdlem91  45211  fourierdlem92  45212  fourierdlem93  45213  fourierdlem97  45217  fourierdlem100  45220  fourierdlem101  45221  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  fourierdlem111  45231  fourierdlem112  45232  sqwvfoura  45242  sqwvfourb  45243  fouriersw  45245  etransclem23  45271  etransclem46  45294  smfaddlem1  45777  amgmwlem  47936