Theorem elioore 13414

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1098	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13209	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 581	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293  (,)cioo 13384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ioo 13388

This theorem is referenced by:  iooval2  13417  elioo4g  13444  ioossre  13445  zltaddlt1le  13542  tgioo  24832  zcld  24849  ioorcl2  25621  lhop2  26069  dvcvx  26074  pilem2  26511  pilem3  26512  pire  26515  tanrpcl  26561  tangtx  26562  tanabsge  26563  sinq34lt0t  26566  cosq14gt0  26567  sineq0  26581  cos02pilt1  26583  cosne0  26586  cos0pilt1  26589  tanord  26595  divlogrlim  26692  logno1  26693  logccv  26720  angpieqvd  26889  asinsin  26950  reasinsin  26954  scvxcvx  27044  basellem3  27141  basellem8  27146  vmalogdivsum2  27597  vmalogdivsum  27598  2vmadivsumlem  27599  selberg3lem1  27616  selberg3  27618  selberg4lem1  27619  selberg4  27620  selberg3r  27628  selberg4r  27629  selberg34r  27630  pntrlog2bndlem1  27636  pntrlog2bndlem2  27637  pntrlog2bndlem3  27638  pntrlog2bndlem4  27639  pntrlog2bndlem5  27640  pntrlog2bndlem6a  27641  pntrlog2bndlem6  27642  pntpbnd  27647  pntibndlem3  27651  pntibnd  27652  knoppndvlem3  36497  iooelexlt  37345  relowlssretop  37346  relowlpssretop  37347  tan2h  37599  itg2gt0cn  37662  itggt0cn  37677  ftc1cnnclem  37678  ftc1cnnc  37679  ftc1anclem7  37686  ftc1anclem8  37687  ftc1anc  37688  dvasin  37691  areacirclem1  37695  areacirc  37700  lcmineqlem12  42022  dvrelog2b  42048  0nonelalab  42049  dvrelogpow2b  42050  aks4d1p1p6  42055  aks4d1p1p5  42057  redvmptabs  42369  cvgdvgrat  44309  iooabslt  45452  iocopn  45473  iooshift  45475  icoopn  45478  iooiinicc  45495  elioored  45502  iooiinioc  45509  islptre  45575  limciccioolb  45577  limcicciooub  45593  lptre2pt  45596  xlimxrre  45787  sinaover2ne0  45824  icccncfext  45843  cncfiooicclem1  45849  dvbdfbdioolem2  45885  itgcoscmulx  45925  iblcncfioo  45934  wallispilem1  46021  dirkeritg  46058  dirkercncflem2  46060  fourierdlem27  46090  fourierdlem28  46091  fourierdlem31  46094  fourierdlem32  46095  fourierdlem33  46096  fourierdlem39  46102  fourierdlem40  46103  fourierdlem41  46104  fourierdlem47  46109  fourierdlem48  46110  fourierdlem49  46111  fourierdlem56  46118  fourierdlem57  46119  fourierdlem59  46121  fourierdlem60  46122  fourierdlem61  46123  fourierdlem62  46124  fourierdlem64  46126  fourierdlem68  46130  fourierdlem72  46134  fourierdlem73  46135  fourierdlem74  46136  fourierdlem75  46137  fourierdlem76  46138  fourierdlem78  46140  fourierdlem81  46143  fourierdlem84  46146  fourierdlem89  46151  fourierdlem90  46152  fourierdlem91  46153  fourierdlem92  46154  fourierdlem93  46155  fourierdlem97  46159  fourierdlem100  46162  fourierdlem101  46163  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  fourierdlem111  46173  fourierdlem112  46174  sqwvfoura  46184  sqwvfourb  46185  fouriersw  46187  etransclem23  46213  etransclem46  46236  smfaddlem1  46719  amgmwlem  49033