Theorem elioore 13038

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13037	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1097	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 12833	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 580	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940  (,)cioo 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ioo 13012

This theorem is referenced by:  iooval2  13041  elioo4g  13068  ioossre  13069  zltaddlt1le  13166  tgioo  23865  zcld  23882  ioorcl2  24641  lhop2  25084  dvcvx  25089  pilem2  25516  pilem3  25517  pire  25520  tanrpcl  25566  tangtx  25567  tanabsge  25568  sinq34lt0t  25571  cosq14gt0  25572  sineq0  25585  cos02pilt1  25587  cosne0  25590  cos0pilt1  25593  tanord  25599  divlogrlim  25695  logno1  25696  logccv  25723  angpieqvd  25886  asinsin  25947  reasinsin  25951  scvxcvx  26040  basellem3  26137  basellem8  26142  vmalogdivsum2  26591  vmalogdivsum  26592  2vmadivsumlem  26593  selberg3lem1  26610  selberg3  26612  selberg4lem1  26613  selberg4  26614  selberg3r  26622  selberg4r  26623  selberg34r  26624  pntrlog2bndlem1  26630  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem3  26632  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6a  26635  pntrlog2bndlem6  26636  pntpbnd  26641  pntibndlem3  26645  pntibnd  26646  knoppndvlem3  34621  iooelexlt  35460  relowlssretop  35461  relowlpssretop  35462  tan2h  35696  itg2gt0cn  35759  itggt0cn  35774  ftc1cnnclem  35775  ftc1cnnc  35776  ftc1anclem7  35783  ftc1anclem8  35784  ftc1anc  35785  dvasin  35788  areacirclem1  35792  areacirc  35797  lcmineqlem12  39976  dvrelog2b  40002  0nonelalab  40003  dvrelogpow2b  40004  aks4d1p1p6  40009  aks4d1p1p5  40011  cvgdvgrat  41820  iooabslt  42927  iocopn  42948  iooshift  42950  icoopn  42953  iooiinicc  42970  elioored  42977  iooiinioc  42984  islptre  43050  limciccioolb  43052  limcicciooub  43068  lptre2pt  43071  xlimxrre  43262  sinaover2ne0  43299  icccncfext  43318  cncfiooicclem1  43324  dvbdfbdioolem2  43360  itgcoscmulx  43400  iblcncfioo  43409  wallispilem1  43496  dirkeritg  43533  dirkercncflem2  43535  fourierdlem27  43565  fourierdlem28  43566  fourierdlem31  43569  fourierdlem32  43570  fourierdlem33  43571  fourierdlem39  43577  fourierdlem40  43578  fourierdlem41  43579  fourierdlem47  43584  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem56  43593  fourierdlem57  43594  fourierdlem59  43596  fourierdlem60  43597  fourierdlem61  43598  fourierdlem62  43599  fourierdlem64  43601  fourierdlem68  43605  fourierdlem72  43609  fourierdlem73  43610  fourierdlem74  43611  fourierdlem75  43612  fourierdlem76  43613  fourierdlem78  43615  fourierdlem81  43618  fourierdlem84  43621  fourierdlem89  43626  fourierdlem90  43627  fourierdlem91  43628  fourierdlem92  43629  fourierdlem93  43630  fourierdlem97  43634  fourierdlem100  43637  fourierdlem101  43638  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem111  43648  fourierdlem112  43649  sqwvfoura  43659  sqwvfourb  43660  fouriersw  43662  etransclem23  43688  etransclem46  43711  smfaddlem1  44185  amgmwlem  46392