Theorem elioore 13354

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13353	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1100	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13149	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 582	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248  (,)cioo 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328

This theorem is referenced by:  iooval2  13357  elioo4g  13384  ioossre  13385  zltaddlt1le  13482  tgioo  24312  zcld  24329  ioorcl2  25089  lhop2  25532  dvcvx  25537  pilem2  25964  pilem3  25965  pire  25968  tanrpcl  26014  tangtx  26015  tanabsge  26016  sinq34lt0t  26019  cosq14gt0  26020  sineq0  26033  cos02pilt1  26035  cosne0  26038  cos0pilt1  26041  tanord  26047  divlogrlim  26143  logno1  26144  logccv  26171  angpieqvd  26336  asinsin  26397  reasinsin  26401  scvxcvx  26490  basellem3  26587  basellem8  26592  vmalogdivsum2  27041  vmalogdivsum  27042  2vmadivsumlem  27043  selberg3lem1  27060  selberg3  27062  selberg4lem1  27063  selberg4  27064  selberg3r  27072  selberg4r  27073  selberg34r  27074  pntrlog2bndlem1  27080  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntrlog2bndlem6a  27085  pntrlog2bndlem6  27086  pntpbnd  27091  pntibndlem3  27095  pntibnd  27096  knoppndvlem3  35390  iooelexlt  36243  relowlssretop  36244  relowlpssretop  36245  tan2h  36480  itg2gt0cn  36543  itggt0cn  36558  ftc1cnnclem  36559  ftc1cnnc  36560  ftc1anclem7  36567  ftc1anclem8  36568  ftc1anc  36569  dvasin  36572  areacirclem1  36576  areacirc  36581  lcmineqlem12  40905  dvrelog2b  40931  0nonelalab  40932  dvrelogpow2b  40933  aks4d1p1p6  40938  aks4d1p1p5  40940  cvgdvgrat  43072  iooabslt  44212  iocopn  44233  iooshift  44235  icoopn  44238  iooiinicc  44255  elioored  44262  iooiinioc  44269  islptre  44335  limciccioolb  44337  limcicciooub  44353  lptre2pt  44356  xlimxrre  44547  sinaover2ne0  44584  icccncfext  44603  cncfiooicclem1  44609  dvbdfbdioolem2  44645  itgcoscmulx  44685  iblcncfioo  44694  wallispilem1  44781  dirkeritg  44818  dirkercncflem2  44820  fourierdlem27  44850  fourierdlem28  44851  fourierdlem31  44854  fourierdlem32  44855  fourierdlem33  44856  fourierdlem39  44862  fourierdlem40  44863  fourierdlem41  44864  fourierdlem47  44869  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem56  44878  fourierdlem57  44879  fourierdlem59  44881  fourierdlem60  44882  fourierdlem61  44883  fourierdlem62  44884  fourierdlem64  44886  fourierdlem68  44890  fourierdlem72  44894  fourierdlem73  44895  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem76  44898  fourierdlem78  44900  fourierdlem81  44903  fourierdlem84  44906  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913  fourierdlem92  44914  fourierdlem93  44915  fourierdlem97  44919  fourierdlem100  44922  fourierdlem101  44923  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem111  44933  fourierdlem112  44934  sqwvfoura  44944  sqwvfourb  44945  fouriersw  44947  etransclem23  44973  etransclem46  44996  smfaddlem1  45479  amgmwlem  47849