Theorem elioore 13291

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1098	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13085	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 581	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166  (,)cioo 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ioo 13265

This theorem is referenced by:  iooval2  13294  elioo4g  13322  ioossre  13323  zltaddlt1le  13421  tgioo  24740  zcld  24758  ioorcl2  25529  lhop2  25976  dvcvx  25981  pilem2  26418  pilem3  26419  pire  26422  tanrpcl  26469  tangtx  26470  tanabsge  26471  sinq34lt0t  26474  cosq14gt0  26475  sineq0  26489  cos02pilt1  26491  cosne0  26494  cos0pilt1  26497  tanord  26503  divlogrlim  26600  logno1  26601  logccv  26628  angpieqvd  26797  asinsin  26858  reasinsin  26862  scvxcvx  26952  basellem3  27049  basellem8  27054  vmalogdivsum2  27505  vmalogdivsum  27506  2vmadivsumlem  27507  selberg3lem1  27524  selberg3  27526  selberg4lem1  27527  selberg4  27528  selberg3r  27536  selberg4r  27537  selberg34r  27538  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bndlem6a  27549  pntrlog2bndlem6  27550  pntpbnd  27555  pntibndlem3  27559  pntibnd  27560  knoppndvlem3  36714  iooelexlt  37567  relowlssretop  37568  relowlpssretop  37569  tan2h  37813  itg2gt0cn  37876  itggt0cn  37891  ftc1cnnclem  37892  ftc1cnnc  37893  ftc1anclem7  37900  ftc1anclem8  37901  ftc1anc  37902  dvasin  37905  areacirclem1  37909  areacirc  37914  lcmineqlem12  42294  dvrelog2b  42320  0nonelalab  42321  dvrelogpow2b  42322  aks4d1p1p6  42327  aks4d1p1p5  42329  redvmptabs  42615  cvgdvgrat  44554  iooabslt  45745  iocopn  45766  iooshift  45768  icoopn  45771  iooiinicc  45788  elioored  45795  iooiinioc  45802  islptre  45865  limciccioolb  45867  limcicciooub  45881  lptre2pt  45884  xlimxrre  46075  sinaover2ne0  46112  icccncfext  46131  cncfiooicclem1  46137  dvbdfbdioolem2  46173  itgcoscmulx  46213  iblcncfioo  46222  wallispilem1  46309  dirkeritg  46346  dirkercncflem2  46348  fourierdlem27  46378  fourierdlem28  46379  fourierdlem31  46382  fourierdlem32  46383  fourierdlem33  46384  fourierdlem39  46390  fourierdlem40  46391  fourierdlem41  46392  fourierdlem47  46397  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem56  46406  fourierdlem57  46407  fourierdlem59  46409  fourierdlem60  46410  fourierdlem61  46411  fourierdlem62  46412  fourierdlem64  46414  fourierdlem68  46418  fourierdlem72  46422  fourierdlem73  46423  fourierdlem74  46424  fourierdlem75  46425  fourierdlem76  46426  fourierdlem78  46428  fourierdlem81  46431  fourierdlem84  46434  fourierdlem89  46439  fourierdlem90  46440  fourierdlem91  46441  fourierdlem92  46442  fourierdlem93  46443  fourierdlem97  46447  fourierdlem100  46450  fourierdlem101  46451  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fourierdlem111  46461  fourierdlem112  46462  sqwvfoura  46472  sqwvfourb  46473  fouriersw  46475  etransclem23  46501  etransclem46  46524  smfaddlem1  47007  amgmwlem  50047