Theorem elioore 13373

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1110	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13167	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 590	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210  (,)cioo 13343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-ioo 13347

This theorem is referenced by:  iooval2  13376  elioo4g  13404  ioossre  13405  zltaddlt1le  13503  tgioo  24844  zcld  24862  ioorcl2  25622  lhop2  26065  dvcvx  26070  pilem2  26503  pilem3  26504  pire  26507  tanrpcl  26557  tangtx  26558  tanabsge  26559  sinq34lt0t  26562  cosq14gt0  26563  sineq0  26577  cos02pilt1  26579  cosne0  26582  cos0pilt1  26585  tanord  26591  divlogrlim  26688  logno1  26689  logccv  26716  angpieqvd  26884  asinsin  26945  reasinsin  26949  scvxcvx  27038  basellem3  27135  basellem8  27140  vmalogdivsum2  27590  vmalogdivsum  27591  2vmadivsumlem  27592  selberg3lem1  27609  selberg3  27611  selberg4lem1  27612  selberg4  27613  selberg3r  27621  selberg4r  27622  selberg34r  27623  pntrlog2bndlem1  27629  pntrlog2bndlem2  27630  pntrlog2bndlem3  27631  pntrlog2bndlem4  27632  pntrlog2bndlem5  27633  pntrlog2bndlem6a  27634  pntrlog2bndlem6  27635  pntpbnd  27640  pntibndlem3  27644  pntibnd  27645  knoppndvlem3  36913  iooelexlt  37817  relowlssretop  37818  relowlpssretop  37819  tan2h  38072  itg2gt0cn  38135  itggt0cn  38150  ftc1cnnclem  38151  ftc1cnnc  38152  ftc1anclem7  38159  ftc1anclem8  38160  ftc1anc  38161  dvasin  38164  areacirclem1  38168  areacirc  38173  lcmineqlem12  42618  dvrelog2b  42644  0nonelalab  42645  dvrelogpow2b  42646  aks4d1p1p6  42651  aks4d1p1p5  42653  redvmptabs  42930  cvgdvgrat  44850  iooabslt  46036  iocopn  46057  iooshift  46059  icoopn  46062  iooiinicc  46079  elioored  46086  iooiinioc  46093  islptre  46156  limciccioolb  46158  limcicciooub  46172  lptre2pt  46175  xlimxrre  46366  sinaover2ne0  46403  icccncfext  46422  cncfiooicclem1  46428  dvbdfbdioolem2  46464  itgcoscmulx  46504  iblcncfioo  46513  wallispilem1  46600  dirkeritg  46637  dirkercncflem2  46639  fourierdlem27  46669  fourierdlem28  46670  fourierdlem31  46673  fourierdlem32  46674  fourierdlem33  46675  fourierdlem39  46681  fourierdlem40  46682  fourierdlem41  46683  fourierdlem47  46688  fourierdlem48  46689  fourierdlem49  46690  fourierdlem56  46697  fourierdlem57  46698  fourierdlem59  46700  fourierdlem60  46701  fourierdlem61  46702  fourierdlem62  46703  fourierdlem64  46705  fourierdlem68  46709  fourierdlem72  46713  fourierdlem73  46714  fourierdlem74  46715  fourierdlem75  46716  fourierdlem76  46717  fourierdlem78  46719  fourierdlem81  46722  fourierdlem84  46725  fourierdlem89  46730  fourierdlem90  46731  fourierdlem91  46732  fourierdlem92  46733  fourierdlem93  46734  fourierdlem97  46738  fourierdlem100  46741  fourierdlem101  46742  fourierdlem103  46744  fourierdlem104  46745  fourierdlem111  46752  fourierdlem112  46753  sqwvfoura  46763  sqwvfourb  46764  fouriersw  46766  etransclem23  46792  etransclem46  46815  smfaddlem1  47298  amgmwlem  50384