Theorem elioore 13319

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13318	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1099	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13113	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 582	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  (,)cioo 13289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293

This theorem is referenced by:  iooval2  13322  elioo4g  13350  ioossre  13351  zltaddlt1le  13449  tgioo  24771  zcld  24789  ioorcl2  25549  lhop2  25992  dvcvx  25997  pilem2  26430  pilem3  26431  pire  26434  tanrpcl  26481  tangtx  26482  tanabsge  26483  sinq34lt0t  26486  cosq14gt0  26487  sineq0  26501  cos02pilt1  26503  cosne0  26506  cos0pilt1  26509  tanord  26515  divlogrlim  26612  logno1  26613  logccv  26640  angpieqvd  26808  asinsin  26869  reasinsin  26873  scvxcvx  26963  basellem3  27060  basellem8  27065  vmalogdivsum2  27515  vmalogdivsum  27516  2vmadivsumlem  27517  selberg3lem1  27534  selberg3  27536  selberg4lem1  27537  selberg4  27538  selberg3r  27546  selberg4r  27547  selberg34r  27548  pntrlog2bndlem1  27554  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem3  27556  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem5  27558  pntrlog2bndlem6a  27559  pntrlog2bndlem6  27560  pntpbnd  27565  pntibndlem3  27569  pntibnd  27570  knoppndvlem3  36790  iooelexlt  37692  relowlssretop  37693  relowlpssretop  37694  tan2h  37947  itg2gt0cn  38010  itggt0cn  38025  ftc1cnnclem  38026  ftc1cnnc  38027  ftc1anclem7  38034  ftc1anclem8  38035  ftc1anc  38036  dvasin  38039  areacirclem1  38043  areacirc  38048  lcmineqlem12  42493  dvrelog2b  42519  0nonelalab  42520  dvrelogpow2b  42521  aks4d1p1p6  42526  aks4d1p1p5  42528  redvmptabs  42806  cvgdvgrat  44758  iooabslt  45947  iocopn  45968  iooshift  45970  icoopn  45973  iooiinicc  45990  elioored  45997  iooiinioc  46004  islptre  46067  limciccioolb  46069  limcicciooub  46083  lptre2pt  46086  xlimxrre  46277  sinaover2ne0  46314  icccncfext  46333  cncfiooicclem1  46339  dvbdfbdioolem2  46375  itgcoscmulx  46415  iblcncfioo  46424  wallispilem1  46511  dirkeritg  46548  dirkercncflem2  46550  fourierdlem27  46580  fourierdlem28  46581  fourierdlem31  46584  fourierdlem32  46585  fourierdlem33  46586  fourierdlem39  46592  fourierdlem40  46593  fourierdlem41  46594  fourierdlem47  46599  fourierdlem48  46600  fourierdlem49  46601  fourierdlem56  46608  fourierdlem57  46609  fourierdlem59  46611  fourierdlem60  46612  fourierdlem61  46613  fourierdlem62  46614  fourierdlem64  46616  fourierdlem68  46620  fourierdlem72  46624  fourierdlem73  46625  fourierdlem74  46626  fourierdlem75  46627  fourierdlem76  46628  fourierdlem78  46630  fourierdlem81  46633  fourierdlem84  46636  fourierdlem89  46641  fourierdlem90  46642  fourierdlem91  46643  fourierdlem92  46644  fourierdlem93  46645  fourierdlem97  46649  fourierdlem100  46652  fourierdlem101  46653  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  fourierdlem111  46663  fourierdlem112  46664  sqwvfoura  46674  sqwvfourb  46675  fouriersw  46677  etransclem23  46703  etransclem46  46726  smfaddlem1  47209  amgmwlem  50289