Theorem elioore 13303

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13302	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1099	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13097	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 582	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  (,)cioo 13273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-ioo 13277

This theorem is referenced by:  iooval2  13306  elioo4g  13334  ioossre  13335  zltaddlt1le  13433  tgioo  24752  zcld  24770  ioorcl2  25541  lhop2  25988  dvcvx  25993  pilem2  26430  pilem3  26431  pire  26434  tanrpcl  26481  tangtx  26482  tanabsge  26483  sinq34lt0t  26486  cosq14gt0  26487  sineq0  26501  cos02pilt1  26503  cosne0  26506  cos0pilt1  26509  tanord  26515  divlogrlim  26612  logno1  26613  logccv  26640  angpieqvd  26809  asinsin  26870  reasinsin  26874  scvxcvx  26964  basellem3  27061  basellem8  27066  vmalogdivsum2  27517  vmalogdivsum  27518  2vmadivsumlem  27519  selberg3lem1  27536  selberg3  27538  selberg4lem1  27539  selberg4  27540  selberg3r  27548  selberg4r  27549  selberg34r  27550  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem3  27558  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  pntrlog2bndlem6a  27561  pntrlog2bndlem6  27562  pntpbnd  27567  pntibndlem3  27571  pntibnd  27572  knoppndvlem3  36736  iooelexlt  37617  relowlssretop  37618  relowlpssretop  37619  tan2h  37863  itg2gt0cn  37926  itggt0cn  37941  ftc1cnnclem  37942  ftc1cnnc  37943  ftc1anclem7  37950  ftc1anclem8  37951  ftc1anc  37952  dvasin  37955  areacirclem1  37959  areacirc  37964  lcmineqlem12  42410  dvrelog2b  42436  0nonelalab  42437  dvrelogpow2b  42438  aks4d1p1p6  42443  aks4d1p1p5  42445  redvmptabs  42730  cvgdvgrat  44669  iooabslt  45859  iocopn  45880  iooshift  45882  icoopn  45885  iooiinicc  45902  elioored  45909  iooiinioc  45916  islptre  45979  limciccioolb  45981  limcicciooub  45995  lptre2pt  45998  xlimxrre  46189  sinaover2ne0  46226  icccncfext  46245  cncfiooicclem1  46251  dvbdfbdioolem2  46287  itgcoscmulx  46327  iblcncfioo  46336  wallispilem1  46423  dirkeritg  46460  dirkercncflem2  46462  fourierdlem27  46492  fourierdlem28  46493  fourierdlem31  46496  fourierdlem32  46497  fourierdlem33  46498  fourierdlem39  46504  fourierdlem40  46505  fourierdlem41  46506  fourierdlem47  46511  fourierdlem48  46512  fourierdlem49  46513  fourierdlem56  46520  fourierdlem57  46521  fourierdlem59  46523  fourierdlem60  46524  fourierdlem61  46525  fourierdlem62  46526  fourierdlem64  46528  fourierdlem68  46532  fourierdlem72  46536  fourierdlem73  46537  fourierdlem74  46538  fourierdlem75  46539  fourierdlem76  46540  fourierdlem78  46542  fourierdlem81  46545  fourierdlem84  46548  fourierdlem89  46553  fourierdlem90  46554  fourierdlem91  46555  fourierdlem92  46556  fourierdlem93  46557  fourierdlem97  46561  fourierdlem100  46564  fourierdlem101  46565  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  fourierdlem111  46575  fourierdlem112  46576  sqwvfoura  46586  sqwvfourb  46587  fouriersw  46589  etransclem23  46615  etransclem46  46638  smfaddlem1  47121  amgmwlem  50161