Theorem elioore 13319

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13318	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1104	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13113	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 587	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  (,)cioo 13289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293

This theorem is referenced by:  iooval2  13322  elioo4g  13350  ioossre  13351  zltaddlt1le  13449  tgioo  24779  zcld  24797  ioorcl2  25557  lhop2  26000  dvcvx  26005  pilem2  26435  pilem3  26436  pire  26439  tanrpcl  26486  tangtx  26487  tanabsge  26488  sinq34lt0t  26491  cosq14gt0  26492  sineq0  26506  cos02pilt1  26508  cosne0  26511  cos0pilt1  26514  tanord  26520  divlogrlim  26617  logno1  26618  logccv  26645  angpieqvd  26813  asinsin  26874  reasinsin  26878  scvxcvx  26967  basellem3  27064  basellem8  27069  vmalogdivsum2  27519  vmalogdivsum  27520  2vmadivsumlem  27521  selberg3lem1  27538  selberg3  27540  selberg4lem1  27541  selberg4  27542  selberg3r  27550  selberg4r  27551  selberg34r  27552  pntrlog2bndlem1  27558  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem3  27560  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem5  27562  pntrlog2bndlem6a  27563  pntrlog2bndlem6  27564  pntpbnd  27569  pntibndlem3  27573  pntibnd  27574  knoppndvlem3  36820  iooelexlt  37724  relowlssretop  37725  relowlpssretop  37726  tan2h  37979  itg2gt0cn  38042  itggt0cn  38057  ftc1cnnclem  38058  ftc1cnnc  38059  ftc1anclem7  38066  ftc1anclem8  38067  ftc1anc  38068  dvasin  38071  areacirclem1  38075  areacirc  38080  lcmineqlem12  42525  dvrelog2b  42551  0nonelalab  42552  dvrelogpow2b  42553  aks4d1p1p6  42558  aks4d1p1p5  42560  redvmptabs  42837  cvgdvgrat  44757  iooabslt  45944  iocopn  45965  iooshift  45967  icoopn  45970  iooiinicc  45987  elioored  45994  iooiinioc  46001  islptre  46064  limciccioolb  46066  limcicciooub  46080  lptre2pt  46083  xlimxrre  46274  sinaover2ne0  46311  icccncfext  46330  cncfiooicclem1  46336  dvbdfbdioolem2  46372  itgcoscmulx  46412  iblcncfioo  46421  wallispilem1  46508  dirkeritg  46545  dirkercncflem2  46547  fourierdlem27  46577  fourierdlem28  46578  fourierdlem31  46581  fourierdlem32  46582  fourierdlem33  46583  fourierdlem39  46589  fourierdlem40  46590  fourierdlem41  46591  fourierdlem47  46596  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem56  46605  fourierdlem57  46606  fourierdlem59  46608  fourierdlem60  46609  fourierdlem61  46610  fourierdlem62  46611  fourierdlem64  46613  fourierdlem68  46617  fourierdlem72  46621  fourierdlem73  46622  fourierdlem74  46623  fourierdlem75  46624  fourierdlem76  46625  fourierdlem78  46627  fourierdlem81  46630  fourierdlem84  46633  fourierdlem89  46638  fourierdlem90  46639  fourierdlem91  46640  fourierdlem92  46641  fourierdlem93  46642  fourierdlem97  46646  fourierdlem100  46649  fourierdlem101  46650  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem111  46660  fourierdlem112  46661  sqwvfoura  46671  sqwvfourb  46672  fouriersw  46674  etransclem23  46700  etransclem46  46723  smfaddlem1  47206  amgmwlem  50292