Theorem elioore 13118

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1098	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 12913	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 581	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  ℝ^*cxr 11017   < clt 11018  (,)cioo 13088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-ioo 13092

This theorem is referenced by:  iooval2  13121  elioo4g  13148  ioossre  13149  zltaddlt1le  13246  tgioo  23968  zcld  23985  ioorcl2  24745  lhop2  25188  dvcvx  25193  pilem2  25620  pilem3  25621  pire  25624  tanrpcl  25670  tangtx  25671  tanabsge  25672  sinq34lt0t  25675  cosq14gt0  25676  sineq0  25689  cos02pilt1  25691  cosne0  25694  cos0pilt1  25697  tanord  25703  divlogrlim  25799  logno1  25800  logccv  25827  angpieqvd  25990  asinsin  26051  reasinsin  26055  scvxcvx  26144  basellem3  26241  basellem8  26246  vmalogdivsum2  26695  vmalogdivsum  26696  2vmadivsumlem  26697  selberg3lem1  26714  selberg3  26716  selberg4lem1  26717  selberg4  26718  selberg3r  26726  selberg4r  26727  selberg34r  26728  pntrlog2bndlem1  26734  pntrlog2bndlem2  26735  pntrlog2bndlem3  26736  pntrlog2bndlem4  26737  pntrlog2bndlem5  26738  pntrlog2bndlem6a  26739  pntrlog2bndlem6  26740  pntpbnd  26745  pntibndlem3  26749  pntibnd  26750  knoppndvlem3  34703  iooelexlt  35542  relowlssretop  35543  relowlpssretop  35544  tan2h  35778  itg2gt0cn  35841  itggt0cn  35856  ftc1cnnclem  35857  ftc1cnnc  35858  ftc1anclem7  35865  ftc1anclem8  35866  ftc1anc  35867  dvasin  35870  areacirclem1  35874  areacirc  35879  lcmineqlem12  40055  dvrelog2b  40081  0nonelalab  40082  dvrelogpow2b  40083  aks4d1p1p6  40088  aks4d1p1p5  40090  cvgdvgrat  41938  iooabslt  43044  iocopn  43065  iooshift  43067  icoopn  43070  iooiinicc  43087  elioored  43094  iooiinioc  43101  islptre  43167  limciccioolb  43169  limcicciooub  43185  lptre2pt  43188  xlimxrre  43379  sinaover2ne0  43416  icccncfext  43435  cncfiooicclem1  43441  dvbdfbdioolem2  43477  itgcoscmulx  43517  iblcncfioo  43526  wallispilem1  43613  dirkeritg  43650  dirkercncflem2  43652  fourierdlem27  43682  fourierdlem28  43683  fourierdlem31  43686  fourierdlem32  43687  fourierdlem33  43688  fourierdlem39  43694  fourierdlem40  43695  fourierdlem41  43696  fourierdlem47  43701  fourierdlem48  43702  fourierdlem49  43703  fourierdlem56  43710  fourierdlem57  43711  fourierdlem59  43713  fourierdlem60  43714  fourierdlem61  43715  fourierdlem62  43716  fourierdlem64  43718  fourierdlem68  43722  fourierdlem72  43726  fourierdlem73  43727  fourierdlem74  43728  fourierdlem75  43729  fourierdlem76  43730  fourierdlem78  43732  fourierdlem81  43735  fourierdlem84  43738  fourierdlem89  43743  fourierdlem90  43744  fourierdlem91  43745  fourierdlem92  43746  fourierdlem93  43747  fourierdlem97  43751  fourierdlem100  43754  fourierdlem101  43755  fourierdlem103  43757  fourierdlem104  43758  fourierdlem111  43765  fourierdlem112  43766  sqwvfoura  43776  sqwvfourb  43777  fouriersw  43779  etransclem23  43805  etransclem46  43828  smfaddlem1  44308  amgmwlem  46517