Theorem elioore 13312

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13311	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1098	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13106	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 581	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184  (,)cioo 13282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-ioo 13286

This theorem is referenced by:  iooval2  13315  elioo4g  13343  ioossre  13344  zltaddlt1le  13442  tgioo  24660  zcld  24678  ioorcl2  25449  lhop2  25896  dvcvx  25901  pilem2  26338  pilem3  26339  pire  26342  tanrpcl  26389  tangtx  26390  tanabsge  26391  sinq34lt0t  26394  cosq14gt0  26395  sineq0  26409  cos02pilt1  26411  cosne0  26414  cos0pilt1  26417  tanord  26423  divlogrlim  26520  logno1  26521  logccv  26548  angpieqvd  26717  asinsin  26778  reasinsin  26782  scvxcvx  26872  basellem3  26969  basellem8  26974  vmalogdivsum2  27425  vmalogdivsum  27426  2vmadivsumlem  27427  selberg3lem1  27444  selberg3  27446  selberg4lem1  27447  selberg4  27448  selberg3r  27456  selberg4r  27457  selberg34r  27458  pntrlog2bndlem1  27464  pntrlog2bndlem2  27465  pntrlog2bndlem3  27466  pntrlog2bndlem4  27467  pntrlog2bndlem5  27468  pntrlog2bndlem6a  27469  pntrlog2bndlem6  27470  pntpbnd  27475  pntibndlem3  27479  pntibnd  27480  knoppndvlem3  36475  iooelexlt  37323  relowlssretop  37324  relowlpssretop  37325  tan2h  37579  itg2gt0cn  37642  itggt0cn  37657  ftc1cnnclem  37658  ftc1cnnc  37659  ftc1anclem7  37666  ftc1anclem8  37667  ftc1anc  37668  dvasin  37671  areacirclem1  37675  areacirc  37680  lcmineqlem12  42001  dvrelog2b  42027  0nonelalab  42028  dvrelogpow2b  42029  aks4d1p1p6  42034  aks4d1p1p5  42036  redvmptabs  42321  cvgdvgrat  44275  iooabslt  45470  iocopn  45491  iooshift  45493  icoopn  45496  iooiinicc  45513  elioored  45520  iooiinioc  45527  islptre  45590  limciccioolb  45592  limcicciooub  45608  lptre2pt  45611  xlimxrre  45802  sinaover2ne0  45839  icccncfext  45858  cncfiooicclem1  45864  dvbdfbdioolem2  45900  itgcoscmulx  45940  iblcncfioo  45949  wallispilem1  46036  dirkeritg  46073  dirkercncflem2  46075  fourierdlem27  46105  fourierdlem28  46106  fourierdlem31  46109  fourierdlem32  46110  fourierdlem33  46111  fourierdlem39  46117  fourierdlem40  46118  fourierdlem41  46119  fourierdlem47  46124  fourierdlem48  46125  fourierdlem49  46126  fourierdlem56  46133  fourierdlem57  46134  fourierdlem59  46136  fourierdlem60  46137  fourierdlem61  46138  fourierdlem62  46139  fourierdlem64  46141  fourierdlem68  46145  fourierdlem72  46149  fourierdlem73  46150  fourierdlem74  46151  fourierdlem75  46152  fourierdlem76  46153  fourierdlem78  46155  fourierdlem81  46158  fourierdlem84  46161  fourierdlem89  46166  fourierdlem90  46167  fourierdlem91  46168  fourierdlem92  46169  fourierdlem93  46170  fourierdlem97  46174  fourierdlem100  46177  fourierdlem101  46178  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  fourierdlem111  46188  fourierdlem112  46189  sqwvfoura  46199  sqwvfourb  46200  fouriersw  46202  etransclem23  46228  etransclem46  46251  smfaddlem1  46734  amgmwlem  49764