Theorem elioore 13091

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13090	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1097	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 12886	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 580	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993  (,)cioo 13061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-ioo 13065

This theorem is referenced by:  iooval2  13094  elioo4g  13121  ioossre  13122  zltaddlt1le  13219  tgioo  23940  zcld  23957  ioorcl2  24717  lhop2  25160  dvcvx  25165  pilem2  25592  pilem3  25593  pire  25596  tanrpcl  25642  tangtx  25643  tanabsge  25644  sinq34lt0t  25647  cosq14gt0  25648  sineq0  25661  cos02pilt1  25663  cosne0  25666  cos0pilt1  25669  tanord  25675  divlogrlim  25771  logno1  25772  logccv  25799  angpieqvd  25962  asinsin  26023  reasinsin  26027  scvxcvx  26116  basellem3  26213  basellem8  26218  vmalogdivsum2  26667  vmalogdivsum  26668  2vmadivsumlem  26669  selberg3lem1  26686  selberg3  26688  selberg4lem1  26689  selberg4  26690  selberg3r  26698  selberg4r  26699  selberg34r  26700  pntrlog2bndlem1  26706  pntrlog2bndlem2  26707  pntrlog2bndlem3  26708  pntrlog2bndlem4  26709  pntrlog2bndlem5  26710  pntrlog2bndlem6a  26711  pntrlog2bndlem6  26712  pntpbnd  26717  pntibndlem3  26721  pntibnd  26722  knoppndvlem3  34673  iooelexlt  35512  relowlssretop  35513  relowlpssretop  35514  tan2h  35748  itg2gt0cn  35811  itggt0cn  35826  ftc1cnnclem  35827  ftc1cnnc  35828  ftc1anclem7  35835  ftc1anclem8  35836  ftc1anc  35837  dvasin  35840  areacirclem1  35844  areacirc  35849  lcmineqlem12  40028  dvrelog2b  40054  0nonelalab  40055  dvrelogpow2b  40056  aks4d1p1p6  40061  aks4d1p1p5  40063  cvgdvgrat  41884  iooabslt  42991  iocopn  43012  iooshift  43014  icoopn  43017  iooiinicc  43034  elioored  43041  iooiinioc  43048  islptre  43114  limciccioolb  43116  limcicciooub  43132  lptre2pt  43135  xlimxrre  43326  sinaover2ne0  43363  icccncfext  43382  cncfiooicclem1  43388  dvbdfbdioolem2  43424  itgcoscmulx  43464  iblcncfioo  43473  wallispilem1  43560  dirkeritg  43597  dirkercncflem2  43599  fourierdlem27  43629  fourierdlem28  43630  fourierdlem31  43633  fourierdlem32  43634  fourierdlem33  43635  fourierdlem39  43641  fourierdlem40  43642  fourierdlem41  43643  fourierdlem47  43648  fourierdlem48  43649  fourierdlem49  43650  fourierdlem56  43657  fourierdlem57  43658  fourierdlem59  43660  fourierdlem60  43661  fourierdlem61  43662  fourierdlem62  43663  fourierdlem64  43665  fourierdlem68  43669  fourierdlem72  43673  fourierdlem73  43674  fourierdlem74  43675  fourierdlem75  43676  fourierdlem76  43677  fourierdlem78  43679  fourierdlem81  43682  fourierdlem84  43685  fourierdlem89  43690  fourierdlem90  43691  fourierdlem91  43692  fourierdlem92  43693  fourierdlem93  43694  fourierdlem97  43698  fourierdlem100  43701  fourierdlem101  43702  fourierdlem103  43704  fourierdlem104  43705  fourierdlem111  43712  fourierdlem112  43713  sqwvfoura  43723  sqwvfourb  43724  fouriersw  43726  etransclem23  43752  etransclem46  43775  smfaddlem1  44249  amgmwlem  46458