Theorem elioore 13499

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13498	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1116	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13293	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 593	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336  (,)cioo 13469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-ioo 13473

This theorem is used by:  iooval2  13502  elioo4g  13530  ioossre  13531  zltaddlt1le  13629  tgioo  25108  zcld  25126  ioorcl2  25886  lhop2  26328  dvcvx  26333  pilem2  26772  pilem3  26773  pire  26776  tanrpcl  26826  tangtx  26827  tanabsge  26828  sinq34lt0t  26831  cosq14gt0  26832  sineq0  26845  cos02pilt1  26847  cosne0  26850  cos0pilt1  26853  tanord  26859  divlogrlim  26956  logno1  26957  logccv  26984  angpieqvd  27152  asinsin  27213  reasinsin  27217  scvxcvx  27306  basellem3  27403  basellem8  27408  vmalogdivsum2  27858  vmalogdivsum  27859  2vmadivsumlem  27860  selberg3lem1  27877  selberg3  27879  selberg4lem1  27880  selberg4  27881  selberg3r  27889  selberg4r  27890  selberg34r  27891  pntrlog2bndlem1  27897  pntrlog2bndlem2  27898  pntrlog2bndlem3  27899  pntrlog2bndlem4  27900  pntrlog2bndlem5  27901  pntrlog2bndlem6a  27902  pntrlog2bndlem6  27903  pntpbnd  27908  pntibndlem3  27912  pntibnd  27913  knoppndvlem3  37360  iooelexlt  38265  relowlssretop  38266  relowlpssretop  38267  tan2h  38515  itg2gt0cn  38573  itggt0cn  38588  ftc1cnnclem  38589  ftc1cnnc  38590  ftc1anclem7  38597  ftc1anclem8  38598  ftc1anc  38599  dvasin  38602  areacirclem1  38606  areacirc  38611  lcmineqlem12  43070  dvrelog2b  43096  0nonelalab  43097  dvrelogpow2b  43098  aks4d1p1p6  43103  aks4d1p1p5  43105  redvmptabs  43391  cvgdvgrat  45282  iooabslt  46480  iocopn  46501  iooshift  46503  icoopn  46506  iooiinicc  46523  elioored  46530  iooiinioc  46537  islptre  46600  limciccioolb  46602  limcicciooub  46616  lptre2pt  46619  xlimxrre  46810  sinaover2ne0  46847  icccncfext  46866  cncfiooicclem1  46872  dvbdfbdioolem2  46908  itgcoscmulx  46948  iblcncfioo  46957  wallispilem1  47044  dirkeritg  47081  dirkercncflem2  47083  fourierdlem27  47113  fourierdlem28  47114  fourierdlem31  47117  fourierdlem32  47118  fourierdlem33  47119  fourierdlem39  47125  fourierdlem40  47126  fourierdlem41  47127  fourierdlem47  47132  fourierdlem48  47133  fourierdlem49  47134  fourierdlem56  47141  fourierdlem57  47142  fourierdlem59  47144  fourierdlem60  47145  fourierdlem61  47146  fourierdlem62  47147  fourierdlem64  47149  fourierdlem68  47153  fourierdlem72  47157  fourierdlem73  47158  fourierdlem74  47159  fourierdlem75  47160  fourierdlem76  47161  fourierdlem78  47163  fourierdlem81  47166  fourierdlem84  47169  fourierdlem89  47174  fourierdlem90  47175  fourierdlem91  47176  fourierdlem92  47177  fourierdlem93  47178  fourierdlem97  47182  fourierdlem100  47185  fourierdlem101  47186  fourierdlem103  47188  fourierdlem104  47189  fourierdlem111  47196  fourierdlem112  47197  sqwvfoura  47207  sqwvfourb  47208  fouriersw  47210  etransclem23  47236  etransclem46  47259  smfaddlem1  47742  amgmwlem  50956