Theorem elioore 13397

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13396	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1116	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13191	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 592	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238  (,)cioo 13367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-ioo 13371

This theorem is referenced by:  iooval2  13400  elioo4g  13428  ioossre  13429  zltaddlt1le  13527  tgioo  24953  zcld  24971  ioorcl2  25731  lhop2  26174  dvcvx  26179  pilem2  26615  pilem3  26616  pire  26619  tanrpcl  26669  tangtx  26670  tanabsge  26671  sinq34lt0t  26674  cosq14gt0  26675  sineq0  26689  cos02pilt1  26691  cosne0  26694  cos0pilt1  26697  tanord  26703  divlogrlim  26800  logno1  26801  logccv  26828  angpieqvd  26996  asinsin  27057  reasinsin  27061  scvxcvx  27150  basellem3  27247  basellem8  27252  vmalogdivsum2  27702  vmalogdivsum  27703  2vmadivsumlem  27704  selberg3lem1  27721  selberg3  27723  selberg4lem1  27724  selberg4  27725  selberg3r  27733  selberg4r  27734  selberg34r  27735  pntrlog2bndlem1  27741  pntrlog2bndlem2  27742  pntrlog2bndlem3  27743  pntrlog2bndlem4  27744  pntrlog2bndlem5  27745  pntrlog2bndlem6a  27746  pntrlog2bndlem6  27747  pntpbnd  27752  pntibndlem3  27756  pntibnd  27757  knoppndvlem3  37103  iooelexlt  38008  relowlssretop  38009  relowlpssretop  38010  tan2h  38263  itg2gt0cn  38326  itggt0cn  38341  ftc1cnnclem  38342  ftc1cnnc  38343  ftc1anclem7  38350  ftc1anclem8  38351  ftc1anc  38352  dvasin  38355  areacirclem1  38359  areacirc  38364  lcmineqlem12  42807  dvrelog2b  42833  0nonelalab  42834  dvrelogpow2b  42835  aks4d1p1p6  42840  aks4d1p1p5  42842  redvmptabs  43121  cvgdvgrat  45023  iooabslt  46215  iocopn  46236  iooshift  46238  icoopn  46241  iooiinicc  46258  elioored  46265  iooiinioc  46272  islptre  46335  limciccioolb  46337  limcicciooub  46351  lptre2pt  46354  xlimxrre  46545  sinaover2ne0  46582  icccncfext  46601  cncfiooicclem1  46607  dvbdfbdioolem2  46643  itgcoscmulx  46683  iblcncfioo  46692  wallispilem1  46779  dirkeritg  46816  dirkercncflem2  46818  fourierdlem27  46848  fourierdlem28  46849  fourierdlem31  46852  fourierdlem32  46853  fourierdlem33  46854  fourierdlem39  46860  fourierdlem40  46861  fourierdlem41  46862  fourierdlem47  46867  fourierdlem48  46868  fourierdlem49  46869  fourierdlem56  46876  fourierdlem57  46877  fourierdlem59  46879  fourierdlem60  46880  fourierdlem61  46881  fourierdlem62  46882  fourierdlem64  46884  fourierdlem68  46888  fourierdlem72  46892  fourierdlem73  46893  fourierdlem74  46894  fourierdlem75  46895  fourierdlem76  46896  fourierdlem78  46898  fourierdlem81  46901  fourierdlem84  46904  fourierdlem89  46909  fourierdlem90  46910  fourierdlem91  46911  fourierdlem92  46912  fourierdlem93  46913  fourierdlem97  46917  fourierdlem100  46920  fourierdlem101  46921  fourierdlem103  46923  fourierdlem104  46924  fourierdlem111  46931  fourierdlem112  46932  sqwvfoura  46942  sqwvfourb  46943  fouriersw  46945  etransclem23  46971  etransclem46  46994  smfaddlem1  47477  amgmwlem  50622