Theorem elioore 13546

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13545	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1116	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13340	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 593	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382  (,)cioo 13516

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-ioo 13520

This theorem is used by:  iooval2  13549  elioo4g  13577  ioossre  13578  zltaddlt1le  13676  tgioo  25170  zcld  25188  ioorcl2  25948  lhop2  26390  dvcvx  26395  pilem2  26836  pilem3  26837  pire  26840  tanrpcl  26890  tangtx  26891  tanabsge  26892  sinq34lt0t  26895  cosq14gt0  26896  sineq0  26909  cos02pilt1  26911  cosne0  26914  cos0pilt1  26917  tanord  26923  divlogrlim  27020  logno1  27021  logccv  27048  angpieqvd  27216  asinsin  27277  reasinsin  27281  scvxcvx  27370  basellem3  27467  basellem8  27472  vmalogdivsum2  27922  vmalogdivsum  27923  2vmadivsumlem  27924  selberg3lem1  27941  selberg3  27943  selberg4lem1  27944  selberg4  27945  selberg3r  27953  selberg4r  27954  selberg34r  27955  pntrlog2bndlem1  27961  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem3  27963  pntrlog2bndlem4  27964  pntrlog2bndlem5  27965  pntrlog2bndlem6a  27966  pntrlog2bndlem6  27967  pntpbnd  27972  pntibndlem3  27976  pntibnd  27977  knoppndvlem3  37595  iooelexlt  38553  relowlssretop  38554  relowlpssretop  38555  tan2h  38803  itg2gt0cn  38861  itggt0cn  38876  ftc1cnnclem  38877  ftc1cnnc  38878  ftc1anclem7  38885  ftc1anclem8  38886  ftc1anc  38887  dvasin  38890  areacirclem1  38894  areacirc  38899  lcmineqlem12  43356  dvrelog2b  43382  0nonelalab  43383  dvrelogpow2b  43384  aks4d1p1p6  43389  aks4d1p1p5  43391  redvmptabs  43677  cvgdvgrat  45558  iooabslt  46784  iocopn  46805  iooshift  46807  icoopn  46810  iooiinicc  46827  elioored  46834  iooiinioc  46841  islptre  46904  limciccioolb  46906  limcicciooub  46920  lptre2pt  46923  xlimxrre  47114  sinaover2ne0  47151  icccncfext  47170  cncfiooicclem1  47176  dvbdfbdioolem2  47212  itgcoscmulx  47252  iblcncfioo  47261  wallispilem1  47348  dirkeritg  47385  dirkercncflem2  47387  fourierdlem27  47417  fourierdlem28  47418  fourierdlem31  47421  fourierdlem32  47422  fourierdlem33  47423  fourierdlem39  47429  fourierdlem40  47430  fourierdlem41  47431  fourierdlem47  47436  fourierdlem48  47437  fourierdlem49  47438  fourierdlem56  47445  fourierdlem57  47446  fourierdlem59  47448  fourierdlem60  47449  fourierdlem61  47450  fourierdlem62  47451  fourierdlem64  47453  fourierdlem68  47457  fourierdlem72  47461  fourierdlem73  47462  fourierdlem74  47463  fourierdlem75  47464  fourierdlem76  47465  fourierdlem78  47467  fourierdlem81  47470  fourierdlem84  47473  fourierdlem89  47478  fourierdlem90  47479  fourierdlem91  47480  fourierdlem92  47481  fourierdlem93  47482  fourierdlem97  47486  fourierdlem100  47489  fourierdlem101  47490  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  fourierdlem111  47500  fourierdlem112  47501  sqwvfoura  47511  sqwvfourb  47512  fouriersw  47514  etransclem23  47540  etransclem46  47563  smfaddlem1  48046  amgmwlem  51415