Theorem elioore 13351

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13350	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1100	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13146	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 582	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  ℝcr 11106  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245  (,)cioo 13321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-ioo 13325

This theorem is referenced by:  iooval2  13354  elioo4g  13381  ioossre  13382  zltaddlt1le  13479  tgioo  24304  zcld  24321  ioorcl2  25081  lhop2  25524  dvcvx  25529  pilem2  25956  pilem3  25957  pire  25960  tanrpcl  26006  tangtx  26007  tanabsge  26008  sinq34lt0t  26011  cosq14gt0  26012  sineq0  26025  cos02pilt1  26027  cosne0  26030  cos0pilt1  26033  tanord  26039  divlogrlim  26135  logno1  26136  logccv  26163  angpieqvd  26326  asinsin  26387  reasinsin  26391  scvxcvx  26480  basellem3  26577  basellem8  26582  vmalogdivsum2  27031  vmalogdivsum  27032  2vmadivsumlem  27033  selberg3lem1  27050  selberg3  27052  selberg4lem1  27053  selberg4  27054  selberg3r  27062  selberg4r  27063  selberg34r  27064  pntrlog2bndlem1  27070  pntrlog2bndlem2  27071  pntrlog2bndlem3  27072  pntrlog2bndlem4  27073  pntrlog2bndlem5  27074  pntrlog2bndlem6a  27075  pntrlog2bndlem6  27076  pntpbnd  27081  pntibndlem3  27085  pntibnd  27086  knoppndvlem3  35379  iooelexlt  36232  relowlssretop  36233  relowlpssretop  36234  tan2h  36469  itg2gt0cn  36532  itggt0cn  36547  ftc1cnnclem  36548  ftc1cnnc  36549  ftc1anclem7  36556  ftc1anclem8  36557  ftc1anc  36558  dvasin  36561  areacirclem1  36565  areacirc  36570  lcmineqlem12  40894  dvrelog2b  40920  0nonelalab  40921  dvrelogpow2b  40922  aks4d1p1p6  40927  aks4d1p1p5  40929  cvgdvgrat  43058  iooabslt  44199  iocopn  44220  iooshift  44222  icoopn  44225  iooiinicc  44242  elioored  44249  iooiinioc  44256  islptre  44322  limciccioolb  44324  limcicciooub  44340  lptre2pt  44343  xlimxrre  44534  sinaover2ne0  44571  icccncfext  44590  cncfiooicclem1  44596  dvbdfbdioolem2  44632  itgcoscmulx  44672  iblcncfioo  44681  wallispilem1  44768  dirkeritg  44805  dirkercncflem2  44807  fourierdlem27  44837  fourierdlem28  44838  fourierdlem31  44841  fourierdlem32  44842  fourierdlem33  44843  fourierdlem39  44849  fourierdlem40  44850  fourierdlem41  44851  fourierdlem47  44856  fourierdlem48  44857  fourierdlem49  44858  fourierdlem56  44865  fourierdlem57  44866  fourierdlem59  44868  fourierdlem60  44869  fourierdlem61  44870  fourierdlem62  44871  fourierdlem64  44873  fourierdlem68  44877  fourierdlem72  44881  fourierdlem73  44882  fourierdlem74  44883  fourierdlem75  44884  fourierdlem76  44885  fourierdlem78  44887  fourierdlem81  44890  fourierdlem84  44893  fourierdlem89  44898  fourierdlem90  44899  fourierdlem91  44900  fourierdlem92  44901  fourierdlem93  44902  fourierdlem97  44906  fourierdlem100  44909  fourierdlem101  44910  fourierdlem103  44912  fourierdlem104  44913  fourierdlem111  44920  fourierdlem112  44921  sqwvfoura  44931  sqwvfourb  44932  fouriersw  44934  etransclem23  44960  etransclem46  44983  smfaddlem1  45466  amgmwlem  47803