Theorem elioore 13336

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1098	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13130	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 581	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208  (,)cioo 13306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ioo 13310

This theorem is referenced by:  iooval2  13339  elioo4g  13367  ioossre  13368  zltaddlt1le  13466  tgioo  24684  zcld  24702  ioorcl2  25473  lhop2  25920  dvcvx  25925  pilem2  26362  pilem3  26363  pire  26366  tanrpcl  26413  tangtx  26414  tanabsge  26415  sinq34lt0t  26418  cosq14gt0  26419  sineq0  26433  cos02pilt1  26435  cosne0  26438  cos0pilt1  26441  tanord  26447  divlogrlim  26544  logno1  26545  logccv  26572  angpieqvd  26741  asinsin  26802  reasinsin  26806  scvxcvx  26896  basellem3  26993  basellem8  26998  vmalogdivsum2  27449  vmalogdivsum  27450  2vmadivsumlem  27451  selberg3lem1  27468  selberg3  27470  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  selberg3r  27480  selberg4r  27481  selberg34r  27482  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6a  27493  pntrlog2bndlem6  27494  pntpbnd  27499  pntibndlem3  27503  pntibnd  27504  knoppndvlem3  36502  iooelexlt  37350  relowlssretop  37351  relowlpssretop  37352  tan2h  37606  itg2gt0cn  37669  itggt0cn  37684  ftc1cnnclem  37685  ftc1cnnc  37686  ftc1anclem7  37693  ftc1anclem8  37694  ftc1anc  37695  dvasin  37698  areacirclem1  37702  areacirc  37707  lcmineqlem12  42028  dvrelog2b  42054  0nonelalab  42055  dvrelogpow2b  42056  aks4d1p1p6  42061  aks4d1p1p5  42063  redvmptabs  42348  cvgdvgrat  44302  iooabslt  45497  iocopn  45518  iooshift  45520  icoopn  45523  iooiinicc  45540  elioored  45547  iooiinioc  45554  islptre  45617  limciccioolb  45619  limcicciooub  45635  lptre2pt  45638  xlimxrre  45829  sinaover2ne0  45866  icccncfext  45885  cncfiooicclem1  45891  dvbdfbdioolem2  45927  itgcoscmulx  45967  iblcncfioo  45976  wallispilem1  46063  dirkeritg  46100  dirkercncflem2  46102  fourierdlem27  46132  fourierdlem28  46133  fourierdlem31  46136  fourierdlem32  46137  fourierdlem33  46138  fourierdlem39  46144  fourierdlem40  46145  fourierdlem41  46146  fourierdlem47  46151  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem56  46160  fourierdlem57  46161  fourierdlem59  46163  fourierdlem60  46164  fourierdlem61  46165  fourierdlem62  46166  fourierdlem64  46168  fourierdlem68  46172  fourierdlem72  46176  fourierdlem73  46177  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem76  46180  fourierdlem78  46182  fourierdlem81  46185  fourierdlem84  46188  fourierdlem89  46193  fourierdlem90  46194  fourierdlem91  46195  fourierdlem92  46196  fourierdlem93  46197  fourierdlem97  46201  fourierdlem100  46204  fourierdlem101  46205  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem111  46215  fourierdlem112  46216  sqwvfoura  46226  sqwvfourb  46227  fouriersw  46229  etransclem23  46255  etransclem46  46278  smfaddlem1  46761  amgmwlem  49791