Theorem elioore 13437

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13436	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1099	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13232	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 580	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  (,)cioo 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ioo 13411

This theorem is referenced by:  iooval2  13440  elioo4g  13467  ioossre  13468  zltaddlt1le  13565  tgioo  24837  zcld  24854  ioorcl2  25626  lhop2  26074  dvcvx  26079  pilem2  26514  pilem3  26515  pire  26518  tanrpcl  26564  tangtx  26565  tanabsge  26566  sinq34lt0t  26569  cosq14gt0  26570  sineq0  26584  cos02pilt1  26586  cosne0  26589  cos0pilt1  26592  tanord  26598  divlogrlim  26695  logno1  26696  logccv  26723  angpieqvd  26892  asinsin  26953  reasinsin  26957  scvxcvx  27047  basellem3  27144  basellem8  27149  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  selberg3lem1  27619  selberg3  27621  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6a  27644  pntrlog2bndlem6  27645  pntpbnd  27650  pntibndlem3  27654  pntibnd  27655  knoppndvlem3  36480  iooelexlt  37328  relowlssretop  37329  relowlpssretop  37330  tan2h  37572  itg2gt0cn  37635  itggt0cn  37650  ftc1cnnclem  37651  ftc1cnnc  37652  ftc1anclem7  37659  ftc1anclem8  37660  ftc1anc  37661  dvasin  37664  areacirclem1  37668  areacirc  37673  lcmineqlem12  41997  dvrelog2b  42023  0nonelalab  42024  dvrelogpow2b  42025  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p5  42032  cvgdvgrat  44282  iooabslt  45417  iocopn  45438  iooshift  45440  icoopn  45443  iooiinicc  45460  elioored  45467  iooiinioc  45474  islptre  45540  limciccioolb  45542  limcicciooub  45558  lptre2pt  45561  xlimxrre  45752  sinaover2ne0  45789  icccncfext  45808  cncfiooicclem1  45814  dvbdfbdioolem2  45850  itgcoscmulx  45890  iblcncfioo  45899  wallispilem1  45986  dirkeritg  46023  dirkercncflem2  46025  fourierdlem27  46055  fourierdlem28  46056  fourierdlem31  46059  fourierdlem32  46060  fourierdlem33  46061  fourierdlem39  46067  fourierdlem40  46068  fourierdlem41  46069  fourierdlem47  46074  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem56  46083  fourierdlem57  46084  fourierdlem59  46086  fourierdlem60  46087  fourierdlem61  46088  fourierdlem62  46089  fourierdlem64  46091  fourierdlem68  46095  fourierdlem72  46099  fourierdlem73  46100  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem76  46103  fourierdlem78  46105  fourierdlem81  46108  fourierdlem84  46111  fourierdlem89  46116  fourierdlem90  46117  fourierdlem91  46118  fourierdlem92  46119  fourierdlem93  46120  fourierdlem97  46124  fourierdlem100  46127  fourierdlem101  46128  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem111  46138  fourierdlem112  46139  sqwvfoura  46149  sqwvfourb  46150  fouriersw  46152  etransclem23  46178  etransclem46  46201  smfaddlem1  46684  amgmwlem  48896