Theorem elioore 13278

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 13277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1098	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 13072	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 581	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149  (,)cioo 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-ioo 13252

This theorem is referenced by:  iooval2  13281  elioo4g  13309  ioossre  13310  zltaddlt1le  13408  tgioo  24682  zcld  24700  ioorcl2  25471  lhop2  25918  dvcvx  25923  pilem2  26360  pilem3  26361  pire  26364  tanrpcl  26411  tangtx  26412  tanabsge  26413  sinq34lt0t  26416  cosq14gt0  26417  sineq0  26431  cos02pilt1  26433  cosne0  26436  cos0pilt1  26439  tanord  26445  divlogrlim  26542  logno1  26543  logccv  26570  angpieqvd  26739  asinsin  26800  reasinsin  26804  scvxcvx  26894  basellem3  26991  basellem8  26996  vmalogdivsum2  27447  vmalogdivsum  27448  2vmadivsumlem  27449  selberg3lem1  27466  selberg3  27468  selberg4lem1  27469  selberg4  27470  selberg3r  27478  selberg4r  27479  selberg34r  27480  pntrlog2bndlem1  27486  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem3  27488  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntrlog2bndlem6a  27491  pntrlog2bndlem6  27492  pntpbnd  27497  pntibndlem3  27501  pntibnd  27502  knoppndvlem3  36488  iooelexlt  37336  relowlssretop  37337  relowlpssretop  37338  tan2h  37592  itg2gt0cn  37655  itggt0cn  37670  ftc1cnnclem  37671  ftc1cnnc  37672  ftc1anclem7  37679  ftc1anclem8  37680  ftc1anc  37681  dvasin  37684  areacirclem1  37688  areacirc  37693  lcmineqlem12  42013  dvrelog2b  42039  0nonelalab  42040  dvrelogpow2b  42041  aks4d1p1p6  42046  aks4d1p1p5  42048  redvmptabs  42333  cvgdvgrat  44286  iooabslt  45480  iocopn  45501  iooshift  45503  icoopn  45506  iooiinicc  45523  elioored  45530  iooiinioc  45537  islptre  45600  limciccioolb  45602  limcicciooub  45618  lptre2pt  45621  xlimxrre  45812  sinaover2ne0  45849  icccncfext  45868  cncfiooicclem1  45874  dvbdfbdioolem2  45910  itgcoscmulx  45950  iblcncfioo  45959  wallispilem1  46046  dirkeritg  46083  dirkercncflem2  46085  fourierdlem27  46115  fourierdlem28  46116  fourierdlem31  46119  fourierdlem32  46120  fourierdlem33  46121  fourierdlem39  46127  fourierdlem40  46128  fourierdlem41  46129  fourierdlem47  46134  fourierdlem48  46135  fourierdlem49  46136  fourierdlem56  46143  fourierdlem57  46144  fourierdlem59  46146  fourierdlem60  46147  fourierdlem61  46148  fourierdlem62  46149  fourierdlem64  46151  fourierdlem68  46155  fourierdlem72  46159  fourierdlem73  46160  fourierdlem74  46161  fourierdlem75  46162  fourierdlem76  46163  fourierdlem78  46165  fourierdlem81  46168  fourierdlem84  46171  fourierdlem89  46176  fourierdlem90  46177  fourierdlem91  46178  fourierdlem92  46179  fourierdlem93  46180  fourierdlem97  46184  fourierdlem100  46187  fourierdlem101  46188  fourierdlem103  46190  fourierdlem104  46191  fourierdlem111  46198  fourierdlem112  46199  sqwvfoura  46209  sqwvfourb  46210  fouriersw  46212  etransclem23  46238  etransclem46  46261  smfaddlem1  46744  amgmwlem  49787