Theorem elioore 12771

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 12770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1095	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 12566	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 583	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677  (,)cioo 12741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-ioo 12745

This theorem is referenced by:  iooval2  12774  elioo4g  12800  ioossre  12801  zltaddlt1le  12893  tgioo  23406  zcld  23423  ioorcl2  24175  lhop2  24614  dvcvx  24619  pilem2  25042  pilem3  25043  pire  25046  tanrpcl  25092  tangtx  25093  tanabsge  25094  sinq34lt0t  25097  cosq14gt0  25098  sineq0  25111  cos02pilt1  25113  cosne0  25116  tanord  25124  divlogrlim  25220  logno1  25221  logccv  25248  angpieqvd  25411  asinsin  25472  reasinsin  25476  scvxcvx  25565  basellem3  25662  basellem8  25667  vmalogdivsum2  26116  vmalogdivsum  26117  2vmadivsumlem  26118  selberg3lem1  26135  selberg3  26137  selberg4lem1  26138  selberg4  26139  selberg3r  26147  selberg4r  26148  selberg34r  26149  pntrlog2bndlem1  26155  pntrlog2bndlem2  26156  pntrlog2bndlem3  26157  pntrlog2bndlem4  26158  pntrlog2bndlem5  26159  pntrlog2bndlem6a  26160  pntrlog2bndlem6  26161  pntpbnd  26166  pntibndlem3  26170  pntibnd  26171  knoppndvlem3  33855  iooelexlt  34645  relowlssretop  34646  relowlpssretop  34647  tan2h  34886  itg2gt0cn  34949  itggt0cn  34966  ftc1cnnclem  34967  ftc1cnnc  34968  ftc1anclem7  34975  ftc1anclem8  34976  ftc1anc  34977  dvasin  34980  areacirclem1  34984  areacirc  34989  cvgdvgrat  40652  iooabslt  41781  iocopn  41803  iooshift  41805  icoopn  41808  iooiinicc  41825  elioored  41832  iooiinioc  41839  islptre  41907  limciccioolb  41909  limcicciooub  41925  lptre2pt  41928  xlimxrre  42119  sinaover2ne0  42156  icccncfext  42177  cncfiooicclem1  42183  dvbdfbdioolem2  42221  itgcoscmulx  42261  iblcncfioo  42270  wallispilem1  42357  dirkeritg  42394  dirkercncflem2  42396  fourierdlem27  42426  fourierdlem28  42427  fourierdlem31  42430  fourierdlem32  42431  fourierdlem33  42432  fourierdlem39  42438  fourierdlem40  42439  fourierdlem41  42440  fourierdlem47  42445  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem56  42454  fourierdlem57  42455  fourierdlem59  42457  fourierdlem60  42458  fourierdlem61  42459  fourierdlem62  42460  fourierdlem64  42462  fourierdlem68  42466  fourierdlem72  42470  fourierdlem73  42471  fourierdlem74  42472  fourierdlem75  42473  fourierdlem76  42474  fourierdlem78  42476  fourierdlem81  42479  fourierdlem84  42482  fourierdlem89  42487  fourierdlem90  42488  fourierdlem91  42489  fourierdlem92  42490  fourierdlem93  42491  fourierdlem97  42495  fourierdlem100  42498  fourierdlem101  42499  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  fourierdlem111  42509  fourierdlem112  42510  sqwvfoura  42520  sqwvfourb  42521  fouriersw  42523  etransclem23  42549  etransclem46  42572  smfaddlem1  43046  amgmwlem  44910