Theorem elioore 12756

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 12755	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1096	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 12551	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 584	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664  (,)cioo 12726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12730

This theorem is referenced by:  iooval2  12759  elioo4g  12785  ioossre  12786  zltaddlt1le  12883  tgioo  23401  zcld  23418  ioorcl2  24176  lhop2  24618  dvcvx  24623  pilem2  25047  pilem3  25048  pire  25051  tanrpcl  25097  tangtx  25098  tanabsge  25099  sinq34lt0t  25102  cosq14gt0  25103  sineq0  25116  cos02pilt1  25118  cosne0  25121  cos0pilt1  25124  tanord  25130  divlogrlim  25226  logno1  25227  logccv  25254  angpieqvd  25417  asinsin  25478  reasinsin  25482  scvxcvx  25571  basellem3  25668  basellem8  25673  vmalogdivsum2  26122  vmalogdivsum  26123  2vmadivsumlem  26124  selberg3lem1  26141  selberg3  26143  selberg4lem1  26144  selberg4  26145  selberg3r  26153  selberg4r  26154  selberg34r  26155  pntrlog2bndlem1  26161  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem3  26163  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  pntrlog2bndlem6a  26166  pntrlog2bndlem6  26167  pntpbnd  26172  pntibndlem3  26176  pntibnd  26177  knoppndvlem3  33966  iooelexlt  34779  relowlssretop  34780  relowlpssretop  34781  tan2h  35049  itg2gt0cn  35112  itggt0cn  35127  ftc1cnnclem  35128  ftc1cnnc  35129  ftc1anclem7  35136  ftc1anclem8  35137  ftc1anc  35138  dvasin  35141  areacirclem1  35145  areacirc  35150  lcmineqlem12  39328  cvgdvgrat  41017  iooabslt  42136  iocopn  42157  iooshift  42159  icoopn  42162  iooiinicc  42179  elioored  42186  iooiinioc  42193  islptre  42261  limciccioolb  42263  limcicciooub  42279  lptre2pt  42282  xlimxrre  42473  sinaover2ne0  42510  icccncfext  42529  cncfiooicclem1  42535  dvbdfbdioolem2  42571  itgcoscmulx  42611  iblcncfioo  42620  wallispilem1  42707  dirkeritg  42744  dirkercncflem2  42746  fourierdlem27  42776  fourierdlem28  42777  fourierdlem31  42780  fourierdlem32  42781  fourierdlem33  42782  fourierdlem39  42788  fourierdlem40  42789  fourierdlem41  42790  fourierdlem47  42795  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem56  42804  fourierdlem57  42805  fourierdlem59  42807  fourierdlem60  42808  fourierdlem61  42809  fourierdlem62  42810  fourierdlem64  42812  fourierdlem68  42816  fourierdlem72  42820  fourierdlem73  42821  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem76  42824  fourierdlem78  42826  fourierdlem81  42829  fourierdlem84  42832  fourierdlem89  42837  fourierdlem90  42838  fourierdlem91  42839  fourierdlem92  42840  fourierdlem93  42841  fourierdlem97  42845  fourierdlem100  42848  fourierdlem101  42849  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem111  42859  fourierdlem112  42860  sqwvfoura  42870  sqwvfourb  42871  fouriersw  42873  etransclem23  42899  etransclem46  42922  smfaddlem1  43396  amgmwlem  45330