MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioore Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioore 12756
Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elioore (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore
StepHypRef Expression
1 elioo3g 12755 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
2 3ancomb 1096 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
3 xrre2 12551 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
42, 3sylanb 584 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
51, 4sylbi 220 1 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084  wcel 2114   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cr 10525  *cxr 10663   < clt 10664  (,)cioo 12726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12730
This theorem is referenced by:  iooval2  12759  elioo4g  12785  ioossre  12786  zltaddlt1le  12883  tgioo  23399  zcld  23416  ioorcl2  24174  lhop2  24616  dvcvx  24621  pilem2  25045  pilem3  25046  pire  25049  tanrpcl  25095  tangtx  25096  tanabsge  25097  sinq34lt0t  25100  cosq14gt0  25101  sineq0  25114  cos02pilt1  25116  cosne0  25119  cos0pilt1  25122  tanord  25128  divlogrlim  25224  logno1  25225  logccv  25252  angpieqvd  25415  asinsin  25476  reasinsin  25480  scvxcvx  25569  basellem3  25666  basellem8  25671  vmalogdivsum2  26120  vmalogdivsum  26121  2vmadivsumlem  26122  selberg3lem1  26139  selberg3  26141  selberg4lem1  26142  selberg4  26143  selberg3r  26151  selberg4r  26152  selberg34r  26153  pntrlog2bndlem1  26159  pntrlog2bndlem2  26160  pntrlog2bndlem3  26161  pntrlog2bndlem4  26162  pntrlog2bndlem5  26163  pntrlog2bndlem6a  26164  pntrlog2bndlem6  26165  pntpbnd  26170  pntibndlem3  26174  pntibnd  26175  knoppndvlem3  33927  iooelexlt  34740  relowlssretop  34741  relowlpssretop  34742  tan2h  35007  itg2gt0cn  35070  itggt0cn  35085  ftc1cnnclem  35086  ftc1cnnc  35087  ftc1anclem7  35094  ftc1anclem8  35095  ftc1anc  35096  dvasin  35099  areacirclem1  35103  areacirc  35108  lcmineqlem12  39289  cvgdvgrat  40951  iooabslt  42075  iocopn  42096  iooshift  42098  icoopn  42101  iooiinicc  42118  elioored  42125  iooiinioc  42132  islptre  42200  limciccioolb  42202  limcicciooub  42218  lptre2pt  42221  xlimxrre  42412  sinaover2ne0  42449  icccncfext  42468  cncfiooicclem1  42474  dvbdfbdioolem2  42510  itgcoscmulx  42550  iblcncfioo  42559  wallispilem1  42646  dirkeritg  42683  dirkercncflem2  42685  fourierdlem27  42715  fourierdlem28  42716  fourierdlem31  42719  fourierdlem32  42720  fourierdlem33  42721  fourierdlem39  42727  fourierdlem40  42728  fourierdlem41  42729  fourierdlem47  42734  fourierdlem48  42735  fourierdlem49  42736  fourierdlem56  42743  fourierdlem57  42744  fourierdlem59  42746  fourierdlem60  42747  fourierdlem61  42748  fourierdlem62  42749  fourierdlem64  42751  fourierdlem68  42755  fourierdlem72  42759  fourierdlem73  42760  fourierdlem74  42761  fourierdlem75  42762  fourierdlem76  42763  fourierdlem78  42765  fourierdlem81  42768  fourierdlem84  42771  fourierdlem89  42776  fourierdlem90  42777  fourierdlem91  42778  fourierdlem92  42779  fourierdlem93  42780  fourierdlem97  42784  fourierdlem100  42787  fourierdlem101  42788  fourierdlem103  42790  fourierdlem104  42791  fourierdlem111  42798  fourierdlem112  42799  sqwvfoura  42809  sqwvfourb  42810  fouriersw  42812  etransclem23  42838  etransclem46  42861  smfaddlem1  43335  amgmwlem  45269
  Copyright terms: Public domain W3C validator