Theorem 10re 12777

Description: The number 10 is real. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
10re	⊢ ;10 ∈ ℝ

Proof of Theorem 10re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12759	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9re 12392	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1re 11290	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11305	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℝ
5	4, 3	remulcli 11306	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) ∈ ℝ
6		0re 11292	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 11305	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) ∈ ℝ
8	1, 7	eqeltri 2840	1 ⊢ ;10 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  9c9 12355  ;cdc 12758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-dec 12759

This theorem is referenced by:  8lt10  12890  7lt10  12891  6lt10  12892  5lt10  12893  4lt10  12894  3lt10  12895  2lt10  12896  1lt10  12897  0.999...  15929  bpoly4  16107  plendxnocndx  17443  slotsdifdsndx  17453  slotsdifunifndx  17460  slotsdifplendx2  17476  cnfldfunALTOLDOLD  21416  thlleOLD  21740  bposlem4  27349  bposlem5  27350  dp2cl  32844  dp2lt10  32848  dp2lt  32849  dp2ltsuc  32850  dp2ltc  32851  dpfrac1  32856  dplti  32869  dpgti  32870  dpexpp1  32872  hgt750lem  34628  problem2  35634  lcmineqlem23  42008  aks4d1p1p7  42031  bgoldbtbndlem1  47679  tgblthelfgott  47689  tgoldbach  47691  prstclevalOLD  48736