Theorem 10re 12104

Description: The number 10 is real. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
10re	⊢ ;10 ∈ ℝ

Proof of Theorem 10re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12086	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9re 11723	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1re 10627	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 10642	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℝ
5	4, 3	remulcli 10643	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) ∈ ℝ
6		0re 10629	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 10642	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) ∈ ℝ
8	1, 7	eqeltri 2909	1 ⊢ ;10 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7142  ℝcr 10522  0cc0 10523  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528  9c9 11686  ;cdc 12085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3488  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-nul 4280  df-if 4454  df-sn 4554  df-pr 4556  df-op 4560  df-uni 4825  df-br 5053  df-iota 6300  df-fv 6349  df-ov 7145  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-dec 12086

This theorem is referenced by:  8lt10  12217  7lt10  12218  6lt10  12219  5lt10  12220  4lt10  12221  3lt10  12222  2lt10  12223  1lt10  12224  0.999...  15222  bpoly4  15398  cnfldfun  20540  thlle  20824  bposlem4  25849  bposlem5  25850  dp2cl  30542  dp2lt10  30546  dp2lt  30547  dp2ltsuc  30548  dp2ltc  30549  dpfrac1  30554  dplti  30567  dpgti  30568  dpexpp1  30570  hgt750lem  31929  problem2  32916  bgoldbtbndlem1  44055  tgblthelfgott  44065  tgoldbach  44067