Theorem 10re 12696

Description: The number 10 is real. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
10re	⊢ ;10 ∈ ℝ

Proof of Theorem 10re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12678	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9re 12311	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1re 11214	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11229	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℝ
5	4, 3	remulcli 11230	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) ∈ ℝ
6		0re 11216	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 11229	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) ∈ ℝ
8	1, 7	eqeltri 2830	1 ⊢ ;10 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  9c9 12274  ;cdc 12677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-dec 12678

This theorem is referenced by:  8lt10  12809  7lt10  12810  6lt10  12811  5lt10  12812  4lt10  12813  3lt10  12814  2lt10  12815  1lt10  12816  0.999...  15827  bpoly4  16003  plendxnocndx  17329  slotsdifdsndx  17339  slotsdifunifndx  17346  slotsdifplendx2  17362  cnfldfunALTOLD  20958  thlleOLD  21252  bposlem4  26790  bposlem5  26791  dp2cl  32046  dp2lt10  32050  dp2lt  32051  dp2ltsuc  32052  dp2ltc  32053  dpfrac1  32058  dplti  32071  dpgti  32072  dpexpp1  32074  hgt750lem  33663  problem2  34651  lcmineqlem23  40916  aks4d1p1p7  40939  bgoldbtbndlem1  46473  tgblthelfgott  46483  tgoldbach  46485  prstclevalOLD  47689