Theorem 10re 12675

Description: The number 10 is real. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
10re	⊢ ;10 ∈ ℝ

Proof of Theorem 10re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12657	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9re 12292	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1re 11181	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11196	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℝ
5	4, 3	remulcli 11197	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) ∈ ℝ
6		0re 11183	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 11196	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) ∈ ℝ
8	1, 7	eqeltri 2825	1 ⊢ ;10 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  9c9 12255  ;cdc 12656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-dec 12657

This theorem is referenced by:  8lt10  12788  7lt10  12789  6lt10  12790  5lt10  12791  4lt10  12792  3lt10  12793  2lt10  12794  1lt10  12795  0.999...  15854  bpoly4  16032  plendxnocndx  17354  slotsdifdsndx  17364  slotsdifunifndx  17371  slotsdifplendx2  17386  bposlem4  27205  bposlem5  27206  dp2cl  32807  dp2lt10  32811  dp2lt  32812  dp2ltsuc  32813  dp2ltc  32814  dpfrac1  32819  dplti  32832  dpgti  32833  dpexpp1  32835  hgt750lem  34649  problem2  35660  lcmineqlem23  42046  aks4d1p1p7  42069  bgoldbtbndlem1  47810  tgblthelfgott  47820  tgoldbach  47822