Theorem 10re 12654

Description: The number 10 is real. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
10re	⊢ ;10 ∈ ℝ

Proof of Theorem 10re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12636	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9re 12271	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1re 11135	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11151	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℝ
5	4, 3	remulcli 11152	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) ∈ ℝ
6		0re 11137	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 11151	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) ∈ ℝ
8	1, 7	eqeltri 2835	1 ⊢ ;10 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  9c9 12234  ;cdc 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-iota 6441  df-fv 6493  df-ov 7359  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-dec 12636

This theorem is referenced by:  8lt10  12767  7lt10  12768  6lt10  12769  5lt10  12770  4lt10  12771  3lt10  12772  2lt10  12773  1lt10  12774  0.999...  15837  bpoly4  16015  plendxnocndx  17338  slotsdifdsndx  17348  slotsdifunifndx  17355  slotsdifplendx2  17370  bposlem4  27268  bposlem5  27269  dp2cl  32958  dp2lt10  32962  dp2lt  32963  dp2ltsuc  32964  dp2ltc  32965  dpfrac1  32970  dplti  32983  dpgti  32984  dpexpp1  32986  hgt750lem  34835  problem2  35894  lcmineqlem23  42536  aks4d1p1p7  42559  goldrasin  47345  bgoldbtbndlem1  48296  tgblthelfgott  48306  tgoldbach  48308