Theorem 10re 12385

Description: The number 10 is real. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
10re	⊢ ;10 ∈ ℝ

Proof of Theorem 10re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12367	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9re 12002	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1re 10906	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 10921	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℝ
5	4, 3	remulcli 10922	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) ∈ ℝ
6		0re 10908	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 10921	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) ∈ ℝ
8	1, 7	eqeltri 2835	1 ⊢ ;10 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  9c9 11965  ;cdc 12366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-dec 12367

This theorem is referenced by:  8lt10  12498  7lt10  12499  6lt10  12500  5lt10  12501  4lt10  12502  3lt10  12503  2lt10  12504  1lt10  12505  0.999...  15521  bpoly4  15697  cnfldfun  20522  thlle  20814  bposlem4  26340  bposlem5  26341  dp2cl  31056  dp2lt10  31060  dp2lt  31061  dp2ltsuc  31062  dp2ltc  31063  dpfrac1  31068  dplti  31081  dpgti  31082  dpexpp1  31084  hgt750lem  32531  problem2  33524  lcmineqlem23  39987  aks4d1p1p7  40010  bgoldbtbndlem1  45145  tgblthelfgott  45155  tgoldbach  45157  prstcleval  46237