Theorem 10re 12607

Description: The number 10 is real. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
10re	⊢ ;10 ∈ ℝ

Proof of Theorem 10re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12589	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9re 12224	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1re 11112	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11127	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℝ
5	4, 3	remulcli 11128	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) ∈ ℝ
6		0re 11114	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 11127	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) ∈ ℝ
8	1, 7	eqeltri 2827	1 ⊢ ;10 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  9c9 12187  ;cdc 12588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-dec 12589

This theorem is referenced by:  8lt10  12720  7lt10  12721  6lt10  12722  5lt10  12723  4lt10  12724  3lt10  12725  2lt10  12726  1lt10  12727  0.999...  15788  bpoly4  15966  plendxnocndx  17288  slotsdifdsndx  17298  slotsdifunifndx  17305  slotsdifplendx2  17320  bposlem4  27225  bposlem5  27226  dp2cl  32860  dp2lt10  32864  dp2lt  32865  dp2ltsuc  32866  dp2ltc  32867  dpfrac1  32872  dplti  32885  dpgti  32886  dpexpp1  32888  hgt750lem  34664  problem2  35710  lcmineqlem23  42154  aks4d1p1p7  42177  bgoldbtbndlem1  47915  tgblthelfgott  47925  tgoldbach  47927