Theorem 10re 12624

Description: The number 10 is real. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
10re	⊢ ;10 ∈ ℝ

Proof of Theorem 10re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12606	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9re 12242	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1re 11130	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11145	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℝ
5	4, 3	remulcli 11146	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) ∈ ℝ
6		0re 11132	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 11145	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) ∈ ℝ
8	1, 7	eqeltri 2830	1 ⊢ ;10 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029  9c9 12205  ;cdc 12605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-iota 6446  df-fv 6498  df-ov 7359  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-dec 12606

This theorem is referenced by:  8lt10  12737  7lt10  12738  6lt10  12739  5lt10  12740  4lt10  12741  3lt10  12742  2lt10  12743  1lt10  12744  0.999...  15802  bpoly4  15980  plendxnocndx  17302  slotsdifdsndx  17312  slotsdifunifndx  17319  slotsdifplendx2  17334  bposlem4  27252  bposlem5  27253  dp2cl  32910  dp2lt10  32914  dp2lt  32915  dp2ltsuc  32916  dp2ltc  32917  dpfrac1  32922  dplti  32935  dpgti  32936  dpexpp1  32938  hgt750lem  34757  problem2  35809  lcmineqlem23  42244  aks4d1p1p7  42267  bgoldbtbndlem1  47993  tgblthelfgott  48003  tgoldbach  48005