Theorem 10re 12657

Description: The number 10 is real. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
10re	⊢ ;10 ∈ ℝ

Proof of Theorem 10re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12639	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9re 12274	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1re 11138	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11154	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℝ
5	4, 3	remulcli 11155	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) ∈ ℝ
6		0re 11140	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 11154	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) ∈ ℝ
8	1, 7	eqeltri 2833	1 ⊢ ;10 ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037  9c9 12237  ;cdc 12638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7364  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-dec 12639

This theorem is referenced by:  8lt10  12770  7lt10  12771  6lt10  12772  5lt10  12773  4lt10  12774  3lt10  12775  2lt10  12776  1lt10  12777  0.999...  15840  bpoly4  16018  plendxnocndx  17341  slotsdifdsndx  17351  slotsdifunifndx  17358  slotsdifplendx2  17373  bposlem4  27267  bposlem5  27268  dp2cl  32957  dp2lt10  32961  dp2lt  32962  dp2ltsuc  32963  dp2ltc  32964  dpfrac1  32969  dplti  32982  dpgti  32983  dpexpp1  32985  hgt750lem  34814  problem2  35867  lcmineqlem23  42507  aks4d1p1p7  42530  goldrasin  47347  bgoldbtbndlem1  48296  tgblthelfgott  48306  tgoldbach  48308