Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ax-hgprmladder 46080 |
. 2
β’
βπ β
(β€β₯β3)βπ β (RePartβπ)(((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ)))) |
2 | | 1nn0 12436 |
. . . . . . . . . 10
β’ 1 β
β0 |
3 | | 1nn 12171 |
. . . . . . . . . 10
β’ 1 β
β |
4 | 2, 3 | decnncl 12645 |
. . . . . . . . 9
β’ ;11 β β |
5 | 4 | nnzi 12534 |
. . . . . . . 8
β’ ;11 β β€ |
6 | | 8nn0 12443 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 8 β
β0 |
7 | | 8nn 12255 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 8 β
β |
8 | 6, 7 | decnncl 12645 |
. . . . . . . . . 10
β’ ;88 β β |
9 | | 10nn 12641 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ;10 β β |
10 | | 2nn0 12437 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 2 β
β0 |
11 | | 9nn 12258 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 9 β
β |
12 | 10, 11 | decnncl 12645 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ;29 β β |
13 | 12 | nnnn0i 12428 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ;29 β
β0 |
14 | | nnexpcl 13987 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((;10 β β β§ ;29 β β0) β
(;10β;29) β β) |
15 | 9, 13, 14 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . 10
β’ (;10β;29) β β |
16 | 8, 15 | nnmulcli 12185 |
. . . . . . . . 9
β’ (;88 Β· (;10β;29)) β β |
17 | 16 | nnzi 12534 |
. . . . . . . 8
β’ (;88 Β· (;10β;29)) β β€ |
18 | | 1re 11162 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 1 β
β |
19 | 8 | nnrei 12169 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ;88 β β |
20 | 18, 19 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . 10
β’ (1 β
β β§ ;88 β
β) |
21 | | 0le1 11685 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 0 β€
1 |
22 | | 1lt10 12764 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 1 <
;10 |
23 | 7, 6, 2, 22 | declti 12663 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 1 <
;88 |
24 | 21, 23 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . 10
β’ (0 β€ 1
β§ 1 < ;88) |
25 | | nnexpcl 13987 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((;10 β β β§ 1 β
β0) β (;10β1) β β) |
26 | 9, 2, 25 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (;10β1) β
β |
27 | 26 | nnrei 12169 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (;10β1) β
β |
28 | 15 | nnrei 12169 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (;10β;29) β β |
29 | 27, 28 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((;10β1) β β β§ (;10β;29) β β) |
30 | | 0re 11164 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 0 β
β |
31 | | 10re 12644 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ;10 β β |
32 | | 10pos 12642 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 0 <
;10 |
33 | 30, 31, 32 | ltleii 11285 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 0 β€
;10 |
34 | 9 | nncni 12170 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ;10 β β |
35 | | exp1 13980 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (;10 β β β (;10β1) = ;10) |
36 | 34, 35 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (;10β1) = ;10 |
37 | 33, 36 | breqtrri 5137 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 0 β€
(;10β1) |
38 | | 1z 12540 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 1 β
β€ |
39 | 12 | nnzi 12534 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ;29 β β€ |
40 | 31, 38, 39 | 3pm3.2i 1340 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (;10 β β β§ 1 β
β€ β§ ;29 β
β€) |
41 | | 2nn 12233 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ 2 β
β |
42 | | 9nn0 12444 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ 9 β
β0 |
43 | 41, 42, 2, 22 | declti 12663 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 1 <
;29 |
44 | 22, 43 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (1 <
;10 β§ 1 < ;29) |
45 | | ltexp2a 14078 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((;10 β β β§ 1 β
β€ β§ ;29 β β€)
β§ (1 < ;10 β§ 1 <
;29)) β (;10β1) < (;10β;29)) |
46 | 40, 44, 45 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (;10β1) < (;10β;29) |
47 | 37, 46 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . 10
β’ (0 β€
(;10β1) β§ (;10β1) < (;10β;29)) |
48 | | ltmul12a 12018 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((1
β β β§ ;88 β
β) β§ (0 β€ 1 β§ 1 < ;88)) β§ (((;10β1) β β β§ (;10β;29) β β) β§ (0 β€ (;10β1) β§ (;10β1) < (;10β;29)))) β (1 Β· (;10β1)) < (;88 Β· (;10β;29))) |
49 | 20, 24, 29, 47, 48 | mp4an 692 |
. . . . . . . . 9
β’ (1
Β· (;10β1)) < (;88 Β· (;10β;29)) |
50 | 26 | nnzi 12534 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (;10β1) β
β€ |
51 | | zmulcl 12559 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((1
β β€ β§ (;10β1)
β β€) β (1 Β· (;10β1)) β β€) |
52 | 38, 50, 51 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (1
Β· (;10β1)) β
β€ |
53 | | zltp1le 12560 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((1
Β· (;10β1)) β
β€ β§ (;88 Β· (;10β;29)) β β€) β ((1 Β· (;10β1)) < (;88 Β· (;10β;29)) β ((1 Β· (;10β1)) + 1) β€ (;88 Β· (;10β;29)))) |
54 | 52, 17, 53 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((1
Β· (;10β1)) < (;88 Β· (;10β;29)) β ((1 Β· (;10β1)) + 1) β€ (;88 Β· (;10β;29))) |
55 | | 1t10e1p1e11 45616 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ;11 = ((1 Β· (;10β1)) + 1) |
56 | 55 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((1
Β· (;10β1)) + 1) =
;11 |
57 | 56 | breq1i 5117 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((1
Β· (;10β1)) + 1) β€
(;88 Β· (;10β;29)) β ;11 β€ (;88 Β· (;10β;29))) |
58 | 54, 57 | bitri 275 |
. . . . . . . . 9
β’ ((1
Β· (;10β1)) < (;88 Β· (;10β;29)) β ;11 β€ (;88 Β· (;10β;29))) |
59 | 49, 58 | mpbi 229 |
. . . . . . . 8
β’ ;11 β€ (;88 Β· (;10β;29)) |
60 | | eluz2 12776 |
. . . . . . . 8
β’ ((;88 Β· (;10β;29)) β (β€β₯β;11) β (;11 β β€ β§ (;88 Β· (;10β;29)) β β€ β§ ;11 β€ (;88 Β· (;10β;29)))) |
61 | 5, 17, 59, 60 | mpbir3an 1342 |
. . . . . . 7
β’ (;88 Β· (;10β;29)) β (β€β₯β;11) |
62 | 61 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β (;88 Β· (;10β;29)) β (β€β₯β;11)) |
63 | | 4nn 12243 |
. . . . . . . . . 10
β’ 4 β
β |
64 | 2, 7 | decnncl 12645 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ;18 β β |
65 | 64 | nnnn0i 12428 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ;18 β
β0 |
66 | | nnexpcl 13987 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((;10 β β β§ ;18 β β0) β
(;10β;18) β β) |
67 | 9, 65, 66 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . 10
β’ (;10β;18) β β |
68 | 63, 67 | nnmulcli 12185 |
. . . . . . . . 9
β’ (4
Β· (;10β;18)) β β |
69 | 68 | nnzi 12534 |
. . . . . . . 8
β’ (4
Β· (;10β;18)) β β€ |
70 | | 4re 12244 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 4 β
β |
71 | 18, 70 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . 10
β’ (1 β
β β§ 4 β β) |
72 | | 1lt4 12336 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 1 <
4 |
73 | 21, 72 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . 10
β’ (0 β€ 1
β§ 1 < 4) |
74 | 67 | nnrei 12169 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (;10β;18) β β |
75 | 27, 74 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((;10β1) β β β§ (;10β;18) β β) |
76 | 64 | nnzi 12534 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ;18 β β€ |
77 | 31, 38, 76 | 3pm3.2i 1340 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (;10 β β β§ 1 β
β€ β§ ;18 β
β€) |
78 | 3, 6, 2, 22 | declti 12663 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 1 <
;18 |
79 | 22, 78 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (1 <
;10 β§ 1 < ;18) |
80 | | ltexp2a 14078 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((;10 β β β§ 1 β
β€ β§ ;18 β β€)
β§ (1 < ;10 β§ 1 <
;18)) β (;10β1) < (;10β;18)) |
81 | 77, 79, 80 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (;10β1) < (;10β;18) |
82 | 37, 81 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . 10
β’ (0 β€
(;10β1) β§ (;10β1) < (;10β;18)) |
83 | | ltmul12a 12018 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((1
β β β§ 4 β β) β§ (0 β€ 1 β§ 1 < 4)) β§
(((;10β1) β β
β§ (;10β;18) β β) β§ (0 β€ (;10β1) β§ (;10β1) < (;10β;18)))) β (1 Β· (;10β1)) < (4 Β· (;10β;18))) |
84 | 71, 73, 75, 82, 83 | mp4an 692 |
. . . . . . . . 9
β’ (1
Β· (;10β1)) < (4
Β· (;10β;18)) |
85 | | 4z 12544 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 4 β
β€ |
86 | 67 | nnzi 12534 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (;10β;18) β β€ |
87 | | zmulcl 12559 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((4
β β€ β§ (;10β;18) β β€) β (4 Β· (;10β;18)) β β€) |
88 | 85, 86, 87 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (4
Β· (;10β;18)) β β€ |
89 | | zltp1le 12560 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((1
Β· (;10β1)) β
β€ β§ (4 Β· (;10β;18)) β β€) β ((1 Β· (;10β1)) < (4 Β· (;10β;18)) β ((1 Β· (;10β1)) + 1) β€ (4 Β· (;10β;18)))) |
90 | 52, 88, 89 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((1
Β· (;10β1)) < (4
Β· (;10β;18)) β ((1 Β· (;10β1)) + 1) β€ (4 Β·
(;10β;18))) |
91 | 56 | breq1i 5117 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((1
Β· (;10β1)) + 1) β€
(4 Β· (;10β;18)) β ;11 β€ (4 Β· (;10β;18))) |
92 | 90, 91 | bitri 275 |
. . . . . . . . 9
β’ ((1
Β· (;10β1)) < (4
Β· (;10β;18)) β ;11 β€ (4 Β· (;10β;18))) |
93 | 84, 92 | mpbi 229 |
. . . . . . . 8
β’ ;11 β€ (4 Β· (;10β;18)) |
94 | | eluz2 12776 |
. . . . . . . 8
β’ ((4
Β· (;10β;18)) β
(β€β₯β;11)
β (;11 β β€ β§
(4 Β· (;10β;18)) β β€ β§ ;11 β€ (4 Β· (;10β;18)))) |
95 | 5, 69, 93, 94 | mpbir3an 1342 |
. . . . . . 7
β’ (4
Β· (;10β;18)) β
(β€β₯β;11) |
96 | 95 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β (4 Β· (;10β;18)) β (β€β₯β;11)) |
97 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β Even β§ (4 < π β§ π < (4 Β· (;10β;18)))) β π β Even ) |
98 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β Even β§ (4 < π β§ π < (4 Β· (;10β;18)))) β 4 < π) |
99 | | evenz 45896 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β Even β π β
β€) |
100 | 99 | zred 12614 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β Even β π β
β) |
101 | 68 | nnrei 12169 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (4
Β· (;10β;18)) β β |
102 | | ltle 11250 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β β§ (4
Β· (;10β;18)) β β) β (π < (4 Β· (;10β;18)) β π β€ (4 Β· (;10β;18)))) |
103 | 100, 101,
102 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β Even β (π < (4 Β· (;10β;18)) β π β€ (4 Β· (;10β;18)))) |
104 | 103 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β Even β (4 <
π β (π < (4 Β· (;10β;18)) β π β€ (4 Β· (;10β;18))))) |
105 | 104 | imp32 420 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β Even β§ (4 < π β§ π < (4 Β· (;10β;18)))) β π β€ (4 Β· (;10β;18))) |
106 | | ax-bgbltosilva 46076 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β Even β§ 4 < π β§ π β€ (4 Β· (;10β;18))) β π β GoldbachEven ) |
107 | 97, 98, 105, 106 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β Even β§ (4 < π β§ π < (4 Β· (;10β;18)))) β π β GoldbachEven ) |
108 | 107 | ex 414 |
. . . . . . . 8
β’ (π β Even β ((4 <
π β§ π < (4 Β· (;10β;18))) β π β GoldbachEven )) |
109 | 108 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β (π β Even β ((4 < π β§ π < (4 Β· (;10β;18))) β π β GoldbachEven ))) |
110 | 109 | ralrimiv 3143 |
. . . . . 6
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β βπ β Even ((4 < π β§ π < (4 Β· (;10β;18))) β π β GoldbachEven )) |
111 | | simpl 484 |
. . . . . . 7
β’ ((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β π β
(β€β₯β3)) |
112 | 111 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β π β
(β€β₯β3)) |
113 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’ ((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β π β (RePartβπ)) |
114 | 113 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β π β (RePartβπ)) |
115 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’ ((((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ)))) β βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ)))) |
116 | 115 | ad2antlr 726 |
. . . . . 6
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ)))) |
117 | | simpl1 1192 |
. . . . . . 7
β’ ((((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ)))) β (πβ0) = 7) |
118 | 117 | ad2antlr 726 |
. . . . . 6
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β (πβ0) = 7) |
119 | | simpl2 1193 |
. . . . . . 7
β’ ((((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ)))) β (πβ1) = ;13) |
120 | 119 | ad2antlr 726 |
. . . . . 6
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β (πβ1) = ;13) |
121 | 6, 11 | decnncl 12645 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ;89 β β |
122 | 121 | nnrei 12169 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ;89 β β |
123 | 15 | nngt0i 12199 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 0 <
(;10β;29) |
124 | 28, 123 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((;10β;29) β β β§ 0 < (;10β;29)) |
125 | 19, 122, 124 | 3pm3.2i 1340 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (;88 β β β§ ;89 β β β§ ((;10β;29) β β β§ 0 < (;10β;29))) |
126 | | 8lt9 12359 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 8 <
9 |
127 | 6, 6, 11, 126 | declt 12653 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ;88 < ;89 |
128 | | ltmul1a 12011 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((;88 β β β§ ;89 β β β§ ((;10β;29) β β β§ 0 < (;10β;29))) β§ ;88 < ;89) β (;88 Β· (;10β;29)) < (;89 Β· (;10β;29))) |
129 | 125, 127,
128 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . 10
β’ (;88 Β· (;10β;29)) < (;89 Β· (;10β;29)) |
130 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πβπ) = (;89 Β· (;10β;29)) β ((;88 Β· (;10β;29)) < (πβπ) β (;88 Β· (;10β;29)) < (;89 Β· (;10β;29)))) |
131 | 129, 130 | mpbiri 258 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πβπ) = (;89 Β· (;10β;29)) β (;88 Β· (;10β;29)) < (πβπ)) |
132 | 131 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . 8
β’ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β (;88 Β· (;10β;29)) < (πβπ)) |
133 | 132 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ)))) β (;88 Β· (;10β;29)) < (πβπ)) |
134 | 133 | ad2antlr 726 |
. . . . . 6
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β (;88 Β· (;10β;29)) < (πβπ)) |
135 | 121, 15 | nnmulcli 12185 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (;89 Β· (;10β;29)) β β |
136 | 135 | nnrei 12169 |
. . . . . . . . . 10
β’ (;89 Β· (;10β;29)) β β |
137 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πβπ) = (;89 Β· (;10β;29)) β ((πβπ) β β β (;89 Β· (;10β;29)) β β)) |
138 | 136, 137 | mpbiri 258 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πβπ) = (;89 Β· (;10β;29)) β (πβπ) β β) |
139 | 138 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . 8
β’ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β (πβπ) β β) |
140 | 139 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ)))) β (πβπ) β β) |
141 | 140 | ad2antlr 726 |
. . . . . 6
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β (πβπ) β β) |
142 | 62, 96, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 134, 141 | bgoldbtbnd 46075 |
. . . . 5
β’ ((((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β§ (((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ))))) β§ (π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29)))) β βπ β Odd ((7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β π β GoldbachOdd )) |
143 | 142 | exp31 421 |
. . . 4
β’ ((π β
(β€β₯β3) β§ π β (RePartβπ)) β ((((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ)))) β ((π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β βπ β Odd ((7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β π β GoldbachOdd )))) |
144 | 143 | rexlimivv 3197 |
. . 3
β’
(βπ β
(β€β₯β3)βπ β (RePartβπ)(((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ)))) β ((π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β βπ β Odd ((7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β π β GoldbachOdd ))) |
145 | | breq2 5114 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (7 < π β 7 < π)) |
146 | | breq1 5113 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (π < (;88 Β· (;10β;29)) β π < (;88 Β· (;10β;29)))) |
147 | 145, 146 | anbi12d 632 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β ((7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β (7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))))) |
148 | | eleq1 2826 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β (π β GoldbachOdd β π β GoldbachOdd )) |
149 | 147, 148 | imbi12d 345 |
. . . . . 6
β’ (π = π β (((7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β π β GoldbachOdd ) β ((7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β π β GoldbachOdd ))) |
150 | 149 | rspcv 3580 |
. . . . 5
β’ (π β Odd β
(βπ β Odd ((7
< π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β π β GoldbachOdd ) β ((7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β π β GoldbachOdd ))) |
151 | 150 | com23 86 |
. . . 4
β’ (π β Odd β ((7 <
π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β (βπ β Odd ((7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β π β GoldbachOdd ) β π β GoldbachOdd
))) |
152 | 151 | 3impib 1117 |
. . 3
β’ ((π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β (βπ β Odd ((7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β π β GoldbachOdd ) β π β GoldbachOdd
)) |
153 | 144, 152 | sylcom 30 |
. 2
β’
(βπ β
(β€β₯β3)βπ β (RePartβπ)(((πβ0) = 7 β§ (πβ1) = ;13 β§ (πβπ) = (;89 Β· (;10β;29))) β§ βπ β (0..^π)((πβπ) β (β β {2}) β§ ((πβ(π + 1)) β (πβπ)) < ((4 Β· (;10β;18)) β 4) β§ 4 < ((πβ(π + 1)) β (πβπ)))) β ((π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β π β GoldbachOdd )) |
154 | 1, 153 | ax-mp 5 |
1
β’ ((π β Odd β§ 7 < π β§ π < (;88 Β· (;10β;29))) β π β GoldbachOdd ) |