Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgblthelfgott Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgblthelfgott 45267
Description: The ternary Goldbach conjecture is valid for all odd numbers less than 8.8 x 10^30 (actually 8.875694 x 10^30, see section 1.2.2 in [Helfgott] p. 4, using bgoldbachlt 45265, ax-hgprmladder 45266 and bgoldbtbnd 45261. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
tgblthelfgott ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
Proof of Theorem tgblthelfgott
Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hgprmladder 45266 . 2 ∃𝑑 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
2 1nn0 12249 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
3 1nn 11984 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
42, 3decnncl 12457 . . . . . . . . 9 11 ∈ ℕ
54nnzi 12344 . . . . . . . 8 11 ∈ ℤ
6 8nn0 12256 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ0
7 8nn 12068 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12457 . . . . . . . . . 10 88 ∈ ℕ
9 10nn 12453 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℕ
10 2nn0 12250 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
11 9nn 12071 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
1210, 11decnncl 12457 . . . . . . . . . . . 12 29 ∈ ℕ
1312nnnn0i 12241 . . . . . . . . . . 11 29 ∈ ℕ0
14 nnexpcl 13795 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℕ ∧ 29 ∈ ℕ0) → (10↑29) ∈ ℕ)
159, 13, 14mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (10↑29) ∈ ℕ
168, 15nnmulcli 11998 . . . . . . . . 9 (88 · (10↑29)) ∈ ℕ
1716nnzi 12344 . . . . . . . 8 (88 · (10↑29)) ∈ ℤ
18 1re 10975 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
198nnrei 11982 . . . . . . . . . . 11 88 ∈ ℝ
2018, 19pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ ∧ 88 ∈ ℝ)
21 0le1 11498 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
22 1lt10 12576 . . . . . . . . . . . 12 1 < 10
237, 6, 2, 22declti 12475 . . . . . . . . . . 11 1 < 88
2421, 23pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ 1 ∧ 1 < 88)
25 nnexpcl 13795 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (10↑1) ∈ ℕ)
269, 2, 25mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 (10↑1) ∈ ℕ
2726nnrei 11982 . . . . . . . . . . 11 (10↑1) ∈ ℝ
2815nnrei 11982 . . . . . . . . . . 11 (10↑29) ∈ ℝ
2927, 28pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑29) ∈ ℝ)
30 0re 10977 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
31 10re 12456 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℝ
32 10pos 12454 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 10
3330, 31, 32ltleii 11098 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 10
349nncni 11983 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℂ
35 exp1 13788 . . . . . . . . . . . . 13 (10 ∈ ℂ → (10↑1) = 10)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (10↑1) = 10
3733, 36breqtrri 5101 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ (10↑1)
38 1z 12350 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
3912nnzi 12344 . . . . . . . . . . . . 13 29 ∈ ℤ
4031, 38, 393pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 29 ∈ ℤ)
41 2nn 12046 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
42 9nn0 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℕ0
4341, 42, 2, 22declti 12475 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 29
4422, 43pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 10 ∧ 1 < 29)
45 ltexp2a 13884 . . . . . . . . . . . 12 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 29 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < 29)) → (10↑1) < (10↑29))
4640, 44, 45mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (10↑1) < (10↑29)
4737, 46pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑29))
48 ltmul12a 11831 . . . . . . . . . 10 ((((1 ∈ ℝ ∧ 88 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 88)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑29) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑29)))) → (1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)))
4920, 24, 29, 47, 48mp4an 690 . . . . . . . . 9 (1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29))
5026nnzi 12344 . . . . . . . . . . . 12 (10↑1) ∈ ℤ
51 zmulcl 12369 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (10↑1) ∈ ℤ) → (1 · (10↑1)) ∈ ℤ)
5238, 50, 51mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (1 · (10↑1)) ∈ ℤ
53 zltp1le 12370 . . . . . . . . . . 11 (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (88 · (10↑29)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29))))
5452, 17, 53mp2an 689 . . . . . . . . . 10 ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29)))
55 1t10e1p1e11 44802 . . . . . . . . . . . 12 11 = ((1 · (10↑1)) + 1)
5655eqcomi 2747 . . . . . . . . . . 11 ((1 · (10↑1)) + 1) = 11
5756breq1i 5081 . . . . . . . . . 10 (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29)) ↔ 11 ≤ (88 · (10↑29)))
5854, 57bitri 274 . . . . . . . . 9 ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ 11 ≤ (88 · (10↑29)))
5949, 58mpbi 229 . . . . . . . 8 11 ≤ (88 · (10↑29))
60 eluz2 12588 . . . . . . . 8 ((88 · (10↑29)) ∈ (ℤ≥‘11) ↔ (11 ∈ ℤ ∧ (88 · (10↑29)) ∈ ℤ ∧ 11 ≤ (88 · (10↑29))))
615, 17, 59, 60mpbir3an 1340 . . . . . . 7 (88 · (10↑29)) ∈ (ℤ≥‘11)
6261a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (88 · (10↑29)) ∈ (ℤ≥‘11))
63 4nn 12056 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
642, 7decnncl 12457 . . . . . . . . . . . 12 18 ∈ ℕ
6564nnnn0i 12241 . . . . . . . . . . 11 18 ∈ ℕ0
66 nnexpcl 13795 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (10↑18) ∈ ℕ)
679, 65, 66mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (10↑18) ∈ ℕ
6863, 67nnmulcli 11998 . . . . . . . . 9 (4 · (10↑18)) ∈ ℕ
6968nnzi 12344 . . . . . . . 8 (4 · (10↑18)) ∈ ℤ
70 4re 12057 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
7118, 70pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
72 1lt4 12149 . . . . . . . . . . 11 1 < 4
7321, 72pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)
7467nnrei 11982 . . . . . . . . . . 11 (10↑18) ∈ ℝ
7527, 74pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑18) ∈ ℝ)
7664nnzi 12344 . . . . . . . . . . . . 13 18 ∈ ℤ
7731, 38, 763pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 18 ∈ ℤ)
783, 6, 2, 22declti 12475 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 18
7922, 78pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 10 ∧ 1 < 18)
80 ltexp2a 13884 . . . . . . . . . . . 12 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 18 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < 18)) → (10↑1) < (10↑18))
8177, 79, 80mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (10↑1) < (10↑18)
8237, 81pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑18))
83 ltmul12a 11831 . . . . . . . . . 10 ((((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑18) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑18)))) → (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)))
8471, 73, 75, 82, 83mp4an 690 . . . . . . . . 9 (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18))
85 4z 12354 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℤ
8667nnzi 12344 . . . . . . . . . . . 12 (10↑18) ∈ ℤ
87 zmulcl 12369 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℤ ∧ (10↑18) ∈ ℤ) → (4 · (10↑18)) ∈ ℤ)
8885, 86, 87mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (4 · (10↑18)) ∈ ℤ
89 zltp1le 12370 . . . . . . . . . . 11 (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18))))
9052, 88, 89mp2an 689 . . . . . . . . . 10 ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18)))
9156breq1i 5081 . . . . . . . . . 10 (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18)) ↔ 11 ≤ (4 · (10↑18)))
9290, 91bitri 274 . . . . . . . . 9 ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ 11 ≤ (4 · (10↑18)))
9384, 92mpbi 229 . . . . . . . 8 11 ≤ (4 · (10↑18))
94 eluz2 12588 . . . . . . . 8 ((4 · (10↑18)) ∈ (ℤ≥‘11) ↔ (11 ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℤ ∧ 11 ≤ (4 · (10↑18))))
955, 69, 93, 94mpbir3an 1340 . . . . . . 7 (4 · (10↑18)) ∈ (ℤ≥‘11)
9695a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (4 · (10↑18)) ∈ (ℤ≥‘11))
97 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ∈ Even )
98 simprl 768 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 4 < 𝑛)
99 evenz 45082 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
10099zred 12426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
10168nnrei 11982 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · (10↑18)) ∈ ℝ
102 ltle 11063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℝ) → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))))
103100, 101, 102sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ Even → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))))
104103a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Even → (4 < 𝑛 → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18)))))
105104imp32 419 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18)))
106 ax-bgbltosilva 45262 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ Even ∧ 4 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
10797, 98, 105, 106syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
108107ex 413 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
109108a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )))
110109ralrimiv 3102 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
111 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘3))
112111ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘3))
113 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
114113ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
115 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
116115ad2antlr 724 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
117 simpl1 1190 . . . . . . 7 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘0) = 7)
118117ad2antlr 724 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘0) = 7)
119 simpl2 1191 . . . . . . 7 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘1) = 13)
120119ad2antlr 724 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘1) = 13)
1216, 11decnncl 12457 . . . . . . . . . . . . 13 89 ∈ ℕ
122121nnrei 11982 . . . . . . . . . . . 12 89 ∈ ℝ
12315nngt0i 12012 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑29)
12428, 123pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29))
12519, 122, 1243pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . 11 (88 ∈ ℝ ∧ 89 ∈ ℝ ∧ ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29)))
126 8lt9 12172 . . . . . . . . . . . 12 8 < 9
1276, 6, 11, 126declt 12465 . . . . . . . . . . 11 88 < 89
128 ltmul1a 11824 . . . . . . . . . . 11 (((88 ∈ ℝ ∧ 89 ∈ ℝ ∧ ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29))) ∧ 88 < 89) → (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29)))
129125, 127, 128mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29))
130 breq2 5078 . . . . . . . . . 10 ((𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29)) → ((88 · (10↑29)) < (𝑓‘𝑑) ↔ (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29))))
131129, 130mpbiri 257 . . . . . . . . 9 ((𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29)) → (88 · (10↑29)) < (𝑓‘𝑑))
1321313ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓‘𝑑))
133132adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓‘𝑑))
134133ad2antlr 724 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓‘𝑑))
135121, 15nnmulcli 11998 . . . . . . . . . . 11 (89 · (10↑29)) ∈ ℕ
136135nnrei 11982 . . . . . . . . . 10 (89 · (10↑29)) ∈ ℝ
137 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 ((𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29)) → ((𝑓‘𝑑) ∈ ℝ ↔ (89 · (10↑29)) ∈ ℝ))
138136, 137mpbiri 257 . . . . . . . . 9 ((𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29)) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
1391383ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
140139adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
141140ad2antlr 724 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
14262, 96, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 134, 141bgoldbtbnd 45261 . . . . 5 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
143142exp31 420 . . . 4 ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
144143rexlimivv 3221 . . 3 (∃𝑑 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
145 breq2 5078 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (7 < 𝑛 ↔ 7 < 𝑁))
146 breq1 5077 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 < (88 · (10↑29)) ↔ 𝑁 < (88 · (10↑29))))
147145, 146anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) ↔ (7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))))
148 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
149147, 148imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
150149rspcv 3557 . . . . 5 (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
151150com23 86 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
1521513impib 1115 . . 3 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
153144, 152sylcom 30 . 2 (∃𝑑 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
1541, 153ax-mp 5 1 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ℕ0cn0 12233  ℤcz 12319  cdc 12437  ℤ≥cuz 12582  ..^cfzo 13382  ↑cexp 13782  ℙcprime 16376  RePartciccp 44865   Even ceven 45076   Odd codd 45077   GoldbachEven cgbe 45197   GoldbachOdd cgbo 45199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-bgbltosilva 45262  ax-hgprmladder 45266
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-iccp 44866  df-even 45078  df-odd 45079  df-gbe 45200  df-gbo 45202
This theorem is referenced by:  tgoldbachlt  45268
  Copyright terms: Public domain W3C validator