Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgblthelfgott Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgblthelfgott 47802
Description: The ternary Goldbach conjecture is valid for all odd numbers less than 8.8 x 10^30 (actually 8.875694 x 10^30, see section 1.2.2 in [Helfgott] p. 4, using bgoldbachlt 47800, ax-hgprmladder 47801 and bgoldbtbnd 47796. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
tgblthelfgott ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
Proof of Theorem tgblthelfgott
Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hgprmladder 47801 . 2 ∃𝑑 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
2 1nn0 12542 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
3 1nn 12277 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
42, 3decnncl 12753 . . . . . . . . 9 11 ∈ ℕ
54nnzi 12641 . . . . . . . 8 11 ∈ ℤ
6 8nn0 12549 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ0
7 8nn 12361 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12753 . . . . . . . . . 10 88 ∈ ℕ
9 10nn 12749 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℕ
10 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
11 9nn 12364 . . . . . . . . . . . . 13 9 ∈ ℕ
1210, 11decnncl 12753 . . . . . . . . . . . 12 29 ∈ ℕ
1312nnnn0i 12534 . . . . . . . . . . 11 29 ∈ ℕ0
14 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℕ ∧ 29 ∈ ℕ0) → (10↑29) ∈ ℕ)
159, 13, 14mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (10↑29) ∈ ℕ
168, 15nnmulcli 12291 . . . . . . . . 9 (88 · (10↑29)) ∈ ℕ
1716nnzi 12641 . . . . . . . 8 (88 · (10↑29)) ∈ ℤ
18 1re 11261 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
198nnrei 12275 . . . . . . . . . . 11 88 ∈ ℝ
2018, 19pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ ∧ 88 ∈ ℝ)
21 0le1 11786 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
22 1lt10 12872 . . . . . . . . . . . 12 1 < 10
237, 6, 2, 22declti 12771 . . . . . . . . . . 11 1 < 88
2421, 23pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ 1 ∧ 1 < 88)
25 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (10↑1) ∈ ℕ)
269, 2, 25mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (10↑1) ∈ ℕ
2726nnrei 12275 . . . . . . . . . . 11 (10↑1) ∈ ℝ
2815nnrei 12275 . . . . . . . . . . 11 (10↑29) ∈ ℝ
2927, 28pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑29) ∈ ℝ)
30 0re 11263 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
31 10re 12752 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℝ
32 10pos 12750 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 10
3330, 31, 32ltleii 11384 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 10
349nncni 12276 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℂ
35 exp1 14108 . . . . . . . . . . . . 13 (10 ∈ ℂ → (10↑1) = 10)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (10↑1) = 10
3733, 36breqtrri 5170 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ (10↑1)
38 1z 12647 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
3912nnzi 12641 . . . . . . . . . . . . 13 29 ∈ ℤ
4031, 38, 393pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 29 ∈ ℤ)
41 2nn 12339 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
42 9nn0 12550 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℕ0
4341, 42, 2, 22declti 12771 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 29
4422, 43pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 10 ∧ 1 < 29)
45 ltexp2a 14206 . . . . . . . . . . . 12 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 29 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < 29)) → (10↑1) < (10↑29))
4640, 44, 45mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (10↑1) < (10↑29)
4737, 46pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑29))
48 ltmul12a 12123 . . . . . . . . . 10 ((((1 ∈ ℝ ∧ 88 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 88)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑29) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑29)))) → (1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)))
4920, 24, 29, 47, 48mp4an 693 . . . . . . . . 9 (1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29))
5026nnzi 12641 . . . . . . . . . . . 12 (10↑1) ∈ ℤ
51 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (10↑1) ∈ ℤ) → (1 · (10↑1)) ∈ ℤ)
5238, 50, 51mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (1 · (10↑1)) ∈ ℤ
53 zltp1le 12667 . . . . . . . . . . 11 (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (88 · (10↑29)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29))))
5452, 17, 53mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29)))
55 1t10e1p1e11 47322 . . . . . . . . . . . 12 11 = ((1 · (10↑1)) + 1)
5655eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 ((1 · (10↑1)) + 1) = 11
5756breq1i 5150 . . . . . . . . . 10 (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (88 · (10↑29)) ↔ 11 ≤ (88 · (10↑29)))
5854, 57bitri 275 . . . . . . . . 9 ((1 · (10↑1)) < (88 · (10↑29)) ↔ 11 ≤ (88 · (10↑29)))
5949, 58mpbi 230 . . . . . . . 8 11 ≤ (88 · (10↑29))
60 eluz2 12884 . . . . . . . 8 ((88 · (10↑29)) ∈ (ℤ≥‘11) ↔ (11 ∈ ℤ ∧ (88 · (10↑29)) ∈ ℤ ∧ 11 ≤ (88 · (10↑29))))
615, 17, 59, 60mpbir3an 1342 . . . . . . 7 (88 · (10↑29)) ∈ (ℤ≥‘11)
6261a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (88 · (10↑29)) ∈ (ℤ≥‘11))
63 4nn 12349 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
642, 7decnncl 12753 . . . . . . . . . . . 12 18 ∈ ℕ
6564nnnn0i 12534 . . . . . . . . . . 11 18 ∈ ℕ0
66 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℕ ∧ 18 ∈ ℕ0) → (10↑18) ∈ ℕ)
679, 65, 66mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (10↑18) ∈ ℕ
6863, 67nnmulcli 12291 . . . . . . . . 9 (4 · (10↑18)) ∈ ℕ
6968nnzi 12641 . . . . . . . 8 (4 · (10↑18)) ∈ ℤ
70 4re 12350 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
7118, 70pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
72 1lt4 12442 . . . . . . . . . . 11 1 < 4
7321, 72pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)
7467nnrei 12275 . . . . . . . . . . 11 (10↑18) ∈ ℝ
7527, 74pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑18) ∈ ℝ)
7664nnzi 12641 . . . . . . . . . . . . 13 18 ∈ ℤ
7731, 38, 763pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 18 ∈ ℤ)
783, 6, 2, 22declti 12771 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 18
7922, 78pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 10 ∧ 1 < 18)
80 ltexp2a 14206 . . . . . . . . . . . 12 (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 18 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < 18)) → (10↑1) < (10↑18))
8177, 79, 80mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (10↑1) < (10↑18)
8237, 81pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑18))
83 ltmul12a 12123 . . . . . . . . . 10 ((((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑18) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑18)))) → (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)))
8471, 73, 75, 82, 83mp4an 693 . . . . . . . . 9 (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18))
85 4z 12651 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℤ
8667nnzi 12641 . . . . . . . . . . . 12 (10↑18) ∈ ℤ
87 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℤ ∧ (10↑18) ∈ ℤ) → (4 · (10↑18)) ∈ ℤ)
8885, 86, 87mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (4 · (10↑18)) ∈ ℤ
89 zltp1le 12667 . . . . . . . . . . 11 (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18))))
9052, 88, 89mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18)))
9156breq1i 5150 . . . . . . . . . 10 (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑18)) ↔ 11 ≤ (4 · (10↑18)))
9290, 91bitri 275 . . . . . . . . 9 ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑18)) ↔ 11 ≤ (4 · (10↑18)))
9384, 92mpbi 230 . . . . . . . 8 11 ≤ (4 · (10↑18))
94 eluz2 12884 . . . . . . . 8 ((4 · (10↑18)) ∈ (ℤ≥‘11) ↔ (11 ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℤ ∧ 11 ≤ (4 · (10↑18))))
955, 69, 93, 94mpbir3an 1342 . . . . . . 7 (4 · (10↑18)) ∈ (ℤ≥‘11)
9695a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (4 · (10↑18)) ∈ (ℤ≥‘11))
97 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ∈ Even )
98 simprl 771 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 4 < 𝑛)
99 evenz 47617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
10099zred 12722 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
10168nnrei 12275 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · (10↑18)) ∈ ℝ
102 ltle 11349 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (4 · (10↑18)) ∈ ℝ) → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))))
103100, 101, 102sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ Even → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))))
104103a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ Even → (4 < 𝑛 → (𝑛 < (4 · (10↑18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18)))))
105104imp32 418 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑18)))
106 ax-bgbltosilva 47797 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ Even ∧ 4 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
10797, 98, 105, 106syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18)))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
108107ex 412 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
109108a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )))
110109ralrimiv 3145 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
111 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘3))
112111ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘3))
113 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
114113ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
115 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
116115ad2antlr 727 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
117 simpl1 1192 . . . . . . 7 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘0) = 7)
118117ad2antlr 727 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘0) = 7)
119 simpl2 1193 . . . . . . 7 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘1) = 13)
120119ad2antlr 727 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘1) = 13)
1216, 11decnncl 12753 . . . . . . . . . . . . 13 89 ∈ ℕ
122121nnrei 12275 . . . . . . . . . . . 12 89 ∈ ℝ
12315nngt0i 12305 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑29)
12428, 123pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29))
12519, 122, 1243pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . 11 (88 ∈ ℝ ∧ 89 ∈ ℝ ∧ ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29)))
126 8lt9 12465 . . . . . . . . . . . 12 8 < 9
1276, 6, 11, 126declt 12761 . . . . . . . . . . 11 88 < 89
128 ltmul1a 12116 . . . . . . . . . . 11 (((88 ∈ ℝ ∧ 89 ∈ ℝ ∧ ((10↑29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑29))) ∧ 88 < 89) → (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29)))
129125, 127, 128mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29))
130 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 ((𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29)) → ((88 · (10↑29)) < (𝑓‘𝑑) ↔ (88 · (10↑29)) < (89 · (10↑29))))
131129, 130mpbiri 258 . . . . . . . . 9 ((𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29)) → (88 · (10↑29)) < (𝑓‘𝑑))
1321313ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓‘𝑑))
133132adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓‘𝑑))
134133ad2antlr 727 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (88 · (10↑29)) < (𝑓‘𝑑))
135121, 15nnmulcli 12291 . . . . . . . . . . 11 (89 · (10↑29)) ∈ ℕ
136135nnrei 12275 . . . . . . . . . 10 (89 · (10↑29)) ∈ ℝ
137 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 ((𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29)) → ((𝑓‘𝑑) ∈ ℝ ↔ (89 · (10↑29)) ∈ ℝ))
138136, 137mpbiri 258 . . . . . . . . 9 ((𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29)) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
1391383ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
140139adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
141140ad2antlr 727 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
14262, 96, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 134, 141bgoldbtbnd 47796 . . . . 5 ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
143142exp31 419 . . . 4 ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
144143rexlimivv 3201 . . 3 (∃𝑑 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
145 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (7 < 𝑛 ↔ 7 < 𝑁))
146 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 < (88 · (10↑29)) ↔ 𝑁 < (88 · (10↑29))))
147145, 146anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) ↔ (7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29)))))
148 eleq1 2829 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
149147, 148imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
150149rspcv 3618 . . . . 5 (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
151150com23 86 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
1521513impib 1117 . . 3 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
153144, 152sylcom 30 . 2 (∃𝑑 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = 13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (89 · (10↑29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
1541, 153ax-mp 5 1 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (88 · (10↑29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  ℕ0cn0 12526  ℤcz 12613  cdc 12733  ℤ≥cuz 12878  ..^cfzo 13694  ↑cexp 14102  ℙcprime 16708  RePartciccp 47400   Even ceven 47611   Odd codd 47612   GoldbachEven cgbe 47732   GoldbachOdd cgbo 47734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-bgbltosilva 47797  ax-hgprmladder 47801
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709  df-iccp 47401  df-even 47613  df-odd 47614  df-gbe 47735  df-gbo 47737
This theorem is referenced by:  tgoldbachlt  47803
  Copyright terms: Public domain W3C validator