Theorem lcmineqlem23 42675

Description: Penultimate step to the lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem23.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem23.2	⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem23	⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem23.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2nn 12302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4	1, 3	jca 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ))
5		nndivdvds 16307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
7	6	biimpa 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9		1zzd 12613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
10	8, 9	zsubcld 12693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ)
11		0red 11199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
12		4re 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
14	7	nnred 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15		1red 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	resubcld 11630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℝ)
17		4pos 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < 4)
19		5m1e4 12358	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 − 1) = 4
20		5re 12316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
22	2	nncni 12231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5cn 12317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℂ
24	22, 23	mulcomi 11205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 5) = (5 · 2)
25		5t2e10 12804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 2) = ;10
26	24, 25	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 5) = ;10
27		10re 12722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ∈ ℝ
28	27	recni 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	2	nnne0i 12264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
30	28, 22, 23, 29	divmuli 11957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 / 2) = 5 ↔ (2 · 5) = ;10)
31	26, 30	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 / 2) = 5
32	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ;10 ∈ ℝ)
33	1	nnred 12236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35		2rp 13009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
37		9p1e10 12701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
38		lcmineqlem23.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)
39		9re 12328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
41	40, 33	leloed 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
42	38, 41	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
43	42	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
44		4cn 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 4 ∈ ℂ
45	22, 44	mulcomi 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · 4) = (4 · 2)
46		4t2e8 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 · 2) = 8
47	45, 46	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 4) = 8
48		8re 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 8 ∈ ℝ
49	48	recni 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 8 ∈ ℂ
50	49, 22, 44, 29	divmuli 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((8 / 2) = 4 ↔ (2 · 4) = 8)
51	47, 50	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (8 / 2) = 4
52		4nn 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℕ
53	51, 52	eqeltri 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (8 / 2) ∈ ℕ
54		8nn 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 8 ∈ ℕ
55		nndivdvds 16307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((8 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ))
56	54, 2, 55	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ)
57	53, 56	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∥ 8
58		9m1e8 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (9 − 1) = 8
59	57, 58	breqtrri 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∥ (9 − 1)
60		9nn 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 9 ∈ ℕ
61	60	nnzi 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 9 ∈ ℤ
62		oddm1even 16389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (9 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1)))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1))
64	59, 63	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 2 ∥ 9
65		breq2 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (9 = 𝑁 → (2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ 𝑁))
66	64, 65	mtbii 329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (9 = 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
67	66	con2i 140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → ¬ 9 = 𝑁)
68	67	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 9 = 𝑁)
69	43, 68	olcnd 890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 9 < 𝑁)
70	1	nnzd 12605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
71		zltp1le 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
72	61, 71	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
73	70, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
74	73	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
75	69, 74	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 + 1) ≤ 𝑁)
76	37, 75	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ;10 ≤ 𝑁)
77	32, 34, 36, 76	lediv1dd 13106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (;10 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
78	31, 77	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ≤ (𝑁 / 2))
79	21, 14, 15, 78	lesub1dd 11818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (5 − 1) ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
80	19, 79	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
81	11, 13, 16, 18, 80	ltletrd 11358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < ((𝑁 / 2) − 1))
82	10, 81	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
83		elnnz 12589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
84	82, 83	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ)
85	84, 80	lcmineqlem22 42674	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)))))
86	85	simprd 500	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))))
87	3	nncnd 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
88	1	nncnd 12237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
89	88	halfcld 12477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
90	87, 89	muls1d 11662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑁 / 2) − 1)) = ((2 · (𝑁 / 2)) − 2))
91	90	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2))
92	87, 89	mulcld 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
93	92, 87	npcand 11561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
94	91, 93	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
95	3	nnne0d 12274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
96	88, 87, 95	divcan2d 11981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
97	94, 96	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = 𝑁)
98	97	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (2↑𝑁))
99	97	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (1...𝑁))
100	99	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) = (lcm‘(1...𝑁)))
101	98, 100	breq12d 5117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
102	101	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
103	86, 102	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
104		oddm1even 16389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
105	70, 104	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
106	105	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
107	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
108		1zzd 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
109	70, 108	zsubcld 12693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
110		0red 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
111	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
112		1red 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
113	33, 112	resubcld 11630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
114		8pos 12344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 8
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 8)
116	40, 33, 112, 38	lesub1dd 11818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (9 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
117	58, 116	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ (𝑁 − 1))
118	110, 111, 113, 115, 117	ltletrd 11358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 − 1))
119	109, 118	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
120		elnnz 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
121	119, 120	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
122	121	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
123	107, 122	nndivdvdsd 42623	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
124	106, 123	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
125	44, 22	mulcomi 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
126	125, 46	eqtr3i 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
127	126, 50	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ (8 / 2) = 4
128	3	nnrpd 13046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
129	111, 113, 128, 117	lediv1dd 13106	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
130	127, 129	eqbrtrrid 5140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
131	130	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
132	124, 131	lcmineqlem22 42674	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)))))
133	132	simpld 499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))))
134		1cnd 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
135	88, 134	subcld 11557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
136	135, 87, 95	divcan2d 11981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
137	136	oveq1d 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
138	88, 134	npcand 11561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
139	137, 138	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
140	139	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (2↑𝑁))
141	139	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (1...𝑁))
142	141	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) = (lcm‘(1...𝑁)))
143	140, 142	breq12d 5117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
144	143	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
145	133, 144	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
146	103, 145	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12221  2c2 12283  4c4 12285  5c5 12286  8c8 12289  9c9 12290  ℤcz 12579  ;cdc 12699  ℝ⁺crp 13004  ...cfz 13523  ↑cexp 14085   ∥ cdvds 16298  lcmclcmf 16635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cc 10407  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-symdif 4208  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5072  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15510  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726  df-prod 15946  df-dvds 16299  df-gcd 16541  df-lcm 16636  df-lcmf 16637  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17544  df-qtop 17549  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-fbas 21476  df-fg 21477  df-cnfld 21480  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-cld 23133  df-ntr 23134  df-cls 23135  df-nei 23212  df-lp 23250  df-perf 23251  df-cn 23341  df-cnp 23342  df-haus 23429  df-cmp 23501  df-tx 23676  df-hmeo 23869  df-fil 23960  df-fm 24052  df-flim 24053  df-flf 24054  df-xms 24434  df-ms 24435  df-tms 24436  df-cncf 24994  df-ovol 25580  df-vol 25581  df-mbf 25735  df-itg1 25736  df-itg2 25737  df-ibl 25738  df-itg 25739  df-0p 25786  df-limc 25982  df-dv 25983

This theorem is referenced by:  lcmineqlem  42676