Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem23 39300
Description: Penultimate step to the lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem23.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem23.2 (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem23 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem23
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem23.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 2nn 11698 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
41, 3jca 515 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ))
5 nndivdvds 15607 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
76biimpa 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
87nnzd 12074 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9 1zzd 12001 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
108, 9zsubcld 12080 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ)
11 0red 10633 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
12 4re 11709 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
147nnred 11640 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15 1red 10631 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
1614, 15resubcld 11057 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℝ)
17 4pos 11732 . . . . . . . . 9 0 < 4
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < 4)
19 5m1e4 11755 . . . . . . . . 9 (5 − 1) = 4
20 5re 11712 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
222nncni 11635 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
23 5cn 11713 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℂ
2422, 23mulcomi 10638 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 5) = (5 · 2)
25 5t2e10 12186 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 2) = 10
2624, 25eqtri 2845 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 5) = 10
27 10re 12105 . . . . . . . . . . . . . 14 10 ∈ ℝ
2827recni 10644 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℂ
292nnne0i 11665 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
3028, 22, 23, 29divmuli 11383 . . . . . . . . . . . 12 ((10 / 2) = 5 ↔ (2 · 5) = 10)
3126, 30mpbir 234 . . . . . . . . . . 11 (10 / 2) = 5
3227a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 10 ∈ ℝ)
331nnred 11640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3433adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35 2rp 12382 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
37 9p1e10 12088 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 1) = 10
38 lcmineqlem23.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)
39 9re 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℝ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
4140, 33leloed 10772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
4238, 41mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
4342adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
44 4cn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 ∈ ℂ
4522, 44mulcomi 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 · 4) = (4 · 2)
46 4t2e8 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 · 2) = 8
4745, 46eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 4) = 8
48 8re 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8 ∈ ℝ
4948recni 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8 ∈ ℂ
5049, 22, 44, 29divmuli 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((8 / 2) = 4 ↔ (2 · 4) = 8)
5147, 50mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (8 / 2) = 4
52 4nn 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℕ
5351, 52eqeltri 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (8 / 2) ∈ ℕ
54 8nn 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8 ∈ ℕ
55 nndivdvds 15607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((8 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ))
5654, 2, 55mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ)
5753, 56mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∥ 8
58 9m1e8 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (9 − 1) = 8
5957, 58breqtrri 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∥ (9 − 1)
60 9nn 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9 ∈ ℕ
6160nnzi 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9 ∈ ℤ
62 oddm1even 15683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (9 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1)))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1))
6459, 63mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 2 ∥ 9
65 breq2 5046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (9 = 𝑁 → (2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ 𝑁))
6664, 65mtbii 329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (9 = 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
6766con2i 141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∥ 𝑁 → ¬ 9 = 𝑁)
6867adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 9 = 𝑁)
6943, 68olcnd 874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 9 < 𝑁)
701nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
71 zltp1le 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7261, 71mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7473adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7569, 74mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 + 1) ≤ 𝑁)
7637, 75eqbrtrrid 5078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 10 ≤ 𝑁)
7732, 34, 36, 76lediv1dd 12477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (10 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
7831, 77eqbrtrrid 5078 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ≤ (𝑁 / 2))
7921, 14, 15, 78lesub1dd 11245 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (5 − 1) ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
8019, 79eqbrtrrid 5078 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
8111, 13, 16, 18, 80ltletrd 10789 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < ((𝑁 / 2) − 1))
8210, 81jca 515 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
83 elnnz 11979 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
8482, 83sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ)
8584, 80lcmineqlem22 39299 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)))))
8685simprd 499 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))))
873nncnd 11641 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
881nncnd 11641 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8988halfcld 11870 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
9087, 89muls1d 11089 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · ((𝑁 / 2) − 1)) = ((2 · (𝑁 / 2)) − 2))
9190oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2))
9287, 89mulcld 10650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
9392, 87npcand 10990 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
9491, 93eqtrd 2857 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
953nnne0d 11675 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9688, 87, 95divcan2d 11407 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
9794, 96eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = 𝑁)
9897oveq2d 7156 . . . . 5 (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (2↑𝑁))
9997oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (1...𝑁))
10099fveq2d 6656 . . . . 5 (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) = (lcm‘(1...𝑁)))
10198, 100breq12d 5055 . . . 4 (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
102101adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
10386, 102mpbid 235 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
104 oddm1even 15683 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
10570, 104syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
106105biimpa 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
1072a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
108 1zzd 12001 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10970, 108zsubcld 12080 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
110 0red 10633 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
112 1red 10631 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11333, 112resubcld 11057 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
114 8pos 11737 . . . . . . . . . . . 12 0 < 8
115114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 8)
11640, 33, 112, 38lesub1dd 11245 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (9 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
11758, 116eqbrtrrid 5078 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 8 ≤ (𝑁 − 1))
118110, 111, 113, 115, 117ltletrd 10789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝑁 − 1))
119109, 118jca 515 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
120 elnnz 11979 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
121119, 120sylibr 237 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
122121adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
123107, 122nndivdvdsd 39249 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
124106, 123mpbid 235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
12544, 22mulcomi 10638 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = (2 · 4)
126125, 46eqtr3i 2847 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
127126, 50mpbir 234 . . . . . . 7 (8 / 2) = 4
1283nnrpd 12417 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
129111, 113, 128, 117lediv1dd 12477 . . . . . . 7 (𝜑 → (8 / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
130127, 129eqbrtrrid 5078 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
131130adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
132124, 131lcmineqlem22 39299 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)))))
133132simpld 498 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))))
134 1cnd 10625 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
13588, 134subcld 10986 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
136135, 87, 95divcan2d 11407 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
137136oveq1d 7155 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
13888, 134npcand 10990 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
139137, 138eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
140139oveq2d 7156 . . . . 5 (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (2↑𝑁))
141139oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (1...𝑁))
142141fveq2d 6656 . . . . 5 (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) = (lcm‘(1...𝑁)))
143140, 142breq12d 5055 . . . 4 (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
144143adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
145133, 144mpbid 235 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
146103, 145pm2.61dan 812 1 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  4c4 11682  5c5 11683  8c8 11686  9c9 11687  cz 11969  cdc 12086  +crp 12377  ...cfz 12885  cexp 13425  cdvds 15598  lcmclcmf 15922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-symdif 4193  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-prod 15251  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-lcm 15923  df-lcmf 15924  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-ovol 24066  df-vol 24067  df-mbf 24221  df-itg1 24222  df-itg2 24223  df-ibl 24224  df-itg 24225  df-0p 24272  df-limc 24467  df-dv 24468
This theorem is referenced by:  lcmineqlem  39301
  Copyright terms: Public domain W3C validator