Theorem lcmineqlem23 42490

Description: Penultimate step to the lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem23.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem23.2	⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem23	⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem23.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2nn 12254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4	1, 3	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ))
5		nndivdvds 16230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
7	6	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12550	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9		1zzd 12558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
10	8, 9	zsubcld 12638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ)
11		0red 11147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
12		4re 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
14	7	nnred 12189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15		1red 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	resubcld 11578	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℝ)
17		4pos 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < 4)
19		5m1e4 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 − 1) = 4
20		5re 12268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
22	2	nncni 12184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5cn 12269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℂ
24	22, 23	mulcomi 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 5) = (5 · 2)
25		5t2e10 12744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 2) = ;10
26	24, 25	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 5) = ;10
27		10re 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ∈ ℝ
28	27	recni 11159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	2	nnne0i 12217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
30	28, 22, 23, 29	divmuli 11909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 / 2) = 5 ↔ (2 · 5) = ;10)
31	26, 30	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 / 2) = 5
32	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ;10 ∈ ℝ)
33	1	nnred 12189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35		2rp 12947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
37		9p1e10 12646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
38		lcmineqlem23.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)
39		9re 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
41	40, 33	leloed 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
42	38, 41	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
44		4cn 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 4 ∈ ℂ
45	22, 44	mulcomi 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · 4) = (4 · 2)
46		4t2e8 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 · 2) = 8
47	45, 46	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 4) = 8
48		8re 12277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 8 ∈ ℝ
49	48	recni 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 8 ∈ ℂ
50	49, 22, 44, 29	divmuli 11909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((8 / 2) = 4 ↔ (2 · 4) = 8)
51	47, 50	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (8 / 2) = 4
52		4nn 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℕ
53	51, 52	eqeltri 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (8 / 2) ∈ ℕ
54		8nn 12276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 8 ∈ ℕ
55		nndivdvds 16230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((8 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ))
56	54, 2, 55	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ)
57	53, 56	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∥ 8
58		9m1e8 12310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (9 − 1) = 8
59	57, 58	breqtrri 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∥ (9 − 1)
60		9nn 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 9 ∈ ℕ
61	60	nnzi 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 9 ∈ ℤ
62		oddm1even 16312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (9 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1)))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1))
64	59, 63	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 2 ∥ 9
65		breq2 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (9 = 𝑁 → (2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ 𝑁))
66	64, 65	mtbii 326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (9 = 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
67	66	con2i 139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → ¬ 9 = 𝑁)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 9 = 𝑁)
69	43, 68	olcnd 878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 9 < 𝑁)
70	1	nnzd 12550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
71		zltp1le 12577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
72	61, 71	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
75	69, 74	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 + 1) ≤ 𝑁)
76	37, 75	eqbrtrrid 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ;10 ≤ 𝑁)
77	32, 34, 36, 76	lediv1dd 13044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (;10 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
78	31, 77	eqbrtrrid 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ≤ (𝑁 / 2))
79	21, 14, 15, 78	lesub1dd 11766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (5 − 1) ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
80	19, 79	eqbrtrrid 5121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
81	11, 13, 16, 18, 80	ltletrd 11306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < ((𝑁 / 2) − 1))
82	10, 81	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
83		elnnz 12534	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
84	82, 83	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ)
85	84, 80	lcmineqlem22 42489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)))))
86	85	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))))
87	3	nncnd 12190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
88	1	nncnd 12190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
89	88	halfcld 12422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
90	87, 89	muls1d 11610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑁 / 2) − 1)) = ((2 · (𝑁 / 2)) − 2))
91	90	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2))
92	87, 89	mulcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
93	92, 87	npcand 11509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
94	91, 93	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
95	3	nnne0d 12227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
96	88, 87, 95	divcan2d 11933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
97	94, 96	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = 𝑁)
98	97	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (2↑𝑁))
99	97	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (1...𝑁))
100	99	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) = (lcm‘(1...𝑁)))
101	98, 100	breq12d 5098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
102	101	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
103	86, 102	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
104		oddm1even 16312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
105	70, 104	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
106	105	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
107	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
108		1zzd 12558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
109	70, 108	zsubcld 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
110		0red 11147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
111	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
112		1red 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
113	33, 112	resubcld 11578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
114		8pos 12293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 8
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 8)
116	40, 33, 112, 38	lesub1dd 11766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (9 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
117	58, 116	eqbrtrrid 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ (𝑁 − 1))
118	110, 111, 113, 115, 117	ltletrd 11306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 − 1))
119	109, 118	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
120		elnnz 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
121	119, 120	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
122	121	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
123	107, 122	nndivdvdsd 42438	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
124	106, 123	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
125	44, 22	mulcomi 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
126	125, 46	eqtr3i 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
127	126, 50	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ (8 / 2) = 4
128	3	nnrpd 12984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
129	111, 113, 128, 117	lediv1dd 13044	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
130	127, 129	eqbrtrrid 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
131	130	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
132	124, 131	lcmineqlem22 42489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)))))
133	132	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))))
134		1cnd 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
135	88, 134	subcld 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
136	135, 87, 95	divcan2d 11933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
137	136	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
138	88, 134	npcand 11509	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
139	137, 138	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
140	139	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (2↑𝑁))
141	139	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (1...𝑁))
142	141	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) = (lcm‘(1...𝑁)))
143	140, 142	breq12d 5098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
144	143	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
145	133, 144	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
146	103, 145	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  4c4 12238  5c5 12239  8c8 12242  9c9 12243  ℤcz 12524  ;cdc 12644  ℝ⁺crp 12942  ...cfz 13461  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16221  lcmclcmf 16558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-symdif 4193  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-prod 15869  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-lcm 16559  df-lcmf 16560  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586  df-itg1 25587  df-itg2 25588  df-ibl 25589  df-itg 25590  df-0p 25637  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  lcmineqlem  42491