Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem23 40537
Description: Penultimate step to the lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem23.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem23.2 (๐œ‘ โ†’ 9 โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem23 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰ค (lcmโ€˜(1...๐‘)))

Proof of Theorem lcmineqlem23
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem23.1 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 2nn 12233 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„•
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
41, 3jca 513 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•))
5 nndivdvds 16152 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / 2) โˆˆ โ„•))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / 2) โˆˆ โ„•))
76biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„•)
87nnzd 12533 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค)
9 1zzd 12541 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
108, 9zsubcld 12619 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
11 0red 11165 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
12 4re 12244 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 4 โˆˆ โ„)
147nnred 12175 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
15 1red 11163 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1614, 15resubcld 11590 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
17 4pos 12267 . . . . . . . . 9 0 < 4
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 0 < 4)
19 5m1e4 12290 . . . . . . . . 9 (5 โˆ’ 1) = 4
20 5re 12247 . . . . . . . . . . 11 5 โˆˆ โ„
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 5 โˆˆ โ„)
222nncni 12170 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
23 5cn 12248 . . . . . . . . . . . . . 14 5 โˆˆ โ„‚
2422, 23mulcomi 11170 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท 5) = (5 ยท 2)
25 5t2e10 12725 . . . . . . . . . . . . 13 (5 ยท 2) = 10
2624, 25eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 5) = 10
27 10re 12644 . . . . . . . . . . . . . 14 10 โˆˆ โ„
2827recni 11176 . . . . . . . . . . . . 13 10 โˆˆ โ„‚
292nnne0i 12200 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
3028, 22, 23, 29divmuli 11916 . . . . . . . . . . . 12 ((10 / 2) = 5 โ†” (2 ยท 5) = 10)
3126, 30mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (10 / 2) = 5
3227a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 10 โˆˆ โ„)
331nnred 12175 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
35 2rp 12927 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
37 9p1e10 12627 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 1) = 10
38 lcmineqlem23.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 9 โ‰ค ๐‘)
39 9re 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 โˆˆ โ„
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 9 โˆˆ โ„)
4140, 33leloed 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (9 โ‰ค ๐‘ โ†” (9 < ๐‘ โˆจ 9 = ๐‘)))
4238, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (9 < ๐‘ โˆจ 9 = ๐‘))
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (9 < ๐‘ โˆจ 9 = ๐‘))
44 4cn 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 โˆˆ โ„‚
4522, 44mulcomi 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ยท 4) = (4 ยท 2)
46 4t2e8 12328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ยท 2) = 8
4745, 46eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ยท 4) = 8
48 8re 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8 โˆˆ โ„
4948recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8 โˆˆ โ„‚
5049, 22, 44, 29divmuli 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((8 / 2) = 4 โ†” (2 ยท 4) = 8)
5147, 50mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (8 / 2) = 4
52 4nn 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 โˆˆ โ„•
5351, 52eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (8 / 2) โˆˆ โ„•
54 8nn 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8 โˆˆ โ„•
55 nndivdvds 16152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((8 โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ 8 โ†” (8 / 2) โˆˆ โ„•))
5654, 2, 55mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 โˆฅ 8 โ†” (8 / 2) โˆˆ โ„•)
5753, 56mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 โˆฅ 8
58 9m1e8 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (9 โˆ’ 1) = 8
5957, 58breqtrri 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆฅ (9 โˆ’ 1)
60 9nn 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9 โˆˆ โ„•
6160nnzi 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9 โˆˆ โ„ค
62 oddm1even 16232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (9 โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ 9 โ†” 2 โˆฅ (9 โˆ’ 1)))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ยฌ 2 โˆฅ 9 โ†” 2 โˆฅ (9 โˆ’ 1))
6459, 63mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ยฌ 2 โˆฅ 9
65 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (9 = ๐‘ โ†’ (2 โˆฅ 9 โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
6664, 65mtbii 326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (9 = ๐‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
6766con2i 139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 โˆฅ ๐‘ โ†’ ยฌ 9 = ๐‘)
6867adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ยฌ 9 = ๐‘)
6943, 68olcnd 876 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 9 < ๐‘)
701nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
71 zltp1le 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((9 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (9 < ๐‘ โ†” (9 + 1) โ‰ค ๐‘))
7261, 71mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (9 < ๐‘ โ†” (9 + 1) โ‰ค ๐‘))
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (9 < ๐‘ โ†” (9 + 1) โ‰ค ๐‘))
7473adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (9 < ๐‘ โ†” (9 + 1) โ‰ค ๐‘))
7569, 74mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (9 + 1) โ‰ค ๐‘)
7637, 75eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 10 โ‰ค ๐‘)
7732, 34, 36, 76lediv1dd 13022 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (10 / 2) โ‰ค (๐‘ / 2))
7831, 77eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 5 โ‰ค (๐‘ / 2))
7921, 14, 15, 78lesub1dd 11778 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (5 โˆ’ 1) โ‰ค ((๐‘ / 2) โˆ’ 1))
8019, 79eqbrtrrid 5146 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 4 โ‰ค ((๐‘ / 2) โˆ’ 1))
8111, 13, 16, 18, 80ltletrd 11322 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 0 < ((๐‘ / 2) โˆ’ 1))
8210, 81jca 513 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘ / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)))
83 elnnz 12516 . . . . . 6 (((๐‘ / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โ†” (((๐‘ / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)))
8482, 83sylibr 233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ / 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
8584, 80lcmineqlem22 40536 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 1)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 1))) โˆง (2โ†‘((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2)))))
8685simprd 497 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (2โ†‘((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2))))
873nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
881nncnd 12176 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8988halfcld 12405 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„‚)
9087, 89muls1d 11622 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) = ((2 ยท (๐‘ / 2)) โˆ’ 2))
9190oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2) = (((2 ยท (๐‘ / 2)) โˆ’ 2) + 2))
9287, 89mulcld 11182 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ / 2)) โˆˆ โ„‚)
9392, 87npcand 11523 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท (๐‘ / 2)) โˆ’ 2) + 2) = (2 ยท (๐‘ / 2)))
9491, 93eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2) = (2 ยท (๐‘ / 2)))
953nnne0d 12210 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
9688, 87, 95divcan2d 11940 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ / 2)) = ๐‘)
9794, 96eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2) = ๐‘)
9897oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2)) = (2โ†‘๐‘))
9997oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1...((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2)) = (1...๐‘))
10099fveq2d 6851 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2))) = (lcmโ€˜(1...๐‘)))
10198, 100breq12d 5123 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2))) โ†” (2โ†‘๐‘) โ‰ค (lcmโ€˜(1...๐‘))))
102101adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ / 2) โˆ’ 1)) + 2))) โ†” (2โ†‘๐‘) โ‰ค (lcmโ€˜(1...๐‘))))
10386, 102mpbid 231 . 2 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰ค (lcmโ€˜(1...๐‘)))
104 oddm1even 16232 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
10570, 104syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
106105biimpa 478 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1))
1072a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
108 1zzd 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
10970, 108zsubcld 12619 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
110 0red 11165 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
11148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 8 โˆˆ โ„)
112 1red 11163 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
11333, 112resubcld 11590 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
114 8pos 12272 . . . . . . . . . . . 12 0 < 8
115114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < 8)
11640, 33, 112, 38lesub1dd 11778 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (9 โˆ’ 1) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
11758, 116eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 8 โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
118110, 111, 113, 115, 117ltletrd 11322 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐‘ โˆ’ 1))
119109, 118jca 513 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘ โˆ’ 1)))
120 elnnz 12516 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘ โˆ’ 1)))
121119, 120sylibr 233 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
122121adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
123107, 122nndivdvdsd 40486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•))
124106, 123mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
12544, 22mulcomi 11170 . . . . . . . . 9 (4 ยท 2) = (2 ยท 4)
126125, 46eqtr3i 2767 . . . . . . . 8 (2 ยท 4) = 8
127126, 50mpbir 230 . . . . . . 7 (8 / 2) = 4
1283nnrpd 12962 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
129111, 113, 128, 117lediv1dd 13022 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (8 / 2) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
130127, 129eqbrtrrid 5146 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
131130adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ 4 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
132124, 131lcmineqlem22 40536 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))) โˆง (2โ†‘((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 2)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 2)))))
133132simpld 496 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (2โ†‘((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))))
134 1cnd 11157 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
13588, 134subcld 11519 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
136135, 87, 95divcan2d 11940 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘ โˆ’ 1))
137136oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
13888, 134npcand 11523 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
139137, 138eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ๐‘)
140139oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) = (2โ†‘๐‘))
141139oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1...((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) = (1...๐‘))
142141fveq2d 6851 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))) = (lcmโ€˜(1...๐‘)))
143140, 142breq12d 5123 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))) โ†” (2โ†‘๐‘) โ‰ค (lcmโ€˜(1...๐‘))))
144143adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ‰ค (lcmโ€˜(1...((2 ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) + 1))) โ†” (2โ†‘๐‘) โ‰ค (lcmโ€˜(1...๐‘))))
145133, 144mpbid 231 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰ค (lcmโ€˜(1...๐‘)))
146103, 145pm2.61dan 812 1 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘) โ‰ค (lcmโ€˜(1...๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  4c4 12217  5c5 12218  8c8 12221  9c9 12222  โ„คcz 12506  cdc 12625  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974   โˆฅ cdvds 16143  lcmclcmf 16472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-lcm 16473  df-lcmf 16474  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  lcmineqlem  40538
  Copyright terms: Public domain W3C validator