Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem23 40508
Description: Penultimate step to the lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem23.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem23.2 (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem23 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem23
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem23.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
41, 3jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ))
5 nndivdvds 16145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
76biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
87nnzd 12526 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9 1zzd 12534 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
108, 9zsubcld 12612 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ)
11 0red 11158 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
12 4re 12237 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
147nnred 12168 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15 1red 11156 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
1614, 15resubcld 11583 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℝ)
17 4pos 12260 . . . . . . . . 9 0 < 4
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < 4)
19 5m1e4 12283 . . . . . . . . 9 (5 − 1) = 4
20 5re 12240 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
222nncni 12163 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
23 5cn 12241 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℂ
2422, 23mulcomi 11163 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 5) = (5 · 2)
25 5t2e10 12718 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 2) = 10
2624, 25eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 5) = 10
27 10re 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 10 ∈ ℝ
2827recni 11169 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℂ
292nnne0i 12193 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
3028, 22, 23, 29divmuli 11909 . . . . . . . . . . . 12 ((10 / 2) = 5 ↔ (2 · 5) = 10)
3126, 30mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (10 / 2) = 5
3227a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 10 ∈ ℝ)
331nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
37 9p1e10 12620 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 1) = 10
38 lcmineqlem23.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)
39 9re 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℝ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
4140, 33leloed 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
4238, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
44 4cn 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 ∈ ℂ
4522, 44mulcomi 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 · 4) = (4 · 2)
46 4t2e8 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 · 2) = 8
4745, 46eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 4) = 8
48 8re 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8 ∈ ℝ
4948recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8 ∈ ℂ
5049, 22, 44, 29divmuli 11909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((8 / 2) = 4 ↔ (2 · 4) = 8)
5147, 50mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (8 / 2) = 4
52 4nn 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℕ
5351, 52eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (8 / 2) ∈ ℕ
54 8nn 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8 ∈ ℕ
55 nndivdvds 16145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((8 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ))
5654, 2, 55mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ)
5753, 56mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∥ 8
58 9m1e8 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (9 − 1) = 8
5957, 58breqtrri 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∥ (9 − 1)
60 9nn 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9 ∈ ℕ
6160nnzi 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9 ∈ ℤ
62 oddm1even 16225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (9 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1)))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1))
6459, 63mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 2 ∥ 9
65 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (9 = 𝑁 → (2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ 𝑁))
6664, 65mtbii 325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (9 = 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
6766con2i 139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∥ 𝑁 → ¬ 9 = 𝑁)
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 9 = 𝑁)
6943, 68olcnd 875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 9 < 𝑁)
701nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
71 zltp1le 12553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7261, 71mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7569, 74mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 + 1) ≤ 𝑁)
7637, 75eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 10 ≤ 𝑁)
7732, 34, 36, 76lediv1dd 13015 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (10 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
7831, 77eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ≤ (𝑁 / 2))
7921, 14, 15, 78lesub1dd 11771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (5 − 1) ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
8019, 79eqbrtrrid 5141 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
8111, 13, 16, 18, 80ltletrd 11315 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < ((𝑁 / 2) − 1))
8210, 81jca 512 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
83 elnnz 12509 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
8482, 83sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ)
8584, 80lcmineqlem22 40507 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)))))
8685simprd 496 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))))
873nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
881nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8988halfcld 12398 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
9087, 89muls1d 11615 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · ((𝑁 / 2) − 1)) = ((2 · (𝑁 / 2)) − 2))
9190oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2))
9287, 89mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
9392, 87npcand 11516 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
9491, 93eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
953nnne0d 12203 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9688, 87, 95divcan2d 11933 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
9794, 96eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = 𝑁)
9897oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (2↑𝑁))
9997oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (1...𝑁))
10099fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) = (lcm‘(1...𝑁)))
10198, 100breq12d 5118 . . . 4 (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
102101adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
10386, 102mpbid 231 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
104 oddm1even 16225 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
10570, 104syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
106105biimpa 477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
1072a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
108 1zzd 12534 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10970, 108zsubcld 12612 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
110 0red 11158 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
112 1red 11156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11333, 112resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
114 8pos 12265 . . . . . . . . . . . 12 0 < 8
115114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 8)
11640, 33, 112, 38lesub1dd 11771 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (9 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
11758, 116eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 8 ≤ (𝑁 − 1))
118110, 111, 113, 115, 117ltletrd 11315 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝑁 − 1))
119109, 118jca 512 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
120 elnnz 12509 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
121119, 120sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
122121adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
123107, 122nndivdvdsd 40457 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
124106, 123mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
12544, 22mulcomi 11163 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = (2 · 4)
126125, 46eqtr3i 2766 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
127126, 50mpbir 230 . . . . . . 7 (8 / 2) = 4
1283nnrpd 12955 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
129111, 113, 128, 117lediv1dd 13015 . . . . . . 7 (𝜑 → (8 / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
130127, 129eqbrtrrid 5141 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
131130adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
132124, 131lcmineqlem22 40507 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)))))
133132simpld 495 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))))
134 1cnd 11150 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
13588, 134subcld 11512 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
136135, 87, 95divcan2d 11933 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
137136oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
13888, 134npcand 11516 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
139137, 138eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
140139oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (2↑𝑁))
141139oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (1...𝑁))
142141fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) = (lcm‘(1...𝑁)))
143140, 142breq12d 5118 . . . 4 (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
144143adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
145133, 144mpbid 231 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
146103, 145pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  4c4 12210  5c5 12211  8c8 12214  9c9 12215  cz 12499  cdc 12618  +crp 12915  ...cfz 13424  cexp 13967  cdvds 16136  lcmclcmf 16465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-lcm 16466  df-lcmf 16467  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  lcmineqlem  40509
  Copyright terms: Public domain W3C validator