Theorem lcmineqlem23 41459

Description: Penultimate step to the lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem23.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem23.2	⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem23	⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem23.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2nn 12307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4	1, 3	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ))
5		nndivdvds 16231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
7	6	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9		1zzd 12615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
10	8, 9	zsubcld 12693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ)
11		0red 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
12		4re 12318	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
14	7	nnred 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15		1red 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	resubcld 11664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℝ)
17		4pos 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < 4)
19		5m1e4 12364	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 − 1) = 4
20		5re 12321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
22	2	nncni 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5cn 12322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℂ
24	22, 23	mulcomi 11244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 5) = (5 · 2)
25		5t2e10 12799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 2) = ;10
26	24, 25	eqtri 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 5) = ;10
27		10re 12718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ∈ ℝ
28	27	recni 11250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	2	nnne0i 12274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
30	28, 22, 23, 29	divmuli 11990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 / 2) = 5 ↔ (2 · 5) = ;10)
31	26, 30	mpbir 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 / 2) = 5
32	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ;10 ∈ ℝ)
33	1	nnred 12249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35		2rp 13003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
37		9p1e10 12701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
38		lcmineqlem23.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)
39		9re 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
41	40, 33	leloed 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
42	38, 41	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
44		4cn 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 4 ∈ ℂ
45	22, 44	mulcomi 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · 4) = (4 · 2)
46		4t2e8 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 · 2) = 8
47	45, 46	eqtri 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 4) = 8
48		8re 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 8 ∈ ℝ
49	48	recni 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 8 ∈ ℂ
50	49, 22, 44, 29	divmuli 11990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((8 / 2) = 4 ↔ (2 · 4) = 8)
51	47, 50	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (8 / 2) = 4
52		4nn 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℕ
53	51, 52	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (8 / 2) ∈ ℕ
54		8nn 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 8 ∈ ℕ
55		nndivdvds 16231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((8 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ))
56	54, 2, 55	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ)
57	53, 56	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∥ 8
58		9m1e8 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (9 − 1) = 8
59	57, 58	breqtrri 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∥ (9 − 1)
60		9nn 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 9 ∈ ℕ
61	60	nnzi 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 9 ∈ ℤ
62		oddm1even 16311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (9 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1)))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1))
64	59, 63	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 2 ∥ 9
65		breq2 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (9 = 𝑁 → (2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ 𝑁))
66	64, 65	mtbii 326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (9 = 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
67	66	con2i 139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → ¬ 9 = 𝑁)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 9 = 𝑁)
69	43, 68	olcnd 876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 9 < 𝑁)
70	1	nnzd 12607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
71		zltp1le 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
72	61, 71	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
75	69, 74	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 + 1) ≤ 𝑁)
76	37, 75	eqbrtrrid 5178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ;10 ≤ 𝑁)
77	32, 34, 36, 76	lediv1dd 13098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (;10 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
78	31, 77	eqbrtrrid 5178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ≤ (𝑁 / 2))
79	21, 14, 15, 78	lesub1dd 11852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (5 − 1) ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
80	19, 79	eqbrtrrid 5178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
81	11, 13, 16, 18, 80	ltletrd 11396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < ((𝑁 / 2) − 1))
82	10, 81	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
83		elnnz 12590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
84	82, 83	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ)
85	84, 80	lcmineqlem22 41458	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)))))
86	85	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))))
87	3	nncnd 12250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
88	1	nncnd 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
89	88	halfcld 12479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
90	87, 89	muls1d 11696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑁 / 2) − 1)) = ((2 · (𝑁 / 2)) − 2))
91	90	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2))
92	87, 89	mulcld 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
93	92, 87	npcand 11597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
94	91, 93	eqtrd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
95	3	nnne0d 12284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
96	88, 87, 95	divcan2d 12014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
97	94, 96	eqtrd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = 𝑁)
98	97	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (2↑𝑁))
99	97	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (1...𝑁))
100	99	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) = (lcm‘(1...𝑁)))
101	98, 100	breq12d 5155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
102	101	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
103	86, 102	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
104		oddm1even 16311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
105	70, 104	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
106	105	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
107	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
108		1zzd 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
109	70, 108	zsubcld 12693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
110		0red 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
111	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
112		1red 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
113	33, 112	resubcld 11664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
114		8pos 12346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 8
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 8)
116	40, 33, 112, 38	lesub1dd 11852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (9 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
117	58, 116	eqbrtrrid 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ (𝑁 − 1))
118	110, 111, 113, 115, 117	ltletrd 11396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 − 1))
119	109, 118	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
120		elnnz 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
121	119, 120	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
122	121	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
123	107, 122	nndivdvdsd 41407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
124	106, 123	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
125	44, 22	mulcomi 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
126	125, 46	eqtr3i 2757	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
127	126, 50	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ (8 / 2) = 4
128	3	nnrpd 13038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
129	111, 113, 128, 117	lediv1dd 13098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
130	127, 129	eqbrtrrid 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
131	130	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
132	124, 131	lcmineqlem22 41458	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)))))
133	132	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))))
134		1cnd 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
135	88, 134	subcld 11593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
136	135, 87, 95	divcan2d 12014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
137	136	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
138	88, 134	npcand 11597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
139	137, 138	eqtrd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
140	139	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (2↑𝑁))
141	139	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (1...𝑁))
142	141	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) = (lcm‘(1...𝑁)))
143	140, 142	breq12d 5155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
144	143	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
145	133, 144	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
146	103, 145	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466   / cdiv 11893  ℕcn 12234  2c2 12289  4c4 12291  5c5 12292  8c8 12295  9c9 12296  ℤcz 12580  ;cdc 12699  ℝ⁺crp 12998  ...cfz 13508  ↑cexp 14050   ∥ cdvds 16222  lcmclcmf 16551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-prod 15874  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-lcm 16552  df-lcmf 16553  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586  df-limc 25782  df-dv 25783

This theorem is referenced by:  lcmineqlem  41460