Theorem lcmineqlem23 41413

Description: Penultimate step to the lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem23.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem23.2	⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem23	⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem23.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2nn 12283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4	1, 3	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ))
5		nndivdvds 16205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
7	6	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9		1zzd 12591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
10	8, 9	zsubcld 12669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ)
11		0red 11215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
12		4re 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
14	7	nnred 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15		1red 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	resubcld 11640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℝ)
17		4pos 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < 4)
19		5m1e4 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 − 1) = 4
20		5re 12297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
22	2	nncni 12220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5cn 12298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℂ
24	22, 23	mulcomi 11220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 5) = (5 · 2)
25		5t2e10 12775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 2) = ;10
26	24, 25	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 5) = ;10
27		10re 12694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ∈ ℝ
28	27	recni 11226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	2	nnne0i 12250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
30	28, 22, 23, 29	divmuli 11966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 / 2) = 5 ↔ (2 · 5) = ;10)
31	26, 30	mpbir 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 / 2) = 5
32	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ;10 ∈ ℝ)
33	1	nnred 12225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35		2rp 12977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
37		9p1e10 12677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
38		lcmineqlem23.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)
39		9re 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
41	40, 33	leloed 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
42	38, 41	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
44		4cn 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 4 ∈ ℂ
45	22, 44	mulcomi 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · 4) = (4 · 2)
46		4t2e8 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 · 2) = 8
47	45, 46	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 4) = 8
48		8re 12306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 8 ∈ ℝ
49	48	recni 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 8 ∈ ℂ
50	49, 22, 44, 29	divmuli 11966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((8 / 2) = 4 ↔ (2 · 4) = 8)
51	47, 50	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (8 / 2) = 4
52		4nn 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℕ
53	51, 52	eqeltri 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (8 / 2) ∈ ℕ
54		8nn 12305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 8 ∈ ℕ
55		nndivdvds 16205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((8 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ))
56	54, 2, 55	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ)
57	53, 56	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∥ 8
58		9m1e8 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (9 − 1) = 8
59	57, 58	breqtrri 5166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∥ (9 − 1)
60		9nn 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 9 ∈ ℕ
61	60	nnzi 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 9 ∈ ℤ
62		oddm1even 16285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (9 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1)))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1))
64	59, 63	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 2 ∥ 9
65		breq2 5143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (9 = 𝑁 → (2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ 𝑁))
66	64, 65	mtbii 326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (9 = 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
67	66	con2i 139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → ¬ 9 = 𝑁)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 9 = 𝑁)
69	43, 68	olcnd 874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 9 < 𝑁)
70	1	nnzd 12583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
71		zltp1le 12610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
72	61, 71	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
75	69, 74	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 + 1) ≤ 𝑁)
76	37, 75	eqbrtrrid 5175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ;10 ≤ 𝑁)
77	32, 34, 36, 76	lediv1dd 13072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (;10 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
78	31, 77	eqbrtrrid 5175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ≤ (𝑁 / 2))
79	21, 14, 15, 78	lesub1dd 11828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (5 − 1) ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
80	19, 79	eqbrtrrid 5175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
81	11, 13, 16, 18, 80	ltletrd 11372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < ((𝑁 / 2) − 1))
82	10, 81	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
83		elnnz 12566	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
84	82, 83	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ)
85	84, 80	lcmineqlem22 41412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)))))
86	85	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))))
87	3	nncnd 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
88	1	nncnd 12226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
89	88	halfcld 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
90	87, 89	muls1d 11672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑁 / 2) − 1)) = ((2 · (𝑁 / 2)) − 2))
91	90	oveq1d 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2))
92	87, 89	mulcld 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
93	92, 87	npcand 11573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
94	91, 93	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
95	3	nnne0d 12260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
96	88, 87, 95	divcan2d 11990	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
97	94, 96	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = 𝑁)
98	97	oveq2d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (2↑𝑁))
99	97	oveq2d 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (1...𝑁))
100	99	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) = (lcm‘(1...𝑁)))
101	98, 100	breq12d 5152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
102	101	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
103	86, 102	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
104		oddm1even 16285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
105	70, 104	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
106	105	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
107	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
108		1zzd 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
109	70, 108	zsubcld 12669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
110		0red 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
111	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
112		1red 11213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
113	33, 112	resubcld 11640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
114		8pos 12322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 8
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 8)
116	40, 33, 112, 38	lesub1dd 11828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (9 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
117	58, 116	eqbrtrrid 5175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ (𝑁 − 1))
118	110, 111, 113, 115, 117	ltletrd 11372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 − 1))
119	109, 118	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
120		elnnz 12566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
121	119, 120	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
122	121	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
123	107, 122	nndivdvdsd 41362	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
124	106, 123	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
125	44, 22	mulcomi 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
126	125, 46	eqtr3i 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
127	126, 50	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ (8 / 2) = 4
128	3	nnrpd 13012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
129	111, 113, 128, 117	lediv1dd 13072	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
130	127, 129	eqbrtrrid 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
131	130	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
132	124, 131	lcmineqlem22 41412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)))))
133	132	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))))
134		1cnd 11207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
135	88, 134	subcld 11569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
136	135, 87, 95	divcan2d 11990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
137	136	oveq1d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
138	88, 134	npcand 11573	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
139	137, 138	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
140	139	oveq2d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (2↑𝑁))
141	139	oveq2d 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (1...𝑁))
142	141	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) = (lcm‘(1...𝑁)))
143	140, 142	breq12d 5152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
144	143	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
145	133, 144	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
146	103, 145	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   < clt 11246   ≤ cle 11247   − cmin 11442   / cdiv 11869  ℕcn 12210  2c2 12265  4c4 12267  5c5 12268  8c8 12271  9c9 12272  ℤcz 12556  ;cdc 12675  ℝ⁺crp 12972  ...cfz 13482  ↑cexp 14025   ∥ cdvds 16196  lcmclcmf 16525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-symdif 4235  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ioc 13327  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-mod 13833  df-seq 13965  df-exp 14026  df-fac 14232  df-bc 14261  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-prod 15848  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-lcm 16526  df-lcmf 16527  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nei 22926  df-lp 22964  df-perf 22965  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-haus 23143  df-cmp 23215  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cncf 24722  df-ovol 25317  df-vol 25318  df-mbf 25472  df-itg1 25473  df-itg2 25474  df-ibl 25475  df-itg 25476  df-0p 25523  df-limc 25719  df-dv 25720

This theorem is referenced by:  lcmineqlem  41414