Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem23 41413
Description: Penultimate step to the lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem23.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem23.2 (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem23 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem23
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem23.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 2nn 12283 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
41, 3jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ))
5 nndivdvds 16205 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
76biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
87nnzd 12583 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9 1zzd 12591 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
108, 9zsubcld 12669 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ)
11 0red 11215 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
12 4re 12294 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
147nnred 12225 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15 1red 11213 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
1614, 15resubcld 11640 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℝ)
17 4pos 12317 . . . . . . . . 9 0 < 4
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < 4)
19 5m1e4 12340 . . . . . . . . 9 (5 − 1) = 4
20 5re 12297 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
222nncni 12220 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
23 5cn 12298 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℂ
2422, 23mulcomi 11220 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 5) = (5 · 2)
25 5t2e10 12775 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 2) = 10
2624, 25eqtri 2752 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 5) = 10
27 10re 12694 . . . . . . . . . . . . . 14 10 ∈ ℝ
2827recni 11226 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℂ
292nnne0i 12250 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
3028, 22, 23, 29divmuli 11966 . . . . . . . . . . . 12 ((10 / 2) = 5 ↔ (2 · 5) = 10)
3126, 30mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (10 / 2) = 5
3227a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 10 ∈ ℝ)
331nnred 12225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35 2rp 12977 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
37 9p1e10 12677 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 1) = 10
38 lcmineqlem23.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)
39 9re 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℝ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
4140, 33leloed 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
4238, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
44 4cn 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 ∈ ℂ
4522, 44mulcomi 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 · 4) = (4 · 2)
46 4t2e8 12378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 · 2) = 8
4745, 46eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 4) = 8
48 8re 12306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8 ∈ ℝ
4948recni 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8 ∈ ℂ
5049, 22, 44, 29divmuli 11966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((8 / 2) = 4 ↔ (2 · 4) = 8)
5147, 50mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (8 / 2) = 4
52 4nn 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℕ
5351, 52eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (8 / 2) ∈ ℕ
54 8nn 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8 ∈ ℕ
55 nndivdvds 16205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((8 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ))
5654, 2, 55mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ)
5753, 56mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∥ 8
58 9m1e8 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (9 − 1) = 8
5957, 58breqtrri 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∥ (9 − 1)
60 9nn 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9 ∈ ℕ
6160nnzi 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9 ∈ ℤ
62 oddm1even 16285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (9 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1)))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1))
6459, 63mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 2 ∥ 9
65 breq2 5143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (9 = 𝑁 → (2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ 𝑁))
6664, 65mtbii 326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (9 = 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
6766con2i 139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∥ 𝑁 → ¬ 9 = 𝑁)
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 9 = 𝑁)
6943, 68olcnd 874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 9 < 𝑁)
701nnzd 12583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
71 zltp1le 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7261, 71mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
7569, 74mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 + 1) ≤ 𝑁)
7637, 75eqbrtrrid 5175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 10 ≤ 𝑁)
7732, 34, 36, 76lediv1dd 13072 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (10 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
7831, 77eqbrtrrid 5175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ≤ (𝑁 / 2))
7921, 14, 15, 78lesub1dd 11828 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (5 − 1) ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
8019, 79eqbrtrrid 5175 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
8111, 13, 16, 18, 80ltletrd 11372 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < ((𝑁 / 2) − 1))
8210, 81jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
83 elnnz 12566 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
8482, 83sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ)
8584, 80lcmineqlem22 41412 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)))))
8685simprd 495 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))))
873nncnd 12226 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
881nncnd 12226 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8988halfcld 12455 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
9087, 89muls1d 11672 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · ((𝑁 / 2) − 1)) = ((2 · (𝑁 / 2)) − 2))
9190oveq1d 7417 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2))
9287, 89mulcld 11232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
9392, 87npcand 11573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
9491, 93eqtrd 2764 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
953nnne0d 12260 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9688, 87, 95divcan2d 11990 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
9794, 96eqtrd 2764 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = 𝑁)
9897oveq2d 7418 . . . . 5 (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (2↑𝑁))
9997oveq2d 7418 . . . . . 6 (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (1...𝑁))
10099fveq2d 6886 . . . . 5 (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) = (lcm‘(1...𝑁)))
10198, 100breq12d 5152 . . . 4 (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
102101adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
10386, 102mpbid 231 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
104 oddm1even 16285 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
10570, 104syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
106105biimpa 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
1072a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
108 1zzd 12591 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10970, 108zsubcld 12669 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
110 0red 11215 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
112 1red 11213 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11333, 112resubcld 11640 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
114 8pos 12322 . . . . . . . . . . . 12 0 < 8
115114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 8)
11640, 33, 112, 38lesub1dd 11828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (9 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
11758, 116eqbrtrrid 5175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 8 ≤ (𝑁 − 1))
118110, 111, 113, 115, 117ltletrd 11372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝑁 − 1))
119109, 118jca 511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
120 elnnz 12566 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
121119, 120sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
122121adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
123107, 122nndivdvdsd 41362 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
124106, 123mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
12544, 22mulcomi 11220 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = (2 · 4)
126125, 46eqtr3i 2754 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
127126, 50mpbir 230 . . . . . . 7 (8 / 2) = 4
1283nnrpd 13012 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
129111, 113, 128, 117lediv1dd 13072 . . . . . . 7 (𝜑 → (8 / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
130127, 129eqbrtrrid 5175 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
131130adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
132124, 131lcmineqlem22 41412 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)))))
133132simpld 494 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))))
134 1cnd 11207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
13588, 134subcld 11569 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
136135, 87, 95divcan2d 11990 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
137136oveq1d 7417 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
13888, 134npcand 11573 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
139137, 138eqtrd 2764 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
140139oveq2d 7418 . . . . 5 (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (2↑𝑁))
141139oveq2d 7418 . . . . . 6 (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (1...𝑁))
142141fveq2d 6886 . . . . 5 (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) = (lcm‘(1...𝑁)))
143140, 142breq12d 5152 . . . 4 (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
144143adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
145133, 144mpbid 231 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
146103, 145pm2.61dan 810 1 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   < clt 11246  cle 11247  cmin 11442   / cdiv 11869  cn 12210  2c2 12265  4c4 12267  5c5 12268  8c8 12271  9c9 12272  cz 12556  cdc 12675  +crp 12972  ...cfz 13482  cexp 14025  cdvds 16196  lcmclcmf 16525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-symdif 4235  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ioc 13327  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-mod 13833  df-seq 13965  df-exp 14026  df-fac 14232  df-bc 14261  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-prod 15848  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-lcm 16526  df-lcmf 16527  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nei 22926  df-lp 22964  df-perf 22965  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-haus 23143  df-cmp 23215  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cncf 24722  df-ovol 25317  df-vol 25318  df-mbf 25472  df-itg1 25473  df-itg2 25474  df-ibl 25475  df-itg 25476  df-0p 25523  df-limc 25719  df-dv 25720
This theorem is referenced by:  lcmineqlem  41414
  Copyright terms: Public domain W3C validator