Theorem lcmineqlem23 42032

Description: Penultimate step to the lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem23.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem23.2	⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem23	⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem23.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2nn 12336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4	1, 3	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ))
5		nndivdvds 16295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
7	6	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9		1zzd 12645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
10	8, 9	zsubcld 12724	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ)
11		0red 11261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
12		4re 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
14	7	nnred 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
15		1red 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	resubcld 11688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℝ)
17		4pos 12370	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < 4)
19		5m1e4 12393	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 − 1) = 4
20		5re 12350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
22	2	nncni 12273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		5cn 12351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℂ
24	22, 23	mulcomi 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 5) = (5 · 2)
25		5t2e10 12830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 2) = ;10
26	24, 25	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 5) = ;10
27		10re 12749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;10 ∈ ℝ
28	27	recni 11272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	2	nnne0i 12303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
30	28, 22, 23, 29	divmuli 12018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 / 2) = 5 ↔ (2 · 5) = ;10)
31	26, 30	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 / 2) = 5
32	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ;10 ∈ ℝ)
33	1	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35		2rp 13036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℝ+)
37		9p1e10 12732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
38		lcmineqlem23.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝑁)
39		9re 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
41	40, 33	leloed 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
42	38, 41	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁))
44		4cn 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 4 ∈ ℂ
45	22, 44	mulcomi 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · 4) = (4 · 2)
46		4t2e8 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 · 2) = 8
47	45, 46	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 4) = 8
48		8re 12359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 8 ∈ ℝ
49	48	recni 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 8 ∈ ℂ
50	49, 22, 44, 29	divmuli 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((8 / 2) = 4 ↔ (2 · 4) = 8)
51	47, 50	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (8 / 2) = 4
52		4nn 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℕ
53	51, 52	eqeltri 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (8 / 2) ∈ ℕ
54		8nn 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 8 ∈ ℕ
55		nndivdvds 16295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((8 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ))
56	54, 2, 55	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∥ 8 ↔ (8 / 2) ∈ ℕ)
57	53, 56	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∥ 8
58		9m1e8 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (9 − 1) = 8
59	57, 58	breqtrri 5174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∥ (9 − 1)
60		9nn 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 9 ∈ ℕ
61	60	nnzi 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 9 ∈ ℤ
62		oddm1even 16376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (9 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1)))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ (9 − 1))
64	59, 63	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 2 ∥ 9
65		breq2 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (9 = 𝑁 → (2 ∥ 9 ↔ 2 ∥ 𝑁))
66	64, 65	mtbii 326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (9 = 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
67	66	con2i 139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → ¬ 9 = 𝑁)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 9 = 𝑁)
69	43, 68	olcnd 877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 9 < 𝑁)
70	1	nnzd 12637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
71		zltp1le 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
72	61, 71	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
75	69, 74	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (9 + 1) ≤ 𝑁)
76	37, 75	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ;10 ≤ 𝑁)
77	32, 34, 36, 76	lediv1dd 13132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (;10 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
78	31, 77	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 5 ≤ (𝑁 / 2))
79	21, 14, 15, 78	lesub1dd 11876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (5 − 1) ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
80	19, 79	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 / 2) − 1))
81	11, 13, 16, 18, 80	ltletrd 11418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → 0 < ((𝑁 / 2) − 1))
82	10, 81	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
83		elnnz 12620	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 / 2) − 1)))
84	82, 83	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 2) − 1) ∈ ℕ)
85	84, 80	lcmineqlem22 42031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)))))
86	85	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))))
87	3	nncnd 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
88	1	nncnd 12279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
89	88	halfcld 12508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
90	87, 89	muls1d 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑁 / 2) − 1)) = ((2 · (𝑁 / 2)) − 2))
91	90	oveq1d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2))
92	87, 89	mulcld 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
93	92, 87	npcand 11621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝑁 / 2)) − 2) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
94	91, 93	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = (2 · (𝑁 / 2)))
95	3	nnne0d 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
96	88, 87, 95	divcan2d 12042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
97	94, 96	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2) = 𝑁)
98	97	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (2↑𝑁))
99	97	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) = (1...𝑁))
100	99	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) = (lcm‘(1...𝑁)))
101	98, 100	breq12d 5160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
102	101	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 / 2) − 1)) + 2))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
103	86, 102	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
104		oddm1even 16376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
105	70, 104	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
106	105	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
107	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∈ ℕ)
108		1zzd 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
109	70, 108	zsubcld 12724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
110		0red 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
111	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
112		1red 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
113	33, 112	resubcld 11688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
114		8pos 12375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 8
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 8)
116	40, 33, 112, 38	lesub1dd 11876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (9 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
117	58, 116	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ (𝑁 − 1))
118	110, 111, 113, 115, 117	ltletrd 11418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑁 − 1))
119	109, 118	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
120		elnnz 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 1)))
121	119, 120	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
122	121	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
123	107, 122	nndivdvdsd 41980	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
124	106, 123	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
125	44, 22	mulcomi 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
126	125, 46	eqtr3i 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
127	126, 50	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ (8 / 2) = 4
128	3	nnrpd 13072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
129	111, 113, 128, 117	lediv1dd 13132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 / 2) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
130	127, 129	eqbrtrrid 5183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
131	130	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 4 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
132	124, 131	lcmineqlem22 42031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ∧ (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 2)))))
133	132	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))))
134		1cnd 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
135	88, 134	subcld 11617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
136	135, 87, 95	divcan2d 12042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑁 − 1) / 2)) = (𝑁 − 1))
137	136	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
138	88, 134	npcand 11621	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
139	137, 138	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = 𝑁)
140	139	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (2↑𝑁))
141	139	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) = (1...𝑁))
142	141	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) = (lcm‘(1...𝑁)))
143	140, 142	breq12d 5160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
144	143	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((2↑((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1)) ≤ (lcm‘(1...((2 · ((𝑁 − 1) / 2)) + 1))) ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
145	133, 144	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
146	103, 145	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  4c4 12320  5c5 12321  8c8 12324  9c9 12325  ℤcz 12610  ;cdc 12730  ℝ⁺crp 13031  ...cfz 13543  ↑cexp 14098   ∥ cdvds 16286  lcmclcmf 16622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-prod 15936  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-lcm 16623  df-lcmf 16624  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916

This theorem is referenced by:  lcmineqlem  42033