Theorem slotsdifunifndx 17373

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21281. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12308	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12245	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12512	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12511	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12837	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12737	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11349	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17250	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17367	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3002	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 230	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12314	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12836	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12737	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11349	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17265	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3002	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 230	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12318	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12513	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12835	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12737	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11349	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17274	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3002	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 230	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1337	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12718	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12510	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12509	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12313	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12339	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12727	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11349	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17338	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3002	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12307	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12719	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12243	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12406	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12727	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11349	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17357	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3002	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 230	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ≠ wne 2935  ‘cfv 6542  0cc0 11130  1c1 11131  2c2 12289  3c3 12290  4c4 12291  ;cdc 12699  ndxcnx 17153  +_gcplusg 17224  ._rcmulr 17225  *_𝑟cstv 17226  lecple 17231  distcds 17233  UnifSetcunif 17234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21281  cnfldfunALTOLD  21294