Theorem slotsdifunifndx 17297

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21299. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12191	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12128	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12391	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12390	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12718	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12618	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11218	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17179	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17291	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2992	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12197	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12717	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12618	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11218	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17190	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2992	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12201	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12392	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12716	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12618	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11218	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17198	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2992	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12599	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12389	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12388	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12196	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12222	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12608	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11218	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17262	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2992	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12190	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12600	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12126	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12284	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12608	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11218	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17281	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2992	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2926  ‘cfv 6477  0cc0 10998  1c1 10999  2c2 12172  3c3 12173  4c4 12174  ;cdc 12580  ndxcnx 17096  +_gcplusg 17153  ._rcmulr 17154  *_𝑟cstv 17155  lecple 17160  distcds 17162  UnifSetcunif 17163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21299  cnfldfunALTOLD  21312