Theorem slotsdifunifndx 17385

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21311. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12319	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12256	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12848	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12748	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11359	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17262	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17379	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 230	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12325	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12847	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12748	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11359	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17277	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 230	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12329	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12524	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12846	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12748	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11359	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17286	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 230	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1336	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12729	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12324	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12350	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12738	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11359	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17350	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12318	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12254	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12417	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12738	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11359	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17369	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 230	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 469	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 469	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ≠ wne 2929  ‘cfv 6549  0cc0 11140  1c1 11141  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  ;cdc 12710  ndxcnx 17165  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  *_𝑟cstv 17238  lecple 17243  distcds 17245  UnifSetcunif 17246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21311  cnfldfunALTOLD  21324