Theorem slotsdifunifndx 17101

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfun 20599. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12039	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 11976	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12243	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12242	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12566	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12466	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11080	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 16978	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17095	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3012	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 230	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12045	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12565	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12466	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11080	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 16993	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3012	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 230	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12049	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12244	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12564	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12466	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11080	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17002	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3012	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 230	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1338	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12447	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12241	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12240	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12044	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12070	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12456	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11080	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17066	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3012	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12038	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12448	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 11974	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12137	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12456	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11080	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17085	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3012	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 230	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 471	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2945  ‘cfv 6431  0cc0 10864  1c1 10865  2c2 12020  3c3 12021  4c4 12022  ;cdc 12428  ndxcnx 16884  +_gcplusg 16952  ._rcmulr 16953  *_𝑟cstv 16954  lecple 16959  distcds 16961  UnifSetcunif 16962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-starv 16967  df-ple 16972  df-ds 16974  df-unif 16975

This theorem is referenced by:  cnfldfun  20599