Theorem slotsdifunifndx 17362

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21369. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12253	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12183	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12453	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12452	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12780	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12680	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11257	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17244	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17356	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3001	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 232	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12259	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12779	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12680	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11257	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17255	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3001	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 232	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12263	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12454	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12778	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12680	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11257	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17263	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3001	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 232	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1346	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12661	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12451	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12450	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12258	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12284	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12670	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11257	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17327	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3001	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 232	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12252	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12662	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12181	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12346	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12670	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11257	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17346	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3001	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 232	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 471	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ≠ wne 2935  ‘cfv 6492  0cc0 11036  1c1 11037  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  ;cdc 12642  ndxcnx 17161  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  *_𝑟cstv 17220  lecple 17225  distcds 17227  UnifSetcunif 17228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21369