Theorem slotsdifunifndx 17445

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21379. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12340	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12277	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12871	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12771	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11374	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17323	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17439	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12346	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12870	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12771	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11374	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17337	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12350	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12869	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12771	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11374	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17346	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12752	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12345	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12371	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12761	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11374	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17410	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12753	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12275	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12438	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12761	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11374	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17429	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  ;cdc 12733  ndxcnx 17230  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  *_𝑟cstv 17299  lecple 17304  distcds 17306  UnifSetcunif 17307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21379  cnfldfunALTOLD  21392