Theorem slotsdifunifndx 17413

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21419. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12289	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12218	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12496	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12829	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12728	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11293	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17295	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17407	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3022	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 233	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12295	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12828	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12728	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11293	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17306	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3022	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 233	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12299	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12497	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12827	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12728	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11293	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17314	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3022	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 233	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1352	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12708	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12494	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12294	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12323	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12718	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11293	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17378	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3022	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 233	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12288	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12709	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12216	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12388	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12718	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11293	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17397	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3022	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 233	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 474	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 474	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ≠ wne 2956  ‘cfv 6517  0cc0 11070  1c1 11071  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  ;cdc 12685  ndxcnx 17212  +_gcplusg 17269  ._rcmulr 17270  *_𝑟cstv 17271  lecple 17276  distcds 17278  UnifSetcunif 17279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21419