Theorem slotsdifunifndx 17486

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21600. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12339	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12268	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12546	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12880	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12779	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11347	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17368	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17480	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3021	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 234	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12345	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12879	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12779	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11347	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17379	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3021	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 234	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12349	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12547	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12878	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12779	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11347	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17387	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3021	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 234	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12759	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12344	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12373	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12769	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11347	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17451	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3021	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 234	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12338	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12760	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12266	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12438	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12769	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11347	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17470	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3021	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 234	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 476	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  0cc0 11124  1c1 11125  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  ;cdc 12736  ndxcnx 17285  +_gcplusg 17342  ._rcmulr 17343  *_𝑟cstv 17344  lecple 17349  distcds 17351  UnifSetcunif 17352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365

This theorem is used by:  cnfldfunALT  21600