Theorem slotsdifunifndx 17446

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21396. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12337	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12274	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12868	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12768	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11371	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17323	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17440	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3004	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12343	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12867	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12768	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11371	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17338	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3004	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12347	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12866	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12768	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11371	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17347	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3004	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1338	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12749	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12538	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12342	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12368	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12758	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11371	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17411	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3004	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12336	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12750	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12272	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12435	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12758	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11371	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17430	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3004	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2937  ‘cfv 6562  0cc0 11152  1c1 11153  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  ;cdc 12730  ndxcnx 17226  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  *_𝑟cstv 17299  lecple 17304  distcds 17306  UnifSetcunif 17307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21396  cnfldfunALTOLD  21409