Theorem slotsdifunifndx 17577

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21698. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12420	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12349	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12627	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12626	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12961	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12860	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11426	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17459	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17571	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3021	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 234	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12426	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12960	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12860	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11426	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17470	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3021	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 234	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12430	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12628	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12959	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12860	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11426	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17478	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3021	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 234	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12840	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12625	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12624	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12425	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12454	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12850	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11426	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17542	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3021	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 234	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12419	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12841	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12347	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12519	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12850	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11426	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17561	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3021	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 234	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 476	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  0cc0 11203  1c1 11204  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  ;cdc 12817  ndxcnx 17376  +_gcplusg 17433  ._rcmulr 17434  *_𝑟cstv 17435  lecple 17440  distcds 17442  UnifSetcunif 17443

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456

This theorem is used by:  cnfldfunALT  21698