Theorem slotsdifunifndx 17413

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21328. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12312	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12249	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12844	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12744	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11346	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17295	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17407	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2998	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12318	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12843	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12744	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11346	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17306	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2998	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12322	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12842	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12744	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11346	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17314	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2998	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12725	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12515	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12514	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12317	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12343	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12734	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11346	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17378	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2998	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12311	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12726	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12247	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12410	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12734	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11346	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17397	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2998	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2932  ‘cfv 6530  0cc0 11127  1c1 11128  2c2 12293  3c3 12294  4c4 12295  ;cdc 12706  ndxcnx 17210  +_gcplusg 17269  ._rcmulr 17270  *_𝑟cstv 17271  lecple 17276  distcds 17278  UnifSetcunif 17279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21328  cnfldfunALTOLD  21341