Theorem slotsdifunifndx 17455

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21518. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12316	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12245	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12856	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12755	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11324	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17337	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17449	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3024	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 234	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12322	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12855	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12755	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11324	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17348	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3024	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 234	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12326	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12524	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12854	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12755	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11324	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17356	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3024	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 234	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12735	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12321	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12350	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12745	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11324	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17420	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3024	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 234	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12736	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12243	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12415	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12745	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11324	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17439	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3024	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 234	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 475	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2958  ‘cfv 6538  0cc0 11101  1c1 11102  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  ;cdc 12712  ndxcnx 17254  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  *_𝑟cstv 17313  lecple 17318  distcds 17320  UnifSetcunif 17321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21518