Theorem slotsdifunifndx 17340

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21311. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12236	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12173	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12436	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12435	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12763	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12663	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11263	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17222	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17334	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2991	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12242	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12762	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12663	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11263	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17233	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2991	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12246	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12437	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12761	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12663	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11263	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17241	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2991	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12644	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12434	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12433	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12241	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12267	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12653	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11263	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17305	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2991	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12235	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12645	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12171	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12329	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12653	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11263	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17324	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2991	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2925  ‘cfv 6499  0cc0 11044  1c1 11045  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  ;cdc 12625  ndxcnx 17139  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  *_𝑟cstv 17198  lecple 17203  distcds 17205  UnifSetcunif 17206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21311  cnfldfunALTOLD  21324