Theorem slotsdifunifndx 17492

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21606. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12343	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12272	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12550	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12549	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12884	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12783	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11351	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17374	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17486	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3023	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 234	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12349	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12883	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12783	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11351	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17385	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3023	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 234	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12353	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12551	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12882	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12783	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11351	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17393	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3023	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 234	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12763	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12548	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12547	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12348	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12377	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12773	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11351	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17457	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3023	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 234	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12342	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12764	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12270	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12442	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12773	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11351	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17476	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3023	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 234	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 476	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  0cc0 11128  1c1 11129  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  ;cdc 12740  ndxcnx 17291  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  *_𝑟cstv 17350  lecple 17355  distcds 17357  UnifSetcunif 17358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371

This theorem is used by:  cnfldfunALT  21606