Theorem slotsdifunifndx 17353

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21357. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12244	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12174	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12444	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12443	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12771	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12671	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11248	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17235	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17347	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12250	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12770	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12671	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11248	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17246	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12254	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12445	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12769	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12671	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11248	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17254	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12652	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12442	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12441	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12249	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12275	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12661	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11248	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17318	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12243	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12653	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12172	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12337	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12661	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11248	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17337	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ≠ wne 2933  ‘cfv 6490  0cc0 11027  1c1 11028  2c2 12225  3c3 12226  4c4 12227  ;cdc 12633  ndxcnx 17152  +_gcplusg 17209  ._rcmulr 17210  *_𝑟cstv 17211  lecple 17216  distcds 17218  UnifSetcunif 17219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21357  cnfldfunALTOLD  21370