Theorem slotsdifunifndx 17333

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21336. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12231	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12168	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12431	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12430	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12757	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12657	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11258	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17215	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17327	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12237	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12756	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12657	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11258	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17226	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12241	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12432	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12755	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12657	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11258	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17234	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12638	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12429	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12428	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12236	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12262	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12647	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11258	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17298	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12230	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12639	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12166	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12324	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12647	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11258	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17317	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  ;cdc 12619  ndxcnx 17132  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  *_𝑟cstv 17191  lecple 17196  distcds 17198  UnifSetcunif 17199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21336  cnfldfunALTOLD  21349