Theorem slotsdifunifndx 17315

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21316. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12209	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12146	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12409	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12408	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12736	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12636	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11236	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17197	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17309	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12215	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12735	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12636	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11236	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17208	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12219	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12410	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12734	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12636	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11236	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17216	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12617	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12407	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12406	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12214	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12240	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12626	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11236	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17280	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12208	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12618	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12144	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12302	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12626	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11236	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17299	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2930  ‘cfv 6489  0cc0 11016  1c1 11017  2c2 12190  3c3 12191  4c4 12192  ;cdc 12598  ndxcnx 17114  +_gcplusg 17171  ._rcmulr 17172  *_𝑟cstv 17173  lecple 17178  distcds 17180  UnifSetcunif 17181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21316  cnfldfunALTOLD  21329