Theorem slotsdifunifndx 17181

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 20682. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12120	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12057	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12324	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12323	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12648	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12548	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11161	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17058	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17175	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 230	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12126	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12647	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12548	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11161	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17073	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 230	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12130	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12325	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12646	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12548	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11161	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17082	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 230	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1338	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12529	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12322	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12321	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12125	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12151	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12538	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11161	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17146	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12119	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12530	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12055	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12218	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12538	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11161	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17165	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 230	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 471	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2941  ‘cfv 6465  0cc0 10944  1c1 10945  2c2 12101  3c3 12102  4c4 12103  ;cdc 12510  ndxcnx 16964  +_gcplusg 17032  ._rcmulr 17033  *_𝑟cstv 17034  lecple 17039  distcds 17041  UnifSetcunif 17042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-z 12393  df-dec 12511  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-starv 17047  df-ple 17052  df-ds 17054  df-unif 17055

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  20682