Theorem slotsdifunifndx 17345

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 20956. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12285	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12222	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12489	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12488	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12814	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12714	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11326	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17222	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17339	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 230	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12291	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12813	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12714	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11326	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17237	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 230	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12295	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12490	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12812	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12714	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11326	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17246	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 230	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1339	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12695	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12487	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12486	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12290	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12316	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12704	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11326	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17310	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12284	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12696	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12220	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12383	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12704	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11326	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17329	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 230	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 471	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ≠ wne 2940  ‘cfv 6543  0cc0 11109  1c1 11110  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  ;cdc 12676  ndxcnx 17125  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  *_𝑟cstv 17198  lecple 17203  distcds 17205  UnifSetcunif 17206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  20956