Theorem slotsdifunifndx 17479

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21574. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12333	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12262	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12873	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12772	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11341	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17361	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17473	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3027	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 234	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12339	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12872	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12772	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11341	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17372	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3027	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 234	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12343	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12871	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12772	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11341	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17380	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3027	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 234	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12752	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12538	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12537	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12338	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12367	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12762	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11341	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17444	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3027	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 234	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12332	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12753	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12260	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12432	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12762	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11341	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17463	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3027	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 234	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 476	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2961  ‘cfv 6543  0cc0 11118  1c1 11119  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  ;cdc 12729  ndxcnx 17278  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  *_𝑟cstv 17337  lecple 17342  distcds 17344  UnifSetcunif 17345

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358

This theorem is used by:  cnfldfunALT  21574