MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slotsdifunifndx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slotsdifunifndx 17445
Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21379. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
slotsdifunifndx (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx
StepHypRef Expression
1 2re 12340 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 1nn 12277 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
3 3nn0 12544 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
4 2nn0 12543 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
5 2lt10 12871 . . . . . 6 2 < 10
62, 3, 4, 5declti 12771 . . . . 5 2 < 13
71, 6ltneii 11374 . . . 4 2 ≠ 13
8 plusgndx 17323 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
9 unifndx 17439 . . . . 5 (UnifSet‘ndx) = 13
108, 9neeq12i 3007 . . . 4 ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ 13)
117, 10mpbir 231 . . 3 (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12 3re 12346 . . . . 5 3 ∈ ℝ
13 3lt10 12870 . . . . . 6 3 < 10
142, 3, 3, 13declti 12771 . . . . 5 3 < 13
1512, 14ltneii 11374 . . . 4 3 ≠ 13
16 mulrndx 17337 . . . . 5 (.r‘ndx) = 3
1716, 9neeq12i 3007 . . . 4 ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ 13)
1815, 17mpbir 231 . . 3 (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19 4re 12350 . . . . 5 4 ∈ ℝ
20 4nn0 12545 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
21 4lt10 12869 . . . . . 6 4 < 10
222, 3, 20, 21declti 12771 . . . . 5 4 < 13
2319, 22ltneii 11374 . . . 4 4 ≠ 13
24 starvndx 17346 . . . . 5 (*𝑟‘ndx) = 4
2524, 9neeq12i 3007 . . . 4 ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ 13)
2623, 25mpbir 231 . . 3 (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
2711, 18, 263pm3.2i 1340 . 2 ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28 10re 12752 . . . . 5 10 ∈ ℝ
29 1nn0 12542 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
30 0nn0 12541 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
31 3nn 12345 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
32 3pos 12371 . . . . . 6 0 < 3
3329, 30, 31, 32declt 12761 . . . . 5 10 < 13
3428, 33ltneii 11374 . . . 4 10 ≠ 13
35 plendx 17410 . . . . 5 (le‘ndx) = 10
3635, 9neeq12i 3007 . . . 4 ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 10 ≠ 13)
3734, 36mpbir 231 . . 3 (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38 2nn 12339 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
3929, 38decnncl 12753 . . . . . 6 12 ∈ ℕ
4039nnrei 12275 . . . . 5 12 ∈ ℝ
41 2lt3 12438 . . . . . 6 2 < 3
4229, 4, 31, 41declt 12761 . . . . 5 12 < 13
4340, 42ltneii 11374 . . . 4 12 ≠ 13
44 dsndx 17429 . . . . 5 (dist‘ndx) = 12
4544, 9neeq12i 3007 . . . 4 ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 12 ≠ 13)
4643, 45mpbir 231 . . 3 (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
4737, 46pm3.2i 470 . 2 ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
4827, 47pm3.2i 470 1 (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1087  wne 2940  cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  cdc 12733  ndxcnx 17230  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  *𝑟cstv 17299  lecple 17304  distcds 17306  UnifSetcunif 17307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320
This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21379  cnfldfunALTOLD  21392
  Copyright terms: Public domain W3C validator