Theorem slotsdifunifndx 17604

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21726. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12447	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12376	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12654	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12653	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12988	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12887	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11453	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17486	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17598	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3025	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 234	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12453	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12987	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12887	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11453	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17497	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3025	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 234	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12457	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12655	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12986	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12887	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11453	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17505	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3025	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 234	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12867	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12652	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12651	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12452	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12481	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12877	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11453	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17569	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3025	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 234	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12446	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12868	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12374	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12546	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12877	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11453	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17588	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3025	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 234	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 476	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2959  ‘cfv 6561  0cc0 11230  1c1 11231  2c2 12427  3c3 12428  4c4 12429  ;cdc 12844  ndxcnx 17403  +_gcplusg 17460  ._rcmulr 17461  *_𝑟cstv 17462  lecple 17467  distcds 17469  UnifSetcunif 17470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483

This theorem is used by:  cnfldfunALT  21726