Theorem slotsdifunifndx 17364

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21279. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12260	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12197	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12460	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12459	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12787	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12687	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11287	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17246	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17358	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2991	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12266	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12786	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12687	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11287	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17257	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2991	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12270	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12461	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12785	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12687	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11287	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17265	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2991	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12668	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12458	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12457	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12265	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12291	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12677	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11287	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17329	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2991	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12259	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12669	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12195	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12353	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12677	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11287	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17348	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2991	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2925  ‘cfv 6511  0cc0 11068  1c1 11069  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  ;cdc 12649  ndxcnx 17163  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  *_𝑟cstv 17222  lecple 17227  distcds 17229  UnifSetcunif 17230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21279  cnfldfunALTOLD  21292