Theorem slotsdifunifndx 17460

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21402. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12367	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12304	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12571	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12570	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12896	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12796	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11403	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17337	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17454	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3013	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12373	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12895	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12796	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11403	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17352	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3013	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12377	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12572	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12894	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12796	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11403	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17361	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3013	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1339	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12777	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12569	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12568	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12372	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12398	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12786	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11403	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17425	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3013	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12366	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12778	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12302	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12465	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12786	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11403	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17444	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3013	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  0cc0 11184  1c1 11185  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  ;cdc 12758  ndxcnx 17240  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  *_𝑟cstv 17313  lecple 17318  distcds 17320  UnifSetcunif 17321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21402  cnfldfunALTOLD  21415