Theorem slotsdifunifndx 17444

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21497. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12306	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12235	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12513	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12512	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12846	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12745	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11311	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17326	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17438	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3026	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 234	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12312	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12845	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12745	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11311	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17337	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3026	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 234	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12316	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12514	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12844	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12745	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11311	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17345	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3026	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 234	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1356	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12725	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12511	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12510	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12311	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12340	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12735	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11311	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17409	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3026	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 234	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12305	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12726	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12233	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12405	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12735	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11311	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17428	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3026	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 234	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 475	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  0cc0 11088  1c1 11089  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  ;cdc 12702  ndxcnx 17243  +_gcplusg 17300  ._rcmulr 17301  *_𝑟cstv 17302  lecple 17307  distcds 17309  UnifSetcunif 17310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21497