Theorem slotsdifunifndx 17156

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 20655. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12093	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12030	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12297	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12296	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12621	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12521	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11134	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17033	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17150	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 230	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12099	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12620	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12521	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11134	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17048	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 230	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12103	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12298	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12619	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12521	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11134	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17057	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 230	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1339	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12502	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12295	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12294	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12098	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12124	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12511	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11134	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17121	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12092	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12503	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12028	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12191	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12511	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11134	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17140	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 230	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 472	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 472	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   ≠ wne 2941  ‘cfv 6458  0cc0 10917  1c1 10918  2c2 12074  3c3 12075  4c4 12076  ;cdc 12483  ndxcnx 16939  +_gcplusg 17007  ._rcmulr 17008  *_𝑟cstv 17009  lecple 17014  distcds 17016  UnifSetcunif 17017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  20655