Theorem slotsdifunifndx 17325

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21328. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12223	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12160	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12423	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12422	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12749	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12649	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11250	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17207	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17319	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12229	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12748	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12649	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11250	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17218	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12233	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12424	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12747	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12649	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11250	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17226	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12630	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12421	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12420	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12228	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12254	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12639	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11250	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17290	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12222	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12631	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12158	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12316	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12639	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11250	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17309	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2999	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ≠ wne 2933  ‘cfv 6493  0cc0 11030  1c1 11031  2c2 12204  3c3 12205  4c4 12206  ;cdc 12611  ndxcnx 17124  +_gcplusg 17181  ._rcmulr 17182  *_𝑟cstv 17183  lecple 17188  distcds 17190  UnifSetcunif 17191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21328  cnfldfunALTOLD  21341