Theorem slotsdifunifndx 17381

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21298. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12316	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12253	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12845	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12745	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11357	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17258	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17375	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 230	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12322	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12844	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12745	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11357	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17273	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 230	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12326	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12843	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12745	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11357	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17282	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 230	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1336	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12726	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12321	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12347	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12735	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11357	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17346	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12251	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12414	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12735	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11357	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17365	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 230	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 469	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 469	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ≠ wne 2930  ‘cfv 6547  0cc0 11138  1c1 11139  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  ;cdc 12707  ndxcnx 17161  +_gcplusg 17232  ._rcmulr 17233  *_𝑟cstv 17234  lecple 17239  distcds 17241  UnifSetcunif 17242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21298  cnfldfunALTOLD  21311