Theorem slotsdifunifndx 17552

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21673. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12398	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12327	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12605	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12604	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12939	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12838	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11404	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17434	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17546	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 3022	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 234	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12404	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12938	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12838	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11404	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17445	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 3022	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 234	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12408	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12606	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12937	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12838	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11404	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17453	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 3022	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 234	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12818	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12603	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12602	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12403	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12432	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12828	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11404	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17517	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 3022	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 234	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12397	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12819	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12325	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12497	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12828	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11404	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17536	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 3022	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 234	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 476	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2956  ‘cfv 6531  0cc0 11181  1c1 11182  2c2 12378  3c3 12379  4c4 12380  ;cdc 12795  ndxcnx 17351  +_gcplusg 17408  ._rcmulr 17409  *_𝑟cstv 17410  lecple 17415  distcds 17417  UnifSetcunif 17418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431

This theorem is used by:  cnfldfunALT  21673