Theorem slotsdifunifndx 17371

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21286. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12267	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 12204	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 12467	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 12466	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 12794	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12694	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 11294	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 17253	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 17365	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2992	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 231	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 12273	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 12793	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 12694	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 11294	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 17264	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2992	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 231	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 12277	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 12468	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 12792	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 12694	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 11294	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 17272	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2992	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 12675	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 12465	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 12272	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 12298	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 12684	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 11294	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 17336	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2992	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 12266	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 12676	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 12202	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 12360	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 12684	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 11294	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 17355	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2992	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 231	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 470	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2926  ‘cfv 6514  0cc0 11075  1c1 11076  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  ;cdc 12656  ndxcnx 17170  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  *_𝑟cstv 17229  lecple 17234  distcds 17236  UnifSetcunif 17237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21286  cnfldfunALTOLD  21299