Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpexpp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpexpp1 32890
Description: Add one zero to the mantisse, and a one to the exponent in a scientific notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpexpp1.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpexpp1.b 𝐵 ∈ ℝ+
dpexpp1.1 (𝑃 + 1) = 𝑄
dpexpp1.p 𝑃 ∈ ℤ
dpexpp1.q 𝑄 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dpexpp1 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄))

Proof of Theorem dpexpp1
StepHypRef Expression
1 0re 11263 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 10pos 12750 . . . . . 6 0 < 10
31, 2gtneii 11373 . . . . 5 10 ≠ 0
4 dpexpp1.a . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℕ0
5 dpexpp1.b . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ ℝ+
64, 5rpdp2cl 32864 . . . . . . . . 9 𝐴𝐵 ∈ ℝ+
7 rpre 13043 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 ∈ ℝ+𝐴𝐵 ∈ ℝ)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 ∈ ℝ
98recni 11275 . . . . . . 7 𝐴𝐵 ∈ ℂ
10 10re 12752 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℝ
1110, 2pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
12 elrp 13036 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
1311, 12mpbir 231 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ+
14 dpexpp1.p . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ ℤ
15 rpexpcl 14121 . . . . . . . . 9 ((10 ∈ ℝ+𝑃 ∈ ℤ) → (10↑𝑃) ∈ ℝ+)
1613, 14, 15mp2an 692 . . . . . . . 8 (10↑𝑃) ∈ ℝ+
17 rpcn 13045 . . . . . . . 8 ((10↑𝑃) ∈ ℝ+ → (10↑𝑃) ∈ ℂ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (10↑𝑃) ∈ ℂ
199, 18mulcli 11268 . . . . . 6 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) ∈ ℂ
20 10nn0 12751 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
2120nn0cni 12538 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
2219, 21divcan1zi 12003 . . . . 5 (10 ≠ 0 → (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)))
233, 22ax-mp 5 . . . 4 (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃))
2421, 3pm3.2i 470 . . . . . 6 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
25 div23 11941 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑃) ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)) → ((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)))
269, 18, 24, 25mp3an 1463 . . . . 5 ((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃))
2726oveq1i 7441 . . . 4 (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10)
2823, 27eqtr3i 2767 . . 3 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) = (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10)
299, 21, 3divcli 12009 . . . 4 (𝐴𝐵 / 10) ∈ ℂ
3029, 18, 21mulassi 11272 . . 3 (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · ((10↑𝑃) · 10))
31 expp1z 14152 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (10↑(𝑃 + 1)) = ((10↑𝑃) · 10))
3221, 3, 14, 31mp3an 1463 . . . . 5 (10↑(𝑃 + 1)) = ((10↑𝑃) · 10)
33 dpexpp1.1 . . . . . 6 (𝑃 + 1) = 𝑄
3433oveq2i 7442 . . . . 5 (10↑(𝑃 + 1)) = (10↑𝑄)
3532, 34eqtr3i 2767 . . . 4 ((10↑𝑃) · 10) = (10↑𝑄)
3635oveq2i 7442 . . 3 ((𝐴𝐵 / 10) · ((10↑𝑃) · 10)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
3728, 30, 363eqtri 2769 . 2 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
384, 5dpval3rp 32882 . . 3 (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵
3938oveq1i 7441 . 2 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃))
40 0nn0 12541 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
4140, 6dpval3rp 32882 . . . 4 (0.𝐴𝐵) = 0𝐴𝐵
426dp20h 32861 . . . 4 0𝐴𝐵 = (𝐴𝐵 / 10)
4341, 42eqtri 2765 . . 3 (0.𝐴𝐵) = (𝐴𝐵 / 10)
4443oveq1i 7441 . 2 ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
4537, 39, 443eqtr4i 2775 1 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   / cdiv 11920  0cn0 12526  cz 12613  cdc 12733  +crp 13034  cexp 14102  cdp2 32853  .cdp 32870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-dp2 32854  df-dp 32871
This theorem is referenced by:  0dp2dp  32891  hgt750lemd  34663  hgt750lem  34666
  Copyright terms: Public domain W3C validator