Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpexpp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpexpp1 30610
 Description: Add one zero to the mantisse, and a one to the exponent in a scientific notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpexpp1.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpexpp1.b 𝐵 ∈ ℝ+
dpexpp1.1 (𝑃 + 1) = 𝑄
dpexpp1.p 𝑃 ∈ ℤ
dpexpp1.q 𝑄 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dpexpp1 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄))

Proof of Theorem dpexpp1
StepHypRef Expression
1 0re 10632 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 10pos 12103 . . . . . 6 0 < 10
31, 2gtneii 10741 . . . . 5 10 ≠ 0
4 dpexpp1.a . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℕ0
5 dpexpp1.b . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ ℝ+
64, 5rpdp2cl 30584 . . . . . . . . 9 𝐴𝐵 ∈ ℝ+
7 rpre 12385 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 ∈ ℝ+𝐴𝐵 ∈ ℝ)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 ∈ ℝ
98recni 10644 . . . . . . 7 𝐴𝐵 ∈ ℂ
10 10re 12105 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℝ
1110, 2pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
12 elrp 12379 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
1311, 12mpbir 234 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ+
14 dpexpp1.p . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ ℤ
15 rpexpcl 13444 . . . . . . . . 9 ((10 ∈ ℝ+𝑃 ∈ ℤ) → (10↑𝑃) ∈ ℝ+)
1613, 14, 15mp2an 691 . . . . . . . 8 (10↑𝑃) ∈ ℝ+
17 rpcn 12387 . . . . . . . 8 ((10↑𝑃) ∈ ℝ+ → (10↑𝑃) ∈ ℂ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (10↑𝑃) ∈ ℂ
199, 18mulcli 10637 . . . . . 6 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) ∈ ℂ
20 10nn0 12104 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
2120nn0cni 11897 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
2219, 21divcan1zi 11365 . . . . 5 (10 ≠ 0 → (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)))
233, 22ax-mp 5 . . . 4 (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃))
2421, 3pm3.2i 474 . . . . . 6 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
25 div23 11306 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑃) ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)) → ((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)))
269, 18, 24, 25mp3an 1458 . . . . 5 ((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃))
2726oveq1i 7145 . . . 4 (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10)
2823, 27eqtr3i 2823 . . 3 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) = (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10)
299, 21, 3divcli 11371 . . . 4 (𝐴𝐵 / 10) ∈ ℂ
3029, 18, 21mulassi 10641 . . 3 (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · ((10↑𝑃) · 10))
31 expp1z 13474 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (10↑(𝑃 + 1)) = ((10↑𝑃) · 10))
3221, 3, 14, 31mp3an 1458 . . . . 5 (10↑(𝑃 + 1)) = ((10↑𝑃) · 10)
33 dpexpp1.1 . . . . . 6 (𝑃 + 1) = 𝑄
3433oveq2i 7146 . . . . 5 (10↑(𝑃 + 1)) = (10↑𝑄)
3532, 34eqtr3i 2823 . . . 4 ((10↑𝑃) · 10) = (10↑𝑄)
3635oveq2i 7146 . . 3 ((𝐴𝐵 / 10) · ((10↑𝑃) · 10)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
3728, 30, 363eqtri 2825 . 2 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
384, 5dpval3rp 30602 . . 3 (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵
3938oveq1i 7145 . 2 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃))
40 0nn0 11900 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
4140, 6dpval3rp 30602 . . . 4 (0.𝐴𝐵) = 0𝐴𝐵
426dp20h 30581 . . . 4 0𝐴𝐵 = (𝐴𝐵 / 10)
4341, 42eqtri 2821 . . 3 (0.𝐴𝐵) = (𝐴𝐵 / 10)
4443oveq1i 7145 . 2 ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
4537, 39, 443eqtr4i 2831 1 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   / cdiv 11286  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  ;cdc 12086  ℝ+crp 12377  ↑cexp 13425  _cdp2 30573  .cdp 30590 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-dp2 30574  df-dp 30591 This theorem is referenced by:  0dp2dp  30611  hgt750lemd  32029  hgt750lem  32032
 Copyright terms: Public domain W3C validator