Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpexpp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpexpp1 32509
Description: Add one zero to the mantisse, and a one to the exponent in a scientific notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpexpp1.a ๐ด โˆˆ โ„•0
dpexpp1.b ๐ต โˆˆ โ„+
dpexpp1.1 (๐‘ƒ + 1) = ๐‘„
dpexpp1.p ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค
dpexpp1.q ๐‘„ โˆˆ โ„ค
Assertion
Ref Expression
dpexpp1 ((๐ด.๐ต) ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) = ((0.๐ด๐ต) ยท (10โ†‘๐‘„))

Proof of Theorem dpexpp1
StepHypRef Expression
1 0re 11223 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
2 10pos 12701 . . . . . 6 0 < 10
31, 2gtneii 11333 . . . . 5 10 โ‰  0
4 dpexpp1.a . . . . . . . . . 10 ๐ด โˆˆ โ„•0
5 dpexpp1.b . . . . . . . . . 10 ๐ต โˆˆ โ„+
64, 5rpdp2cl 32483 . . . . . . . . 9 ๐ด๐ต โˆˆ โ„+
7 rpre 12989 . . . . . . . . 9 (๐ด๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด๐ต โˆˆ โ„)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 ๐ด๐ต โˆˆ โ„
98recni 11235 . . . . . . 7 ๐ด๐ต โˆˆ โ„‚
10 10re 12703 . . . . . . . . . . 11 10 โˆˆ โ„
1110, 2pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (10 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 10)
12 elrp 12983 . . . . . . . . . 10 (10 โˆˆ โ„+ โ†” (10 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 10))
1311, 12mpbir 230 . . . . . . . . 9 10 โˆˆ โ„+
14 dpexpp1.p . . . . . . . . 9 ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค
15 rpexpcl 14053 . . . . . . . . 9 ((10 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (10โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„+)
1613, 14, 15mp2an 689 . . . . . . . 8 (10โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„+
17 rpcn 12991 . . . . . . . 8 ((10โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„+ โ†’ (10โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (10โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
199, 18mulcli 11228 . . . . . 6 (๐ด๐ต ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) โˆˆ โ„‚
20 10nn0 12702 . . . . . . 7 10 โˆˆ โ„•0
2120nn0cni 12491 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„‚
2219, 21divcan1zi 11957 . . . . 5 (10 โ‰  0 โ†’ (((๐ด๐ต ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) / 10) ยท 10) = (๐ด๐ต ยท (10โ†‘๐‘ƒ)))
233, 22ax-mp 5 . . . 4 (((๐ด๐ต ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) / 10) ยท 10) = (๐ด๐ต ยท (10โ†‘๐‘ƒ))
2421, 3pm3.2i 470 . . . . . 6 (10 โˆˆ โ„‚ โˆง 10 โ‰  0)
25 div23 11898 . . . . . 6 ((๐ด๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (10โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โˆง (10 โˆˆ โ„‚ โˆง 10 โ‰  0)) โ†’ ((๐ด๐ต ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) / 10) = ((๐ด๐ต / 10) ยท (10โ†‘๐‘ƒ)))
269, 18, 24, 25mp3an 1460 . . . . 5 ((๐ด๐ต ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) / 10) = ((๐ด๐ต / 10) ยท (10โ†‘๐‘ƒ))
2726oveq1i 7422 . . . 4 (((๐ด๐ต ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) / 10) ยท 10) = (((๐ด๐ต / 10) ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) ยท 10)
2823, 27eqtr3i 2761 . . 3 (๐ด๐ต ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) = (((๐ด๐ต / 10) ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) ยท 10)
299, 21, 3divcli 11963 . . . 4 (๐ด๐ต / 10) โˆˆ โ„‚
3029, 18, 21mulassi 11232 . . 3 (((๐ด๐ต / 10) ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) ยท 10) = ((๐ด๐ต / 10) ยท ((10โ†‘๐‘ƒ) ยท 10))
31 expp1z 14084 . . . . . 6 ((10 โˆˆ โ„‚ โˆง 10 โ‰  0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (10โ†‘(๐‘ƒ + 1)) = ((10โ†‘๐‘ƒ) ยท 10))
3221, 3, 14, 31mp3an 1460 . . . . 5 (10โ†‘(๐‘ƒ + 1)) = ((10โ†‘๐‘ƒ) ยท 10)
33 dpexpp1.1 . . . . . 6 (๐‘ƒ + 1) = ๐‘„
3433oveq2i 7423 . . . . 5 (10โ†‘(๐‘ƒ + 1)) = (10โ†‘๐‘„)
3532, 34eqtr3i 2761 . . . 4 ((10โ†‘๐‘ƒ) ยท 10) = (10โ†‘๐‘„)
3635oveq2i 7423 . . 3 ((๐ด๐ต / 10) ยท ((10โ†‘๐‘ƒ) ยท 10)) = ((๐ด๐ต / 10) ยท (10โ†‘๐‘„))
3728, 30, 363eqtri 2763 . 2 (๐ด๐ต ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) = ((๐ด๐ต / 10) ยท (10โ†‘๐‘„))
384, 5dpval3rp 32501 . . 3 (๐ด.๐ต) = ๐ด๐ต
3938oveq1i 7422 . 2 ((๐ด.๐ต) ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) = (๐ด๐ต ยท (10โ†‘๐‘ƒ))
40 0nn0 12494 . . . . 5 0 โˆˆ โ„•0
4140, 6dpval3rp 32501 . . . 4 (0.๐ด๐ต) = 0๐ด๐ต
426dp20h 32480 . . . 4 0๐ด๐ต = (๐ด๐ต / 10)
4341, 42eqtri 2759 . . 3 (0.๐ด๐ต) = (๐ด๐ต / 10)
4443oveq1i 7422 . 2 ((0.๐ด๐ต) ยท (10โ†‘๐‘„)) = ((๐ด๐ต / 10) ยท (10โ†‘๐‘„))
4537, 39, 443eqtr4i 2769 1 ((๐ด.๐ต) ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) = ((0.๐ด๐ต) ยท (10โ†‘๐‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11114  โ„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   ยท cmul 11121   < clt 11255   / cdiv 11878  โ„•0cn0 12479  โ„คcz 12565  cdc 12684  โ„+crp 12981  โ†‘cexp 14034  cdp2 32472  .cdp 32489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-dp2 32473  df-dp 32490
This theorem is referenced by:  0dp2dp  32510  hgt750lemd  34126  hgt750lem  34129
  Copyright terms: Public domain W3C validator