Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpexpp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpexpp1 31945
Description: Add one zero to the mantisse, and a one to the exponent in a scientific notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpexpp1.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpexpp1.b 𝐵 ∈ ℝ+
dpexpp1.1 (𝑃 + 1) = 𝑄
dpexpp1.p 𝑃 ∈ ℤ
dpexpp1.q 𝑄 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dpexpp1 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄))

Proof of Theorem dpexpp1
StepHypRef Expression
1 0re 11198 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 10pos 12676 . . . . . 6 0 < 10
31, 2gtneii 11308 . . . . 5 10 ≠ 0
4 dpexpp1.a . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℕ0
5 dpexpp1.b . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ ℝ+
64, 5rpdp2cl 31919 . . . . . . . . 9 𝐴𝐵 ∈ ℝ+
7 rpre 12964 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 ∈ ℝ+𝐴𝐵 ∈ ℝ)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 ∈ ℝ
98recni 11210 . . . . . . 7 𝐴𝐵 ∈ ℂ
10 10re 12678 . . . . . . . . . . 11 10 ∈ ℝ
1110, 2pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
12 elrp 12958 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
1311, 12mpbir 230 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ+
14 dpexpp1.p . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ ℤ
15 rpexpcl 14028 . . . . . . . . 9 ((10 ∈ ℝ+𝑃 ∈ ℤ) → (10↑𝑃) ∈ ℝ+)
1613, 14, 15mp2an 690 . . . . . . . 8 (10↑𝑃) ∈ ℝ+
17 rpcn 12966 . . . . . . . 8 ((10↑𝑃) ∈ ℝ+ → (10↑𝑃) ∈ ℂ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (10↑𝑃) ∈ ℂ
199, 18mulcli 11203 . . . . . 6 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) ∈ ℂ
20 10nn0 12677 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
2120nn0cni 12466 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
2219, 21divcan1zi 11932 . . . . 5 (10 ≠ 0 → (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)))
233, 22ax-mp 5 . . . 4 (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃))
2421, 3pm3.2i 471 . . . . . 6 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
25 div23 11873 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑃) ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)) → ((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)))
269, 18, 24, 25mp3an 1461 . . . . 5 ((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃))
2726oveq1i 7403 . . . 4 (((𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) / 10) · 10) = (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10)
2823, 27eqtr3i 2761 . . 3 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) = (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10)
299, 21, 3divcli 11938 . . . 4 (𝐴𝐵 / 10) ∈ ℂ
3029, 18, 21mulassi 11207 . . 3 (((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑃)) · 10) = ((𝐴𝐵 / 10) · ((10↑𝑃) · 10))
31 expp1z 14059 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (10↑(𝑃 + 1)) = ((10↑𝑃) · 10))
3221, 3, 14, 31mp3an 1461 . . . . 5 (10↑(𝑃 + 1)) = ((10↑𝑃) · 10)
33 dpexpp1.1 . . . . . 6 (𝑃 + 1) = 𝑄
3433oveq2i 7404 . . . . 5 (10↑(𝑃 + 1)) = (10↑𝑄)
3532, 34eqtr3i 2761 . . . 4 ((10↑𝑃) · 10) = (10↑𝑄)
3635oveq2i 7404 . . 3 ((𝐴𝐵 / 10) · ((10↑𝑃) · 10)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
3728, 30, 363eqtri 2763 . 2 (𝐴𝐵 · (10↑𝑃)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
384, 5dpval3rp 31937 . . 3 (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵
3938oveq1i 7403 . 2 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = (𝐴𝐵 · (10↑𝑃))
40 0nn0 12469 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
4140, 6dpval3rp 31937 . . . 4 (0.𝐴𝐵) = 0𝐴𝐵
426dp20h 31916 . . . 4 0𝐴𝐵 = (𝐴𝐵 / 10)
4341, 42eqtri 2759 . . 3 (0.𝐴𝐵) = (𝐴𝐵 / 10)
4443oveq1i 7403 . 2 ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄)) = ((𝐴𝐵 / 10) · (10↑𝑄))
4537, 39, 443eqtr4i 2769 1 ((𝐴.𝐵) · (10↑𝑃)) = ((0.𝐴𝐵) · (10↑𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097   < clt 11230   / cdiv 11853  0cn0 12454  cz 12540  cdc 12659  +crp 12956  cexp 14009  cdp2 31908  .cdp 31925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-rp 12957  df-seq 13949  df-exp 14010  df-dp2 31909  df-dp 31926
This theorem is referenced by:  0dp2dp  31946  hgt750lemd  33491  hgt750lem  33494
  Copyright terms: Public domain W3C validator