Theorem slotsdifplendx2 17613

Description: The index of the slot for the "less than or equal to" ordering is not the index of other slots. Formerly part of proof for prstcleval 50896. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifplendx2	⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifplendx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10re 12861	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
2		1nn0 12646	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		0nn0 12645	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		5nn 12453	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		5pos 12479	. . . . 5 ⊢ 0 < 5
6	2, 3, 4, 5	declt 12871	. . . 4 ⊢ ;10 < ;15
7	1, 6	ltneii 11447	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;15
8		plendx 17563	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		ccondx 17610	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
10	8, 9	neeq12i 3025	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;15)
11	7, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
12		4nn 12450	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		4pos 12477	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
14	2, 3, 12, 13	declt 12871	. . . 4 ⊢ ;10 < ;14
15	1, 14	ltneii 11447	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;14
16		homndx 17608	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
17	8, 16	neeq12i 3025	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;14)
18	15, 17	mpbir 234	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
19	11, 18	pm3.2i 476	1 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ≠ wne 2959  ‘cfv 6555  0cc0 11224  1c1 11225  4c4 12423  5c5 12424  ;cdc 12838  ndxcnx 17397  lecple 17461  Hom chom 17465  compcco 17466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-dec 12839  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-ple 17474  df-hom 17478  df-cco 17479

This theorem is used by:  prstcleval  50896