Theorem slotsdifplendx2 17367

Description: The index of the slot for the "less than or equal to" ordering is not the index of other slots. Formerly part of proof for prstcleval 47776. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifplendx2	⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifplendx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10re 12701	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
2		1nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		0nn0 12492	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		5nn 12303	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		5pos 12326	. . . . 5 ⊢ 0 < 5
6	2, 3, 4, 5	declt 12710	. . . 4 ⊢ ;10 < ;15
7	1, 6	ltneii 11332	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;15
8		plendx 17316	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		ccondx 17363	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
10	8, 9	neeq12i 3006	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;15)
11	7, 10	mpbir 230	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
12		4nn 12300	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		4pos 12324	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
14	2, 3, 12, 13	declt 12710	. . . 4 ⊢ ;10 < ;14
15	1, 14	ltneii 11332	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;14
16		homndx 17361	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
17	8, 16	neeq12i 3006	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;14)
18	15, 17	mpbir 230	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
19	11, 18	pm3.2i 470	1 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2939  ‘cfv 6543  0cc0 11114  1c1 11115  4c4 12274  5c5 12275  ;cdc 12682  ndxcnx 17131  lecple 17209  Hom chom 17213  compcco 17214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-dec 12683  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-ple 17222  df-hom 17226  df-cco 17227

This theorem is referenced by:  prstcleval  47776