Theorem slotsdifplendx2 17357

Description: The index of the slot for the "less than or equal to" ordering is not the index of other slots. Formerly part of proof for prstcleval 49539. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifplendx2	⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifplendx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10re 12647	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
2		1nn0 12437	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		0nn0 12436	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		5nn 12251	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		5pos 12274	. . . . 5 ⊢ 0 < 5
6	2, 3, 4, 5	declt 12656	. . . 4 ⊢ ;10 < ;15
7	1, 6	ltneii 11266	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;15
8		plendx 17307	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		ccondx 17354	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
10	8, 9	neeq12i 2991	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;15)
11	7, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
12		4nn 12248	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		4pos 12272	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
14	2, 3, 12, 13	declt 12656	. . . 4 ⊢ ;10 < ;14
15	1, 14	ltneii 11266	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;14
16		homndx 17352	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
17	8, 16	neeq12i 2991	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;14)
18	15, 17	mpbir 231	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
19	11, 18	pm3.2i 470	1 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2925  ‘cfv 6500  0cc0 11047  1c1 11048  4c4 12222  5c5 12223  ;cdc 12628  ndxcnx 17141  lecple 17205  Hom chom 17209  compcco 17210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-4 12230  df-5 12231  df-6 12232  df-7 12233  df-8 12234  df-9 12235  df-n0 12422  df-dec 12629  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-ple 17218  df-hom 17222  df-cco 17223

This theorem is referenced by:  prstcleval  49539