Theorem slotsdifplendx2 17117

Description: The index of the slot for the "less than or equal to" ordering is not the index of other slots. Formerly part of proof for prstcleval 46310. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifplendx2	⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifplendx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10re 12447	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
2		1nn0 12241	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		0nn0 12240	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		5nn 12051	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		5pos 12074	. . . . 5 ⊢ 0 < 5
6	2, 3, 4, 5	declt 12456	. . . 4 ⊢ ;10 < ;15
7	1, 6	ltneii 11080	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;15
8		plendx 17066	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		ccondx 17113	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
10	8, 9	neeq12i 3012	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;15)
11	7, 10	mpbir 230	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
12		4nn 12048	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		4pos 12072	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
14	2, 3, 12, 13	declt 12456	. . . 4 ⊢ ;10 < ;14
15	1, 14	ltneii 11080	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;14
16		homndx 17111	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
17	8, 16	neeq12i 3012	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;14)
18	15, 17	mpbir 230	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
19	11, 18	pm3.2i 471	1 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ≠ wne 2945  ‘cfv 6431  0cc0 10864  1c1 10865  4c4 12022  5c5 12023  ;cdc 12428  ndxcnx 16884  lecple 16959  Hom chom 16963  compcco 16964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-dec 12429  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-ple 16972  df-hom 16976  df-cco 16977

This theorem is referenced by:  prstcleval  46310