Theorem slotsdifplendx2 17368

Description: The index of the slot for the "less than or equal to" ordering is not the index of other slots. Formerly part of proof for prstcleval 50018. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifplendx2	⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifplendx2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10re 12652	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
2		1nn0 12442	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		0nn0 12441	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		5nn 12256	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		5pos 12279	. . . . 5 ⊢ 0 < 5
6	2, 3, 4, 5	declt 12661	. . . 4 ⊢ ;10 < ;15
7	1, 6	ltneii 11248	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;15
8		plendx 17318	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		ccondx 17365	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
10	8, 9	neeq12i 2996	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;15)
11	7, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
12		4nn 12253	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		4pos 12277	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
14	2, 3, 12, 13	declt 12661	. . . 4 ⊢ ;10 < ;14
15	1, 14	ltneii 11248	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;14
16		homndx 17363	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
17	8, 16	neeq12i 2996	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;14)
18	15, 17	mpbir 231	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
19	11, 18	pm3.2i 470	1 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2930  ‘cfv 6487  0cc0 11027  1c1 11028  4c4 12227  5c5 12228  ;cdc 12633  ndxcnx 17152  lecple 17216  Hom chom 17220  compcco 17221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-dec 12634  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-ple 17229  df-hom 17233  df-cco 17234

This theorem is referenced by:  prstcleval  50018