Theorem decnncl 12629

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12612	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12627	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12619	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2824	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ;cdc 12609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-dec 12610

This theorem is referenced by:  11prm  17044  13prm  17045  17prm  17046  19prm  17047  23prm  17048  37prm  17050  43prm  17051  83prm  17052  139prm  17053  163prm  17054  317prm  17055  631prm  17056  1259lem1  17060  1259lem2  17061  1259lem3  17062  1259lem4  17063  1259lem5  17064  1259prm  17065  2503lem1  17066  2503lem2  17067  2503lem3  17068  2503prm  17069  4001lem1  17070  4001lem2  17071  4001lem3  17072  4001lem4  17073  4001prm  17074  ocndx  17303  ocid  17304  dsndx  17307  dsid  17308  dsndxnn  17309  unifndx  17317  unifid  17318  unifndxnn  17319  slotsdifunifndx  17323  odrngstr  17325  homndx  17333  homid  17334  ccondx  17335  ccoid  17336  slotsdifocndx  17339  imasvalstr  17373  prdsvalstr  17374  catstr  17885  ipostr  18453  cnfldstr  21281  cnfldstrOLD  21296  mcubic  26773  cubic2  26774  cubic  26775  quart1cl  26780  quart1lem  26781  quart1  26782  quartlem1  26783  quartlem2  26784  log2ub  26875  log2le1  26876  birthday  26880  bposlem8  27218  bposlem9  27219  pntlemd  27521  pntlema  27523  pntlemb  27524  pntlemf  27532  pntlemo  27534  itvndx  28400  lngndx  28401  itvid  28402  lngid  28403  slotsinbpsd  28404  slotslnbpsd  28405  lngndxnitvndx  28406  trkgstr  28407  eengstr  28943  edgfid  28953  edgfndx  28954  edgfndxnn  28955  eufndx  33242  eufid  33243  12gcd5e1  41979  60gcd7e1  41981  420gcd8e4  41982  12lcm5e60  41984  60lcm7e420  41986  420lcm8e840  41987  lcmineqlem  42028  3lexlogpow5ineq1  42030  3lexlogpow5ineq2  42031  3lexlogpow5ineq4  42032  3lexlogpow2ineq1  42034  3lexlogpow2ineq2  42035  3lexlogpow5ineq5  42036  aks4d1p1p5  42051  aks4d1p1  42052  257prm  47549  fmtno4prmfac  47560  fmtno4prmfac193  47561  fmtno4nprmfac193  47562  fmtno5nprm  47571  139prmALT  47584  127prm  47587  3exp4mod41  47604  41prothprmlem2  47606  2exp340mod341  47721  341fppr2  47722  bgoldbtbndlem1  47793  tgblthelfgott  47803  tgoldbachlt  47804  tgoldbach  47805