Theorem decnncl 12119

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12102	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12117	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12109	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2909	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ;cdc 12099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-dec 12100

This theorem is referenced by:  11prm  16448  13prm  16449  17prm  16450  19prm  16451  23prm  16452  37prm  16454  43prm  16455  83prm  16456  139prm  16457  163prm  16458  317prm  16459  631prm  16460  1259lem1  16464  1259lem2  16465  1259lem3  16466  1259lem4  16467  1259lem5  16468  1259prm  16469  2503lem1  16470  2503lem2  16471  2503lem3  16472  2503prm  16473  4001lem1  16474  4001lem2  16475  4001lem3  16476  4001lem4  16477  4001prm  16478  ocndx  16673  ocid  16674  dsndx  16675  dsid  16676  unifndx  16677  unifid  16678  odrngstr  16679  ressds  16686  homndx  16687  homid  16688  ccondx  16689  ccoid  16690  resshom  16691  ressco  16692  imasvalstr  16725  prdsvalstr  16726  oppchomfval  16984  oppcbas  16988  rescco  17102  catstr  17227  ipostr  17763  mgpds  19249  srads  19958  cnfldstr  20547  ressunif  22871  tuslem  22876  tmslem  23092  mcubic  25425  cubic2  25426  cubic  25427  quart1cl  25432  quart1lem  25433  quart1  25434  quartlem1  25435  quartlem2  25436  log2ub  25527  log2le1  25528  birthday  25532  bposlem8  25867  bposlem9  25868  pntlemd  26170  pntlema  26172  pntlemb  26173  pntlemf  26181  pntlemo  26183  itvndx  26226  lngndx  26227  itvid  26228  lngid  26229  trkgstr  26230  ttgval  26661  ttglem  26662  ttgds  26667  eengstr  26766  edgfid  26776  edgfndxnn  26777  edgfndxid  26778  baseltedgf  26779  12gcd5e1  39124  60gcd7e1  39126  420gcd8e4  39127  12lcm5e60  39129  60lcm7e420  39131  420lcm8e840  39132  257prm  43772  fmtno4prmfac  43783  fmtno4prmfac193  43784  fmtno4nprmfac193  43785  fmtno5nprm  43794  139prmALT  43808  127prm  43812  3exp4mod41  43830  41prothprmlem2  43832  2exp340mod341  43947  341fppr2  43948  bgoldbtbndlem1  44019  tgblthelfgott  44029  tgoldbachlt  44030  tgoldbach  44031