Theorem decnncl 12627

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12610	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12625	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12617	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2832	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ;cdc 12607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-dec 12608

This theorem is referenced by:  11prm  17042  13prm  17043  17prm  17044  19prm  17045  23prm  17046  37prm  17048  43prm  17049  83prm  17050  139prm  17051  163prm  17052  317prm  17053  631prm  17054  1259lem1  17058  1259lem2  17059  1259lem3  17060  1259lem4  17061  1259lem5  17062  1259prm  17063  2503lem1  17064  2503lem2  17065  2503lem3  17066  2503prm  17067  4001lem1  17068  4001lem2  17069  4001lem3  17070  4001lem4  17071  4001prm  17072  ocndx  17301  ocid  17302  dsndx  17305  dsid  17306  dsndxnn  17307  unifndx  17315  unifid  17316  unifndxnn  17317  slotsdifunifndx  17321  odrngstr  17323  homndx  17331  homid  17332  ccondx  17333  ccoid  17334  slotsdifocndx  17337  imasvalstr  17371  prdsvalstr  17372  catstr  17884  ipostr  18452  cnfldstr  21311  cnfldstrOLD  21326  mcubic  26813  cubic2  26814  cubic  26815  quart1cl  26820  quart1lem  26821  quart1  26822  quartlem1  26823  quartlem2  26824  log2ub  26915  log2le1  26916  birthday  26920  bposlem8  27258  bposlem9  27259  pntlemd  27561  pntlema  27563  pntlemb  27564  pntlemf  27572  pntlemo  27574  itvndx  28509  lngndx  28510  itvid  28511  lngid  28512  slotsinbpsd  28513  slotslnbpsd  28514  lngndxnitvndx  28515  trkgstr  28516  eengstr  29053  edgfid  29063  edgfndx  29064  edgfndxnn  29065  eufndx  33372  eufid  33373  12gcd5e1  42257  60gcd7e1  42259  420gcd8e4  42260  12lcm5e60  42262  60lcm7e420  42264  420lcm8e840  42265  lcmineqlem  42306  3lexlogpow5ineq1  42308  3lexlogpow5ineq2  42309  3lexlogpow5ineq4  42310  3lexlogpow2ineq1  42312  3lexlogpow2ineq2  42313  3lexlogpow5ineq5  42314  aks4d1p1p5  42329  aks4d1p1  42330  257prm  47807  fmtno4prmfac  47818  fmtno4prmfac193  47819  fmtno4nprmfac193  47820  fmtno5nprm  47829  139prmALT  47842  127prm  47845  3exp4mod41  47862  41prothprmlem2  47864  2exp340mod341  47979  341fppr2  47980  bgoldbtbndlem1  48051  tgblthelfgott  48061  tgoldbachlt  48062  tgoldbach  48063