MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decnncl 12571
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
decnncl.2 ๐ต โˆˆ โ„•
Assertion
Ref Expression
decnncl ๐ด๐ต โˆˆ โ„•

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 dfdec10 12554 . 2 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
2 10nn0 12569 . . 3 10 โˆˆ โ„•0
3 decnncl.1 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•0
4 decnncl.2 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•
52, 3, 4numnncl 12561 . 2 ((10 ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•
61, 5eqeltri 2835 1 ๐ด๐ต โˆˆ โ„•
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7350  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990  โ„•cn 12087  โ„•0cn0 12347  cdc 12551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-dec 12552
This theorem is referenced by:  11prm  16922  13prm  16923  17prm  16924  19prm  16925  23prm  16926  37prm  16928  43prm  16929  83prm  16930  139prm  16931  163prm  16932  317prm  16933  631prm  16934  1259lem1  16938  1259lem2  16939  1259lem3  16940  1259lem4  16941  1259lem5  16942  1259prm  16943  2503lem1  16944  2503lem2  16945  2503lem3  16946  2503prm  16947  4001lem1  16948  4001lem2  16949  4001lem3  16950  4001lem4  16951  4001prm  16952  ocndx  17197  ocid  17198  dsndx  17201  dsid  17202  dsndxnn  17203  unifndx  17211  unifid  17212  unifndxnn  17213  slotsdifunifndx  17217  odrngstr  17219  homndx  17227  homid  17228  ccondx  17229  ccoid  17230  slotsdifocndx  17234  imasvalstr  17268  prdsvalstr  17269  oppchomfvalOLD  17530  oppcbasOLD  17535  resccoOLD  17652  catstr  17780  ipostr  18353  mgpdsOLD  19839  sradsOLD  20578  cnfldstr  20721  tuslemOLD  23541  tmslemOLD  23760  mcubic  26119  cubic2  26120  cubic  26121  quart1cl  26126  quart1lem  26127  quart1  26128  quartlem1  26129  quartlem2  26130  log2ub  26221  log2le1  26222  birthday  26226  bposlem8  26561  bposlem9  26562  pntlemd  26864  pntlema  26866  pntlemb  26867  pntlemf  26875  pntlemo  26877  itvndx  27165  lngndx  27166  itvid  27167  lngid  27168  slotsinbpsd  27169  slotslnbpsd  27170  lngndxnitvndx  27171  trkgstr  27172  ttgvalOLD  27604  ttglemOLD  27606  ttgdsOLD  27615  eengstr  27715  edgfid  27725  edgfndx  27726  edgfndxnn  27727  edgfndxidOLD  27729  baseltedgfOLD  27731  12gcd5e1  40346  60gcd7e1  40348  420gcd8e4  40349  12lcm5e60  40351  60lcm7e420  40353  420lcm8e840  40354  lcmineqlem  40395  3lexlogpow5ineq1  40397  3lexlogpow5ineq2  40398  3lexlogpow5ineq4  40399  3lexlogpow2ineq1  40401  3lexlogpow2ineq2  40402  3lexlogpow5ineq5  40403  aks4d1p1p5  40418  aks4d1p1  40419  257prm  45471  fmtno4prmfac  45482  fmtno4prmfac193  45483  fmtno4nprmfac193  45484  fmtno5nprm  45493  139prmALT  45506  127prm  45509  3exp4mod41  45526  41prothprmlem2  45528  2exp340mod341  45643  341fppr2  45644  bgoldbtbndlem1  45715  tgblthelfgott  45725  tgoldbachlt  45726  tgoldbach  45727
  Copyright terms: Public domain W3C validator