Theorem decnncl 12819

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12798	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12817	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12805	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2857	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ;cdc 12795

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-dec 12796

This theorem is used by:  11nn  12820  11prm  17273  13prm  17274  17prm  17275  19prm  17276  23prm  17277  37prm  17279  43prm  17280  83prm  17281  139prm  17282  163prm  17283  317prm  17284  631prm  17285  1259lem1  17289  1259lem2  17290  1259lem3  17291  1259lem4  17292  1259lem5  17293  1259prm  17294  2503lem1  17295  2503lem2  17296  2503lem3  17297  2503prm  17298  4001lem1  17299  4001lem2  17300  4001lem3  17301  4001lem4  17302  4001prm  17303  ocndx  17532  ocid  17533  dsndx  17536  dsid  17537  dsndxnn  17538  unifndx  17546  unifid  17547  unifndxnn  17548  slotsdifunifndx  17552  odrngstr  17554  homndx  17562  homid  17563  ccondx  17564  ccoid  17565  slotsdifocndx  17568  imasvalstr  17602  prdsvalstr  17603  catstr  18115  ipostr  18683  cnfldstr  21660  mcubic  27157  cubic2  27158  cubic  27159  quart1cl  27164  quart1lem  27165  quart1  27166  quartlem1  27167  quartlem2  27168  log2ub  27259  log2le1  27260  birthday  27264  bposlem8  27600  bposlem9  27601  pntlemd  27903  pntlema  27905  pntlemb  27906  pntlemf  27914  pntlemo  27916  itvndx  28881  lngndx  28882  itvid  28883  lngid  28884  slotsinbpsd  28885  slotslnbpsd  28886  lngndxnitvndx  28887  trkgstr  28888  eengstr  29540  edgfid  29550  edgfndx  29551  edgfndxnn  29552  eufndx  33836  eufid  33837  12gcd5e1  43021  60gcd7e1  43023  420gcd8e4  43024  12lcm5e60  43026  60lcm7e420  43028  420lcm8e840  43029  lcmineqlem  43070  3lexlogpow5ineq1  43072  3lexlogpow5ineq2  43073  3lexlogpow2ineq1  43076  3lexlogpow2ineq2  43077  3lexlogpow5ineq5  43078  aks4d1p1p5  43093  aks4d1p1  43094  goldratmolem2  47877  257prm  48590  fmtno4prmfac  48601  fmtno4prmfac193  48602  fmtno4nprmfac193  48603  fmtno5nprm  48612  139prmALT  48625  127prm  48628  3exp4mod41  48645  41prothprmlem2  48647  2exp340mod341  48775  341fppr2  48776  bgoldbtbndlem1  48847  tgblthelfgott  48857  tgoldbachlt  48858  tgoldbach  48859