Theorem decnncl 12669

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12652	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12667	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12659	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2824	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-dec 12650

This theorem is referenced by:  11prm  17085  13prm  17086  17prm  17087  19prm  17088  23prm  17089  37prm  17091  43prm  17092  83prm  17093  139prm  17094  163prm  17095  317prm  17096  631prm  17097  1259lem1  17101  1259lem2  17102  1259lem3  17103  1259lem4  17104  1259lem5  17105  1259prm  17106  2503lem1  17107  2503lem2  17108  2503lem3  17109  2503prm  17110  4001lem1  17111  4001lem2  17112  4001lem3  17113  4001lem4  17114  4001prm  17115  ocndx  17344  ocid  17345  dsndx  17348  dsid  17349  dsndxnn  17350  unifndx  17358  unifid  17359  unifndxnn  17360  slotsdifunifndx  17364  odrngstr  17366  homndx  17374  homid  17375  ccondx  17376  ccoid  17377  slotsdifocndx  17380  imasvalstr  17414  prdsvalstr  17415  catstr  17922  ipostr  18488  cnfldstr  21266  cnfldstrOLD  21281  mcubic  26757  cubic2  26758  cubic  26759  quart1cl  26764  quart1lem  26765  quart1  26766  quartlem1  26767  quartlem2  26768  log2ub  26859  log2le1  26860  birthday  26864  bposlem8  27202  bposlem9  27203  pntlemd  27505  pntlema  27507  pntlemb  27508  pntlemf  27516  pntlemo  27518  itvndx  28364  lngndx  28365  itvid  28366  lngid  28367  slotsinbpsd  28368  slotslnbpsd  28369  lngndxnitvndx  28370  trkgstr  28371  eengstr  28907  edgfid  28917  edgfndx  28918  edgfndxnn  28919  eufndx  33240  eufid  33241  12gcd5e1  41991  60gcd7e1  41993  420gcd8e4  41994  12lcm5e60  41996  60lcm7e420  41998  420lcm8e840  41999  lcmineqlem  42040  3lexlogpow5ineq1  42042  3lexlogpow5ineq2  42043  3lexlogpow5ineq4  42044  3lexlogpow2ineq1  42046  3lexlogpow2ineq2  42047  3lexlogpow5ineq5  42048  aks4d1p1p5  42063  aks4d1p1  42064  257prm  47562  fmtno4prmfac  47573  fmtno4prmfac193  47574  fmtno4nprmfac193  47575  fmtno5nprm  47584  139prmALT  47597  127prm  47600  3exp4mod41  47617  41prothprmlem2  47619  2exp340mod341  47734  341fppr2  47735  bgoldbtbndlem1  47806  tgblthelfgott  47816  tgoldbachlt  47817  tgoldbach  47818