Theorem decnncl 12662

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12645	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12660	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12652	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2836	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ;cdc 12642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-dec 12643

This theorem is referenced by:  11prm  17083  13prm  17084  17prm  17085  19prm  17086  23prm  17087  37prm  17089  43prm  17090  83prm  17091  139prm  17092  163prm  17093  317prm  17094  631prm  17095  1259lem1  17099  1259lem2  17100  1259lem3  17101  1259lem4  17102  1259lem5  17103  1259prm  17104  2503lem1  17105  2503lem2  17106  2503lem3  17107  2503prm  17108  4001lem1  17109  4001lem2  17110  4001lem3  17111  4001lem4  17112  4001prm  17113  ocndx  17342  ocid  17343  dsndx  17346  dsid  17347  dsndxnn  17348  unifndx  17356  unifid  17357  unifndxnn  17358  slotsdifunifndx  17362  odrngstr  17364  homndx  17372  homid  17373  ccondx  17374  ccoid  17375  slotsdifocndx  17378  imasvalstr  17412  prdsvalstr  17413  catstr  17925  ipostr  18493  cnfldstr  21356  mcubic  26836  cubic2  26837  cubic  26838  quart1cl  26843  quart1lem  26844  quart1  26845  quartlem1  26846  quartlem2  26847  log2ub  26938  log2le1  26939  birthday  26943  bposlem8  27279  bposlem9  27280  pntlemd  27582  pntlema  27584  pntlemb  27585  pntlemf  27593  pntlemo  27595  itvndx  28530  lngndx  28531  itvid  28532  lngid  28533  slotsinbpsd  28534  slotslnbpsd  28535  lngndxnitvndx  28536  trkgstr  28537  eengstr  29074  edgfid  29084  edgfndx  29085  edgfndxnn  29086  eufndx  33381  eufid  33382  12gcd5e1  42495  60gcd7e1  42497  420gcd8e4  42498  12lcm5e60  42500  60lcm7e420  42502  420lcm8e840  42503  lcmineqlem  42544  3lexlogpow5ineq1  42546  3lexlogpow5ineq2  42547  3lexlogpow5ineq4  42548  3lexlogpow2ineq1  42550  3lexlogpow2ineq2  42551  3lexlogpow5ineq5  42552  aks4d1p1p5  42567  aks4d1p1  42568  goldratmolem2  47356  257prm  48046  fmtno4prmfac  48057  fmtno4prmfac193  48058  fmtno4nprmfac193  48059  fmtno5nprm  48068  139prmALT  48081  127prm  48084  3exp4mod41  48101  41prothprmlem2  48103  2exp340mod341  48231  341fppr2  48232  bgoldbtbndlem1  48303  tgblthelfgott  48313  tgoldbachlt  48314  tgoldbach  48315