Theorem decnncl 12681

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12664	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12679	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12671	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2829	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7394  0cc0 11094  1c1 11095   + caddc 11097   · cmul 11099  ℕcn 12196  ℕ₀cn0 12456  ;cdc 12661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7397  df-om 7840  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-ltxr 11237  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-dec 12662

This theorem is referenced by:  11prm  17032  13prm  17033  17prm  17034  19prm  17035  23prm  17036  37prm  17038  43prm  17039  83prm  17040  139prm  17041  163prm  17042  317prm  17043  631prm  17044  1259lem1  17048  1259lem2  17049  1259lem3  17050  1259lem4  17051  1259lem5  17052  1259prm  17053  2503lem1  17054  2503lem2  17055  2503lem3  17056  2503prm  17057  4001lem1  17058  4001lem2  17059  4001lem3  17060  4001lem4  17061  4001prm  17062  ocndx  17310  ocid  17311  dsndx  17314  dsid  17315  dsndxnn  17316  unifndx  17324  unifid  17325  unifndxnn  17326  slotsdifunifndx  17330  odrngstr  17332  homndx  17340  homid  17341  ccondx  17342  ccoid  17343  slotsdifocndx  17347  imasvalstr  17381  prdsvalstr  17382  oppchomfvalOLD  17643  oppcbasOLD  17648  resccoOLD  17765  catstr  17893  ipostr  18466  mgpdsOLD  19962  sradsOLD  20758  cnfldstr  20882  tuslemOLD  23703  tmslemOLD  23922  mcubic  26281  cubic2  26282  cubic  26283  quart1cl  26288  quart1lem  26289  quart1  26290  quartlem1  26291  quartlem2  26292  log2ub  26383  log2le1  26384  birthday  26388  bposlem8  26723  bposlem9  26724  pntlemd  27026  pntlema  27028  pntlemb  27029  pntlemf  27037  pntlemo  27039  itvndx  27617  lngndx  27618  itvid  27619  lngid  27620  slotsinbpsd  27621  slotslnbpsd  27622  lngndxnitvndx  27623  trkgstr  27624  ttgvalOLD  28056  ttglemOLD  28058  ttgdsOLD  28067  eengstr  28167  edgfid  28177  edgfndx  28178  edgfndxnn  28179  edgfndxidOLD  28181  baseltedgfOLD  28183  12gcd5e1  40737  60gcd7e1  40739  420gcd8e4  40740  12lcm5e60  40742  60lcm7e420  40744  420lcm8e840  40745  lcmineqlem  40786  3lexlogpow5ineq1  40788  3lexlogpow5ineq2  40789  3lexlogpow5ineq4  40790  3lexlogpow2ineq1  40792  3lexlogpow2ineq2  40793  3lexlogpow5ineq5  40794  aks4d1p1p5  40809  aks4d1p1  40810  257prm  46065  fmtno4prmfac  46076  fmtno4prmfac193  46077  fmtno4nprmfac193  46078  fmtno5nprm  46087  139prmALT  46100  127prm  46103  3exp4mod41  46120  41prothprmlem2  46122  2exp340mod341  46237  341fppr2  46238  bgoldbtbndlem1  46309  tgblthelfgott  46319  tgoldbachlt  46320  tgoldbach  46321