Theorem decnncl 12608

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12591	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12606	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12598	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2827	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ;cdc 12588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-dec 12589

This theorem is referenced by:  11prm  17026  13prm  17027  17prm  17028  19prm  17029  23prm  17030  37prm  17032  43prm  17033  83prm  17034  139prm  17035  163prm  17036  317prm  17037  631prm  17038  1259lem1  17042  1259lem2  17043  1259lem3  17044  1259lem4  17045  1259lem5  17046  1259prm  17047  2503lem1  17048  2503lem2  17049  2503lem3  17050  2503prm  17051  4001lem1  17052  4001lem2  17053  4001lem3  17054  4001lem4  17055  4001prm  17056  ocndx  17285  ocid  17286  dsndx  17289  dsid  17290  dsndxnn  17291  unifndx  17299  unifid  17300  unifndxnn  17301  slotsdifunifndx  17305  odrngstr  17307  homndx  17315  homid  17316  ccondx  17317  ccoid  17318  slotsdifocndx  17321  imasvalstr  17355  prdsvalstr  17356  catstr  17867  ipostr  18435  cnfldstr  21294  cnfldstrOLD  21309  mcubic  26785  cubic2  26786  cubic  26787  quart1cl  26792  quart1lem  26793  quart1  26794  quartlem1  26795  quartlem2  26796  log2ub  26887  log2le1  26888  birthday  26892  bposlem8  27230  bposlem9  27231  pntlemd  27533  pntlema  27535  pntlemb  27536  pntlemf  27544  pntlemo  27546  itvndx  28416  lngndx  28417  itvid  28418  lngid  28419  slotsinbpsd  28420  slotslnbpsd  28421  lngndxnitvndx  28422  trkgstr  28423  eengstr  28959  edgfid  28969  edgfndx  28970  edgfndxnn  28971  eufndx  33254  eufid  33255  12gcd5e1  42042  60gcd7e1  42044  420gcd8e4  42045  12lcm5e60  42047  60lcm7e420  42049  420lcm8e840  42050  lcmineqlem  42091  3lexlogpow5ineq1  42093  3lexlogpow5ineq2  42094  3lexlogpow5ineq4  42095  3lexlogpow2ineq1  42097  3lexlogpow2ineq2  42098  3lexlogpow5ineq5  42099  aks4d1p1p5  42114  aks4d1p1  42115  257prm  47598  fmtno4prmfac  47609  fmtno4prmfac193  47610  fmtno4nprmfac193  47611  fmtno5nprm  47620  139prmALT  47633  127prm  47636  3exp4mod41  47653  41prothprmlem2  47655  2exp340mod341  47770  341fppr2  47771  bgoldbtbndlem1  47842  tgblthelfgott  47852  tgoldbachlt  47853  tgoldbach  47854