Theorem decnncl 12736

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12715	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12734	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12722	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2859	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-dec 12713

This theorem is referenced by:  11nn  12737  11prm  17176  13prm  17177  17prm  17178  19prm  17179  23prm  17180  37prm  17182  43prm  17183  83prm  17184  139prm  17185  163prm  17186  317prm  17187  631prm  17188  1259lem1  17192  1259lem2  17193  1259lem3  17194  1259lem4  17195  1259lem5  17196  1259prm  17197  2503lem1  17198  2503lem2  17199  2503lem3  17200  2503prm  17201  4001lem1  17202  4001lem2  17203  4001lem3  17204  4001lem4  17205  4001prm  17206  ocndx  17435  ocid  17436  dsndx  17439  dsid  17440  dsndxnn  17441  unifndx  17449  unifid  17450  unifndxnn  17451  slotsdifunifndx  17455  odrngstr  17457  homndx  17465  homid  17466  ccondx  17467  ccoid  17468  slotsdifocndx  17471  imasvalstr  17505  prdsvalstr  17506  catstr  18018  ipostr  18586  cnfldstr  21505  mcubic  26993  cubic2  26994  cubic  26995  quart1cl  27000  quart1lem  27001  quart1  27002  quartlem1  27003  quartlem2  27004  log2ub  27095  log2le1  27096  birthday  27100  bposlem8  27436  bposlem9  27437  pntlemd  27739  pntlema  27741  pntlemb  27742  pntlemf  27750  pntlemo  27752  itvndx  28687  lngndx  28688  itvid  28689  lngid  28690  slotsinbpsd  28691  slotslnbpsd  28692  lngndxnitvndx  28693  trkgstr  28694  eengstr  29311  edgfid  29321  edgfndx  29322  edgfndxnn  29323  eufndx  33594  eufid  33595  12gcd5e1  42751  60gcd7e1  42753  420gcd8e4  42754  12lcm5e60  42756  60lcm7e420  42758  420lcm8e840  42759  lcmineqlem  42800  3lexlogpow5ineq1  42802  3lexlogpow5ineq2  42803  3lexlogpow2ineq1  42806  3lexlogpow2ineq2  42807  3lexlogpow5ineq5  42808  aks4d1p1p5  42823  aks4d1p1  42824  goldratmolem2  47606  257prm  48296  fmtno4prmfac  48307  fmtno4prmfac193  48308  fmtno4nprmfac193  48309  fmtno5nprm  48318  139prmALT  48331  127prm  48334  3exp4mod41  48351  41prothprmlem2  48353  2exp340mod341  48481  341fppr2  48482  bgoldbtbndlem1  48553  tgblthelfgott  48563  tgoldbachlt  48564  tgoldbach  48565