MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decnncl 12106
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
decnncl 𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 dfdec10 12089 . 2 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2 10nn0 12104 . . 3 10 ∈ ℕ0
3 decnncl.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decnncl.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ
52, 3, 4numnncl 12096 . 2 ((10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
61, 5eqeltri 2910 1 𝐴𝐵 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2114  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cn 11625  0cn0 11885  cdc 12086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087
This theorem is referenced by:  11prm  16439  13prm  16440  17prm  16441  19prm  16442  23prm  16443  37prm  16445  43prm  16446  83prm  16447  139prm  16448  163prm  16449  317prm  16450  631prm  16451  1259lem1  16455  1259lem2  16456  1259lem3  16457  1259lem4  16458  1259lem5  16459  1259prm  16460  2503lem1  16461  2503lem2  16462  2503lem3  16463  2503prm  16464  4001lem1  16465  4001lem2  16466  4001lem3  16467  4001lem4  16468  4001prm  16469  ocndx  16664  ocid  16665  dsndx  16666  dsid  16667  unifndx  16668  unifid  16669  odrngstr  16670  ressds  16677  homndx  16678  homid  16679  ccondx  16680  ccoid  16681  resshom  16682  ressco  16683  imasvalstr  16716  prdsvalstr  16717  oppchomfval  16975  oppcbas  16979  rescco  17093  catstr  17218  ipostr  17754  mgpds  19240  srads  19949  cnfldstr  20091  ressunif  22866  tuslem  22871  tmslem  23087  mcubic  25431  cubic2  25432  cubic  25433  quart1cl  25438  quart1lem  25439  quart1  25440  quartlem1  25441  quartlem2  25442  log2ub  25533  log2le1  25534  birthday  25538  bposlem8  25873  bposlem9  25874  pntlemd  26176  pntlema  26178  pntlemb  26179  pntlemf  26187  pntlemo  26189  itvndx  26232  lngndx  26233  itvid  26234  lngid  26235  trkgstr  26236  ttgval  26667  ttglem  26668  ttgds  26673  eengstr  26772  edgfid  26782  edgfndxnn  26783  edgfndxid  26784  baseltedgf  26785  12gcd5e1  39252  60gcd7e1  39254  420gcd8e4  39255  12lcm5e60  39257  60lcm7e420  39259  420lcm8e840  39260  lcmineqlem  39301  257prm  44017  fmtno4prmfac  44028  fmtno4prmfac193  44029  fmtno4nprmfac193  44030  fmtno5nprm  44039  139prmALT  44052  127prm  44055  3exp4mod41  44073  41prothprmlem2  44075  2exp340mod341  44190  341fppr2  44191  bgoldbtbndlem1  44262  tgblthelfgott  44272  tgoldbachlt  44273  tgoldbach  44274
  Copyright terms: Public domain W3C validator