Theorem decnncl 12701

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12684	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12699	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12691	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2827	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ;cdc 12681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-dec 12682

This theorem is referenced by:  11prm  17052  13prm  17053  17prm  17054  19prm  17055  23prm  17056  37prm  17058  43prm  17059  83prm  17060  139prm  17061  163prm  17062  317prm  17063  631prm  17064  1259lem1  17068  1259lem2  17069  1259lem3  17070  1259lem4  17071  1259lem5  17072  1259prm  17073  2503lem1  17074  2503lem2  17075  2503lem3  17076  2503prm  17077  4001lem1  17078  4001lem2  17079  4001lem3  17080  4001lem4  17081  4001prm  17082  ocndx  17330  ocid  17331  dsndx  17334  dsid  17335  dsndxnn  17336  unifndx  17344  unifid  17345  unifndxnn  17346  slotsdifunifndx  17350  odrngstr  17352  homndx  17360  homid  17361  ccondx  17362  ccoid  17363  slotsdifocndx  17367  imasvalstr  17401  prdsvalstr  17402  oppchomfvalOLD  17663  oppcbasOLD  17668  resccoOLD  17785  catstr  17913  ipostr  18486  mgpdsOLD  20042  sradsOLD  20952  cnfldstr  21146  tuslemOLD  23992  tmslemOLD  24211  mcubic  26588  cubic2  26589  cubic  26590  quart1cl  26595  quart1lem  26596  quart1  26597  quartlem1  26598  quartlem2  26599  log2ub  26690  log2le1  26691  birthday  26695  bposlem8  27030  bposlem9  27031  pntlemd  27333  pntlema  27335  pntlemb  27336  pntlemf  27344  pntlemo  27346  itvndx  27955  lngndx  27956  itvid  27957  lngid  27958  slotsinbpsd  27959  slotslnbpsd  27960  lngndxnitvndx  27961  trkgstr  27962  ttgvalOLD  28394  ttglemOLD  28396  ttgdsOLD  28405  eengstr  28505  edgfid  28515  edgfndx  28516  edgfndxnn  28517  edgfndxidOLD  28519  baseltedgfOLD  28521  eufndx  32660  eufid  32661  gg-cnfldstr  35474  12gcd5e1  41174  60gcd7e1  41176  420gcd8e4  41177  12lcm5e60  41179  60lcm7e420  41181  420lcm8e840  41182  lcmineqlem  41223  3lexlogpow5ineq1  41225  3lexlogpow5ineq2  41226  3lexlogpow5ineq4  41227  3lexlogpow2ineq1  41229  3lexlogpow2ineq2  41230  3lexlogpow5ineq5  41231  aks4d1p1p5  41246  aks4d1p1  41247  257prm  46527  fmtno4prmfac  46538  fmtno4prmfac193  46539  fmtno4nprmfac193  46540  fmtno5nprm  46549  139prmALT  46562  127prm  46565  3exp4mod41  46582  41prothprmlem2  46584  2exp340mod341  46699  341fppr2  46700  bgoldbtbndlem1  46771  tgblthelfgott  46781  tgoldbachlt  46782  tgoldbach  46783