Theorem decnncl 12753

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12736	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12751	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12743	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2837	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ;cdc 12733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-dec 12734

This theorem is referenced by:  11prm  17152  13prm  17153  17prm  17154  19prm  17155  23prm  17156  37prm  17158  43prm  17159  83prm  17160  139prm  17161  163prm  17162  317prm  17163  631prm  17164  1259lem1  17168  1259lem2  17169  1259lem3  17170  1259lem4  17171  1259lem5  17172  1259prm  17173  2503lem1  17174  2503lem2  17175  2503lem3  17176  2503prm  17177  4001lem1  17178  4001lem2  17179  4001lem3  17180  4001lem4  17181  4001prm  17182  ocndx  17425  ocid  17426  dsndx  17429  dsid  17430  dsndxnn  17431  unifndx  17439  unifid  17440  unifndxnn  17441  slotsdifunifndx  17445  odrngstr  17447  homndx  17455  homid  17456  ccondx  17457  ccoid  17458  slotsdifocndx  17462  imasvalstr  17496  prdsvalstr  17497  catstr  18005  ipostr  18574  sradsOLD  21192  cnfldstr  21366  cnfldstrOLD  21381  tuslemOLD  24276  tmslemOLD  24495  mcubic  26890  cubic2  26891  cubic  26892  quart1cl  26897  quart1lem  26898  quart1  26899  quartlem1  26900  quartlem2  26901  log2ub  26992  log2le1  26993  birthday  26997  bposlem8  27335  bposlem9  27336  pntlemd  27638  pntlema  27640  pntlemb  27641  pntlemf  27649  pntlemo  27651  itvndx  28445  lngndx  28446  itvid  28447  lngid  28448  slotsinbpsd  28449  slotslnbpsd  28450  lngndxnitvndx  28451  trkgstr  28452  ttgvalOLD  28884  ttglemOLD  28886  ttgdsOLD  28895  eengstr  28995  edgfid  29005  edgfndx  29006  edgfndxnn  29007  edgfndxidOLD  29009  baseltedgfOLD  29011  eufndx  33293  eufid  33294  12gcd5e1  42004  60gcd7e1  42006  420gcd8e4  42007  12lcm5e60  42009  60lcm7e420  42011  420lcm8e840  42012  lcmineqlem  42053  3lexlogpow5ineq1  42055  3lexlogpow5ineq2  42056  3lexlogpow5ineq4  42057  3lexlogpow2ineq1  42059  3lexlogpow2ineq2  42060  3lexlogpow5ineq5  42061  aks4d1p1p5  42076  aks4d1p1  42077  257prm  47548  fmtno4prmfac  47559  fmtno4prmfac193  47560  fmtno4nprmfac193  47561  fmtno5nprm  47570  139prmALT  47583  127prm  47586  3exp4mod41  47603  41prothprmlem2  47605  2exp340mod341  47720  341fppr2  47721  bgoldbtbndlem1  47792  tgblthelfgott  47802  tgoldbachlt  47803  tgoldbach  47804