Theorem decnncl 12106

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12089	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12104	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12096	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2886	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ;cdc 12086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087

This theorem is referenced by:  11prm  16440  13prm  16441  17prm  16442  19prm  16443  23prm  16444  37prm  16446  43prm  16447  83prm  16448  139prm  16449  163prm  16450  317prm  16451  631prm  16452  1259lem1  16456  1259lem2  16457  1259lem3  16458  1259lem4  16459  1259lem5  16460  1259prm  16461  2503lem1  16462  2503lem2  16463  2503lem3  16464  2503prm  16465  4001lem1  16466  4001lem2  16467  4001lem3  16468  4001lem4  16469  4001prm  16470  ocndx  16665  ocid  16666  dsndx  16667  dsid  16668  unifndx  16669  unifid  16670  odrngstr  16671  ressds  16678  homndx  16679  homid  16680  ccondx  16681  ccoid  16682  resshom  16683  ressco  16684  imasvalstr  16717  prdsvalstr  16718  oppchomfval  16976  oppcbas  16980  rescco  17094  catstr  17219  ipostr  17755  mgpds  19242  srads  19951  cnfldstr  20093  ressunif  22868  tuslem  22873  tmslem  23089  mcubic  25433  cubic2  25434  cubic  25435  quart1cl  25440  quart1lem  25441  quart1  25442  quartlem1  25443  quartlem2  25444  log2ub  25535  log2le1  25536  birthday  25540  bposlem8  25875  bposlem9  25876  pntlemd  26178  pntlema  26180  pntlemb  26181  pntlemf  26189  pntlemo  26191  itvndx  26234  lngndx  26235  itvid  26236  lngid  26237  trkgstr  26238  ttgval  26669  ttglem  26670  ttgds  26675  eengstr  26774  edgfid  26784  edgfndxnn  26785  edgfndxid  26786  baseltedgf  26787  12gcd5e1  39291  60gcd7e1  39293  420gcd8e4  39294  12lcm5e60  39296  60lcm7e420  39298  420lcm8e840  39299  lcmineqlem  39340  257prm  44078  fmtno4prmfac  44089  fmtno4prmfac193  44090  fmtno4nprmfac193  44091  fmtno5nprm  44100  139prmALT  44113  127prm  44116  3exp4mod41  44134  41prothprmlem2  44136  2exp340mod341  44251  341fppr2  44252  bgoldbtbndlem1  44323  tgblthelfgott  44333  tgoldbachlt  44334  tgoldbach  44335