Theorem decnncl 12739

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12718	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12737	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12725	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2859	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   · cmul 11109  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12508  ;cdc 12715

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-dec 12716

This theorem is used by:  11nn  12740  11prm  17179  13prm  17180  17prm  17181  19prm  17182  23prm  17183  37prm  17185  43prm  17186  83prm  17187  139prm  17188  163prm  17189  317prm  17190  631prm  17191  1259lem1  17195  1259lem2  17196  1259lem3  17197  1259lem4  17198  1259lem5  17199  1259prm  17200  2503lem1  17201  2503lem2  17202  2503lem3  17203  2503prm  17204  4001lem1  17205  4001lem2  17206  4001lem3  17207  4001lem4  17208  4001prm  17209  ocndx  17438  ocid  17439  dsndx  17442  dsid  17443  dsndxnn  17444  unifndx  17452  unifid  17453  unifndxnn  17454  slotsdifunifndx  17458  odrngstr  17460  homndx  17468  homid  17469  ccondx  17470  ccoid  17471  slotsdifocndx  17474  imasvalstr  17508  prdsvalstr  17509  catstr  18021  ipostr  18589  cnfldstr  21533  mcubic  27021  cubic2  27022  cubic  27023  quart1cl  27028  quart1lem  27029  quart1  27030  quartlem1  27031  quartlem2  27032  log2ub  27123  log2le1  27124  birthday  27128  bposlem8  27464  bposlem9  27465  pntlemd  27767  pntlema  27769  pntlemb  27770  pntlemf  27778  pntlemo  27780  itvndx  28715  lngndx  28716  itvid  28717  lngid  28718  slotsinbpsd  28719  slotslnbpsd  28720  lngndxnitvndx  28721  trkgstr  28722  eengstr  29339  edgfid  29349  edgfndx  29350  edgfndxnn  29351  eufndx  33622  eufid  33623  12gcd5e1  42798  60gcd7e1  42800  420gcd8e4  42801  12lcm5e60  42803  60lcm7e420  42805  420lcm8e840  42806  lcmineqlem  42847  3lexlogpow5ineq1  42849  3lexlogpow5ineq2  42850  3lexlogpow2ineq1  42853  3lexlogpow2ineq2  42854  3lexlogpow5ineq5  42855  aks4d1p1p5  42870  aks4d1p1  42871  goldratmolem2  47651  257prm  48341  fmtno4prmfac  48352  fmtno4prmfac193  48353  fmtno4nprmfac193  48354  fmtno5nprm  48363  139prmALT  48376  127prm  48379  3exp4mod41  48396  41prothprmlem2  48398  2exp340mod341  48526  341fppr2  48527  bgoldbtbndlem1  48598  tgblthelfgott  48608  tgoldbachlt  48609  tgoldbach  48610