Theorem decnncl 12457

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12440	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12455	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12447	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2835	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ;cdc 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-dec 12438

This theorem is referenced by:  11prm  16816  13prm  16817  17prm  16818  19prm  16819  23prm  16820  37prm  16822  43prm  16823  83prm  16824  139prm  16825  163prm  16826  317prm  16827  631prm  16828  1259lem1  16832  1259lem2  16833  1259lem3  16834  1259lem4  16835  1259lem5  16836  1259prm  16837  2503lem1  16838  2503lem2  16839  2503lem3  16840  2503prm  16841  4001lem1  16842  4001lem2  16843  4001lem3  16844  4001lem4  16845  4001prm  16846  ocndx  17091  ocid  17092  dsndx  17095  dsid  17096  dsndxnn  17097  unifndx  17105  unifid  17106  unifndxnn  17107  slotsdifunifndx  17111  odrngstr  17113  homndx  17121  homid  17122  ccondx  17123  ccoid  17124  slotsdifocndx  17128  imasvalstr  17162  prdsvalstr  17163  oppchomfvalOLD  17424  oppcbasOLD  17429  resccoOLD  17546  catstr  17674  ipostr  18247  mgpdsOLD  19734  sradsOLD  20456  cnfldstr  20599  tuslemOLD  23419  tmslemOLD  23638  mcubic  25997  cubic2  25998  cubic  25999  quart1cl  26004  quart1lem  26005  quart1  26006  quartlem1  26007  quartlem2  26008  log2ub  26099  log2le1  26100  birthday  26104  bposlem8  26439  bposlem9  26440  pntlemd  26742  pntlema  26744  pntlemb  26745  pntlemf  26753  pntlemo  26755  itvndx  26798  lngndx  26799  itvid  26800  lngid  26801  slotsinbpsd  26802  slotslnbpsd  26803  lngndxnitvndx  26804  trkgstr  26805  ttgvalOLD  27237  ttglemOLD  27239  ttgdsOLD  27248  eengstr  27348  edgfid  27358  edgfndx  27359  edgfndxnn  27360  edgfndxidOLD  27362  baseltedgfOLD  27364  12gcd5e1  40011  60gcd7e1  40013  420gcd8e4  40014  12lcm5e60  40016  60lcm7e420  40018  420lcm8e840  40019  lcmineqlem  40060  3lexlogpow5ineq1  40062  3lexlogpow5ineq2  40063  3lexlogpow5ineq4  40064  3lexlogpow2ineq1  40066  3lexlogpow2ineq2  40067  3lexlogpow5ineq5  40068  aks4d1p1p5  40083  aks4d1p1  40084  257prm  45013  fmtno4prmfac  45024  fmtno4prmfac193  45025  fmtno4nprmfac193  45026  fmtno5nprm  45035  139prmALT  45048  127prm  45051  3exp4mod41  45068  41prothprmlem2  45070  2exp340mod341  45185  341fppr2  45186  bgoldbtbndlem1  45257  tgblthelfgott  45267  tgoldbachlt  45268  tgoldbach  45269