MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decnncl 12571
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
decnncl.2 ๐ต โˆˆ โ„•
Assertion
Ref Expression
decnncl ๐ด๐ต โˆˆ โ„•

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 dfdec10 12554 . 2 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
2 10nn0 12569 . . 3 10 โˆˆ โ„•0
3 decnncl.1 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•0
4 decnncl.2 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•
52, 3, 4numnncl 12561 . 2 ((10 ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•
61, 5eqeltri 2835 1 ๐ด๐ต โˆˆ โ„•
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7350  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990  โ„•cn 12087  โ„•0cn0 12347  cdc 12551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-dec 12552
This theorem is referenced by:  11prm  16922  13prm  16923  17prm  16924  19prm  16925  23prm  16926  37prm  16928  43prm  16929  83prm  16930  139prm  16931  163prm  16932  317prm  16933  631prm  16934  1259lem1  16938  1259lem2  16939  1259lem3  16940  1259lem4  16941  1259lem5  16942  1259prm  16943  2503lem1  16944  2503lem2  16945  2503lem3  16946  2503prm  16947  4001lem1  16948  4001lem2  16949  4001lem3  16950  4001lem4  16951  4001prm  16952  ocndx  17197  ocid  17198  dsndx  17201  dsid  17202  dsndxnn  17203  unifndx  17211  unifid  17212  unifndxnn  17213  slotsdifunifndx  17217  odrngstr  17219  homndx  17227  homid  17228  ccondx  17229  ccoid  17230  slotsdifocndx  17234  imasvalstr  17268  prdsvalstr  17269  oppchomfvalOLD  17530  oppcbasOLD  17535  resccoOLD  17652  catstr  17780  ipostr  18353  mgpdsOLD  19840  sradsOLD  20579  cnfldstr  20722  tuslemOLD  23542  tmslemOLD  23761  mcubic  26120  cubic2  26121  cubic  26122  quart1cl  26127  quart1lem  26128  quart1  26129  quartlem1  26130  quartlem2  26131  log2ub  26222  log2le1  26223  birthday  26227  bposlem8  26562  bposlem9  26563  pntlemd  26865  pntlema  26867  pntlemb  26868  pntlemf  26876  pntlemo  26878  itvndx  27178  lngndx  27179  itvid  27180  lngid  27181  slotsinbpsd  27182  slotslnbpsd  27183  lngndxnitvndx  27184  trkgstr  27185  ttgvalOLD  27617  ttglemOLD  27619  ttgdsOLD  27628  eengstr  27728  edgfid  27738  edgfndx  27739  edgfndxnn  27740  edgfndxidOLD  27742  baseltedgfOLD  27744  12gcd5e1  40356  60gcd7e1  40358  420gcd8e4  40359  12lcm5e60  40361  60lcm7e420  40363  420lcm8e840  40364  lcmineqlem  40405  3lexlogpow5ineq1  40407  3lexlogpow5ineq2  40408  3lexlogpow5ineq4  40409  3lexlogpow2ineq1  40411  3lexlogpow2ineq2  40412  3lexlogpow5ineq5  40413  aks4d1p1p5  40428  aks4d1p1  40429  257prm  45503  fmtno4prmfac  45514  fmtno4prmfac193  45515  fmtno4nprmfac193  45516  fmtno5nprm  45525  139prmALT  45538  127prm  45541  3exp4mod41  45558  41prothprmlem2  45560  2exp340mod341  45675  341fppr2  45676  bgoldbtbndlem1  45747  tgblthelfgott  45757  tgoldbachlt  45758  tgoldbach  45759
  Copyright terms: Public domain W3C validator