Theorem decnncl 12841

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12820	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12839	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12827	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2856	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ;cdc 12817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-dec 12818

This theorem is used by:  11nn  12842  11prm  17298  13prm  17299  17prm  17300  19prm  17301  23prm  17302  37prm  17304  43prm  17305  83prm  17306  139prm  17307  163prm  17308  317prm  17309  631prm  17310  1259lem1  17314  1259lem2  17315  1259lem3  17316  1259lem4  17317  1259lem5  17318  1259prm  17319  2503lem1  17320  2503lem2  17321  2503lem3  17322  2503prm  17323  4001lem1  17324  4001lem2  17325  4001lem3  17326  4001lem4  17327  4001prm  17328  ocndx  17557  ocid  17558  dsndx  17561  dsid  17562  dsndxnn  17563  unifndx  17571  unifid  17572  unifndxnn  17573  slotsdifunifndx  17577  odrngstr  17579  homndx  17587  homid  17588  ccondx  17589  ccoid  17590  slotsdifocndx  17593  imasvalstr  17627  prdsvalstr  17628  catstr  18140  ipostr  18708  cnfldstr  21685  mcubic  27180  cubic2  27181  cubic  27182  quart1cl  27187  quart1lem  27188  quart1  27189  quartlem1  27190  quartlem2  27191  log2ub  27282  log2le1  27283  birthday  27287  bposlem8  27623  bposlem9  27624  pntlemd  27926  pntlema  27928  pntlemb  27929  pntlemf  27937  pntlemo  27939  itvndx  28904  lngndx  28905  itvid  28906  lngid  28907  slotsinbpsd  28908  slotslnbpsd  28909  lngndxnitvndx  28910  trkgstr  28911  eengstr  29563  edgfid  29573  edgfndx  29574  edgfndxnn  29575  eufndx  33900  eufid  33901  12gcd5e1  43146  60gcd7e1  43148  420gcd8e4  43149  12lcm5e60  43151  60lcm7e420  43153  420lcm8e840  43154  lcmineqlem  43195  3lexlogpow5ineq1  43197  3lexlogpow5ineq2  43198  3lexlogpow2ineq1  43201  3lexlogpow2ineq2  43202  3lexlogpow5ineq5  43203  aks4d1p1p5  43218  aks4d1p1  43219  goldratmolem2  48026  257prm  48739  fmtno4prmfac  48750  fmtno4prmfac193  48751  fmtno4nprmfac193  48752  fmtno5nprm  48761  139prmALT  48774  127prm  48777  3exp4mod41  48794  41prothprmlem2  48796  2exp340mod341  48924  341fppr2  48925  bgoldbtbndlem1  48996  tgblthelfgott  49006  tgoldbachlt  49007  tgoldbach  49008