Theorem decnncl 12865

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12844	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12863	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12851	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2860	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ;cdc 12841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-dec 12842

This theorem is used by:  11nn  12866  11prm  17322  13prm  17323  17prm  17324  19prm  17325  23prm  17326  37prm  17328  43prm  17329  83prm  17330  139prm  17331  163prm  17332  317prm  17333  631prm  17334  1259lem1  17338  1259lem2  17339  1259lem3  17340  1259lem4  17341  1259lem5  17342  1259prm  17343  2503lem1  17344  2503lem2  17345  2503lem3  17346  2503prm  17347  4001lem1  17348  4001lem2  17349  4001lem3  17350  4001lem4  17351  4001prm  17352  ocndx  17581  ocid  17582  dsndx  17585  dsid  17586  dsndxnn  17587  unifndx  17595  unifid  17596  unifndxnn  17597  slotsdifunifndx  17601  odrngstr  17603  homndx  17611  homid  17612  ccondx  17613  ccoid  17614  slotsdifocndx  17617  imasvalstr  17651  prdsvalstr  17652  catstr  18164  ipostr  18732  cnfldstr  21710  mcubic  27205  cubic2  27206  cubic  27207  quart1cl  27212  quart1lem  27213  quart1  27214  quartlem1  27215  quartlem2  27216  log2ub  27307  log2le1  27308  birthday  27312  bposlem8  27648  bposlem9  27649  pntlemd  27951  pntlema  27953  pntlemb  27954  pntlemf  27962  pntlemo  27964  itvndx  28929  lngndx  28930  itvid  28931  lngid  28932  slotsinbpsd  28933  slotslnbpsd  28934  lngndxnitvndx  28935  trkgstr  28936  eengstr  29588  edgfid  29598  edgfndx  29599  edgfndxnn  29600  eufndx  33924  eufid  33925  12gcd5e1  43245  60gcd7e1  43247  420gcd8e4  43248  12lcm5e60  43250  60lcm7e420  43252  420lcm8e840  43253  lcmineqlem  43294  3lexlogpow5ineq1  43296  3lexlogpow5ineq2  43297  3lexlogpow2ineq1  43300  3lexlogpow2ineq2  43301  3lexlogpow5ineq5  43302  aks4d1p1p5  43317  aks4d1p1  43318  goldratmolem2  48138  257prm  48851  fmtno4prmfac  48862  fmtno4prmfac193  48863  fmtno4nprmfac193  48864  fmtno5nprm  48873  139prmALT  48886  127prm  48889  3exp4mod41  48906  41prothprmlem2  48908  2exp340mod341  49036  341fppr2  49037  bgoldbtbndlem1  49108  tgblthelfgott  49118  tgoldbachlt  49119  tgoldbach  49120