Theorem decnncl 12616

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12599	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12614	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12606	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2829	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020  ℕcn 12134  ℕ₀cn0 12390  ;cdc 12596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-ltxr 11160  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-dec 12597

This theorem is referenced by:  11prm  17030  13prm  17031  17prm  17032  19prm  17033  23prm  17034  37prm  17036  43prm  17037  83prm  17038  139prm  17039  163prm  17040  317prm  17041  631prm  17042  1259lem1  17046  1259lem2  17047  1259lem3  17048  1259lem4  17049  1259lem5  17050  1259prm  17051  2503lem1  17052  2503lem2  17053  2503lem3  17054  2503prm  17055  4001lem1  17056  4001lem2  17057  4001lem3  17058  4001lem4  17059  4001prm  17060  ocndx  17289  ocid  17290  dsndx  17293  dsid  17294  dsndxnn  17295  unifndx  17303  unifid  17304  unifndxnn  17305  slotsdifunifndx  17309  odrngstr  17311  homndx  17319  homid  17320  ccondx  17321  ccoid  17322  slotsdifocndx  17325  imasvalstr  17359  prdsvalstr  17360  catstr  17871  ipostr  18439  cnfldstr  21297  cnfldstrOLD  21312  mcubic  26787  cubic2  26788  cubic  26789  quart1cl  26794  quart1lem  26795  quart1  26796  quartlem1  26797  quartlem2  26798  log2ub  26889  log2le1  26890  birthday  26894  bposlem8  27232  bposlem9  27233  pntlemd  27535  pntlema  27537  pntlemb  27538  pntlemf  27546  pntlemo  27548  itvndx  28418  lngndx  28419  itvid  28420  lngid  28421  slotsinbpsd  28422  slotslnbpsd  28423  lngndxnitvndx  28424  trkgstr  28425  eengstr  28962  edgfid  28972  edgfndx  28973  edgfndxnn  28974  eufndx  33265  eufid  33266  12gcd5e1  42119  60gcd7e1  42121  420gcd8e4  42122  12lcm5e60  42124  60lcm7e420  42126  420lcm8e840  42127  lcmineqlem  42168  3lexlogpow5ineq1  42170  3lexlogpow5ineq2  42171  3lexlogpow5ineq4  42172  3lexlogpow2ineq1  42174  3lexlogpow2ineq2  42175  3lexlogpow5ineq5  42176  aks4d1p1p5  42191  aks4d1p1  42192  257prm  47688  fmtno4prmfac  47699  fmtno4prmfac193  47700  fmtno4nprmfac193  47701  fmtno5nprm  47710  139prmALT  47723  127prm  47726  3exp4mod41  47743  41prothprmlem2  47745  2exp340mod341  47860  341fppr2  47861  bgoldbtbndlem1  47932  tgblthelfgott  47942  tgoldbachlt  47943  tgoldbach  47944