Theorem decnncl 12639

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12622	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12637	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12629	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2833	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ;cdc 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-dec 12620

This theorem is referenced by:  11prm  17054  13prm  17055  17prm  17056  19prm  17057  23prm  17058  37prm  17060  43prm  17061  83prm  17062  139prm  17063  163prm  17064  317prm  17065  631prm  17066  1259lem1  17070  1259lem2  17071  1259lem3  17072  1259lem4  17073  1259lem5  17074  1259prm  17075  2503lem1  17076  2503lem2  17077  2503lem3  17078  2503prm  17079  4001lem1  17080  4001lem2  17081  4001lem3  17082  4001lem4  17083  4001prm  17084  ocndx  17313  ocid  17314  dsndx  17317  dsid  17318  dsndxnn  17319  unifndx  17327  unifid  17328  unifndxnn  17329  slotsdifunifndx  17333  odrngstr  17335  homndx  17343  homid  17344  ccondx  17345  ccoid  17346  slotsdifocndx  17349  imasvalstr  17383  prdsvalstr  17384  catstr  17896  ipostr  18464  cnfldstr  21323  cnfldstrOLD  21338  mcubic  26825  cubic2  26826  cubic  26827  quart1cl  26832  quart1lem  26833  quart1  26834  quartlem1  26835  quartlem2  26836  log2ub  26927  log2le1  26928  birthday  26932  bposlem8  27270  bposlem9  27271  pntlemd  27573  pntlema  27575  pntlemb  27576  pntlemf  27584  pntlemo  27586  itvndx  28521  lngndx  28522  itvid  28523  lngid  28524  slotsinbpsd  28525  slotslnbpsd  28526  lngndxnitvndx  28527  trkgstr  28528  eengstr  29065  edgfid  29075  edgfndx  29076  edgfndxnn  29077  eufndx  33383  eufid  33384  12gcd5e1  42370  60gcd7e1  42372  420gcd8e4  42373  12lcm5e60  42375  60lcm7e420  42377  420lcm8e840  42378  lcmineqlem  42419  3lexlogpow5ineq1  42421  3lexlogpow5ineq2  42422  3lexlogpow5ineq4  42423  3lexlogpow2ineq1  42425  3lexlogpow2ineq2  42426  3lexlogpow5ineq5  42427  aks4d1p1p5  42442  aks4d1p1  42443  257prm  47918  fmtno4prmfac  47929  fmtno4prmfac193  47930  fmtno4nprmfac193  47931  fmtno5nprm  47940  139prmALT  47953  127prm  47956  3exp4mod41  47973  41prothprmlem2  47975  2exp340mod341  48090  341fppr2  48091  bgoldbtbndlem1  48162  tgblthelfgott  48172  tgoldbachlt  48173  tgoldbach  48174