Theorem decnncl 12192

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12175	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12190	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12182	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2829	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7164  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613  ℕcn 11709  ℕ₀cn0 11969  ;cdc 12172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-ltxr 10751  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-dec 12173

This theorem is referenced by:  11prm  16544  13prm  16545  17prm  16546  19prm  16547  23prm  16548  37prm  16550  43prm  16551  83prm  16552  139prm  16553  163prm  16554  317prm  16555  631prm  16556  1259lem1  16560  1259lem2  16561  1259lem3  16562  1259lem4  16563  1259lem5  16564  1259prm  16565  2503lem1  16566  2503lem2  16567  2503lem3  16568  2503prm  16569  4001lem1  16570  4001lem2  16571  4001lem3  16572  4001lem4  16573  4001prm  16574  ocndx  16769  ocid  16770  dsndx  16771  dsid  16772  unifndx  16773  unifid  16774  odrngstr  16775  ressds  16782  homndx  16783  homid  16784  ccondx  16785  ccoid  16786  resshom  16787  ressco  16788  imasvalstr  16821  prdsvalstr  16822  oppchomfval  17081  oppcbas  17085  rescco  17200  catstr  17325  ipostr  17872  mgpds  19361  srads  20070  cnfldstr  20212  ressunif  23007  tuslem  23012  tmslem  23228  mcubic  25577  cubic2  25578  cubic  25579  quart1cl  25584  quart1lem  25585  quart1  25586  quartlem1  25587  quartlem2  25588  log2ub  25679  log2le1  25680  birthday  25684  bposlem8  26019  bposlem9  26020  pntlemd  26322  pntlema  26324  pntlemb  26325  pntlemf  26333  pntlemo  26335  itvndx  26378  lngndx  26379  itvid  26380  lngid  26381  trkgstr  26382  ttgval  26813  ttglem  26814  ttgds  26819  eengstr  26918  edgfid  26928  edgfndxnn  26929  edgfndxid  26930  baseltedgf  26931  12gcd5e1  39620  60gcd7e1  39622  420gcd8e4  39623  12lcm5e60  39625  60lcm7e420  39627  420lcm8e840  39628  lcmineqlem  39669  3lexlogpow5ineq1  39671  3lexlogpow5ineq2  39672  3lexlogpow5ineq4  39673  3lexlogpow2ineq1  39675  3lexlogpow2ineq2  39676  3lexlogpow5ineq5  39677  aks4d1p1p5  39691  aks4d1p1  39692  257prm  44531  fmtno4prmfac  44542  fmtno4prmfac193  44543  fmtno4nprmfac193  44544  fmtno5nprm  44553  139prmALT  44566  127prm  44569  3exp4mod41  44586  41prothprmlem2  44588  2exp340mod341  44703  341fppr2  44704  bgoldbtbndlem1  44775  tgblthelfgott  44785  tgoldbachlt  44786  tgoldbach  44787