Theorem decnncl 12723

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12702	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12721	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12709	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2861	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  ℕcn 12221  ℕ₀cn0 12492  ;cdc 12699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-dec 12700

This theorem is referenced by:  11nn  12724  11prm  17163  13prm  17164  17prm  17165  19prm  17166  23prm  17167  37prm  17169  43prm  17170  83prm  17171  139prm  17172  163prm  17173  317prm  17174  631prm  17175  1259lem1  17179  1259lem2  17180  1259lem3  17181  1259lem4  17182  1259lem5  17183  1259prm  17184  2503lem1  17185  2503lem2  17186  2503lem3  17187  2503prm  17188  4001lem1  17189  4001lem2  17190  4001lem3  17191  4001lem4  17192  4001prm  17193  ocndx  17422  ocid  17423  dsndx  17426  dsid  17427  dsndxnn  17428  unifndx  17436  unifid  17437  unifndxnn  17438  slotsdifunifndx  17442  odrngstr  17444  homndx  17452  homid  17453  ccondx  17454  ccoid  17455  slotsdifocndx  17458  imasvalstr  17492  prdsvalstr  17493  catstr  18005  ipostr  18573  cnfldstr  21481  mcubic  26966  cubic2  26967  cubic  26968  quart1cl  26973  quart1lem  26974  quart1  26975  quartlem1  26976  quartlem2  26977  log2ub  27068  log2le1  27069  birthday  27073  bposlem8  27409  bposlem9  27410  pntlemd  27712  pntlema  27714  pntlemb  27715  pntlemf  27723  pntlemo  27725  itvndx  28660  lngndx  28661  itvid  28662  lngid  28663  slotsinbpsd  28664  slotslnbpsd  28665  lngndxnitvndx  28666  trkgstr  28667  eengstr  29235  edgfid  29245  edgfndx  29246  edgfndxnn  29247  eufndx  33521  eufid  33522  12gcd5e1  42627  60gcd7e1  42629  420gcd8e4  42630  12lcm5e60  42632  60lcm7e420  42634  420lcm8e840  42635  lcmineqlem  42676  3lexlogpow5ineq1  42678  3lexlogpow5ineq2  42679  3lexlogpow2ineq1  42682  3lexlogpow2ineq2  42683  3lexlogpow5ineq5  42684  aks4d1p1p5  42699  aks4d1p1  42700  goldratmolem2  47479  257prm  48169  fmtno4prmfac  48180  fmtno4prmfac193  48181  fmtno4nprmfac193  48182  fmtno5nprm  48191  139prmALT  48204  127prm  48207  3exp4mod41  48224  41prothprmlem2  48226  2exp340mod341  48354  341fppr2  48355  bgoldbtbndlem1  48426  tgblthelfgott  48436  tgoldbachlt  48437  tgoldbach  48438