Theorem decnncl 12726

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12709	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12724	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12716	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2830	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  ℕcn 12238  ℕ₀cn0 12499  ;cdc 12706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-dec 12707

This theorem is referenced by:  11prm  17132  13prm  17133  17prm  17134  19prm  17135  23prm  17136  37prm  17138  43prm  17139  83prm  17140  139prm  17141  163prm  17142  317prm  17143  631prm  17144  1259lem1  17148  1259lem2  17149  1259lem3  17150  1259lem4  17151  1259lem5  17152  1259prm  17153  2503lem1  17154  2503lem2  17155  2503lem3  17156  2503prm  17157  4001lem1  17158  4001lem2  17159  4001lem3  17160  4001lem4  17161  4001prm  17162  ocndx  17393  ocid  17394  dsndx  17397  dsid  17398  dsndxnn  17399  unifndx  17407  unifid  17408  unifndxnn  17409  slotsdifunifndx  17413  odrngstr  17415  homndx  17423  homid  17424  ccondx  17425  ccoid  17426  slotsdifocndx  17429  imasvalstr  17463  prdsvalstr  17464  catstr  17971  ipostr  18537  cnfldstr  21315  cnfldstrOLD  21330  mcubic  26807  cubic2  26808  cubic  26809  quart1cl  26814  quart1lem  26815  quart1  26816  quartlem1  26817  quartlem2  26818  log2ub  26909  log2le1  26910  birthday  26914  bposlem8  27252  bposlem9  27253  pntlemd  27555  pntlema  27557  pntlemb  27558  pntlemf  27566  pntlemo  27568  itvndx  28362  lngndx  28363  itvid  28364  lngid  28365  slotsinbpsd  28366  slotslnbpsd  28367  lngndxnitvndx  28368  trkgstr  28369  eengstr  28905  edgfid  28915  edgfndx  28916  edgfndxnn  28917  eufndx  33230  eufid  33231  12gcd5e1  41962  60gcd7e1  41964  420gcd8e4  41965  12lcm5e60  41967  60lcm7e420  41969  420lcm8e840  41970  lcmineqlem  42011  3lexlogpow5ineq1  42013  3lexlogpow5ineq2  42014  3lexlogpow5ineq4  42015  3lexlogpow2ineq1  42017  3lexlogpow2ineq2  42018  3lexlogpow5ineq5  42019  aks4d1p1p5  42034  aks4d1p1  42035  257prm  47523  fmtno4prmfac  47534  fmtno4prmfac193  47535  fmtno4nprmfac193  47536  fmtno5nprm  47545  139prmALT  47558  127prm  47561  3exp4mod41  47578  41prothprmlem2  47580  2exp340mod341  47695  341fppr2  47696  bgoldbtbndlem1  47767  tgblthelfgott  47777  tgoldbachlt  47778  tgoldbach  47779