Theorem decnncl 11866

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 11848	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 11863	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 11855	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2855	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642  ;cdc 11845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-dec 11846

This theorem is referenced by:  11prm  16220  13prm  16221  17prm  16222  19prm  16223  23prm  16224  37prm  16226  43prm  16227  83prm  16228  139prm  16229  163prm  16230  317prm  16231  631prm  16232  1259lem1  16236  1259lem2  16237  1259lem3  16238  1259lem4  16239  1259lem5  16240  1259prm  16241  2503lem1  16242  2503lem2  16243  2503lem3  16244  2503prm  16245  4001lem1  16246  4001lem2  16247  4001lem3  16248  4001lem4  16249  4001prm  16250  ocndx  16446  ocid  16447  dsndx  16448  dsid  16449  unifndx  16450  unifid  16451  odrngstr  16452  ressds  16459  homndx  16460  homid  16461  ccondx  16462  ccoid  16463  resshom  16464  ressco  16465  imasvalstr  16498  prdsvalstr  16499  oppchomfval  16759  oppcbas  16763  rescco  16877  catstr  17002  ipostr  17539  mgpds  18886  srads  19583  cnfldstr  20144  ressunif  22474  tuslem  22479  tmslem  22695  mcubic  25025  cubic2  25026  cubic  25027  quart1cl  25032  quart1lem  25033  quart1  25034  quartlem1  25035  quartlem2  25036  log2ub  25128  log2le1  25129  birthday  25133  bposlem8  25468  bposlem9  25469  pntlemd  25735  pntlema  25737  pntlemb  25738  pntlemf  25746  pntlemo  25748  itvndx  25791  lngndx  25792  itvid  25793  lngid  25794  trkgstr  25795  ttgval  26224  ttglem  26225  ttgds  26230  eengstr  26329  edgfid  26339  edgfndxnn  26340  edgfndxid  26341  baseltedgf  26342  257prm  42494  fmtno4prmfac  42505  fmtno4prmfac193  42506  fmtno4nprmfac193  42507  fmtno5nprm  42516  139prmALT  42532  127prm  42536  3exp4mod41  42554  41prothprmlem2  42556  bgoldbtbndlem1  42718  tgblthelfgott  42728  tgoldbachlt  42729  tgoldbach  42730