Theorem decnncl 12655

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12638	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12653	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12645	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2833	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-dec 12636

This theorem is referenced by:  11prm  17076  13prm  17077  17prm  17078  19prm  17079  23prm  17080  37prm  17082  43prm  17083  83prm  17084  139prm  17085  163prm  17086  317prm  17087  631prm  17088  1259lem1  17092  1259lem2  17093  1259lem3  17094  1259lem4  17095  1259lem5  17096  1259prm  17097  2503lem1  17098  2503lem2  17099  2503lem3  17100  2503prm  17101  4001lem1  17102  4001lem2  17103  4001lem3  17104  4001lem4  17105  4001prm  17106  ocndx  17335  ocid  17336  dsndx  17339  dsid  17340  dsndxnn  17341  unifndx  17349  unifid  17350  unifndxnn  17351  slotsdifunifndx  17355  odrngstr  17357  homndx  17365  homid  17366  ccondx  17367  ccoid  17368  slotsdifocndx  17371  imasvalstr  17405  prdsvalstr  17406  catstr  17918  ipostr  18486  cnfldstr  21346  cnfldstrOLD  21361  mcubic  26824  cubic2  26825  cubic  26826  quart1cl  26831  quart1lem  26832  quart1  26833  quartlem1  26834  quartlem2  26835  log2ub  26926  log2le1  26927  birthday  26931  bposlem8  27268  bposlem9  27269  pntlemd  27571  pntlema  27573  pntlemb  27574  pntlemf  27582  pntlemo  27584  itvndx  28519  lngndx  28520  itvid  28521  lngid  28522  slotsinbpsd  28523  slotslnbpsd  28524  lngndxnitvndx  28525  trkgstr  28526  eengstr  29063  edgfid  29073  edgfndx  29074  edgfndxnn  29075  eufndx  33366  eufid  33367  12gcd5e1  42456  60gcd7e1  42458  420gcd8e4  42459  12lcm5e60  42461  60lcm7e420  42463  420lcm8e840  42464  lcmineqlem  42505  3lexlogpow5ineq1  42507  3lexlogpow5ineq2  42508  3lexlogpow5ineq4  42509  3lexlogpow2ineq1  42511  3lexlogpow2ineq2  42512  3lexlogpow5ineq5  42513  aks4d1p1p5  42528  aks4d1p1  42529  257prm  48036  fmtno4prmfac  48047  fmtno4prmfac193  48048  fmtno4nprmfac193  48049  fmtno5nprm  48058  139prmALT  48071  127prm  48074  3exp4mod41  48091  41prothprmlem2  48093  2exp340mod341  48221  341fppr2  48222  bgoldbtbndlem1  48293  tgblthelfgott  48303  tgoldbachlt  48304  tgoldbach  48305