Theorem decnncl 12778

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl	⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12761	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		10nn0 12776	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
3		decnncl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decnncl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
5	2, 3, 4	numnncl 12768	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
6	1, 5	eqeltri 2840	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ;cdc 12758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-dec 12759

This theorem is referenced by:  11prm  17162  13prm  17163  17prm  17164  19prm  17165  23prm  17166  37prm  17168  43prm  17169  83prm  17170  139prm  17171  163prm  17172  317prm  17173  631prm  17174  1259lem1  17178  1259lem2  17179  1259lem3  17180  1259lem4  17181  1259lem5  17182  1259prm  17183  2503lem1  17184  2503lem2  17185  2503lem3  17186  2503prm  17187  4001lem1  17188  4001lem2  17189  4001lem3  17190  4001lem4  17191  4001prm  17192  ocndx  17440  ocid  17441  dsndx  17444  dsid  17445  dsndxnn  17446  unifndx  17454  unifid  17455  unifndxnn  17456  slotsdifunifndx  17460  odrngstr  17462  homndx  17470  homid  17471  ccondx  17472  ccoid  17473  slotsdifocndx  17477  imasvalstr  17511  prdsvalstr  17512  oppchomfvalOLD  17773  oppcbasOLD  17778  resccoOLD  17895  catstr  18026  ipostr  18599  mgpdsOLD  20175  sradsOLD  21215  cnfldstr  21389  cnfldstrOLD  21404  tuslemOLD  24297  tmslemOLD  24516  mcubic  26908  cubic2  26909  cubic  26910  quart1cl  26915  quart1lem  26916  quart1  26917  quartlem1  26918  quartlem2  26919  log2ub  27010  log2le1  27011  birthday  27015  bposlem8  27353  bposlem9  27354  pntlemd  27656  pntlema  27658  pntlemb  27659  pntlemf  27667  pntlemo  27669  itvndx  28463  lngndx  28464  itvid  28465  lngid  28466  slotsinbpsd  28467  slotslnbpsd  28468  lngndxnitvndx  28469  trkgstr  28470  ttgvalOLD  28902  ttglemOLD  28904  ttgdsOLD  28913  eengstr  29013  edgfid  29023  edgfndx  29024  edgfndxnn  29025  edgfndxidOLD  29027  baseltedgfOLD  29029  eufndx  33259  eufid  33260  12gcd5e1  41960  60gcd7e1  41962  420gcd8e4  41963  12lcm5e60  41965  60lcm7e420  41967  420lcm8e840  41968  lcmineqlem  42009  3lexlogpow5ineq1  42011  3lexlogpow5ineq2  42012  3lexlogpow5ineq4  42013  3lexlogpow2ineq1  42015  3lexlogpow2ineq2  42016  3lexlogpow5ineq5  42017  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p1  42033  257prm  47435  fmtno4prmfac  47446  fmtno4prmfac193  47447  fmtno4nprmfac193  47448  fmtno5nprm  47457  139prmALT  47470  127prm  47473  3exp4mod41  47490  41prothprmlem2  47492  2exp340mod341  47607  341fppr2  47608  bgoldbtbndlem1  47679  tgblthelfgott  47689  tgoldbachlt  47690  tgoldbach  47691