Theorem bgoldbtbndlem1 43969

Description: Lemma 1 for bgoldbtbnd 43973: the odd numbers between 7 and 13 (exclusive) are odd Goldbach numbers. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bgoldbtbndlem1	⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (7[,);13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem bgoldbtbndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7re 11729	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
2	1	rexri 10698	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℝ*
3		1nn0 11912	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		3nn 11715	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12117	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℕ
6	5	nnrei 11646	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℝ
7	6	rexri 10698	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ ℝ*
8		elico1 12780	. . . 4 ⊢ ((7 ∈ ℝ* ∧ ;13 ∈ ℝ*) → (𝑁 ∈ (7[,);13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13)))
9	2, 7, 8	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (7[,);13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13))
10		7nn 11728	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
11	10	nnzi 12005	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℤ
12		oddz 43795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zltp1le 12031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
14		7p1e8 11785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 1) = 8
15	14	breq1i 5072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
17		8re 11732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
19		zre 11984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20		leloe 10726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((8 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
21	18, 19, 20	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
22	13, 16, 21	3bitrd 307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
23	11, 12, 22	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
24		8nn 11731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
25	24	nnzi 12005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
26		zltp1le 12031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
27	25, 12, 26	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
28		8p1e9 11786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 + 1) = 9
29	28	breq1i 5072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁))
31		9re 11735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 9 ∈ ℝ)
33	12	zred 12086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℝ)
34	32, 33	leloed 10782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
35	27, 30, 34	3bitrd 307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
36		9nn 11734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℕ
37	36	nnzi 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 9 ∈ ℤ
38		zltp1le 12031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
39	37, 12, 38	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
40		9p1e10 12099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (9 + 1) = ;10
41	40	breq1i 5072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((9 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;10 ≤ 𝑁)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((9 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;10 ≤ 𝑁))
43		10re 12116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;10 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;10 ∈ ℝ)
45	44, 33	leloed 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 ≤ 𝑁 ↔ (;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁)))
46	39, 42, 45	3bitrd 307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁)))
47		10nn 12113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;10 ∈ ℕ
48	47	nnzi 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;10 ∈ ℤ
49		zltp1le 12031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;10 < 𝑁 ↔ (;10 + 1) ≤ 𝑁))
50	48, 12, 49	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 ↔ (;10 + 1) ≤ 𝑁))
51		dec10p 12140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;10 + 1) = ;11
52	51	breq1i 5072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((;10 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;11 ≤ 𝑁)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;10 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;11 ≤ 𝑁))
54		1nn 11648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℕ
55	3, 54	decnncl 12117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;11 ∈ ℕ
56	55	nnrei 11646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;11 ∈ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;11 ∈ ℝ)
58	57, 33	leloed 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 ≤ 𝑁 ↔ (;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁)))
59	50, 53, 58	3bitrd 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 ↔ (;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁)))
60	55	nnzi 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ;11 ∈ ℤ
61		zltp1le 12031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;11 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;11 < 𝑁 ↔ (;11 + 1) ≤ 𝑁))
62	60, 12, 61	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 ↔ (;11 + 1) ≤ 𝑁))
63	51	eqcomi 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;11 = (;10 + 1)
64	63	oveq1i 7165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (;11 + 1) = ((;10 + 1) + 1)
65	47	nncni 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;10 ∈ ℂ
66		ax-1cn 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℂ
67	65, 66, 66	addassi 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((;10 + 1) + 1) = (;10 + (1 + 1))
68		1p1e2 11761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (1 + 1) = 2
69	68	oveq2i 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;10 + (1 + 1)) = (;10 + 2)
70		dec10p 12140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;10 + 2) = ;12
71	69, 70	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (;10 + (1 + 1)) = ;12
72	64, 67, 71	3eqtri 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;11 + 1) = ;12
73	72	breq1i 5072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;11 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;12 ≤ 𝑁)
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;11 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;12 ≤ 𝑁))
75		2nn 11709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 2 ∈ ℕ
76	3, 75	decnncl 12117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ;12 ∈ ℕ
77	76	nnrei 11646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;12 ∈ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;12 ∈ ℝ)
79	78, 33	leloed 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 ≤ 𝑁 ↔ (;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁)))
80	62, 74, 79	3bitrd 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 ↔ (;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁)))
81	76	nnzi 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ;12 ∈ ℤ
82		zltp1le 12031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;12 < 𝑁 ↔ (;12 + 1) ≤ 𝑁))
83	81, 12, 82	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 ↔ (;12 + 1) ≤ 𝑁))
84	70	eqcomi 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ;12 = (;10 + 2)
85	84	oveq1i 7165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (;12 + 1) = ((;10 + 2) + 1)
86		2cn 11711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 2 ∈ ℂ
87	65, 86, 66	addassi 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((;10 + 2) + 1) = (;10 + (2 + 1))
88		2p1e3 11778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (2 + 1) = 3
89	88	oveq2i 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (;10 + (2 + 1)) = (;10 + 3)
90		dec10p 12140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (;10 + 3) = ;13
91	89, 90	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (;10 + (2 + 1)) = ;13
92	85, 87, 91	3eqtri 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (;12 + 1) = ;13
93	92	breq1i 5072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((;12 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;13 ≤ 𝑁)
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;12 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;13 ≤ 𝑁))
95	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;13 ∈ ℝ)
96	95, 33	lenltd 10785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;13 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < ;13))
97	83, 94, 96	3bitrd 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < ;13))
98		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑁 < ;13 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
99	97, 98	syl6bi 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
100	99	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;12 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
101		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;12 = 𝑁 → (;12 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
102		6p6e12 12171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (6 + 6) = ;12
103		6even 43875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 6 ∈ Even
104		epee 43869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((6 ∈ Even ∧ 6 ∈ Even ) → (6 + 6) ∈ Even )
105	103, 103, 104	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (6 + 6) ∈ Even
106	102, 105	eqeltrri 2910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;12 ∈ Even
107		evennodd 43807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;12 ∈ Even → ¬ ;12 ∈ Odd )
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ¬ ;12 ∈ Odd
109	108	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;12 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
110	101, 109	syl6bir 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;12 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
111	100, 110	jaoi 853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
112	111	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
113	80, 112	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
114	113	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (;11 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
115		11gbo 43939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd
116		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (;11 = 𝑁 → (;11 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
117	115, 116	mpbii 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;11 = 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
118	117	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (;11 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
119	114, 118	jaoi 853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
120	119	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
121	59, 120	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
122	121	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;10 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
123		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;10 = 𝑁 → (;10 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
124		5p5e10 12168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (5 + 5) = ;10
125		5odd 43874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 5 ∈ Odd
126		opoeALTV 43847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((5 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) → (5 + 5) ∈ Even )
127	125, 125, 126	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (5 + 5) ∈ Even
128	124, 127	eqeltrri 2910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;10 ∈ Even
129		evennodd 43807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (;10 ∈ Even → ¬ ;10 ∈ Odd )
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ¬ ;10 ∈ Odd
131	130	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;10 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
132	123, 131	syl6bir 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;10 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
133	122, 132	jaoi 853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
134	133	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
135	46, 134	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
136	135	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
137		9gbo 43938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 ∈ GoldbachOdd
138		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (9 = 𝑁 → (9 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
139	137, 138	mpbii 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (9 = 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
140	139	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
141	136, 140	jaoi 853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
142	141	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
143	35, 142	sylbid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
144	143	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
145		eleq1 2900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → (8 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
146		8even 43877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ Even
147		evennodd 43807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 ∈ Even → ¬ 8 ∈ Odd )
148	146, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 8 ∈ Odd
149	148	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
150	145, 149	syl6bir 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
151	144, 150	jaoi 853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
152	151	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
153	23, 152	sylbid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
154	153	imp 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
155	154	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < ;13 → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
156	155	3ad2ant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
157	156	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
158	9, 157	syl5bi 244	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 ∈ (7[,);13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
159	158	3impia 1113	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (7[,);13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539  ℝ^*cxr 10673   < clt 10674   ≤ cle 10675  2c2 11691  3c3 11692  5c5 11694  6c6 11695  7c7 11696  8c8 11697  9c9 11698  ℤcz 11980  ;cdc 12097  [,)cico 12739   Even ceven 43788   Odd codd 43789   GoldbachOdd cgbo 43911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-ico 12743  df-fz 12892  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-prm 16015  df-even 43790  df-odd 43791  df-gbo 43914

This theorem is referenced by:  bgoldbtbnd  43973