Theorem bgoldbtbndlem1 48118

Description: Lemma 1 for bgoldbtbnd 48122: the odd numbers between 7 and 13 (exclusive) are odd Goldbach numbers. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bgoldbtbndlem1	⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (7[,);13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem bgoldbtbndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7re 12242	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
2	1	rexri 11194	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℝ*
3		1nn0 12421	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		3nn 12228	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12631	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℕ
6	5	nnrei 12158	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℝ
7	6	rexri 11194	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ ℝ*
8		elico1 13308	. . . 4 ⊢ ((7 ∈ ℝ* ∧ ;13 ∈ ℝ*) → (𝑁 ∈ (7[,);13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13)))
9	2, 7, 8	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (7[,);13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13))
10		7nn 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
11	10	nnzi 12519	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℤ
12		oddz 47944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zltp1le 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
14		7p1e8 12293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 1) = 8
15	14	breq1i 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
17		8re 12245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
19		zre 12496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20		leloe 11223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((8 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
21	18, 19, 20	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
22	13, 16, 21	3bitrd 305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
23	11, 12, 22	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
24		8nn 12244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
25	24	nnzi 12519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
26		zltp1le 12545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
27	25, 12, 26	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
28		8p1e9 12294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 + 1) = 9
29	28	breq1i 5106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁))
31		9re 12248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 9 ∈ ℝ)
33	12	zred 12600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℝ)
34	32, 33	leloed 11280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
35	27, 30, 34	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
36		9nn 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℕ
37	36	nnzi 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 9 ∈ ℤ
38		zltp1le 12545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
39	37, 12, 38	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
40		9p1e10 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (9 + 1) = ;10
41	40	breq1i 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((9 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;10 ≤ 𝑁)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((9 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;10 ≤ 𝑁))
43		10re 12630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;10 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;10 ∈ ℝ)
45	44, 33	leloed 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 ≤ 𝑁 ↔ (;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁)))
46	39, 42, 45	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁)))
47		10nn 12627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;10 ∈ ℕ
48	47	nnzi 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;10 ∈ ℤ
49		zltp1le 12545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;10 < 𝑁 ↔ (;10 + 1) ≤ 𝑁))
50	48, 12, 49	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 ↔ (;10 + 1) ≤ 𝑁))
51		dec10p 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;10 + 1) = ;11
52	51	breq1i 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((;10 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;11 ≤ 𝑁)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;10 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;11 ≤ 𝑁))
54		1nn 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℕ
55	3, 54	decnncl 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;11 ∈ ℕ
56	55	nnrei 12158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;11 ∈ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;11 ∈ ℝ)
58	57, 33	leloed 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 ≤ 𝑁 ↔ (;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁)))
59	50, 53, 58	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 ↔ (;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁)))
60	55	nnzi 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ;11 ∈ ℤ
61		zltp1le 12545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;11 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;11 < 𝑁 ↔ (;11 + 1) ≤ 𝑁))
62	60, 12, 61	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 ↔ (;11 + 1) ≤ 𝑁))
63	51	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;11 = (;10 + 1)
64	63	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (;11 + 1) = ((;10 + 1) + 1)
65	47	nncni 12159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;10 ∈ ℂ
66		ax-1cn 11088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℂ
67	65, 66, 66	addassi 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((;10 + 1) + 1) = (;10 + (1 + 1))
68		1p1e2 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (1 + 1) = 2
69	68	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;10 + (1 + 1)) = (;10 + 2)
70		dec10p 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;10 + 2) = ;12
71	69, 70	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (;10 + (1 + 1)) = ;12
72	64, 67, 71	3eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;11 + 1) = ;12
73	72	breq1i 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;11 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;12 ≤ 𝑁)
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;11 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;12 ≤ 𝑁))
75		2nn 12222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 2 ∈ ℕ
76	3, 75	decnncl 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ;12 ∈ ℕ
77	76	nnrei 12158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;12 ∈ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;12 ∈ ℝ)
79	78, 33	leloed 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 ≤ 𝑁 ↔ (;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁)))
80	62, 74, 79	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 ↔ (;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁)))
81	76	nnzi 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ;12 ∈ ℤ
82		zltp1le 12545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;12 < 𝑁 ↔ (;12 + 1) ≤ 𝑁))
83	81, 12, 82	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 ↔ (;12 + 1) ≤ 𝑁))
84	70	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ;12 = (;10 + 2)
85	84	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (;12 + 1) = ((;10 + 2) + 1)
86		2cn 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 2 ∈ ℂ
87	65, 86, 66	addassi 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((;10 + 2) + 1) = (;10 + (2 + 1))
88		2p1e3 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (2 + 1) = 3
89	88	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (;10 + (2 + 1)) = (;10 + 3)
90		dec10p 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (;10 + 3) = ;13
91	89, 90	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (;10 + (2 + 1)) = ;13
92	85, 87, 91	3eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (;12 + 1) = ;13
93	92	breq1i 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((;12 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;13 ≤ 𝑁)
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;12 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;13 ≤ 𝑁))
95	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;13 ∈ ℝ)
96	95, 33	lenltd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;13 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < ;13))
97	83, 94, 96	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < ;13))
98		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑁 < ;13 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
99	97, 98	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
100	99	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;12 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
101		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;12 = 𝑁 → (;12 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
102		6p6e12 12685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (6 + 6) = ;12
103		6even 48024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 6 ∈ Even
104		epee 48018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((6 ∈ Even ∧ 6 ∈ Even ) → (6 + 6) ∈ Even )
105	103, 103, 104	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (6 + 6) ∈ Even
106	102, 105	eqeltrri 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;12 ∈ Even
107		evennodd 47956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;12 ∈ Even → ¬ ;12 ∈ Odd )
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ¬ ;12 ∈ Odd
109	108	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;12 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
110	101, 109	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;12 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
111	100, 110	jaoi 858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
112	111	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
113	80, 112	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
114	113	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (;11 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
115		11gbo 48088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd
116		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (;11 = 𝑁 → (;11 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
117	115, 116	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;11 = 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
118	117	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (;11 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
119	114, 118	jaoi 858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
120	119	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
121	59, 120	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
122	121	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;10 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
123		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;10 = 𝑁 → (;10 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
124		5p5e10 12682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (5 + 5) = ;10
125		5odd 48023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 5 ∈ Odd
126		opoeALTV 47996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((5 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) → (5 + 5) ∈ Even )
127	125, 125, 126	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (5 + 5) ∈ Even
128	124, 127	eqeltrri 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;10 ∈ Even
129		evennodd 47956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (;10 ∈ Even → ¬ ;10 ∈ Odd )
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ¬ ;10 ∈ Odd
131	130	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;10 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
132	123, 131	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;10 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
133	122, 132	jaoi 858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
134	133	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
135	46, 134	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
136	135	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
137		9gbo 48087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 ∈ GoldbachOdd
138		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (9 = 𝑁 → (9 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
139	137, 138	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (9 = 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
140	139	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
141	136, 140	jaoi 858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
142	141	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
143	35, 142	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
144	143	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
145		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → (8 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
146		8even 48026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ Even
147		evennodd 47956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 ∈ Even → ¬ 8 ∈ Odd )
148	146, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 8 ∈ Odd
149	148	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
150	145, 149	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
151	144, 150	jaoi 858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
152	151	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
153	23, 152	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
154	153	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
155	154	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < ;13 → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
156	155	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
157	156	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
158	9, 157	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 ∈ (7[,);13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
159	158	3impia 1118	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (7[,);13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  2c2 12204  3c3 12205  5c5 12207  6c6 12208  7c7 12209  8c8 12210  9c9 12211  ℤcz 12492  ;cdc 12611  [,)cico 13267   Even ceven 47937   Odd codd 47938   GoldbachOdd cgbo 48060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-ico 13271  df-fz 13428  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-dvds 16184  df-prm 16603  df-even 47939  df-odd 47940  df-gbo 48063

This theorem is referenced by:  bgoldbtbnd  48122