Theorem bgoldbtbndlem1 47767

Description: Lemma 1 for bgoldbtbnd 47771: the odd numbers between 7 and 13 (exclusive) are odd Goldbach numbers. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bgoldbtbndlem1	⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (7[,);13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem bgoldbtbndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7re 12331	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
2	1	rexri 11291	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℝ*
3		1nn0 12515	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		3nn 12317	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12726	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℕ
6	5	nnrei 12247	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℝ
7	6	rexri 11291	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ ℝ*
8		elico1 13403	. . . 4 ⊢ ((7 ∈ ℝ* ∧ ;13 ∈ ℝ*) → (𝑁 ∈ (7[,);13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13)))
9	2, 7, 8	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (7[,);13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13))
10		7nn 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
11	10	nnzi 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℤ
12		oddz 47593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zltp1le 12640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
14		7p1e8 12387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 1) = 8
15	14	breq1i 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
17		8re 12334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
19		zre 12590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20		leloe 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((8 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
21	18, 19, 20	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
22	13, 16, 21	3bitrd 305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
23	11, 12, 22	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
24		8nn 12333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
25	24	nnzi 12614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
26		zltp1le 12640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
27	25, 12, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
28		8p1e9 12388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 + 1) = 9
29	28	breq1i 5126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁))
31		9re 12337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 9 ∈ ℝ)
33	12	zred 12695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℝ)
34	32, 33	leloed 11376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
35	27, 30, 34	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
36		9nn 12336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℕ
37	36	nnzi 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 9 ∈ ℤ
38		zltp1le 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
39	37, 12, 38	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
40		9p1e10 12708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (9 + 1) = ;10
41	40	breq1i 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((9 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;10 ≤ 𝑁)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((9 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;10 ≤ 𝑁))
43		10re 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;10 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;10 ∈ ℝ)
45	44, 33	leloed 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 ≤ 𝑁 ↔ (;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁)))
46	39, 42, 45	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁)))
47		10nn 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;10 ∈ ℕ
48	47	nnzi 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;10 ∈ ℤ
49		zltp1le 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;10 < 𝑁 ↔ (;10 + 1) ≤ 𝑁))
50	48, 12, 49	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 ↔ (;10 + 1) ≤ 𝑁))
51		dec10p 12749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;10 + 1) = ;11
52	51	breq1i 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((;10 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;11 ≤ 𝑁)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;10 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;11 ≤ 𝑁))
54		1nn 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℕ
55	3, 54	decnncl 12726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;11 ∈ ℕ
56	55	nnrei 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;11 ∈ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;11 ∈ ℝ)
58	57, 33	leloed 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 ≤ 𝑁 ↔ (;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁)))
59	50, 53, 58	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 ↔ (;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁)))
60	55	nnzi 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ;11 ∈ ℤ
61		zltp1le 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;11 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;11 < 𝑁 ↔ (;11 + 1) ≤ 𝑁))
62	60, 12, 61	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 ↔ (;11 + 1) ≤ 𝑁))
63	51	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;11 = (;10 + 1)
64	63	oveq1i 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (;11 + 1) = ((;10 + 1) + 1)
65	47	nncni 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;10 ∈ ℂ
66		ax-1cn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℂ
67	65, 66, 66	addassi 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((;10 + 1) + 1) = (;10 + (1 + 1))
68		1p1e2 12363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (1 + 1) = 2
69	68	oveq2i 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;10 + (1 + 1)) = (;10 + 2)
70		dec10p 12749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;10 + 2) = ;12
71	69, 70	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (;10 + (1 + 1)) = ;12
72	64, 67, 71	3eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;11 + 1) = ;12
73	72	breq1i 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;11 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;12 ≤ 𝑁)
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;11 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;12 ≤ 𝑁))
75		2nn 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 2 ∈ ℕ
76	3, 75	decnncl 12726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ;12 ∈ ℕ
77	76	nnrei 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;12 ∈ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;12 ∈ ℝ)
79	78, 33	leloed 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 ≤ 𝑁 ↔ (;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁)))
80	62, 74, 79	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 ↔ (;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁)))
81	76	nnzi 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ;12 ∈ ℤ
82		zltp1le 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;12 < 𝑁 ↔ (;12 + 1) ≤ 𝑁))
83	81, 12, 82	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 ↔ (;12 + 1) ≤ 𝑁))
84	70	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ;12 = (;10 + 2)
85	84	oveq1i 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (;12 + 1) = ((;10 + 2) + 1)
86		2cn 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 2 ∈ ℂ
87	65, 86, 66	addassi 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((;10 + 2) + 1) = (;10 + (2 + 1))
88		2p1e3 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (2 + 1) = 3
89	88	oveq2i 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (;10 + (2 + 1)) = (;10 + 3)
90		dec10p 12749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (;10 + 3) = ;13
91	89, 90	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (;10 + (2 + 1)) = ;13
92	85, 87, 91	3eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (;12 + 1) = ;13
93	92	breq1i 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((;12 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;13 ≤ 𝑁)
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;12 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;13 ≤ 𝑁))
95	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;13 ∈ ℝ)
96	95, 33	lenltd 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;13 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < ;13))
97	83, 94, 96	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < ;13))
98		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑁 < ;13 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
99	97, 98	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
100	99	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;12 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
101		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;12 = 𝑁 → (;12 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
102		6p6e12 12780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (6 + 6) = ;12
103		6even 47673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 6 ∈ Even
104		epee 47667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((6 ∈ Even ∧ 6 ∈ Even ) → (6 + 6) ∈ Even )
105	103, 103, 104	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (6 + 6) ∈ Even
106	102, 105	eqeltrri 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;12 ∈ Even
107		evennodd 47605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;12 ∈ Even → ¬ ;12 ∈ Odd )
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ¬ ;12 ∈ Odd
109	108	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;12 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
110	101, 109	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;12 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
111	100, 110	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
112	111	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
113	80, 112	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
114	113	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (;11 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
115		11gbo 47737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd
116		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (;11 = 𝑁 → (;11 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
117	115, 116	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;11 = 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
118	117	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (;11 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
119	114, 118	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
120	119	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
121	59, 120	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
122	121	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;10 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
123		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;10 = 𝑁 → (;10 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
124		5p5e10 12777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (5 + 5) = ;10
125		5odd 47672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 5 ∈ Odd
126		opoeALTV 47645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((5 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) → (5 + 5) ∈ Even )
127	125, 125, 126	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (5 + 5) ∈ Even
128	124, 127	eqeltrri 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;10 ∈ Even
129		evennodd 47605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (;10 ∈ Even → ¬ ;10 ∈ Odd )
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ¬ ;10 ∈ Odd
131	130	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;10 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
132	123, 131	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;10 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
133	122, 132	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
134	133	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
135	46, 134	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
136	135	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
137		9gbo 47736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 ∈ GoldbachOdd
138		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (9 = 𝑁 → (9 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
139	137, 138	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (9 = 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
140	139	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
141	136, 140	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
142	141	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
143	35, 142	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
144	143	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
145		eleq1 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → (8 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
146		8even 47675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ Even
147		evennodd 47605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 ∈ Even → ¬ 8 ∈ Odd )
148	146, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 8 ∈ Odd
149	148	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
150	145, 149	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
151	144, 150	jaoi 857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
152	151	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
153	23, 152	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
154	153	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
155	154	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < ;13 → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
156	155	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
157	156	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
158	9, 157	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 ∈ (7[,);13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
159	158	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (7[,);13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  2c2 12293  3c3 12294  5c5 12296  6c6 12297  7c7 12298  8c8 12299  9c9 12300  ℤcz 12586  ;cdc 12706  [,)cico 13362   Even ceven 47586   Odd codd 47587   GoldbachOdd cgbo 47709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-rp 13007  df-ico 13366  df-fz 13523  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16271  df-prm 16689  df-even 47588  df-odd 47589  df-gbo 47712

This theorem is referenced by:  bgoldbtbnd  47771