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Theorem bgoldbtbndlem1 43955
Description: Lemma 1 for bgoldbtbnd 43959: the odd numbers between 7 and 13 (exclusive) are odd Goldbach numbers. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem1 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 ∈ (7[,)13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem bgoldbtbndlem1
StepHypRef Expression
1 7re 11722 . . . . 5 7 ∈ ℝ
21rexri 10691 . . . 4 7 ∈ ℝ*
3 1nn0 11905 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
4 3nn 11708 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12110 . . . . . 6 13 ∈ ℕ
65nnrei 11639 . . . . 5 13 ∈ ℝ
76rexri 10691 . . . 4 13 ∈ ℝ*
8 elico1 12773 . . . 4 ((7 ∈ ℝ*13 ∈ ℝ*) → (𝑁 ∈ (7[,)13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁𝑁 < 13)))
92, 7, 8mp2an 690 . . 3 (𝑁 ∈ (7[,)13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁𝑁 < 13))
10 7nn 11721 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ
1110nnzi 11998 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℤ
12 oddz 43781 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
13 zltp1le 12024 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
14 7p1e8 11778 . . . . . . . . . . . 12 (7 + 1) = 8
1514breq1i 5064 . . . . . . . . . . 11 ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
17 8re 11725 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (7 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
19 zre 11977 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20 leloe 10719 . . . . . . . . . . 11 ((8 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
2118, 19, 20syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
2213, 16, 213bitrd 307 . . . . . . . . 9 ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
2311, 12, 22sylancr 589 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
24 8nn 11724 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
2524nnzi 11998 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℤ
26 zltp1le 12024 . . . . . . . . . . . . . 14 ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
2725, 12, 26sylancr 589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
28 8p1e9 11779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 + 1) = 9
2928breq1i 5064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ Odd → ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁))
31 9re 11728 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ Odd → 9 ∈ ℝ)
3312zred 12079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℝ)
3432, 33leloed 10775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ Odd → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
3527, 30, 343bitrd 307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
36 9nn 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℕ
3736nnzi 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9 ∈ ℤ
38 zltp1le 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
3937, 12, 38sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
40 9p1e10 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (9 + 1) = 10
4140breq1i 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((9 + 1) ≤ 𝑁10 ≤ 𝑁)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ Odd → ((9 + 1) ≤ 𝑁10 ≤ 𝑁))
43 10re 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 10 ∈ ℝ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ Odd → 10 ∈ ℝ)
4544, 33leloed 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ Odd → (10 ≤ 𝑁 ↔ (10 < 𝑁10 = 𝑁)))
4639, 42, 453bitrd 307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (10 < 𝑁10 = 𝑁)))
47 10nn 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 10 ∈ ℕ
4847nnzi 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10 ∈ ℤ
49 zltp1le 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((10 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (10 < 𝑁 ↔ (10 + 1) ≤ 𝑁))
5048, 12, 49sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ Odd → (10 < 𝑁 ↔ (10 + 1) ≤ 𝑁))
51 dec10p 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (10 + 1) = 11
5251breq1i 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((10 + 1) ≤ 𝑁11 ≤ 𝑁)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ Odd → ((10 + 1) ≤ 𝑁11 ≤ 𝑁))
54 1nn 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℕ
553, 54decnncl 12110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 11 ∈ ℕ
5655nnrei 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11 ∈ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ Odd → 11 ∈ ℝ)
5857, 33leloed 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ Odd → (11 ≤ 𝑁 ↔ (11 < 𝑁11 = 𝑁)))
5950, 53, 583bitrd 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ Odd → (10 < 𝑁 ↔ (11 < 𝑁11 = 𝑁)))
6055nnzi 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 11 ∈ ℤ
61 zltp1le 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((11 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (11 < 𝑁 ↔ (11 + 1) ≤ 𝑁))
6260, 12, 61sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ Odd → (11 < 𝑁 ↔ (11 + 1) ≤ 𝑁))
6351eqcomi 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 11 = (10 + 1)
6463oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (11 + 1) = ((10 + 1) + 1)
6547nncni 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10 ∈ ℂ
66 ax-1cn 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℂ
6765, 66, 66addassi 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((10 + 1) + 1) = (10 + (1 + 1))
68 1p1e2 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1 + 1) = 2
6968oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (10 + (1 + 1)) = (10 + 2)
70 dec10p 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (10 + 2) = 12
7169, 70eqtri 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (10 + (1 + 1)) = 12
7264, 67, 713eqtri 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (11 + 1) = 12
7372breq1i 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((11 + 1) ≤ 𝑁12 ≤ 𝑁)
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ Odd → ((11 + 1) ≤ 𝑁12 ≤ 𝑁))
75 2nn 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℕ
763, 75decnncl 12110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 12 ∈ ℕ
7776nnrei 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 12 ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ Odd → 12 ∈ ℝ)
7978, 33leloed 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ Odd → (12 ≤ 𝑁 ↔ (12 < 𝑁12 = 𝑁)))
8062, 74, 793bitrd 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ Odd → (11 < 𝑁 ↔ (12 < 𝑁12 = 𝑁)))
8176nnzi 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 12 ∈ ℤ
82 zltp1le 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (12 < 𝑁 ↔ (12 + 1) ≤ 𝑁))
8381, 12, 82sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ Odd → (12 < 𝑁 ↔ (12 + 1) ≤ 𝑁))
8470eqcomi 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 12 = (10 + 2)
8584oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (12 + 1) = ((10 + 2) + 1)
86 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 ∈ ℂ
8765, 86, 66addassi 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((10 + 2) + 1) = (10 + (2 + 1))
88 2p1e3 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (2 + 1) = 3
8988oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (10 + (2 + 1)) = (10 + 3)
90 dec10p 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (10 + 3) = 13
9189, 90eqtri 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (10 + (2 + 1)) = 13
9285, 87, 913eqtri 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (12 + 1) = 13
9392breq1i 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((12 + 1) ≤ 𝑁13 ≤ 𝑁)
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ Odd → ((12 + 1) ≤ 𝑁13 ≤ 𝑁))
956a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ Odd → 13 ∈ ℝ)
9695, 33lenltd 10778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ Odd → (13 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 13))
9783, 94, 963bitrd 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ Odd → (12 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 13))
98 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑁 < 13 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
9997, 98syl6bi 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ Odd → (12 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
10099com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (12 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
101 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (12 = 𝑁 → (12 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
102 6p6e12 12164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (6 + 6) = 12
103 6even 43861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6 ∈ Even
104 epee 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((6 ∈ Even ∧ 6 ∈ Even ) → (6 + 6) ∈ Even )
105103, 103, 104mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (6 + 6) ∈ Even
106102, 105eqeltrri 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12 ∈ Even
107 evennodd 43793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (12 ∈ Even → ¬ 12 ∈ Odd )
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ¬ 12 ∈ Odd
109108pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (12 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
110101, 109syl6bir 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (12 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
111100, 110jaoi 853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((12 < 𝑁12 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
112111com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ Odd → ((12 < 𝑁12 = 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
11380, 112sylbid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ Odd → (11 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
114113com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (11 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
115 11gbo 43925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 11 ∈ GoldbachOdd
116 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (11 = 𝑁 → (11 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
117115, 116mpbii 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (11 = 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOdd )
1181172a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (11 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
119114, 118jaoi 853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((11 < 𝑁11 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
120119com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ Odd → ((11 < 𝑁11 = 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
12159, 120sylbid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ Odd → (10 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
122121com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (10 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
123 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (10 = 𝑁 → (10 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
124 5p5e10 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (5 + 5) = 10
125 5odd 43860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 ∈ Odd
126 opoeALTV 43833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((5 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) → (5 + 5) ∈ Even )
127125, 125, 126mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (5 + 5) ∈ Even
128124, 127eqeltrri 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10 ∈ Even
129 evennodd 43793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (10 ∈ Even → ¬ 10 ∈ Odd )
130128, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ¬ 10 ∈ Odd
131130pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (10 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
132123, 131syl6bir 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (10 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
133122, 132jaoi 853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((10 < 𝑁10 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
134133com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ Odd → ((10 < 𝑁10 = 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
13546, 134sylbid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
136135com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
137 9gbo 43924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ GoldbachOdd
138 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 = 𝑁 → (9 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
139137, 138mpbii 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (9 = 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOdd )
1401392a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
141136, 140jaoi 853 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
142141com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ Odd → ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
14335, 142sylbid 242 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
144143com12 32 . . . . . . . . . 10 (8 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
145 eleq1 2898 . . . . . . . . . . 11 (8 = 𝑁 → (8 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
146 8even 43863 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ Even
147 evennodd 43793 . . . . . . . . . . . . 13 (8 ∈ Even → ¬ 8 ∈ Odd )
148146, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 8 ∈ Odd
149148pm2.21i 119 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
150145, 149syl6bir 256 . . . . . . . . . 10 (8 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
151144, 150jaoi 853 . . . . . . . . 9 ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
152151com12 32 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Odd → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
15323, 152sylbid 242 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
154153imp 409 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
155154com12 32 . . . . 5 (𝑁 < 13 → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
1561553ad2ant3 1129 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁𝑁 < 13) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
157156com12 32 . . 3 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁𝑁 < 13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
1589, 157syl5bi 244 . 2 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 ∈ (7[,)13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
1591583impia 1111 1 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 ∈ (7[,)13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  2c2 11684  3c3 11685  5c5 11687  6c6 11688  7c7 11689  8c8 11690  9c9 11691  cz 11973  cdc 12090  [,)cico 12732   Even ceven 43774   Odd codd 43775   GoldbachOdd cgbo 43897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fz 12885  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-prm 16008  df-even 43776  df-odd 43777  df-gbo 43900
This theorem is referenced by:  bgoldbtbnd  43959
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