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Theorem bgoldbtbndlem1 47729
Description: Lemma 1 for bgoldbtbnd 47733: the odd numbers between 7 and 13 (exclusive) are odd Goldbach numbers. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem1 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 ∈ (7[,)13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem bgoldbtbndlem1
StepHypRef Expression
1 7re 12356 . . . . 5 7 ∈ ℝ
21rexri 11316 . . . 4 7 ∈ ℝ*
3 1nn0 12539 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
4 3nn 12342 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12750 . . . . . 6 13 ∈ ℕ
65nnrei 12272 . . . . 5 13 ∈ ℝ
76rexri 11316 . . . 4 13 ∈ ℝ*
8 elico1 13426 . . . 4 ((7 ∈ ℝ*13 ∈ ℝ*) → (𝑁 ∈ (7[,)13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁𝑁 < 13)))
92, 7, 8mp2an 692 . . 3 (𝑁 ∈ (7[,)13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁𝑁 < 13))
10 7nn 12355 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ
1110nnzi 12638 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℤ
12 oddz 47555 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
13 zltp1le 12664 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
14 7p1e8 12412 . . . . . . . . . . . 12 (7 + 1) = 8
1514breq1i 5154 . . . . . . . . . . 11 ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
17 8re 12359 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (7 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
19 zre 12614 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20 leloe 11344 . . . . . . . . . . 11 ((8 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
2118, 19, 20syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
2213, 16, 213bitrd 305 . . . . . . . . 9 ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
2311, 12, 22sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
24 8nn 12358 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
2524nnzi 12638 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℤ
26 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
2725, 12, 26sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
28 8p1e9 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 + 1) = 9
2928breq1i 5154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ Odd → ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁))
31 9re 12362 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ Odd → 9 ∈ ℝ)
3312zred 12719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℝ)
3432, 33leloed 11401 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ Odd → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
3527, 30, 343bitrd 305 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
36 9nn 12361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℕ
3736nnzi 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9 ∈ ℤ
38 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
3937, 12, 38sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
40 9p1e10 12732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (9 + 1) = 10
4140breq1i 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((9 + 1) ≤ 𝑁10 ≤ 𝑁)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ Odd → ((9 + 1) ≤ 𝑁10 ≤ 𝑁))
43 10re 12749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 10 ∈ ℝ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ Odd → 10 ∈ ℝ)
4544, 33leloed 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ Odd → (10 ≤ 𝑁 ↔ (10 < 𝑁10 = 𝑁)))
4639, 42, 453bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (10 < 𝑁10 = 𝑁)))
47 10nn 12746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 10 ∈ ℕ
4847nnzi 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10 ∈ ℤ
49 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((10 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (10 < 𝑁 ↔ (10 + 1) ≤ 𝑁))
5048, 12, 49sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ Odd → (10 < 𝑁 ↔ (10 + 1) ≤ 𝑁))
51 dec10p 12773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (10 + 1) = 11
5251breq1i 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((10 + 1) ≤ 𝑁11 ≤ 𝑁)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ Odd → ((10 + 1) ≤ 𝑁11 ≤ 𝑁))
54 1nn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℕ
553, 54decnncl 12750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 11 ∈ ℕ
5655nnrei 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 11 ∈ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ Odd → 11 ∈ ℝ)
5857, 33leloed 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ Odd → (11 ≤ 𝑁 ↔ (11 < 𝑁11 = 𝑁)))
5950, 53, 583bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ Odd → (10 < 𝑁 ↔ (11 < 𝑁11 = 𝑁)))
6055nnzi 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 11 ∈ ℤ
61 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((11 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (11 < 𝑁 ↔ (11 + 1) ≤ 𝑁))
6260, 12, 61sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ Odd → (11 < 𝑁 ↔ (11 + 1) ≤ 𝑁))
6351eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 11 = (10 + 1)
6463oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (11 + 1) = ((10 + 1) + 1)
6547nncni 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10 ∈ ℂ
66 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℂ
6765, 66, 66addassi 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((10 + 1) + 1) = (10 + (1 + 1))
68 1p1e2 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1 + 1) = 2
6968oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (10 + (1 + 1)) = (10 + 2)
70 dec10p 12773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (10 + 2) = 12
7169, 70eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (10 + (1 + 1)) = 12
7264, 67, 713eqtri 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (11 + 1) = 12
7372breq1i 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((11 + 1) ≤ 𝑁12 ≤ 𝑁)
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ Odd → ((11 + 1) ≤ 𝑁12 ≤ 𝑁))
75 2nn 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℕ
763, 75decnncl 12750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 12 ∈ ℕ
7776nnrei 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 12 ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ Odd → 12 ∈ ℝ)
7978, 33leloed 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ Odd → (12 ≤ 𝑁 ↔ (12 < 𝑁12 = 𝑁)))
8062, 74, 793bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ Odd → (11 < 𝑁 ↔ (12 < 𝑁12 = 𝑁)))
8176nnzi 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 12 ∈ ℤ
82 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (12 < 𝑁 ↔ (12 + 1) ≤ 𝑁))
8381, 12, 82sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ Odd → (12 < 𝑁 ↔ (12 + 1) ≤ 𝑁))
8470eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 12 = (10 + 2)
8584oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (12 + 1) = ((10 + 2) + 1)
86 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 ∈ ℂ
8765, 86, 66addassi 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((10 + 2) + 1) = (10 + (2 + 1))
88 2p1e3 12405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (2 + 1) = 3
8988oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (10 + (2 + 1)) = (10 + 3)
90 dec10p 12773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (10 + 3) = 13
9189, 90eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (10 + (2 + 1)) = 13
9285, 87, 913eqtri 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (12 + 1) = 13
9392breq1i 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((12 + 1) ≤ 𝑁13 ≤ 𝑁)
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ Odd → ((12 + 1) ≤ 𝑁13 ≤ 𝑁))
956a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ Odd → 13 ∈ ℝ)
9695, 33lenltd 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ Odd → (13 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 13))
9783, 94, 963bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ Odd → (12 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 13))
98 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑁 < 13 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
9997, 98biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ Odd → (12 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
10099com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (12 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
101 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (12 = 𝑁 → (12 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
102 6p6e12 12804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (6 + 6) = 12
103 6even 47635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6 ∈ Even
104 epee 47629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((6 ∈ Even ∧ 6 ∈ Even ) → (6 + 6) ∈ Even )
105103, 103, 104mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (6 + 6) ∈ Even
106102, 105eqeltrri 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12 ∈ Even
107 evennodd 47567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (12 ∈ Even → ¬ 12 ∈ Odd )
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ¬ 12 ∈ Odd
109108pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (12 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
110101, 109biimtrrdi 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (12 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
111100, 110jaoi 857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((12 < 𝑁12 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
112111com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ Odd → ((12 < 𝑁12 = 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
11380, 112sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ Odd → (11 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
114113com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (11 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
115 11gbo 47699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 11 ∈ GoldbachOdd
116 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (11 = 𝑁 → (11 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
117115, 116mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (11 = 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOdd )
1181172a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (11 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
119114, 118jaoi 857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((11 < 𝑁11 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
120119com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ Odd → ((11 < 𝑁11 = 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
12159, 120sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ Odd → (10 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
122121com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (10 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
123 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (10 = 𝑁 → (10 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
124 5p5e10 12801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (5 + 5) = 10
125 5odd 47634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 ∈ Odd
126 opoeALTV 47607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((5 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) → (5 + 5) ∈ Even )
127125, 125, 126mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (5 + 5) ∈ Even
128124, 127eqeltrri 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10 ∈ Even
129 evennodd 47567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (10 ∈ Even → ¬ 10 ∈ Odd )
130128, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ¬ 10 ∈ Odd
131130pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (10 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
132123, 131biimtrrdi 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (10 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
133122, 132jaoi 857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((10 < 𝑁10 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
134133com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ Odd → ((10 < 𝑁10 = 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
13546, 134sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
136135com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
137 9gbo 47698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ GoldbachOdd
138 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 = 𝑁 → (9 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
139137, 138mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (9 = 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOdd )
1401392a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
141136, 140jaoi 857 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
142141com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ Odd → ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
14335, 142sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
144143com12 32 . . . . . . . . . 10 (8 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
145 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (8 = 𝑁 → (8 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
146 8even 47637 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ Even
147 evennodd 47567 . . . . . . . . . . . . 13 (8 ∈ Even → ¬ 8 ∈ Odd )
148146, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 8 ∈ Odd
149148pm2.21i 119 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
150145, 149biimtrrdi 254 . . . . . . . . . 10 (8 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
151144, 150jaoi 857 . . . . . . . . 9 ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
152151com12 32 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Odd → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
15323, 152sylbid 240 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
154153imp 406 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 < 13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
155154com12 32 . . . . 5 (𝑁 < 13 → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
1561553ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁𝑁 < 13) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
157156com12 32 . . 3 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁𝑁 < 13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
1589, 157biimtrid 242 . 2 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 ∈ (7[,)13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
1591583impia 1116 1 ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁𝑁 ∈ (7[,)13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  2c2 12318  3c3 12319  5c5 12321  6c6 12322  7c7 12323  8c8 12324  9c9 12325  cz 12610  cdc 12730  [,)cico 13385   Even ceven 47548   Odd codd 47549   GoldbachOdd cgbo 47671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-prm 16705  df-even 47550  df-odd 47551  df-gbo 47674
This theorem is referenced by:  bgoldbtbnd  47733
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