Theorem bgoldbtbndlem1 46773

Description: Lemma 1 for bgoldbtbnd 46777: the odd numbers between 7 and 13 (exclusive) are odd Goldbach numbers. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bgoldbtbndlem1	⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (7[,);13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem bgoldbtbndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7re 12310	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
2	1	rexri 11277	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℝ*
3		1nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		3nn 12296	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12702	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℕ
6	5	nnrei 12226	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℝ
7	6	rexri 11277	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ ℝ*
8		elico1 13372	. . . 4 ⊢ ((7 ∈ ℝ* ∧ ;13 ∈ ℝ*) → (𝑁 ∈ (7[,);13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13)))
9	2, 7, 8	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (7[,);13) ↔ (𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13))
10		7nn 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
11	10	nnzi 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℤ
12		oddz 46599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zltp1le 12617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
14		7p1e8 12366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 1) = 8
15	14	breq1i 5156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
17		8re 12313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
19		zre 12567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20		leloe 11305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((8 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
21	18, 19, 20	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
22	13, 16, 21	3bitrd 304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
23	11, 12, 22	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
24		8nn 12312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
25	24	nnzi 12591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
26		zltp1le 12617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
27	25, 12, 26	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
28		8p1e9 12367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 + 1) = 9
29	28	breq1i 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((8 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 9 ≤ 𝑁))
31		9re 12316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 9 ∈ ℝ)
33	12	zred 12671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℝ)
34	32, 33	leloed 11362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 ≤ 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
35	27, 30, 34	3bitrd 304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 ↔ (9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁)))
36		9nn 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℕ
37	36	nnzi 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 9 ∈ ℤ
38		zltp1le 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
39	37, 12, 38	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (9 + 1) ≤ 𝑁))
40		9p1e10 12684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (9 + 1) = ;10
41	40	breq1i 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((9 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;10 ≤ 𝑁)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((9 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;10 ≤ 𝑁))
43		10re 12701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;10 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;10 ∈ ℝ)
45	44, 33	leloed 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 ≤ 𝑁 ↔ (;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁)))
46	39, 42, 45	3bitrd 304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 ↔ (;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁)))
47		10nn 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;10 ∈ ℕ
48	47	nnzi 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;10 ∈ ℤ
49		zltp1le 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;10 < 𝑁 ↔ (;10 + 1) ≤ 𝑁))
50	48, 12, 49	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 ↔ (;10 + 1) ≤ 𝑁))
51		dec10p 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;10 + 1) = ;11
52	51	breq1i 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((;10 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;11 ≤ 𝑁)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;10 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;11 ≤ 𝑁))
54		1nn 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℕ
55	3, 54	decnncl 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;11 ∈ ℕ
56	55	nnrei 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;11 ∈ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;11 ∈ ℝ)
58	57, 33	leloed 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 ≤ 𝑁 ↔ (;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁)))
59	50, 53, 58	3bitrd 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 ↔ (;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁)))
60	55	nnzi 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ;11 ∈ ℤ
61		zltp1le 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;11 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;11 < 𝑁 ↔ (;11 + 1) ≤ 𝑁))
62	60, 12, 61	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 ↔ (;11 + 1) ≤ 𝑁))
63	51	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;11 = (;10 + 1)
64	63	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (;11 + 1) = ((;10 + 1) + 1)
65	47	nncni 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;10 ∈ ℂ
66		ax-1cn 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℂ
67	65, 66, 66	addassi 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((;10 + 1) + 1) = (;10 + (1 + 1))
68		1p1e2 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (1 + 1) = 2
69	68	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;10 + (1 + 1)) = (;10 + 2)
70		dec10p 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;10 + 2) = ;12
71	69, 70	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (;10 + (1 + 1)) = ;12
72	64, 67, 71	3eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;11 + 1) = ;12
73	72	breq1i 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((;11 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;12 ≤ 𝑁)
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;11 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;12 ≤ 𝑁))
75		2nn 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 2 ∈ ℕ
76	3, 75	decnncl 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ;12 ∈ ℕ
77	76	nnrei 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ;12 ∈ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;12 ∈ ℝ)
79	78, 33	leloed 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 ≤ 𝑁 ↔ (;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁)))
80	62, 74, 79	3bitrd 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 ↔ (;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁)))
81	76	nnzi 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ;12 ∈ ℤ
82		zltp1le 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;12 < 𝑁 ↔ (;12 + 1) ≤ 𝑁))
83	81, 12, 82	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 ↔ (;12 + 1) ≤ 𝑁))
84	70	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ;12 = (;10 + 2)
85	84	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (;12 + 1) = ((;10 + 2) + 1)
86		2cn 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 2 ∈ ℂ
87	65, 86, 66	addassi 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((;10 + 2) + 1) = (;10 + (2 + 1))
88		2p1e3 12359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (2 + 1) = 3
89	88	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (;10 + (2 + 1)) = (;10 + 3)
90		dec10p 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (;10 + 3) = ;13
91	89, 90	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (;10 + (2 + 1)) = ;13
92	85, 87, 91	3eqtri 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (;12 + 1) = ;13
93	92	breq1i 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((;12 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;13 ≤ 𝑁)
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;12 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ;13 ≤ 𝑁))
95	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ;13 ∈ ℝ)
96	95, 33	lenltd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;13 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < ;13))
97	83, 94, 96	3bitrd 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < ;13))
98		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ 𝑁 < ;13 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
99	97, 98	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;12 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
100	99	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;12 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
101		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;12 = 𝑁 → (;12 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
102		6p6e12 12756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (6 + 6) = ;12
103		6even 46679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 6 ∈ Even
104		epee 46673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((6 ∈ Even ∧ 6 ∈ Even ) → (6 + 6) ∈ Even )
105	103, 103, 104	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (6 + 6) ∈ Even
106	102, 105	eqeltrri 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ;12 ∈ Even
107		evennodd 46611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (;12 ∈ Even → ¬ ;12 ∈ Odd )
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ¬ ;12 ∈ Odd
109	108	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (;12 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
110	101, 109	syl6bir 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;12 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
111	100, 110	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
112	111	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;12 < 𝑁 ∨ ;12 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
113	80, 112	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;11 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
114	113	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (;11 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
115		11gbo 46743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;11 ∈ GoldbachOdd
116		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (;11 = 𝑁 → (;11 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
117	115, 116	mpbii 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;11 = 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
118	117	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (;11 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
119	114, 118	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
120	119	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;11 < 𝑁 ∨ ;11 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
121	59, 120	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (;10 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
122	121	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;10 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
123		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;10 = 𝑁 → (;10 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
124		5p5e10 12753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (5 + 5) = ;10
125		5odd 46678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 5 ∈ Odd
126		opoeALTV 46651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((5 ∈ Odd ∧ 5 ∈ Odd ) → (5 + 5) ∈ Even )
127	125, 125, 126	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (5 + 5) ∈ Even
128	124, 127	eqeltrri 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;10 ∈ Even
129		evennodd 46611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (;10 ∈ Even → ¬ ;10 ∈ Odd )
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ¬ ;10 ∈ Odd
131	130	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;10 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
132	123, 131	syl6bir 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;10 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
133	122, 132	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
134	133	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((;10 < 𝑁 ∨ ;10 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
135	46, 134	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (9 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
136	135	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
137		9gbo 46742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 ∈ GoldbachOdd
138		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (9 = 𝑁 → (9 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
139	137, 138	mpbii 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (9 = 𝑁 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )
140	139	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
141	136, 140	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
142	141	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((9 < 𝑁 ∨ 9 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
143	35, 142	sylbid 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (8 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
144	143	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
145		eleq1 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → (8 ∈ Odd ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
146		8even 46681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ Even
147		evennodd 46611	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 ∈ Even → ¬ 8 ∈ Odd )
148	146, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 8 ∈ Odd
149	148	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
150	145, 149	syl6bir 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
151	144, 150	jaoi 854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
152	151	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
153	23, 152	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (7 < 𝑁 → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
154	153	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 < ;13 → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
155	154	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < ;13 → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
156	155	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
157	156	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < ;13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
158	9, 157	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁) → (𝑁 ∈ (7[,);13) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
159	158	3impia 1116	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (7[,);13)) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  ℝ^*cxr 11252   < clt 11253   ≤ cle 11254  2c2 12272  3c3 12273  5c5 12275  6c6 12276  7c7 12277  8c8 12278  9c9 12279  ℤcz 12563  ;cdc 12682  [,)cico 13331   Even ceven 46592   Odd codd 46593   GoldbachOdd cgbo 46715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-prm 16614  df-even 46594  df-odd 46595  df-gbo 46718

This theorem is referenced by:  bgoldbtbnd  46777