Theorem dpgti 33262

Description: Comparing a decimal expansions with the next lower integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpgti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpgti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
dpgti	⊢ 𝐴 < (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem dpgti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpgti.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0rei 12533	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		dpgti.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
4		10re 12752	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ
5		10pos 12750	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
6	4, 5	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
7		elrp 13036	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
8	6, 7	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 13061	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+)
10	3, 8, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+
11		ltaddrp 13073	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
12	2, 10, 11	mp2an 705	. 2 ⊢ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))
13		rpre 13043	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	3, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
15	1, 14	dpval2 33249	. 2 ⊢ (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
16	12, 15	breqtrri 5143	1 ⊢ 𝐴 < (𝐴.𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   < clt 11261   / cdiv 11889  ℕ₀cn0 12522  ;cdc 12729  ℝ⁺crp 13034  .cdp 33244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-dec 12730  df-rp 13035  df-dp2 33228  df-dp 33245

This theorem is used by:  hgt750lem  35070