Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpgti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpgti 30608
Description: Comparing a decimal expansions with the next lower integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpgti.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpgti.b 𝐵 ∈ ℝ+
Assertion
Ref Expression
dpgti 𝐴 < (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem dpgti
StepHypRef Expression
1 dpgti.a . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
21nn0rei 11896 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
3 dpgti.b . . . 4 𝐵 ∈ ℝ+
4 10re 12105 . . . . . 6 10 ∈ ℝ
5 10pos 12103 . . . . . 6 0 < 10
64, 5pm3.2i 474 . . . . 5 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
7 elrp 12379 . . . . 5 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
86, 7mpbir 234 . . . 4 10 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 12402 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 10) ∈ ℝ+)
103, 8, 9mp2an 691 . . 3 (𝐵 / 10) ∈ ℝ+
11 ltaddrp 12414 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / 10)))
122, 10, 11mp2an 691 . 2 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / 10))
13 rpre 12385 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
143, 13ax-mp 5 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
151, 14dpval2 30595 . 2 (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / 10))
1612, 15breqtrri 5057 1 𝐴 < (𝐴.𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399  wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   / cdiv 11286  0cn0 11885  cdc 12086  +crp 12377  .cdp 30590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087  df-rp 12378  df-dp2 30574  df-dp 30591
This theorem is referenced by:  hgt750lem  32032
  Copyright terms: Public domain W3C validator