Theorem dpgti 32859

Description: Comparing a decimal expansions with the next lower integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpgti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpgti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
dpgti	⊢ 𝐴 < (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem dpgti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpgti.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0rei 12413	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		dpgti.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
4		10re 12628	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ
5		10pos 12626	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
7		elrp 12913	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
8	6, 7	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 12938	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+)
10	3, 8, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+
11		ltaddrp 12950	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
12	2, 10, 11	mp2an 692	. 2 ⊢ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))
13		rpre 12920	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	3, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
15	1, 14	dpval2 32846	. 2 ⊢ (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
16	12, 15	breqtrri 5122	1 ⊢ 𝐴 < (𝐴.𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   / cdiv 11795  ℕ₀cn0 12402  ;cdc 12609  ℝ⁺crp 12911  .cdp 32841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-dec 12610  df-rp 12912  df-dp2 32825  df-dp 32842

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34618