Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpgti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpgti 29937
Description: Comparing a decimal expansions with the next lower integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpgti.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpgti.b 𝐵 ∈ ℝ+
Assertion
Ref Expression
dpgti 𝐴 < (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem dpgti
StepHypRef Expression
1 dpgti.a . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
21nn0rei 11568 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
3 dpgti.b . . . 4 𝐵 ∈ ℝ+
4 10re 11776 . . . . . 6 10 ∈ ℝ
5 10pos 11774 . . . . . 6 0 < 10
64, 5pm3.2i 458 . . . . 5 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
7 elrp 12046 . . . . 5 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
86, 7mpbir 222 . . . 4 10 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 12068 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 10) ∈ ℝ+)
103, 8, 9mp2an 675 . . 3 (𝐵 / 10) ∈ ℝ+
11 ltaddrp 12079 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / 10)))
122, 10, 11mp2an 675 . 2 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / 10))
13 rpre 12051 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
143, 13ax-mp 5 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
151, 14dpval2 29924 . 2 (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / 10))
1612, 15breqtrri 4869 1 𝐴 < (𝐴.𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  wcel 2156   class class class wbr 4842  (class class class)co 6872  cr 10218  0cc0 10219  1c1 10220   + caddc 10222   < clt 10357   / cdiv 10967  0cn0 11557  cdc 11757  +crp 12044  .cdp 29919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-om 7294  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-er 7977  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-div 10968  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-4 11364  df-5 11365  df-6 11366  df-7 11367  df-8 11368  df-9 11369  df-n0 11558  df-dec 11758  df-rp 12045  df-dp2 29903  df-dp 29920
This theorem is referenced by:  hgt750lem  31052
  Copyright terms: Public domain W3C validator