Theorem dpgti 32623

Description: Comparing a decimal expansions with the next lower integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpgti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpgti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
dpgti	⊢ 𝐴 < (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem dpgti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpgti.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0rei 12507	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		dpgti.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
4		10re 12720	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ
5		10pos 12718	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
7		elrp 13002	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
8	6, 7	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 13025	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+)
10	3, 8, 9	mp2an 691	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+
11		ltaddrp 13037	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
12	2, 10, 11	mp2an 691	. 2 ⊢ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))
13		rpre 13008	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	3, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
15	1, 14	dpval2 32610	. 2 ⊢ (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
16	12, 15	breqtrri 5169	1 ⊢ 𝐴 < (𝐴.𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝcr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   < clt 11272   / cdiv 11895  ℕ₀cn0 12496  ;cdc 12701  ℝ⁺crp 13000  .cdp 32605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-dec 12702  df-rp 13001  df-dp2 32589  df-dp 32606

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34277