Theorem dpgti 30353

Description: Comparing a decimal expansions with the next lower integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpgti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpgti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
dpgti	⊢ 𝐴 < (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem dpgti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpgti.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0rei 11718	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		dpgti.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
4		10re 11929	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ
5		10pos 11927	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
6	4, 5	pm3.2i 463	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
7		elrp 12205	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ+ ↔ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10))
8	6, 7	mpbir 223	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 12230	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ ;10 ∈ ℝ+) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+)
10	3, 8, 9	mp2an 680	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+
11		ltaddrp 12242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
12	2, 10, 11	mp2an 680	. 2 ⊢ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 / ;10))
13		rpre 12211	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	3, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
15	1, 14	dpval2 30340	. 2 ⊢ (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
16	12, 15	breqtrri 4953	1 ⊢ 𝐴 < (𝐴.𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 387   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4926  (class class class)co 6975  ℝcr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   < clt 10473   / cdiv 11097  ℕ₀cn0 11706  ;cdc 11910  ℝ⁺crp 12203  .cdp 30335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-dec 11911  df-rp 12204  df-dp2 30319  df-dp 30336

This theorem is referenced by:  hgt750lem  31603