Theorem thlleOLD 21559

Description: Obsolete proof of thlle 21558 as of 11-Nov-2024. Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
thlleOLD	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlleOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
2		pleid 17310	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
3		10re 12692	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4		1nn0 12484	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		0nn0 12483	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		1nn 12219	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		0lt1 11732	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8	4, 5, 6, 7	declt 12701	. . . . . . 7 ⊢ ;10 < ;11
9	3, 8	ltneii 11323	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ ;11
10		plendx 17309	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) = ;10
11		ocndx 17324	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
12	10, 11	neeq12i 2999	. . . . . 6 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;11)
13	9, 12	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
14	2, 13	setsnid 17140	. . . 4 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
15	1, 14	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
16		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
17		thlbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
18		thlle.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
19		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
20	16, 17, 18, 19	thlval 21555	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
21	20	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
22	15, 21	eqtr4id 2783	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
23	2	str0 17120	. . 3 ⊢ ∅ = (le‘∅)
24	17	fvexi 6895	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
25	18	ipolerval 18486	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼)
27	1, 26	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
28		opabn0 5543	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦))
29		vex 3470	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
30		vex 3470	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
31	29, 30	prss 4815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
32		elfvex 6919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
33	32, 17	eleq2s 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ V)
34	33	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
35	31, 34	sylanbr 581	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
36	35	exlimivv 1927	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
37	28, 36	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
38	37	necon1bi 2961	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = ∅)
39	27, 38	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = ∅)
40		fvprc 6873	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
41	16, 40	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
42	41	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
43	23, 39, 42	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
44	22, 43	pm2.61i 182	1 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  {cpr 4622  ⟨cop 4626  {copab 5200  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11105  1c1 11106  ;cdc 12673   sSet csts 17094  ndxcnx 17124  lecple 17202  occoc 17203  toInccipo 18481  ocvcocv 21520  ClSubSpccss 21521  toHLcthl 21522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ocomp 17216  df-ipo 18482  df-thl 21525

This theorem is referenced by: (None)