Theorem thlleOLD 20984

Description: Obsolete proof of thlle 20983 as of 11-Nov-2024. Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
thlleOLD	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlleOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
2		pleid 17151	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
3		10re 12535	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4		1nn0 12328	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		0nn0 12327	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		1nn 12063	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		0lt1 11576	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8	4, 5, 6, 7	declt 12544	. . . . . . 7 ⊢ ;10 < ;11
9	3, 8	ltneii 11167	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ ;11
10		plendx 17150	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) = ;10
11		ocndx 17165	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
12	10, 11	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;11)
13	9, 12	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
14	2, 13	setsnid 16984	. . . 4 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
15	1, 14	eqtri 2764	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
16		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
17		thlbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
18		thlle.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
20	16, 17, 18, 19	thlval 20980	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
21	20	fveq2d 6815	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
22	15, 21	eqtr4id 2795	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
23	2	str0 16964	. . 3 ⊢ ∅ = (le‘∅)
24	17	fvexi 6825	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
25	18	ipolerval 18324	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼)
27	1, 26	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
28		opabn0 5485	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦))
29		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
30		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
31	29, 30	prss 4764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
32		elfvex 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
33	32, 17	eleq2s 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ V)
34	33	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
35	31, 34	sylanbr 582	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
36	35	exlimivv 1934	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
37	28, 36	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
38	37	necon1bi 2969	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = ∅)
39	27, 38	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = ∅)
40		fvprc 6803	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
41	16, 40	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
42	41	fveq2d 6815	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
43	23, 39, 42	3eqtr4a 2802	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
44	22, 43	pm2.61i 182	1 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  Vcvv 3440   ⊆ wss 3896  ∅c0 4266  {cpr 4572  ⟨cop 4576  {copab 5148  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  0cc0 10950  1c1 10951  ;cdc 12516   sSet csts 16938  ndxcnx 16968  lecple 17043  occoc 17044  toInccipo 18319  ocvcocv 20945  ClSubSpccss 20946  toHLcthl 20947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-fz 13319  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ocomp 17057  df-ipo 18320  df-thl 20950

This theorem is referenced by: (None)