MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlleOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlleOLD 21734
Description: Obsolete version of thlle 21733 as of 11-Nov-2024. Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l = (le‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
thlleOLD = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlleOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlle.l . . . 4 = (le‘𝐼)
2 pleid 17412 . . . . 5 le = Slot (le‘ndx)
3 10re 12749 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
4 1nn0 12539 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
5 0nn0 12538 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
6 1nn 12274 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
7 0lt1 11782 . . . . . . . 8 0 < 1
84, 5, 6, 7declt 12758 . . . . . . 7 10 < 11
93, 8ltneii 11371 . . . . . 6 10 ≠ 11
10 plendx 17411 . . . . . . 7 (le‘ndx) = 10
11 ocndx 17426 . . . . . . 7 (oc‘ndx) = 11
1210, 11neeq12i 3004 . . . . . 6 ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 10 ≠ 11)
139, 12mpbir 231 . . . . 5 (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
142, 13setsnid 17242 . . . 4 (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
151, 14eqtri 2762 . . 3 = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
16 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHL‘𝑊)
17 thlbas.c . . . . 5 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
18 thlle.i . . . . 5 𝐼 = (toInc‘𝐶)
19 eqid 2734 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2016, 17, 18, 19thlval 21730 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
2120fveq2d 6910 . . 3 (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
2215, 21eqtr4id 2793 . 2 (𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
232str0 17222 . . 3 ∅ = (le‘∅)
2417fvexi 6920 . . . . . 6 𝐶 ∈ V
2518ipolerval 18589 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼))
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼)
271, 26eqtr4i 2765 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)}
28 opabn0 5562 . . . . . 6 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦))
29 vex 3481 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
30 vex 3481 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
3129, 30prss 4824 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐶𝑦𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
32 elfvex 6944 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
3332, 17eleq2s 2856 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶𝑊 ∈ V)
3433ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐶𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3531, 34sylanbr 582 . . . . . . 7 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3635exlimivv 1929 . . . . . 6 (∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3728, 36sylbi 217 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
3837necon1bi 2966 . . . 4 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = ∅)
3927, 38eqtrid 2786 . . 3 𝑊 ∈ V → = ∅)
40 fvprc 6898 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
4116, 40eqtrid 2786 . . . 4 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
4241fveq2d 6910 . . 3 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
4323, 39, 423eqtr4a 2800 . 2 𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
4422, 43pm2.61i 182 1 = (le‘𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338  {cpr 4632  cop 4636  {copab 5209  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  cdc 12730   sSet csts 17196  ndxcnx 17226  lecple 17304  occoc 17305  toInccipo 18584  ocvcocv 21695  ClSubSpccss 21696  toHLcthl 21697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ipo 18585  df-thl 21700
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator