MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlleOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlleOLD 21717
Description: Obsolete version of thlle 21716 as of 11-Nov-2024. Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l = (le‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
thlleOLD = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlleOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlle.l . . . 4 = (le‘𝐼)
2 pleid 17411 . . . . 5 le = Slot (le‘ndx)
3 10re 12752 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
4 1nn0 12542 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
5 0nn0 12541 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
6 1nn 12277 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
7 0lt1 11785 . . . . . . . 8 0 < 1
84, 5, 6, 7declt 12761 . . . . . . 7 10 < 11
93, 8ltneii 11374 . . . . . 6 10 ≠ 11
10 plendx 17410 . . . . . . 7 (le‘ndx) = 10
11 ocndx 17425 . . . . . . 7 (oc‘ndx) = 11
1210, 11neeq12i 3007 . . . . . 6 ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 10 ≠ 11)
139, 12mpbir 231 . . . . 5 (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
142, 13setsnid 17245 . . . 4 (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
151, 14eqtri 2765 . . 3 = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
16 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHL‘𝑊)
17 thlbas.c . . . . 5 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
18 thlle.i . . . . 5 𝐼 = (toInc‘𝐶)
19 eqid 2737 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2016, 17, 18, 19thlval 21713 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
2120fveq2d 6910 . . 3 (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
2215, 21eqtr4id 2796 . 2 (𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
232str0 17226 . . 3 ∅ = (le‘∅)
2417fvexi 6920 . . . . . 6 𝐶 ∈ V
2518ipolerval 18577 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼))
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼)
271, 26eqtr4i 2768 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)}
28 opabn0 5558 . . . . . 6 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦))
29 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
30 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
3129, 30prss 4820 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐶𝑦𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
32 elfvex 6944 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
3332, 17eleq2s 2859 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶𝑊 ∈ V)
3433ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐶𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3531, 34sylanbr 582 . . . . . . 7 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3635exlimivv 1932 . . . . . 6 (∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3728, 36sylbi 217 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
3837necon1bi 2969 . . . 4 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = ∅)
3927, 38eqtrid 2789 . . 3 𝑊 ∈ V → = ∅)
40 fvprc 6898 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
4116, 40eqtrid 2789 . . . 4 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
4241fveq2d 6910 . . 3 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
4323, 39, 423eqtr4a 2803 . 2 𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
4422, 43pm2.61i 182 1 = (le‘𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  {cpr 4628  cop 4632  {copab 5205  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  cdc 12733   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  lecple 17304  occoc 17305  toInccipo 18572  ocvcocv 21678  ClSubSpccss 21679  toHLcthl 21680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ipo 18573  df-thl 21683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator