Theorem slotsdifdsndx 17404

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21417. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifdsndx	⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifdsndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 12297	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		1nn 12216	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		4nn0 12495	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		4lt10 12825	. . . . 5 ⊢ 4 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12726	. . . 4 ⊢ 4 < ;12
7	1, 6	ltneii 11291	. . 3 ⊢ 4 ≠ ;12
8		starvndx 17312	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
9		dsndx 17395	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10	8, 9	neeq12i 3022	. . 3 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ 4 ≠ ;12)
11	7, 10	mpbir 233	. 2 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
12		10re 12706	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
13		1nn0 12492	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		0nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15		2nn 12286	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		2pos 12317	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
17	13, 14, 15, 16	declt 12716	. . . 4 ⊢ ;10 < ;12
18	12, 17	ltneii 11291	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;12
19		plendx 17376	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
20	19, 9	neeq12i 3022	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;12)
21	18, 20	mpbir 233	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
22	11, 21	pm3.2i 474	1 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 399   ≠ wne 2956  ‘cfv 6515  0cc0 11068  1c1 11069  2c2 12267  4c4 12269  ;cdc 12683  ndxcnx 17210  *_𝑟cstv 17269  lecple 17274  distcds 17276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12477  df-z 12564  df-dec 12684  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-starv 17282  df-ple 17287  df-ds 17289

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21417