Theorem slotsdifdsndx 17374

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21293. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifdsndx	⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifdsndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 12326	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		1nn 12253	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12519	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		4nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		4lt10 12843	. . . . 5 ⊢ 4 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12745	. . . 4 ⊢ 4 < ;12
7	1, 6	ltneii 11357	. . 3 ⊢ 4 ≠ ;12
8		starvndx 17282	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
9		dsndx 17365	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10	8, 9	neeq12i 3004	. . 3 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ 4 ≠ ;12)
11	7, 10	mpbir 230	. 2 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
12		10re 12726	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
13		1nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		0nn0 12517	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15		2nn 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		2pos 12345	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
17	13, 14, 15, 16	declt 12735	. . . 4 ⊢ ;10 < ;12
18	12, 17	ltneii 11357	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;12
19		plendx 17346	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
20	19, 9	neeq12i 3004	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;12)
21	18, 20	mpbir 230	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
22	11, 21	pm3.2i 470	1 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2937  ‘cfv 6548  0cc0 11138  1c1 11139  2c2 12297  4c4 12299  ;cdc 12707  ndxcnx 17161  *_𝑟cstv 17234  lecple 17239  distcds 17241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-starv 17247  df-ple 17252  df-ds 17254

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21293  cnfldfunALTOLD  21306