Theorem slotsdifdsndx 17326

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21336. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifdsndx	⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifdsndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 12241	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		1nn 12168	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		4nn0 12432	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		4lt10 12755	. . . . 5 ⊢ 4 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12657	. . . 4 ⊢ 4 < ;12
7	1, 6	ltneii 11258	. . 3 ⊢ 4 ≠ ;12
8		starvndx 17234	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
9		dsndx 17317	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10	8, 9	neeq12i 2999	. . 3 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ 4 ≠ ;12)
11	7, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
12		10re 12638	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℝ
13		1nn0 12429	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15		2nn 12230	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		2pos 12260	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
17	13, 14, 15, 16	declt 12647	. . . 4 ⊢ ;10 < ;12
18	12, 17	ltneii 11258	. . 3 ⊢ ;10 ≠ ;12
19		plendx 17298	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
20	19, 9	neeq12i 2999	. . 3 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;12)
21	18, 20	mpbir 231	. 2 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
22	11, 21	pm3.2i 470	1 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12212  4c4 12214  ;cdc 12619  ndxcnx 17132  *_𝑟cstv 17191  lecple 17196  distcds 17198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-starv 17204  df-ple 17209  df-ds 17211

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21336  cnfldfunALTOLD  21349