Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999... Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0.999... 14986
 Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 10↑1 + 9 / 10↑2 + 9 / 10↑3 + ..., is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999... Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 11457 . . . . 5 9 ∈ ℂ
2 10re 11840 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
32recni 10371 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
4 nnnn0 11626 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
5 expcl 13172 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 583 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
73a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
8 10pos 11838 . . . . . . . 8 0 < 10
92, 8gt0ne0ii 10888 . . . . . . 7 10 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ≠ 0)
11 nnz 11727 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
127, 10, 11expne0d 13308 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ≠ 0)
13 divrec 11026 . . . . 5 ((9 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
141, 6, 12, 13mp3an2i 1596 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
157, 10, 11exprecd 13310 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
1615oveq2d 6921 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1714, 16eqtr4d 2864 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
1817sumeq2i 14806 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
192, 9rereccli 11116 . . . . 5 (1 / 10) ∈ ℝ
2019recni 10371 . . . 4 (1 / 10) ∈ ℂ
21 0re 10358 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
222, 8recgt0ii 11259 . . . . . . 7 0 < (1 / 10)
2321, 19, 22ltleii 10479 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 10)
2419absidi 14494 . . . . . 6 (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
26 1lt10 11962 . . . . . 6 1 < 10
27 recgt1 11249 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
282, 8, 27mp2an 685 . . . . . 6 (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
2926, 28mpbi 222 . . . . 5 (1 / 10) < 1
3025, 29eqbrtri 4894 . . . 4 (abs‘(1 / 10)) < 1
31 geoisum1c 14985 . . . 4 ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
321, 20, 30, 31mp3an 1591 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
331, 3, 9divreci 11096 . . . 4 (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
341, 3, 9divcan2i 11094 . . . . . 6 (10 · (9 / 10)) = 9
35 ax-1cn 10310 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
363, 35, 20subdii 10803 . . . . . . 7 (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
373mulid1i 10361 . . . . . . . 8 (10 · 1) = 10
383, 9recidi 11082 . . . . . . . 8 (10 · (1 / 10)) = 1
3937, 38oveq12i 6917 . . . . . . 7 ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
40 10m1e9 11919 . . . . . . 7 (10 − 1) = 9
4136, 39, 403eqtrri 2854 . . . . . 6 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
4234, 41eqtri 2849 . . . . 5 (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
43 9re 11456 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4443, 2, 9redivcli 11118 . . . . . . 7 (9 / 10) ∈ ℝ
4544recni 10371 . . . . . 6 (9 / 10) ∈ ℂ
4635, 20subcli 10678 . . . . . 6 (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
4745, 46, 3, 9mulcani 10991 . . . . 5 ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
4842, 47mpbi 222 . . . 4 (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
4933, 48oveq12i 6917 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
50 9pos 11471 . . . . . 6 0 < 9
5143, 2, 50, 8divgt0ii 11271 . . . . 5 0 < (9 / 10)
5244, 51gt0ne0ii 10888 . . . 4 (9 / 10) ≠ 0
5345, 52dividi 11084 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
5432, 49, 533eqtr2i 2855 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
5518, 54eqtri 2849 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   · cmul 10257   < clt 10391   ≤ cle 10392   − cmin 10585   / cdiv 11009  ℕcn 11350  9c9 11413  ℕ0cn0 11618  ;cdc 11821  ↑cexp 13154  abscabs 14351  Σcsu 14793 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator