MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999... Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0.999... 15236
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 10↑1 + 9 / 10↑2 + 9 / 10↑3 + ..., is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999... Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 11736 . . . . 5 9 ∈ ℂ
2 10re 12116 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
32recni 10654 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
4 nnnn0 11903 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
5 expcl 13446 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 589 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
73a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
8 10pos 12114 . . . . . . . 8 0 < 10
92, 8gt0ne0ii 11175 . . . . . . 7 10 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ≠ 0)
11 nnz 12003 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
127, 10, 11expne0d 13515 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ≠ 0)
13 divrec 11313 . . . . 5 ((9 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
141, 6, 12, 13mp3an2i 1462 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
157, 10, 11exprecd 13517 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
1615oveq2d 7171 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1714, 16eqtr4d 2859 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
1817sumeq2i 15055 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
192, 9rereccli 11404 . . . . 5 (1 / 10) ∈ ℝ
2019recni 10654 . . . 4 (1 / 10) ∈ ℂ
21 0re 10642 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
222, 8recgt0ii 11545 . . . . . . 7 0 < (1 / 10)
2321, 19, 22ltleii 10762 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 10)
2419absidi 14736 . . . . . 6 (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
26 1lt10 12236 . . . . . 6 1 < 10
27 recgt1 11535 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
282, 8, 27mp2an 690 . . . . . 6 (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
2926, 28mpbi 232 . . . . 5 (1 / 10) < 1
3025, 29eqbrtri 5086 . . . 4 (abs‘(1 / 10)) < 1
31 geoisum1c 15235 . . . 4 ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
321, 20, 30, 31mp3an 1457 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
331, 3, 9divreci 11384 . . . 4 (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
341, 3, 9divcan2i 11382 . . . . . 6 (10 · (9 / 10)) = 9
35 ax-1cn 10594 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
363, 35, 20subdii 11088 . . . . . . 7 (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
373mulid1i 10644 . . . . . . . 8 (10 · 1) = 10
383, 9recidi 11370 . . . . . . . 8 (10 · (1 / 10)) = 1
3937, 38oveq12i 7167 . . . . . . 7 ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
40 10m1e9 12193 . . . . . . 7 (10 − 1) = 9
4136, 39, 403eqtrri 2849 . . . . . 6 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
4234, 41eqtri 2844 . . . . 5 (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
43 9re 11735 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4443, 2, 9redivcli 11406 . . . . . . 7 (9 / 10) ∈ ℝ
4544recni 10654 . . . . . 6 (9 / 10) ∈ ℂ
4635, 20subcli 10961 . . . . . 6 (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
4745, 46, 3, 9mulcani 11278 . . . . 5 ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
4842, 47mpbi 232 . . . 4 (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
4933, 48oveq12i 7167 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
50 9pos 11749 . . . . . 6 0 < 9
5143, 2, 50, 8divgt0ii 11556 . . . . 5 0 < (9 / 10)
5244, 51gt0ne0ii 11175 . . . 4 (9 / 10) ≠ 0
5345, 52dividi 11372 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
5432, 49, 533eqtr2i 2850 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
5518, 54eqtri 2844 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   · cmul 10541   < clt 10674  cle 10675  cmin 10869   / cdiv 11296  cn 11637  9c9 11698  0cn0 11896  cdc 12097  cexp 13428  abscabs 14592  Σcsu 15041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator