MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999... Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0.999... 14854
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 / 10↑1 + 9 / 10↑2 + 9 / 10↑3 + ..., is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
0.999... Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 9cn 11419 . . . . 5 9 ∈ ℂ
2 10re 11798 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
32recni 10349 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
4 nnnn0 11586 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
5 expcl 13121 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 577 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
73a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
8 10pos 11796 . . . . . . . 8 0 < 10
92, 8gt0ne0ii 10859 . . . . . . 7 10 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ≠ 0)
11 nnz 11685 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
127, 10, 11expne0d 13257 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ≠ 0)
13 divrec 10996 . . . . 5 ((9 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
141, 6, 12, 13mp3an2i 1583 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
157, 10, 11exprecd 13259 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
1615oveq2d 6900 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1714, 16eqtr4d 2854 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
1817sumeq2i 14672 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
192, 9rereccli 11085 . . . . 5 (1 / 10) ∈ ℝ
2019recni 10349 . . . 4 (1 / 10) ∈ ℂ
21 0re 10337 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
222, 8recgt0ii 11224 . . . . . . 7 0 < (1 / 10)
2321, 19, 22ltleii 10455 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 10)
2419absidi 14360 . . . . . 6 (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
26 1lt10 11918 . . . . . 6 1 < 10
27 recgt1 11214 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
282, 8, 27mp2an 675 . . . . . 6 (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
2926, 28mpbi 221 . . . . 5 (1 / 10) < 1
3025, 29eqbrtri 4876 . . . 4 (abs‘(1 / 10)) < 1
31 geoisum1c 14853 . . . 4 ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
321, 20, 30, 31mp3an 1578 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
331, 3, 9divreci 11065 . . . 4 (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
341, 3, 9divcan2i 11063 . . . . . 6 (10 · (9 / 10)) = 9
35 ax-1cn 10289 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
363, 35, 20subdii 10774 . . . . . . 7 (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
373mulid1i 10339 . . . . . . . 8 (10 · 1) = 10
383, 9recidi 11051 . . . . . . . 8 (10 · (1 / 10)) = 1
3937, 38oveq12i 6896 . . . . . . 7 ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
40 10m1e9 11875 . . . . . . 7 (10 − 1) = 9
4136, 39, 403eqtrri 2844 . . . . . 6 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
4234, 41eqtri 2839 . . . . 5 (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
43 9re 11418 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4443, 2, 9redivcli 11087 . . . . . . 7 (9 / 10) ∈ ℝ
4544recni 10349 . . . . . 6 (9 / 10) ∈ ℂ
4635, 20subcli 10652 . . . . . 6 (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
4745, 46, 3, 9mulcani 10961 . . . . 5 ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
4842, 47mpbi 221 . . . 4 (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
4933, 48oveq12i 6896 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
50 9pos 11433 . . . . . 6 0 < 9
5143, 2, 50, 8divgt0ii 11236 . . . . 5 0 < (9 / 10)
5244, 51gt0ne0ii 10859 . . . 4 (9 / 10) ≠ 0
5345, 52dividi 11053 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
5432, 49, 533eqtr2i 2845 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
5518, 54eqtri 2839 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989   class class class wbr 4855  cfv 6111  (class class class)co 6884  cc 10229  cr 10230  0cc0 10231  1c1 10232   · cmul 10236   < clt 10369  cle 10370  cmin 10561   / cdiv 10979  cn 11315  9c9 11375  0cn0 11579  cdc 11779  cexp 13103  abscabs 14217  Σcsu 14659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-er 7989  df-pm 8105  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-card 9058  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-rp 12067  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-seq 13045  df-exp 13104  df-hash 13358  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-clim 14462  df-rlim 14463  df-sum 14660
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator