Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatexch1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatexch1 35954
Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 7-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatexchb.l = (le‘𝐾)
hlatexchb.j = (join‘𝐾)
hlatexchb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatexch1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) → 𝑄 (𝑅 𝑃)))

Proof of Theorem hlatexch1
StepHypRef Expression
1 hlcvl 35918 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
2 hlatexchb.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 hlatexchb.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 hlatexchb.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
52, 3, 4cvlatexch1 35895 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) → 𝑄 (𝑅 𝑃)))
61, 5syl3an1 1143 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) → 𝑄 (𝑅 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2964   class class class wbr 4927  cfv 6186  (class class class)co 6974  lecple 16422  joincjn 17406  Atomscatm 35822  CvLatclc 35824  HLchlt 35909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-op 4446  df-uni 4711  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-id 5309  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-proset 17390  df-poset 17408  df-plt 17420  df-lub 17436  df-glb 17437  df-join 17438  df-meet 17439  df-p0 17501  df-lat 17508  df-covers 35825  df-ats 35826  df-atl 35857  df-cvlat 35881  df-hlat 35910
This theorem is referenced by:  exatleN  35963  3noncolr2  36008  4noncolr3  36012  3atlem4  36045  3atlem6  36047  4atlem0ae  36153  dalem3  36223  dalem5  36226  dalem-cly  36230  dalem28  36259  cdlema1N  36350  cdlemblem  36352  paddasslem2  36380  pmodlem1  36405  osumcllem6N  36520  pexmidlem3N  36531  trlval4  36747  cdlemd3  36759  cdleme3h  36794  cdleme7aa  36801  cdleme11j  36826  cdleme15b  36834  cdlemg27b  37255
  Copyright terms: Public domain W3C validator