Theorem hlatexch1 39397

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 7-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatexchb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatexchb.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatexchb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatexch1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem hlatexch1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcvl 39360	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
2		hlatexchb.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlatexchb.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		hlatexchb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	2, 3, 4	cvlatexch1 39337	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))
6	1, 5	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  lecple 17304  joincjn 18357  Atomscatm 39264  CvLatclc 39266  HLchlt 39351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352

This theorem is referenced by:  exatleN  39406  3noncolr2  39451  4noncolr3  39455  3atlem4  39488  3atlem6  39490  4atlem0ae  39596  dalem3  39666  dalem5  39669  dalem-cly  39673  dalem28  39702  cdlema1N  39793  cdlemblem  39795  paddasslem2  39823  pmodlem1  39848  osumcllem6N  39963  pexmidlem3N  39974  trlval4  40190  cdlemd3  40202  cdleme3h  40237  cdleme7aa  40244  cdleme11j  40269  cdleme15b  40277  cdlemg27b  40698