Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatexch1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatexch1 36691
Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 7-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatexchb.l = (le‘𝐾)
hlatexchb.j = (join‘𝐾)
hlatexchb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatexch1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) → 𝑄 (𝑅 𝑃)))

Proof of Theorem hlatexch1
StepHypRef Expression
1 hlcvl 36655 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
2 hlatexchb.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 hlatexchb.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 hlatexchb.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
52, 3, 4cvlatexch1 36632 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) → 𝑄 (𝑅 𝑃)))
61, 5syl3an1 1160 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) → 𝑄 (𝑅 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  lecple 16564  joincjn 17546  Atomscatm 36559  CvLatclc 36561  HLchlt 36646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647
This theorem is referenced by:  exatleN  36700  3noncolr2  36745  4noncolr3  36749  3atlem4  36782  3atlem6  36784  4atlem0ae  36890  dalem3  36960  dalem5  36963  dalem-cly  36967  dalem28  36996  cdlema1N  37087  cdlemblem  37089  paddasslem2  37117  pmodlem1  37142  osumcllem6N  37257  pexmidlem3N  37268  trlval4  37484  cdlemd3  37496  cdleme3h  37531  cdleme7aa  37538  cdleme11j  37563  cdleme15b  37571  cdlemg27b  37992
  Copyright terms: Public domain W3C validator