Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatexch1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatexch1 37887
Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 7-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatexchb.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlatexchb.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
hlatexchb.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlatexch1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem hlatexch1
StepHypRef Expression
1 hlcvl 37850 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
2 hlatexchb.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 hlatexchb.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 hlatexchb.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
52, 3, 4cvlatexch1 37827 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)))
61, 5syl3an1 1164 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  lecple 17147  joincjn 18207  Atomscatm 37754  CvLatclc 37756  HLchlt 37841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842
This theorem is referenced by:  exatleN  37896  3noncolr2  37941  4noncolr3  37945  3atlem4  37978  3atlem6  37980  4atlem0ae  38086  dalem3  38156  dalem5  38159  dalem-cly  38163  dalem28  38192  cdlema1N  38283  cdlemblem  38285  paddasslem2  38313  pmodlem1  38338  osumcllem6N  38453  pexmidlem3N  38464  trlval4  38680  cdlemd3  38692  cdleme3h  38727  cdleme7aa  38734  cdleme11j  38759  cdleme15b  38767  cdlemg27b  39188
  Copyright terms: Public domain W3C validator