Theorem hlatexch1 38779

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 7-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatexchb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatexchb.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatexchb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatexch1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem hlatexch1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcvl 38742	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
2		hlatexchb.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlatexchb.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		hlatexchb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	2, 3, 4	cvlatexch1 38719	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))
6	1, 5	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  Atomscatm 38646  CvLatclc 38648  HLchlt 38733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734

This theorem is referenced by:  exatleN  38788  3noncolr2  38833  4noncolr3  38837  3atlem4  38870  3atlem6  38872  4atlem0ae  38978  dalem3  39048  dalem5  39051  dalem-cly  39055  dalem28  39084  cdlema1N  39175  cdlemblem  39177  paddasslem2  39205  pmodlem1  39230  osumcllem6N  39345  pexmidlem3N  39356  trlval4  39572  cdlemd3  39584  cdleme3h  39619  cdleme7aa  39626  cdleme11j  39651  cdleme15b  39659  cdlemg27b  40080