Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatexch1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatexch1 37825
Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 7-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatexchb.l = (le‘𝐾)
hlatexchb.j = (join‘𝐾)
hlatexchb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatexch1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) → 𝑄 (𝑅 𝑃)))

Proof of Theorem hlatexch1
StepHypRef Expression
1 hlcvl 37788 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
2 hlatexchb.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 hlatexchb.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 hlatexchb.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
52, 3, 4cvlatexch1 37765 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) → 𝑄 (𝑅 𝑃)))
61, 5syl3an1 1163 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) → 𝑄 (𝑅 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7353  lecple 17132  joincjn 18192  Atomscatm 37692  CvLatclc 37694  HLchlt 37779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-proset 18176  df-poset 18194  df-plt 18211  df-lub 18227  df-glb 18228  df-join 18229  df-meet 18230  df-p0 18306  df-lat 18313  df-covers 37695  df-ats 37696  df-atl 37727  df-cvlat 37751  df-hlat 37780
This theorem is referenced by:  exatleN  37834  3noncolr2  37879  4noncolr3  37883  3atlem4  37916  3atlem6  37918  4atlem0ae  38024  dalem3  38094  dalem5  38097  dalem-cly  38101  dalem28  38130  cdlema1N  38221  cdlemblem  38223  paddasslem2  38251  pmodlem1  38276  osumcllem6N  38391  pexmidlem3N  38402  trlval4  38618  cdlemd3  38630  cdleme3h  38665  cdleme7aa  38672  cdleme11j  38697  cdleme15b  38705  cdlemg27b  39126
  Copyright terms: Public domain W3C validator