Theorem hlatexch1 37095

Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 7-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatexchb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatexchb.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatexchb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatexch1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem hlatexch1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcvl 37059	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
2		hlatexchb.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlatexchb.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		hlatexchb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	2, 3, 4	cvlatexch1 37036	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))
6	1, 5	syl3an1 1165	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  lecple 16756  joincjn 17772  Atomscatm 36963  CvLatclc 36965  HLchlt 37050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-proset 17756  df-poset 17774  df-plt 17790  df-lub 17806  df-glb 17807  df-join 17808  df-meet 17809  df-p0 17885  df-lat 17892  df-covers 36966  df-ats 36967  df-atl 36998  df-cvlat 37022  df-hlat 37051

This theorem is referenced by:  exatleN  37104  3noncolr2  37149  4noncolr3  37153  3atlem4  37186  3atlem6  37188  4atlem0ae  37294  dalem3  37364  dalem5  37367  dalem-cly  37371  dalem28  37400  cdlema1N  37491  cdlemblem  37493  paddasslem2  37521  pmodlem1  37546  osumcllem6N  37661  pexmidlem3N  37672  trlval4  37888  cdlemd3  37900  cdleme3h  37935  cdleme7aa  37942  cdleme11j  37967  cdleme15b  37975  cdlemg27b  38396