Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem10 39305
Description: Lemma for 4at 39312. Combine both possible cases. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem10
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 39062 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21l 1287 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝐴)
4 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 4at.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 38987 . . . 4 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
73, 6syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8 simp21r 1288 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆𝐴)
94, 5atbase 38987 . . . 4 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11 4at.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
124, 11, 5hlatjcl 39065 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
13123ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
14 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑉𝐴)
15 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑊𝐴)
164, 11, 5hlatjcl 39065 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
171, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
184, 11latjcl 18464 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
192, 13, 17, 18syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
20 4at.l . . . 4 = (le‘𝐾)
214, 20, 11latjle12 18475 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
222, 7, 10, 19, 21syl13anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
23 simp11 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
243, 8, 143jca 1125 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴))
25243ad2ant1 1130 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴))
26153ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑊𝐴)
27 simp2 1134 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
28 simp33 1208 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
29283ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
3026, 27, 293jca 1125 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
31 simp3 1135 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
3220, 11, 54atlem10b 39304 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
3323, 25, 30, 31, 32syl31anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
34333exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))))
3511, 5hlatjcom 39066 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 𝑅) = (𝑅 𝑆))
361, 8, 3, 35syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆 𝑅) = (𝑅 𝑆))
3736oveq2d 7440 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
38373ad2ant1 1130 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
39 simp11 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
408, 3, 143jca 1125 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝐴𝑅𝐴𝑉𝐴))
41403ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆𝐴𝑅𝐴𝑉𝐴))
42153ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑊𝐴)
43 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
44 simp12 1201 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝐴)
45 simp13 1202 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄𝐴)
4644, 45jca 510 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝐴𝑄𝐴))
47 simp21 1203 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴))
48 simp32 1207 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
4920, 11, 54atlem0a 39292 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
501, 46, 47, 48, 28, 49syl32anc 1375 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
51503ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
5242, 43, 513jca 1125 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆)))
53 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
54 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
5553, 54jca 510 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
56553adant2 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
5720, 11, 54atlem10b 39304 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑅𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))) ∧ (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
5839, 41, 52, 56, 57syl31anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
5938, 58eqtr3d 2768 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
60593exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))))
61 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
62 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6320, 11, 54atlem3b 39297 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
6461, 3, 8, 15, 62, 63syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
6534, 60, 64mpjaod 858 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
6622, 65sylbird 259 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  lecple 17273  joincjn 18336  Latclat 18456  Atomscatm 38961  HLchlt 39048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-lat 18457  df-clat 18524  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198  df-lvols 39199
This theorem is referenced by:  4atlem11b  39307
  Copyright terms: Public domain W3C validator