Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem10 36921
 Description: Lemma for 4at 36928. Combine both possible cases. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem10
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 36679 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21l 1287 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝐴)
4 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 4at.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 36604 . . . 4 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
73, 6syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8 simp21r 1288 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆𝐴)
94, 5atbase 36604 . . . 4 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11 4at.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
124, 11, 5hlatjcl 36682 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
13123ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
14 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑉𝐴)
15 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑊𝐴)
164, 11, 5hlatjcl 36682 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
171, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
184, 11latjcl 17656 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
192, 13, 17, 18syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
20 4at.l . . . 4 = (le‘𝐾)
214, 20, 11latjle12 17667 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
222, 7, 10, 19, 21syl13anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
23 simp11 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
243, 8, 143jca 1125 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴))
25243ad2ant1 1130 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴))
26153ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑊𝐴)
27 simp2 1134 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
28 simp33 1208 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
29283ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
3026, 27, 293jca 1125 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
31 simp3 1135 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
3220, 11, 54atlem10b 36920 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
3323, 25, 30, 31, 32syl31anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
34333exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))))
3511, 5hlatjcom 36683 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 𝑅) = (𝑅 𝑆))
361, 8, 3, 35syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆 𝑅) = (𝑅 𝑆))
3736oveq2d 7152 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
38373ad2ant1 1130 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
39 simp11 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
408, 3, 143jca 1125 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝐴𝑅𝐴𝑉𝐴))
41403ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆𝐴𝑅𝐴𝑉𝐴))
42153ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑊𝐴)
43 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
44 simp12 1201 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝐴)
45 simp13 1202 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄𝐴)
4644, 45jca 515 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝐴𝑄𝐴))
47 simp21 1203 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴))
48 simp32 1207 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
4920, 11, 54atlem0a 36908 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
501, 46, 47, 48, 28, 49syl32anc 1375 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
51503ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
5242, 43, 513jca 1125 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆)))
53 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
54 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
5553, 54jca 515 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
56553adant2 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
5720, 11, 54atlem10b 36920 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑅𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))) ∧ (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
5839, 41, 52, 56, 57syl31anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
5938, 58eqtr3d 2835 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
60593exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))))
61 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
62 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6320, 11, 54atlem3b 36913 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
6461, 3, 8, 15, 62, 63syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
6534, 60, 64mpjaod 857 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
6622, 65sylbird 263 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  lecple 16567  joincjn 17549  Latclat 17650  Atomscatm 36578  HLchlt 36665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36491  df-ol 36493  df-oml 36494  df-covers 36581  df-ats 36582  df-atl 36613  df-cvlat 36637  df-hlat 36666  df-llines 36813  df-lplanes 36814  df-lvols 36815 This theorem is referenced by:  4atlem11b  36923
 Copyright terms: Public domain W3C validator