Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem10 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 4atlem10 38465
Description: Lemma for 4at 38472. Combine both possible cases. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4atlem10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
Proof of Theorem 4atlem10
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38222 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21l 1290 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
4 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 4at.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38147 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 simp21r 1291 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
94, 5atbase 38147 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
108, 9syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 4at.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
124, 11, 5hlatjcl 38225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13123ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 simp22 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
15 simp23 1208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
164, 11, 5hlatjcl 38225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
171, 14, 15, 16syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
184, 11latjcl 18388 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
192, 13, 17, 18syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 4at.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
214, 20, 11latjle12 18399 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
222, 7, 10, 19, 21syl13anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
23 simp11 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
243, 8, 143jca 1128 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴))
25243ad2ant1 1133 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴))
26153ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
27 simp2 1137 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š))
28 simp33 1211 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
29283ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
3026, 27, 293jca 1128 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (π‘Š ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
31 simp3 1138 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
3220, 11, 54atlem10b 38464 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
3323, 25, 30, 31, 32syl31anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
34333exp 1119 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
3511, 5hlatjcom 38226 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑆))
361, 8, 3, 35syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑆))
3736oveq2d 7421 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
38373ad2ant1 1133 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
39 simp11 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
408, 3, 143jca 1128 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴))
41403ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴))
42153ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
43 simp2 1137 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š))
44 simp12 1204 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
45 simp13 1205 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4644, 45jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
47 simp21 1206 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
48 simp32 1210 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4920, 11, 54atlem0a 38452 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆))
501, 46, 47, 48, 28, 49syl32anc 1378 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆))
51503ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆))
5242, 43, 513jca 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (π‘Š ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆)))
53 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
54 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
5553, 54jca 512 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
56553adant2 1131 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
5720, 11, 54atlem10b 38464 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Š ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆))) ∧ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
5839, 41, 52, 56, 57syl31anc 1373 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
5938, 58eqtr3d 2774 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
60593exp 1119 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
61 simp1 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
62 simp3 1138 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6320, 11, 54atlem3b 38457 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)))
6461, 3, 8, 15, 62, 63syl131anc 1383 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)))
6534, 60, 64mpjaod 858 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
6622, 65sylbird 259 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359
This theorem is referenced by:  4atlem11b  38467
  Copyright terms: Public domain W3C validator