Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem12a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 4atlem12a 39139
Description: Lemma for 4at 39142. Substitute 𝑇 for 𝑃. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4atlem12a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
Proof of Theorem 4atlem12a
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp13 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
41hllatd 38892 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21 1203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
6 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
7 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
8 4at.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 4at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
107, 8, 9hlatjcl 38895 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
111, 5, 6, 10syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
137, 9atbase 38817 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐴 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1412, 13syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
157, 8latjcl 18430 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
164, 11, 14, 15syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 simp3 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))
18 4at.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
197, 18, 8, 9hlexchb2 38914 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑇 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ↔ (𝑃 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) = (𝑇 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))))
201, 2, 3, 16, 17, 19syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑇 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ↔ (𝑃 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) = (𝑇 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))))
2118, 8, 94atlem4a 39128 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = (𝑇 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)))
221, 3, 5, 6, 12, 21syl32anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = (𝑇 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)))
2322breq2d 5155 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))))
2418, 8, 94atlem4a 39128 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = (𝑃 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)))
251, 2, 5, 6, 12, 24syl32anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = (𝑃 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)))
2625, 22eqeq12d 2741 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ (𝑃 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) = (𝑇 ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))))
2720, 23, 263bitr4d 310 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  Latclat 18422  Atomscatm 38791  HLchlt 38878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-lat 18423  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879
This theorem is referenced by:  4atlem12b  39140
  Copyright terms: Public domain W3C validator