Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem12a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem12a 39210
Description: Lemma for 4at 39213. Substitute 𝑇 for 𝑃. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem12a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem12a
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑃𝐴)
3 simp13 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑇𝐴)
41hllatd 38963 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21 1203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑈𝐴)
6 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑉𝐴)
7 eqid 2725 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 4at.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
9 4at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9hlatjcl 38966 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑉𝐴) → (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
111, 5, 6, 10syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
12 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑊𝐴)
137, 9atbase 38888 . . . . 5 (𝑊𝐴𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1412, 13syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
157, 8latjcl 18434 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
164, 11, 14, 15syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
17 simp3 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊))
18 4at.l . . . 4 = (le‘𝐾)
197, 18, 8, 9hlexchb2 38985 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑇𝐴 ∧ ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑃 (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) ↔ (𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) = (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊))))
201, 2, 3, 16, 17, 19syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑃 (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) ↔ (𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) = (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊))))
2118, 8, 94atlem4a 39199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑉𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) = (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊)))
221, 3, 5, 6, 12, 21syl32anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) = (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊)))
2322breq2d 5161 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ 𝑃 (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊))))
2418, 8, 94atlem4a 39199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑉𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = (𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)))
251, 2, 5, 6, 12, 24syl32anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = (𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)))
2625, 22eqeq12d 2741 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ (𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) = (𝑇 ((𝑈 𝑉) 𝑊))))
2720, 23, 263bitr4d 310 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  joincjn 18306  Latclat 18426  Atomscatm 38862  HLchlt 38949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18290  df-poset 18308  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-lat 18427  df-ats 38866  df-atl 38897  df-cvlat 38921  df-hlat 38950
This theorem is referenced by:  4atlem12b  39211
  Copyright terms: Public domain W3C validator