Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem12b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem12b 38995
Description: Lemma for 4at 38997. Substitute 𝑇 for 𝑃 (cont.). (Contributed by NM, 11-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4atlem12b ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))

Proof of Theorem 4atlem12b
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
2 simp121 1302 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
3 simp122 1303 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
42, 3jca 511 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
5 simp13 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴))
61, 4, 53jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
7 simp2l 1196 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
86, 7jca 511 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
9 simp3lr 1242 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
10 simp3rl 1243 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
11 simp3rr 1244 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
12 simp111 1299 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1312hllatd 38747 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
15 4at.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1614, 15atbase 38672 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
172, 16syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1814, 15atbase 38672 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
193, 18syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 simp123 1304 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
21 simp131 1305 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
22 4at.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2314, 22, 15hlatjcl 38750 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2412, 20, 21, 23syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 simp132 1306 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
26 simp133 1307 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
2714, 22, 15hlatjcl 38750 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2812, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2914, 22latjcl 18404 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3013, 24, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
31 4at.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3214, 31, 22latjle12 18415 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
3313, 17, 19, 30, 32syl13anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
3410, 11, 33mpbi2and 709 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
35 simp113 1301 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3614, 15atbase 38672 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3814, 22, 15hlatjcl 38750 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3912, 2, 3, 38syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4014, 31, 22latjle12 18415 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
4113, 37, 39, 30, 40syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
429, 34, 41mpbi2and 709 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
43 simp3ll 1241 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
44 simp112 1300 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
45 simp2r 1197 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))
4631, 22, 154atlem12a 38994 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
4712, 44, 20, 5, 45, 46syl311anc 1381 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
4843, 47mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
4942, 48breqtrrd 5169 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
5031, 22, 154atlem11 38993 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
518, 49, 50sylc 65 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
5251, 48eqtrd 2766 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884
This theorem is referenced by:  4atlem12  38996
  Copyright terms: Public domain W3C validator