Theorem cpmadugsumlemF 23206

Description: Lemma F for cpmadugsum 23208. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadugsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadugsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmadugsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadugsum.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cpmadugsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadugsum.g	⊢ + = (+g‘𝑌)
cpmadugsum.s	⊢ − = (-g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cpmadugsumlemF	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏   𝑖,𝑠   𝑇,𝑖   ↑ ,𝑖   − ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖, 𝑠, 𝑏)   𝐵(𝑠, 𝑏)   𝑃(𝑖, 𝑠, 𝑏)   + (𝑖, 𝑠, 𝑏)   𝑅(𝑠, 𝑏)   𝑇(𝑠, 𝑏)   · (𝑠, 𝑏)   × (𝑠, 𝑏)   1 (𝑠, 𝑏)   ↑ (𝑠, 𝑏)   𝑀(𝑠, 𝑏)   − (𝑠, 𝑏)   𝑁(𝑠, 𝑏)   𝑋(𝑠, 𝑏)   𝑌(𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem cpmadugsumlemF

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12623	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
2		cpmadugsum.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		cpmadugsum.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		cpmadugsum.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		cpmadugsum.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		cpmadugsum.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7		cpmadugsum.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		cpmadugsum.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
9		cpmadugsum.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		cpmadugsum.r	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑌)
11		cpmadugsum.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cpmadugsumlemB 23204	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
13	1, 12	sylanr1 695	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cpmadugsumlemC 23205	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))
15	1, 14	sylanr1 695	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))
16	13, 15	oveq12d 7445	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))))
17		nncn 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
18		npcan1 11751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
19	18	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 = ((𝑠 − 1) + 1))
20	17, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 = ((𝑠 − 1) + 1))
21	20	oveq2d 7443	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (0...𝑠) = (0...((𝑠 − 1) + 1)))
22	21	mpteq1d 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))
23	22	oveq2d 7443	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
24	23	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
25		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26		cpmadugsum.g	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑌)
27		crngring 20484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
28	27	anim2i 629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
29	28	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
30	4, 5	pmatring 23022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
32		ringcmn 20523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ CMnd)
33	31, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ CMnd)
34	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ CMnd)
35		nnm1nn0 12657	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
36	35	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
37		simpll1 1231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ Fin)
38	27	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
39	38	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑅 ∈ Ring)
40	39	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
41		elmapi 8880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
42	21	feq2d 6701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 ↔ 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵))
43	41, 42	syl5ibcom 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)) → (𝑠 ∈ ℕ → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵))
44	43	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵)
45	44	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵)
46	45	ffvelcdmda 7092	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (𝑏‘𝑖) ∈ 𝐵)
47		elfznn0 13764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
48	47	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
49		1nn0 12632	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
51	48, 50	nn0addcld 12681	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
52	2, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7	mat2pmatscmxcl 23070	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏‘𝑖) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)) → (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
53	37, 40, 46, 51, 52	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
54	25, 26, 34, 36, 53	gsummptfzsplit 20158	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))
55		ringmnd 20482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
56	31, 55	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Mnd)
57	56	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Mnd)
58		ovexd 7462	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑠 − 1) + 1) ∈ V)
59		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑁 ∈ Fin)
60		nn0fz0 13769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ0 ↔ 𝑠 ∈ (0...𝑠))
61	1, 60	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ (0...𝑠))
62		ffvelcdm 7089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 ∧ 𝑠 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏‘𝑠) ∈ 𝐵)
63	41, 61, 62	syl2anr 609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑏‘𝑠) ∈ 𝐵)
64	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
65	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 1 ∈ ℕ0)
66	64, 65	nn0addcld 12681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
67	63, 66	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝑏‘𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0))
68	67	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑏‘𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0))
69	2, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7	mat2pmatscmxcl 23070	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏‘𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)) → (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) ∈ (Base‘𝑌))
70	59, 39, 68, 69	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) ∈ (Base‘𝑌))
71		oveq1 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (𝑖 + 1) = (((𝑠 − 1) + 1) + 1))
72	71	oveq1d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → ((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) = ((((𝑠 − 1) + 1) + 1) ↑ 𝑋))
73		2fveq3 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (𝑇‘(𝑏‘𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1))))
74	72, 73	oveq12d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) = (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))))
75	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
76	75	oveq1d 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 − 1) + 1) + 1) = (𝑠 + 1))
77	76	oveq1d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → ((((𝑠 − 1) + 1) + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑠 + 1) ↑ 𝑋))
78	75	fveq2d 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)) = (𝑏‘𝑠))
79	78	fveq2d 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1))) = (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))
80	77, 79	oveq12d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))) = (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))))
81	80	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))) = (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))))
82	74, 81	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1)) → (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) = (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))))
83	25, 57, 58, 70, 82	gsumsnd 20178	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) = (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))))
84	83	oveq2d 7443	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))))
85	24, 54, 84	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))))
86	1	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
87	4, 5	pmatlmod 23023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
88	28, 87	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ LMod)
89	88	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
90	89	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ LMod)
91	90	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑌 ∈ LMod)
92		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
93		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
94	92, 93	mgpbas 20377	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
95	4	ply1ring 22577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
96	27, 95	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
97	96	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
98	92	ringmgp 20477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
99	97, 98	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
100	99	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
101	100	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
102		elfznn0 13764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ0)
103	102	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
104	7, 4, 93	vr1cl 22547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
105	27, 104	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
106	105	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
107	106	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
108	107	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
109	94, 8, 101, 103, 108	mulgnn0cld 19317	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
110	4	ply1crng 22528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
111	110	anim2i 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
112	111	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
113	5	matsca2 22747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
114	112, 113	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
115	114	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑃)
116	115	fveq2d 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘𝑃))
117	116	eleq2d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
118	117	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑖 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
119	118	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
120	109, 119	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
121	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Ring)
122	121	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑌 ∈ Ring)
123		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑁 ∈ Fin)
124	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
125		simpll3 1233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
126	6, 2, 3, 4, 5	mat2pmatbas 23056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
127	123, 124, 125, 126	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
128	86	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑠 ∈ ℕ0)
129		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))
130	129	anim1i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
131	2, 3, 4, 5, 6	m2pmfzmap 23077	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠))) → (𝑇‘(𝑏‘𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
132	123, 124, 128, 130, 131	syl31anc 1400	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏‘𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
133	25, 10	ringcl 20489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘(𝑏‘𝑖)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
134	122, 127, 132, 133	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
135		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
136		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
137	25, 135, 9, 136	lmodvscl 21165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑖 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
138	91, 120, 134, 137	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
139	25, 26, 34, 86, 138	gsummptfzsplitl 20159	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))))
140		0nn0 12631	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
141	140	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 0 ∈ ℕ0)
142		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑃)) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
143	94, 142, 8	mulg0 19296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
144	106, 143	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
145	144	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (0 ↑ 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
146	145	oveq1d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((0 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((0g‘(mulGrp‘𝑃)) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
147		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
148	92, 147	ringidval 20421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (1r‘𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
150	149	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (0g‘(mulGrp‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
151	150	oveq1d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((0g‘(mulGrp‘𝑃)) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r‘𝑃) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
152	114	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
153	152	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (1r‘𝑃) = (1r‘(Scalar‘𝑌)))
154	153	oveq1d 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((1r‘𝑃) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
155	27, 126	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
156	155	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
157		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
158		elnn0uz 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ0 ↔ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘0))
159	1, 158	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ (ℤ≥‘0))
160		eluzfz1 13674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑠))
161	159, 160	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 0 ∈ (0...𝑠))
162	161	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 0 ∈ (0...𝑠))
163	157, 162	ffvelcdmd 7093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
164	163	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 → (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘0) ∈ 𝐵))
165	41, 164	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘0) ∈ 𝐵))
166	165	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
167	166	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
168	6, 2, 3, 4, 5	mat2pmatbas 23056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘0) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌))
169	59, 39, 167, 168	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌))
170	25, 10	ringcl 20489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))
171	121, 156, 169, 170	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))
172		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑌)) = (1r‘(Scalar‘𝑌))
173	25, 135, 9, 172	lmodvs1 21177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
174	90, 171, 173	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
175	154, 174	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((1r‘𝑃) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
176	146, 151, 175	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((0 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
177	176, 171	eqeltrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((0 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) ∈ (Base‘𝑌))
178		oveq1 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
179		2fveq3 6898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑇‘(𝑏‘𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘0)))
180	179	oveq2d 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
181	178, 180	oveq12d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))) = ((0 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
182	181	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))) = ((0 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
183	25, 57, 141, 177, 182	gsumsnd 20178	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = ((0 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
184	94, 148, 8	mulg0 19296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
185	106, 184	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
186	185	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
187	186	oveq1d 7442	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((0 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r‘𝑃) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
188	183, 187, 175	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
189	188	oveq2d 7443	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
190	139, 189	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
191	85, 190	oveq12d 7445	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))) − ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
192		fzfid 14126	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin)
193		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑁 ∈ Fin)
194	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
195	41	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
196	195	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
197		nnz 12724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℤ)
198		fzoval 13804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℤ → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
199	197, 198	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
200	199	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (0...(𝑠 − 1)) = (0..^𝑠))
201	200	eleq2d 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑠)))
202		elfzofz 13820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
203	201, 202	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
204	203	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
205	204	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
206	196, 205	ffvelcdmd 7093	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑏‘𝑖) ∈ 𝐵)
207	206	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑏‘𝑖) ∈ 𝐵)
208		elfznn0 13764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
209	208	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
210	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 1 ∈ ℕ0)
211	209, 210	nn0addcld 12681	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
212	193, 194, 207, 211, 52	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
213	212	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))(((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
214	25, 34, 192, 213	gsummptcl 20193	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
215	25, 26	cmncom 20024	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ CMnd ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))) = ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))
216	34, 214, 70, 215	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))) = ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))
217	216	oveq1d 7442	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))) − ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = (((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
218		ringgrp 20476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
219	31, 218	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
220	219	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Grp)
221		fzfid 14126	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (1...𝑠) ∈ Fin)
222	90	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ LMod)
223	100	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
224		elfznn 13697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ)
225	224	nnnn0d 12677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ0)
226	225	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
227	107	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
228	94, 8, 223, 226, 227	mulgnn0cld 19317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
229	114	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
230	229	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
231	230	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
232	228, 231	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
233	121	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ Ring)
234	156	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
235		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑁 ∈ Fin)
236	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
237	195	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
238	237	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
239		1eluzge0 13017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
240		fzss1 13707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...𝑠) ⊆ (0...𝑠))
241	239, 240	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (1...𝑠) ⊆ (0...𝑠))
242	241	sseld 3911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
243	242	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
244	243	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
245	238, 244	ffvelcdmd 7093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑏‘𝑖) ∈ 𝐵)
246	6, 2, 3, 4, 5	mat2pmatbas 23056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘𝑖) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏‘𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
247	235, 236, 245, 246	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏‘𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
248	233, 234, 247, 133	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
249	222, 232, 248, 137	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
250	249	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑠)((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
251	25, 34, 221, 250	gsummptcl 20193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
252		cpmadugsum.s	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑌)
253	25, 26, 252	grpaddsubass 19252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))) → (((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))))
254	220, 70, 214, 251, 253	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))))
255		oveq1 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑥 − 1) = (𝑖 − 1))
256	255	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝑥 − 1) + 1) = ((𝑖 − 1) + 1))
257	256	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) = (((𝑖 − 1) + 1) ↑ 𝑋))
258	255	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑏‘(𝑥 − 1)) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
259	258	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))
260	257, 259	oveq12d 7445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))) = ((((𝑖 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
261	260	cbvmptv 5211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑖 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
262	224	nncnd 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℂ)
263	262	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℂ)
264		npcan1 11751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℂ → ((𝑖 − 1) + 1) = 𝑖)
265	263, 264	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 − 1) + 1) = 𝑖)
266	265	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 − 1) + 1) ↑ 𝑋) = (𝑖 ↑ 𝑋))
267	266	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((((𝑖 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
268	267	mpteq2dva 5200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑖 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))))
269	261, 268	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))))
270	269	oveq2d 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))))
271	270	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))))
272	271	oveq1d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))))
273		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
274		1zzd 12737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 1 ∈ ℤ)
275		0zd 12715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 0 ∈ ℤ)
276	36	nn0zd 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
277		oveq1 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝑥 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑥 − 1) + 1))
278	277	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑥 − 1) → ((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) = (((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋))
279		2fveq3 6898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑥 − 1) → (𝑇‘(𝑏‘𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))
280	278, 279	oveq12d 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑥 − 1) → (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))) = ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))
281	25, 273, 34, 274, 275, 276, 212, 280	gsummptshft 20162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
282		0p1e1 12473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
283	282	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (0 + 1) = 1)
284	75	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
285	283, 284	oveq12d 7445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) = (1...𝑠))
286	285	mpteq1d 5197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))))
287	286	oveq2d 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
288	281, 287	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
289	288	oveq1d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))))
290		ringabl 20522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Abel)
291	31, 290	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Abel)
292	291	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Abel)
293	224	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ)
294		nnz 12724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
295		elfzm1b 13746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1))))
296	294, 197, 295	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1))))
297	199	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
298	297	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0...(𝑠 − 1)) = (0..^𝑠))
299	298	eleq2d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑠)))
300		elfzofz 13820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
301	299, 300	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
302	296, 301	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
303	302	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
304	293, 303	mpcom 39	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
305	304	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
306	305	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
307	306	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
308	238, 307	ffvelcdmd 7093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵)
309	2, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7	mat2pmatscmxcl 23070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌))
310	235, 236, 308, 226, 309	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌))
311		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
312		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))
313	25, 252, 292, 221, 310, 249, 311, 312	gsummptfidmsub 20176	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))))
314	272, 289, 313	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))))
315	314	oveq2d 7443	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))) = ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))))
316	220	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ Grp)
317	25, 252	grpsubcl 19242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌)) → (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
318	316, 310, 249, 317	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
319	318	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑠)(((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
320	25, 34, 221, 319	gsummptcl 20193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌))
321	25, 26	cmncom 20024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ CMnd ∧ (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))))
322	34, 70, 320, 321	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))))
323	254, 315, 322	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))))
324	323	oveq1d 7442	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
325	25, 26	mndcl 18943	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
326	57, 70, 214, 325	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
327	25, 26, 252, 292, 326, 251, 171	ablsubsub4 20044	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = (((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
328	25, 26, 252	grpaddsubass 19252	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
329	220, 320, 70, 171, 328	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
330	324, 327, 329	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
331	6, 2, 3, 4, 5	mat2pmatbas 23056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ (Base‘𝑌))
332	235, 236, 308, 331	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ (Base‘𝑌))
333	25, 9, 135, 136, 252, 222, 232, 332, 248	lmodsubdi 21206	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) = (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
334	333	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) = ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
335	334	mpteq2dva 5200	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))
336	335	oveq2d 7443	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))))
337	336	oveq1d 7442	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) − ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
338	217, 330, 337	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))) + (((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠)))) − ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) + ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
339	16, 191, 338	3eqtrd 2802	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899  {csn 4587   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8858  Fincfn 8984  ℂcc 11208  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   − cmin 11551  ℕcn 12345  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ℤ_≥cuz 12975  ...cfz 13649  ..^cfzo 13798  Basecbs 17399  +_gcplusg 17440  ._rcmulr 17441  Scalarcsca 17443   ·_𝑠 cvsca 17444  0_gc0g 17622   Σ_g cgsu 17623  Mndcmnd 18935  Grpcgrp 19156  -_gcsg 19158  ._gcmg 19289  CMndccmn 20006  Abelcabl 20007  mulGrpcmgp 20372  1_rcur 20419  Ringcrg 20471  CRingccrg 20472  LModclmod 21147  var₁cv1 22506  Poly₁cpl1 22507   Mat cmat 22734   matToPolyMat cmat2pmat 23034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-ofr 7701  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-dsmm 22050  df-frlm 22065  df-assa 22173  df-ascl 22175  df-psr 22229  df-mvr 22230  df-mpl 22231  df-opsr 22233  df-psr1 22510  df-vr1 22511  df-ply1 22512  df-mamu 22718  df-mat 22735  df-mat2pmat 23037

This theorem is used by:  cpmadugsumfi  23207