MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsumlemF Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadugsumlemF 22369
Description: Lemma F for cpmadugsum 22371. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
cpmadugsum.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
cpmadugsum.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
cpmadugsum.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
cpmadugsum.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
cpmadugsum.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.r ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.1 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.g + = (+gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
cpmadugsumlemF (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–   ๐‘–,๐‘€   ๐‘–,๐‘   ๐‘…,๐‘–   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘–,๐‘Œ   ร— ,๐‘–   ยท ,๐‘–   1 ,๐‘–   ๐‘–,๐‘   ๐‘–,๐‘    ๐‘‡,๐‘–   โ†‘ ,๐‘–   โˆ’ ,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘ ,๐‘)   ๐ต(๐‘ ,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘–,๐‘ ,๐‘)   + (๐‘–,๐‘ ,๐‘)   ๐‘…(๐‘ ,๐‘)   ๐‘‡(๐‘ ,๐‘)   ยท (๐‘ ,๐‘)   ร— (๐‘ ,๐‘)   1 (๐‘ ,๐‘)   โ†‘ (๐‘ ,๐‘)   ๐‘€(๐‘ ,๐‘)   โˆ’ (๐‘ ,๐‘)   ๐‘(๐‘ ,๐‘)   ๐‘‹(๐‘ ,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘ ,๐‘)

Proof of Theorem cpmadugsumlemF
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12475 . . . 4 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
2 cpmadugsum.a . . . . 5 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 cpmadugsum.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 cpmadugsum.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
5 cpmadugsum.y . . . . 5 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
6 cpmadugsum.t . . . . 5 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
7 cpmadugsum.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
8 cpmadugsum.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
9 cpmadugsum.m . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
10 cpmadugsum.r . . . . 5 ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
11 cpmadugsum.1 . . . . 5 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemB 22367 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
131, 12sylanr1 680 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemC 22368 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
151, 14sylanr1 680 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
1613, 15oveq12d 7423 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
17 nncn 12216 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
18 npcan1 11635 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) = ๐‘ )
1918eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘  = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1))
2017, 19syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1))
2120oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (0...๐‘ ) = (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))
2221mpteq1d 5242 . . . . . 6 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) = (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))
2322oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
2423ad2antrl 726 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
25 eqid 2732 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
26 cpmadugsum.g . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘Œ)
27 crngring 20061 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2827anim2i 617 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
29283adant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
304, 5pmatring 22185 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
32 ringcmn 20092 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CMnd)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CMnd)
3433adantr 481 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CMnd)
35 nnm1nn0 12509 . . . . . 6 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘  โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
3635ad2antrl 726 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘  โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
37 simpll1 1212 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
38273ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3938adantr 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
4039adantr 481 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
41 elmapi 8839 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
4221feq2d 6700 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โ†” ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต))
4341, 42syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต))
4443impcom 408 . . . . . . . 8 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต)
4544adantl 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต)
4645ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
47 elfznn0 13590 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
4847adantl 482 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
49 1nn0 12484 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
5148, 50nn0addcld 12532 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (๐‘– + 1) โˆˆ โ„•0)
522, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22233 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘– + 1) โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
5337, 40, 46, 51, 52syl22anc 837 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
5425, 26, 34, 36, 53gsummptfzsplit 19794 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {((๐‘  โˆ’ 1) + 1)} โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
55 ringmnd 20059 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Mnd)
5631, 55syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Mnd)
5756adantr 481 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Mnd)
58 ovexd 7440 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โˆˆ V)
59 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
60 nn0fz0 13595 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘  โˆˆ (0...๐‘ ))
611, 60sylib 217 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ (0...๐‘ ))
62 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . 10 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต)
6341, 61, 62syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต)
641adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
6549a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
6664, 65nn0addcld 12532 . . . . . . . . 9 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)
6763, 66jca 512 . . . . . . . 8 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0))
6867adantl 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0))
692, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22233 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
7059, 39, 68, 69syl21anc 836 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
71 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ (๐‘– + 1) = (((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1))
7271oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ ((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) = ((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹))
73 2fveq3 6893 . . . . . . . 8 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1))))
7472, 73oveq12d 7423 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = (((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))))
7517, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) = ๐‘ )
7675oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) = (๐‘  + 1))
7776oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) = ((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹))
7875fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) = (๐‘โ€˜๐‘ ))
7978fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))
8077, 79oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8180ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8274, 81sylan9eqr 2794 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8325, 57, 58, 70, 82gsumsnd 19814 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {((๐‘  โˆ’ 1) + 1)} โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8483oveq2d 7421 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {((๐‘  โˆ’ 1) + 1)} โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
8524, 54, 843eqtrd 2776 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
861ad2antrl 726 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
874, 5pmatlmod 22186 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
8828, 87syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
89883adant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
9089adantr 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
9190adantr 481 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
92 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
93 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
9492, 93mgpbas 19987 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
954ply1ring 21761 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
9627, 95syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
97963ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
9892ringmgp 20055 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
10099adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
101100adantr 481 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
102 elfznn0 13590 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
103102adantl 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
1047, 4, 93vr1cl 21732 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
10527, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
1061053ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
107106adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
108107adantr 481 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
10994, 8, 101, 103, 108mulgnn0cld 18969 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
1104ply1crng 21713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CRing)
111110anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ CRing))
1121113adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ CRing))
1135matsca2 21913 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐‘Œ))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐‘Œ))
115114eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Scalarโ€˜๐‘Œ) = ๐‘ƒ)
116115fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) = (Baseโ€˜๐‘ƒ))
117116eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
118117adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
119118adantr 481 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
120109, 119mpbird 256 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
12131adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
122121adantr 481 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
123 simpll1 1212 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
12439adantr 481 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
125 simpll3 1214 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
1266, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22219 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
127123, 124, 125, 126syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
12886adantr 481 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
129 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))
130129anim1i 615 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
1312, 3, 4, 5, 6m2pmfzmap 22240 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
132123, 124, 128, 130, 131syl31anc 1373 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
13325, 10ringcl 20066 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ Ring โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
134122, 127, 132, 133syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
135 eqid 2732 . . . . . . 7 (Scalarโ€˜๐‘Œ) = (Scalarโ€˜๐‘Œ)
136 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ))
13725, 135, 9, 136lmodvscl 20481 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ LMod โˆง (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
13891, 120, 134, 137syl3anc 1371 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
13925, 26, 34, 86, 138gsummptfzsplitl 19795 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
140 0nn0 12483 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„•0
141140a1i 11 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
142 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
14394, 142, 8mulg0 18951 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
144106, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
145144adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
146145oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
147 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (1rโ€˜๐‘ƒ) = (1rโ€˜๐‘ƒ)
14892, 147ringidval 20000 . . . . . . . . . . . 12 (1rโ€˜๐‘ƒ) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (1rโ€˜๐‘ƒ) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
150149eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
151150oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
152114adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐‘Œ))
153152fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (1rโ€˜๐‘ƒ) = (1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
154153oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
15527, 126syl3an2 1164 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
157 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
158 elnn0uz 12863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘  โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘  โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
1591, 158sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
160 eluzfz1 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘  โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘ ))
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘ ))
162161adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘ ))
163157, 162ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต)
164163ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต))
16541, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต))
166165impcom 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต)
167166adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต)
1686, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22219 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
16959, 39, 167, 168syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
17025, 10ringcl 20066 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Œ โˆˆ Ring โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
171121, 156, 169, 170syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
172 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) = (1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ))
17325, 135, 9, 172lmodvs1 20492 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Œ โˆˆ LMod โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
17490, 171, 173syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
175154, 174eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
176146, 151, 1753eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
177176, 171eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
178 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 0 โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) = (0 โ†‘ ๐‘‹))
179 2fveq3 6893 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = 0 โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))
180179oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 0 โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
181178, 180oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘– = 0 โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) = ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
182181adantl 482 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– = 0) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) = ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
18325, 57, 141, 177, 182gsumsnd 19814 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
18494, 148, 8mulg0 18951 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
185106, 184syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
186185adantr 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
187186oveq1d 7420 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
188183, 187, 1753eqtrd 2776 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
189188oveq2d 7421 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
190139, 189eqtrd 2772 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
19185, 190oveq12d 7423 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
192 fzfid 13934 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
193 simpll1 1212 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
19439adantr 481 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
19541adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
196195adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
197 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
198 fzoval 13629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ โ„ค โ†’ (0..^๐‘ ) = (0...(๐‘  โˆ’ 1)))
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (0..^๐‘ ) = (0...(๐‘  โˆ’ 1)))
200199eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) = (0..^๐‘ ))
201200eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†” ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘ )))
202 elfzofz 13644 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (0..^๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))
203201, 202syl6bi 252 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
204203adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
205204imp 407 . . . . . . . . . 10 (((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))
206196, 205ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . 9 (((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
207206adantll 712 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
208 elfznn0 13590 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
209208adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
21049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
211209, 210nn0addcld 12532 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘– + 1) โˆˆ โ„•0)
212193, 194, 207, 211, 52syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
213212ralrimiva 3146 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))(((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
21425, 34, 192, 213gsummptcl 19829 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
21525, 26cmncom 19660 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
21634, 214, 70, 215syl3anc 1371 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
217216oveq1d 7420 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
218 ringgrp 20054 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
21931, 218syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
220219adantr 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
221 fzfid 13934 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (1...๐‘ ) โˆˆ Fin)
22290adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
223100adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
224 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
225224nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
226225adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
227107adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
22894, 8, 223, 226, 227mulgnn0cld 18969 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
229114fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
230229adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
231230adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
232228, 231eleqtrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
233121adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
234156adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
235 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
23639adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
237195adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
238237adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
239 1eluzge0 12872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
240 fzss1 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (1...๐‘ ) โŠ† (0...๐‘ ))
241239, 240mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐‘ ) โŠ† (0...๐‘ ))
242241sseld 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
243242ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
244243imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))
245238, 244ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
2466, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22219 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
247235, 236, 245, 246syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
248233, 234, 247, 133syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
249222, 232, 248, 137syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
250249ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
25125, 34, 221, 250gsummptcl 19829 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
252 cpmadugsum.s . . . . . . . 8 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
25325, 26, 252grpaddsubass 18909 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ Grp โˆง ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))))
254220, 70, 214, 251, 253syl13anc 1372 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))))
255 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘– โˆ’ 1))
256255oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) = ((๐‘– โˆ’ 1) + 1))
257256oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) = (((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹))
258255fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)) = (๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))
259258fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))
260257, 259oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))) = ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
261260cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
262224nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
263262adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
264 npcan1 11635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) + 1) = ๐‘–)
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) + 1) = ๐‘–)
266265oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) = (๐‘– โ†‘ ๐‘‹))
267266oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) = ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
268267mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))))
269261, 268eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))))
270269oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))))
271270ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))))
272271oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
273 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (0gโ€˜๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘Œ)
274 1zzd 12589 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
275 0zd 12566 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
27636nn0zd 12580 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘  โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
277 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘– + 1) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1))
278277oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) = (((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹))
279 2fveq3 6893 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))
280278, 279oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))
28125, 273, 34, 274, 275, 276, 212, 280gsummptshft 19798 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))))
282 0p1e1 12330 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
283282a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0 + 1) = 1)
28475ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) = ๐‘ )
285283, 284oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) = (1...๐‘ ))
286285mpteq1d 5242 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))))
287286oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))))
288281, 287eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))))
289288oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
290 ringabl 20091 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Abel)
29131, 290syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Abel)
292291adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Abel)
293224adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
294 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
295 elfzm1b 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†” (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))))
296294, 197, 295syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†” (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))))
297199adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (0..^๐‘ ) = (0...(๐‘  โˆ’ 1)))
298297eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) = (0..^๐‘ ))
299298eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†” (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0..^๐‘ )))
300 elfzofz 13644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0..^๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ ))
301299, 300syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
302296, 301sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
303302expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
304293, 303mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ ))
305304ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
306305ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
307306imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ ))
308238, 307ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต)
3092, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22233 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
310235, 236, 308, 226, 309syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
311 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
312 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))
31325, 252, 292, 221, 310, 249, 311, 312gsummptfidmsub 19812 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
314272, 289, 3133eqtr4d 2782 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
315314oveq2d 7421 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))))
316220adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
31725, 252grpsubcl 18899 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Œ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
318316, 310, 249, 317syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
319318ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )(((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32025, 34, 221, 319gsummptcl 19829 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32125, 26cmncom 19660 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ CMnd โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
32234, 70, 320, 321syl3anc 1371 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
323254, 315, 3223eqtrd 2776 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
324323oveq1d 7420 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
32525, 26mndcl 18629 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ Mnd โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32657, 70, 214, 325syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32725, 26, 252, 292, 326, 251, 171ablsubsub4 19680 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
32825, 26, 252grpaddsubass 18909 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
329220, 320, 70, 171, 328syl13anc 1372 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
330324, 327, 3293eqtr3d 2780 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
3316, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22219 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
332235, 236, 308, 331syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
33325, 9, 135, 136, 252, 222, 232, 332, 248lmodsubdi 20521 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
334333eqcomd 2738 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
335334mpteq2dva 5247 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
336335oveq2d 7421 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
337336oveq1d 7420 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
338217, 330, 3373eqtrd 2776 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
33916, 191, 3383eqtrd 2776 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   โŠ† wss 3947  {csn 4627   โ†ฆ cmpt 5230  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โ†‘m cmap 8816  Fincfn 8935  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   โˆ’ cmin 11440  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ยท๐‘  cvsca 17197  0gc0g 17381   ฮฃg cgsu 17382  Mndcmnd 18621  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  .gcmg 18944  CMndccmn 19642  Abelcabl 19643  mulGrpcmgp 19981  1rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  LModclmod 20463  var1cv1 21691  Poly1cpl1 21692   Mat cmat 21898   matToPolyMat cmat2pmat 22197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-assa 21399  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-mamu 21877  df-mat 21899  df-mat2pmat 22200
This theorem is referenced by:  cpmadugsumfi  22370
  Copyright terms: Public domain W3C validator