MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsumlemF Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadugsumlemF 22765
Description: Lemma F for cpmadugsum 22767. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
cpmadugsum.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
cpmadugsum.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
cpmadugsum.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
cpmadugsum.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
cpmadugsum.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.r ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.1 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.g + = (+gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
cpmadugsumlemF (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–   ๐‘–,๐‘€   ๐‘–,๐‘   ๐‘…,๐‘–   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘–,๐‘Œ   ร— ,๐‘–   ยท ,๐‘–   1 ,๐‘–   ๐‘–,๐‘   ๐‘–,๐‘    ๐‘‡,๐‘–   โ†‘ ,๐‘–   โˆ’ ,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘ ,๐‘)   ๐ต(๐‘ ,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘–,๐‘ ,๐‘)   + (๐‘–,๐‘ ,๐‘)   ๐‘…(๐‘ ,๐‘)   ๐‘‡(๐‘ ,๐‘)   ยท (๐‘ ,๐‘)   ร— (๐‘ ,๐‘)   1 (๐‘ ,๐‘)   โ†‘ (๐‘ ,๐‘)   ๐‘€(๐‘ ,๐‘)   โˆ’ (๐‘ ,๐‘)   ๐‘(๐‘ ,๐‘)   ๐‘‹(๐‘ ,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘ ,๐‘)

Proof of Theorem cpmadugsumlemF
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12501 . . . 4 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
2 cpmadugsum.a . . . . 5 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 cpmadugsum.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 cpmadugsum.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
5 cpmadugsum.y . . . . 5 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
6 cpmadugsum.t . . . . 5 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
7 cpmadugsum.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
8 cpmadugsum.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
9 cpmadugsum.m . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
10 cpmadugsum.r . . . . 5 ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
11 cpmadugsum.1 . . . . 5 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemB 22763 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
131, 12sylanr1 681 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemC 22764 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
151, 14sylanr1 681 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
1613, 15oveq12d 7432 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
17 nncn 12242 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
18 npcan1 11661 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) = ๐‘ )
1918eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘  = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1))
2017, 19syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1))
2120oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (0...๐‘ ) = (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))
2221mpteq1d 5237 . . . . . 6 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) = (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))
2322oveq2d 7430 . . . . 5 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
2423ad2antrl 727 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
25 eqid 2727 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
26 cpmadugsum.g . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘Œ)
27 crngring 20176 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2827anim2i 616 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
29283adant3 1130 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
304, 5pmatring 22581 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
32 ringcmn 20207 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CMnd)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CMnd)
3433adantr 480 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CMnd)
35 nnm1nn0 12535 . . . . . 6 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘  โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
3635ad2antrl 727 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘  โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
37 simpll1 1210 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
38273ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3938adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
4039adantr 480 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
41 elmapi 8859 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
4221feq2d 6702 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โ†” ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต))
4341, 42syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต))
4443impcom 407 . . . . . . . 8 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต)
4544adantl 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต)
4645ffvelcdmda 7088 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
47 elfznn0 13618 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
4847adantl 481 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
49 1nn0 12510 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
5148, 50nn0addcld 12558 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (๐‘– + 1) โˆˆ โ„•0)
522, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22629 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘– + 1) โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
5337, 40, 46, 51, 52syl22anc 838 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
5425, 26, 34, 36, 53gsummptfzsplit 19878 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {((๐‘  โˆ’ 1) + 1)} โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
55 ringmnd 20174 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Mnd)
5631, 55syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Mnd)
5756adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Mnd)
58 ovexd 7449 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โˆˆ V)
59 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
60 nn0fz0 13623 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘  โˆˆ (0...๐‘ ))
611, 60sylib 217 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ (0...๐‘ ))
62 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . 10 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต)
6341, 61, 62syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต)
641adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
6549a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
6664, 65nn0addcld 12558 . . . . . . . . 9 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)
6763, 66jca 511 . . . . . . . 8 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0))
6867adantl 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0))
692, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22629 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
7059, 39, 68, 69syl21anc 837 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
71 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ (๐‘– + 1) = (((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1))
7271oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ ((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) = ((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹))
73 2fveq3 6896 . . . . . . . 8 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1))))
7472, 73oveq12d 7432 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = (((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))))
7517, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) = ๐‘ )
7675oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) = (๐‘  + 1))
7776oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) = ((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹))
7875fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) = (๐‘โ€˜๐‘ ))
7978fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))
8077, 79oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8180ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8274, 81sylan9eqr 2789 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8325, 57, 58, 70, 82gsumsnd 19898 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {((๐‘  โˆ’ 1) + 1)} โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8483oveq2d 7430 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {((๐‘  โˆ’ 1) + 1)} โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
8524, 54, 843eqtrd 2771 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
861ad2antrl 727 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
874, 5pmatlmod 22582 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
8828, 87syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
89883adant3 1130 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
9089adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
9190adantr 480 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
92 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
93 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
9492, 93mgpbas 20071 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
954ply1ring 22153 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
9627, 95syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
97963ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
9892ringmgp 20170 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
10099adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
101100adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
102 elfznn0 13618 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
103102adantl 481 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
1047, 4, 93vr1cl 22123 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
10527, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
1061053ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
107106adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
108107adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
10994, 8, 101, 103, 108mulgnn0cld 19041 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
1104ply1crng 22104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CRing)
111110anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ CRing))
1121113adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ CRing))
1135matsca2 22309 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐‘Œ))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐‘Œ))
115114eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Scalarโ€˜๐‘Œ) = ๐‘ƒ)
116115fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) = (Baseโ€˜๐‘ƒ))
117116eleq2d 2814 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
118117adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
119118adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
120109, 119mpbird 257 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
12131adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
122121adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
123 simpll1 1210 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
12439adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
125 simpll3 1212 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
1266, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22615 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
127123, 124, 125, 126syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
12886adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
129 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))
130129anim1i 614 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
1312, 3, 4, 5, 6m2pmfzmap 22636 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
132123, 124, 128, 130, 131syl31anc 1371 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
13325, 10ringcl 20181 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ Ring โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
134122, 127, 132, 133syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
135 eqid 2727 . . . . . . 7 (Scalarโ€˜๐‘Œ) = (Scalarโ€˜๐‘Œ)
136 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ))
13725, 135, 9, 136lmodvscl 20750 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ LMod โˆง (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
13891, 120, 134, 137syl3anc 1369 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
13925, 26, 34, 86, 138gsummptfzsplitl 19879 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
140 0nn0 12509 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„•0
141140a1i 11 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
142 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
14394, 142, 8mulg0 19021 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
144106, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
145144adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
146145oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
147 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (1rโ€˜๐‘ƒ) = (1rโ€˜๐‘ƒ)
14892, 147ringidval 20114 . . . . . . . . . . . 12 (1rโ€˜๐‘ƒ) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (1rโ€˜๐‘ƒ) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
150149eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
151150oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
152114adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐‘Œ))
153152fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (1rโ€˜๐‘ƒ) = (1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
154153oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
15527, 126syl3an2 1162 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
157 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
158 elnn0uz 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘  โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘  โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
1591, 158sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
160 eluzfz1 13532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘  โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘ ))
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘ ))
162161adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘ ))
163157, 162ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต)
164163ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต))
16541, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต))
166165impcom 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต)
167166adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต)
1686, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22615 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
16959, 39, 167, 168syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
17025, 10ringcl 20181 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Œ โˆˆ Ring โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
171121, 156, 169, 170syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
172 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) = (1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ))
17325, 135, 9, 172lmodvs1 20762 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Œ โˆˆ LMod โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
17490, 171, 173syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
175154, 174eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
176146, 151, 1753eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
177176, 171eqeltrd 2828 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
178 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 0 โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) = (0 โ†‘ ๐‘‹))
179 2fveq3 6896 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = 0 โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))
180179oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 0 โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
181178, 180oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘– = 0 โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) = ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
182181adantl 481 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– = 0) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) = ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
18325, 57, 141, 177, 182gsumsnd 19898 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
18494, 148, 8mulg0 19021 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
185106, 184syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
186185adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
187186oveq1d 7429 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
188183, 187, 1753eqtrd 2771 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
189188oveq2d 7430 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
190139, 189eqtrd 2767 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
19185, 190oveq12d 7432 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
192 fzfid 13962 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
193 simpll1 1210 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
19439adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
19541adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
196195adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
197 nnz 12601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
198 fzoval 13657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ โ„ค โ†’ (0..^๐‘ ) = (0...(๐‘  โˆ’ 1)))
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (0..^๐‘ ) = (0...(๐‘  โˆ’ 1)))
200199eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) = (0..^๐‘ ))
201200eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†” ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘ )))
202 elfzofz 13672 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (0..^๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))
203201, 202biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
204203adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
205204imp 406 . . . . . . . . . 10 (((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))
206196, 205ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 (((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
207206adantll 713 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
208 elfznn0 13618 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
209208adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
21049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
211209, 210nn0addcld 12558 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘– + 1) โˆˆ โ„•0)
212193, 194, 207, 211, 52syl22anc 838 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
213212ralrimiva 3141 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))(((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
21425, 34, 192, 213gsummptcl 19913 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
21525, 26cmncom 19744 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
21634, 214, 70, 215syl3anc 1369 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
217216oveq1d 7429 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
218 ringgrp 20169 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
21931, 218syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
220219adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
221 fzfid 13962 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (1...๐‘ ) โˆˆ Fin)
22290adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
223100adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
224 elfznn 13554 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
225224nnnn0d 12554 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
226225adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
227107adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
22894, 8, 223, 226, 227mulgnn0cld 19041 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
229114fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
230229adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
231230adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
232228, 231eleqtrd 2830 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
233121adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
234156adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
235 simpll1 1210 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
23639adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
237195adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
238237adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
239 1eluzge0 12898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
240 fzss1 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (1...๐‘ ) โІ (0...๐‘ ))
241239, 240mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐‘ ) โІ (0...๐‘ ))
242241sseld 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
243242ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
244243imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))
245238, 244ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
2466, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22615 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
247235, 236, 245, 246syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
248233, 234, 247, 133syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
249222, 232, 248, 137syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
250249ralrimiva 3141 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
25125, 34, 221, 250gsummptcl 19913 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
252 cpmadugsum.s . . . . . . . 8 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
25325, 26, 252grpaddsubass 18977 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ Grp โˆง ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))))
254220, 70, 214, 251, 253syl13anc 1370 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))))
255 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘– โˆ’ 1))
256255oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) = ((๐‘– โˆ’ 1) + 1))
257256oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) = (((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹))
258255fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)) = (๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))
259258fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))
260257, 259oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))) = ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
261260cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
262224nncnd 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
263262adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
264 npcan1 11661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) + 1) = ๐‘–)
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) + 1) = ๐‘–)
266265oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) = (๐‘– โ†‘ ๐‘‹))
267266oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) = ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
268267mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))))
269261, 268eqtrid 2779 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))))
270269oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))))
271270ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))))
272271oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
273 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (0gโ€˜๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘Œ)
274 1zzd 12615 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
275 0zd 12592 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
27636nn0zd 12606 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘  โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
277 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘– + 1) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1))
278277oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) = (((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹))
279 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))
280278, 279oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))
28125, 273, 34, 274, 275, 276, 212, 280gsummptshft 19882 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))))
282 0p1e1 12356 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
283282a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0 + 1) = 1)
28475ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) = ๐‘ )
285283, 284oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) = (1...๐‘ ))
286285mpteq1d 5237 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))))
287286oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))))
288281, 287eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))))
289288oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
290 ringabl 20206 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Abel)
29131, 290syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Abel)
292291adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Abel)
293224adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
294 nnz 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
295 elfzm1b 13603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†” (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))))
296294, 197, 295syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†” (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))))
297199adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (0..^๐‘ ) = (0...(๐‘  โˆ’ 1)))
298297eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) = (0..^๐‘ ))
299298eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†” (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0..^๐‘ )))
300 elfzofz 13672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0..^๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ ))
301299, 300biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
302296, 301sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
303302expimpd 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
304293, 303mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ ))
305304ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
306305ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
307306imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ ))
308238, 307ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต)
3092, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22629 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
310235, 236, 308, 226, 309syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
311 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
312 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))
31325, 252, 292, 221, 310, 249, 311, 312gsummptfidmsub 19896 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
314272, 289, 3133eqtr4d 2777 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
315314oveq2d 7430 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))))
316220adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
31725, 252grpsubcl 18967 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Œ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
318316, 310, 249, 317syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
319318ralrimiva 3141 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )(((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32025, 34, 221, 319gsummptcl 19913 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32125, 26cmncom 19744 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ CMnd โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
32234, 70, 320, 321syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
323254, 315, 3223eqtrd 2771 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
324323oveq1d 7429 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
32525, 26mndcl 18693 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ Mnd โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32657, 70, 214, 325syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32725, 26, 252, 292, 326, 251, 171ablsubsub4 19764 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
32825, 26, 252grpaddsubass 18977 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
329220, 320, 70, 171, 328syl13anc 1370 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
330324, 327, 3293eqtr3d 2775 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
3316, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22615 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
332235, 236, 308, 331syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
33325, 9, 135, 136, 252, 222, 232, 332, 248lmodsubdi 20791 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
334333eqcomd 2733 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
335334mpteq2dva 5242 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
336335oveq2d 7430 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
337336oveq1d 7429 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
338217, 330, 3373eqtrd 2771 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
33916, 191, 3383eqtrd 2771 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469   โІ wss 3944  {csn 4624   โ†ฆ cmpt 5225  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โ†‘m cmap 8836  Fincfn 8955  โ„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   โˆ’ cmin 11466  โ„•cn 12234  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  โ„คโ‰ฅcuz 12844  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  Scalarcsca 17227   ยท๐‘  cvsca 17228  0gc0g 17412   ฮฃg cgsu 17413  Mndcmnd 18685  Grpcgrp 18881  -gcsg 18883  .gcmg 19014  CMndccmn 19726  Abelcabl 19727  mulGrpcmgp 20065  1rcur 20112  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  LModclmod 20732  var1cv1 22082  Poly1cpl1 22083   Mat cmat 22294   matToPolyMat cmat2pmat 22593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-assa 21774  df-ascl 21776  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-mamu 22273  df-mat 22295  df-mat2pmat 22596
This theorem is referenced by:  cpmadugsumfi  22766
  Copyright terms: Public domain W3C validator