Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nnnn0 12425 |
. . . 4
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ0) |
2 | | cpmadugsum.a |
. . . . 5
โข ๐ด = (๐ Mat ๐
) |
3 | | cpmadugsum.b |
. . . . 5
โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
4 | | cpmadugsum.p |
. . . . 5
โข ๐ = (Poly1โ๐
) |
5 | | cpmadugsum.y |
. . . . 5
โข ๐ = (๐ Mat ๐) |
6 | | cpmadugsum.t |
. . . . 5
โข ๐ = (๐ matToPolyMat ๐
) |
7 | | cpmadugsum.x |
. . . . 5
โข ๐ = (var1โ๐
) |
8 | | cpmadugsum.e |
. . . . 5
โข โ =
(.gโ(mulGrpโ๐)) |
9 | | cpmadugsum.m |
. . . . 5
โข ยท = (
ยท๐ โ๐) |
10 | | cpmadugsum.r |
. . . . 5
โข ร =
(.rโ๐) |
11 | | cpmadugsum.1 |
. . . . 5
โข 1 =
(1rโ๐) |
12 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | cpmadugsumlemB 22239 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ ยท 1 ) ร (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) |
13 | 1, 12 | sylanr1 681 |
. . 3
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ ยท 1 ) ร (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) |
14 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | cpmadugsumlemC 22240 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐โ๐) ร (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) |
15 | 1, 14 | sylanr1 681 |
. . 3
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐โ๐) ร (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) |
16 | 13, 15 | oveq12d 7376 |
. 2
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (((๐ ยท 1 ) ร (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ ((๐โ๐) ร (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) |
17 | | nncn 12166 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ) |
18 | | npcan1 11585 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ ((๐ โ 1) + 1) = ๐ ) |
19 | 18 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ ๐ = ((๐ โ 1) + 1)) |
20 | 17, 19 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ โ ๐ = ((๐ โ 1) + 1)) |
21 | 20 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ โ
(0...๐ ) = (0...((๐ โ 1) +
1))) |
22 | 21 | mpteq1d 5201 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (0...๐ ) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))) = (๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) |
23 | 22 | oveq2d 7374 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ โ (๐ ฮฃg
(๐ โ (0...๐ ) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1)) โฆ
(((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) |
24 | 23 | ad2antrl 727 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1)) โฆ
(((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) |
25 | | eqid 2733 |
. . . . 5
โข
(Baseโ๐) =
(Baseโ๐) |
26 | | cpmadugsum.g |
. . . . 5
โข + =
(+gโ๐) |
27 | | crngring 19981 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐
โ CRing โ ๐
โ Ring) |
28 | 27 | anim2i 618 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing) โ (๐ โ Fin โง ๐
โ Ring)) |
29 | 28 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ Fin โง ๐
โ Ring)) |
30 | 4, 5 | pmatring 22057 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring) โ ๐ โ Ring) |
31 | 29, 30 | syl 17 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Ring) |
32 | | ringcmn 20008 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ Ring โ ๐ โ CMnd) |
33 | 31, 32 | syl 17 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ CMnd) |
34 | 33 | adantr 482 |
. . . . 5
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐ โ CMnd) |
35 | | nnm1nn0 12459 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ โ (๐ โ 1) โ
โ0) |
36 | 35 | ad2antrl 727 |
. . . . 5
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ โ 1) โ
โ0) |
37 | | simpll1 1213 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1))) โ ๐ โ Fin) |
38 | 27 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐
โ Ring) |
39 | 38 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐
โ Ring) |
40 | 39 | adantr 482 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1))) โ ๐
โ Ring) |
41 | | elmapi 8790 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ต โm (0...๐ )) โ ๐:(0...๐ )โถ๐ต) |
42 | 21 | feq2d 6655 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ (๐:(0...๐ )โถ๐ต โ ๐:(0...((๐ โ 1) + 1))โถ๐ต)) |
43 | 41, 42 | syl5ibcom 244 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐ต โm (0...๐ )) โ (๐ โ โ โ ๐:(0...((๐ โ 1) + 1))โถ๐ต)) |
44 | 43 | impcom 409 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โ ๐:(0...((๐ โ 1) + 1))โถ๐ต) |
45 | 44 | adantl 483 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐:(0...((๐ โ 1) + 1))โถ๐ต) |
46 | 45 | ffvelcdmda 7036 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1))) โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
47 | | elfznn0 13540 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1)) โ ๐ โ
โ0) |
48 | 47 | adantl 483 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1))) โ ๐ โ โ0) |
49 | | 1nn0 12434 |
. . . . . . . 8
โข 1 โ
โ0 |
50 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1))) โ 1 โ
โ0) |
51 | 48, 50 | nn0addcld 12482 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1))) โ (๐ + 1) โ
โ0) |
52 | 2, 3, 6, 4, 5, 25,
9, 8, 7 | mat2pmatscmxcl 22105 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring) โง ((๐โ๐) โ ๐ต โง (๐ + 1) โ โ0)) โ
(((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))) โ (Baseโ๐)) |
53 | 37, 40, 46, 51, 52 | syl22anc 838 |
. . . . 5
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1))) โ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))) โ (Baseโ๐)) |
54 | 25, 26, 34, 36, 53 | gsummptfzsplit 19714 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (0...((๐ โ 1) + 1)) โฆ
(((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) + (๐ ฮฃg (๐ โ {((๐ โ 1) + 1)} โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))))) |
55 | | ringmnd 19979 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Mnd) |
56 | 31, 55 | syl 17 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Mnd) |
57 | 56 | adantr 482 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐ โ Mnd) |
58 | | ovexd 7393 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ โ 1) + 1) โ V) |
59 | | simpl1 1192 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐ โ Fin) |
60 | | nn0fz0 13545 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ๐ โ (0...๐ )) |
61 | 1, 60 | sylib 217 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ ๐ โ (0...๐ )) |
62 | | ffvelcdm 7033 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐:(0...๐ )โถ๐ต โง ๐ โ (0...๐ )) โ (๐โ๐ ) โ ๐ต) |
63 | 41, 61, 62 | syl2anr 598 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โ (๐โ๐ ) โ ๐ต) |
64 | 1 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โ ๐ โ โ0) |
65 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โ 1 โ
โ0) |
66 | 64, 65 | nn0addcld 12482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โ (๐ + 1) โ
โ0) |
67 | 63, 66 | jca 513 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โ ((๐โ๐ ) โ ๐ต โง (๐ + 1) โ
โ0)) |
68 | 67 | adantl 483 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐โ๐ ) โ ๐ต โง (๐ + 1) โ
โ0)) |
69 | 2, 3, 6, 4, 5, 25,
9, 8, 7 | mat2pmatscmxcl 22105 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring) โง ((๐โ๐ ) โ ๐ต โง (๐ + 1) โ โ0)) โ
(((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ (Baseโ๐)) |
70 | 59, 39, 68, 69 | syl21anc 837 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ (Baseโ๐)) |
71 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ((๐ โ 1) + 1) โ (๐ + 1) = (((๐ โ 1) + 1) + 1)) |
72 | 71 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ((๐ โ 1) + 1) โ ((๐ + 1) โ ๐) = ((((๐ โ 1) + 1) + 1) โ ๐)) |
73 | | 2fveq3 6848 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ((๐ โ 1) + 1) โ (๐โ(๐โ๐)) = (๐โ(๐โ((๐ โ 1) + 1)))) |
74 | 72, 73 | oveq12d 7376 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ((๐ โ 1) + 1) โ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))) = (((((๐ โ 1) + 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ((๐ โ 1) + 1))))) |
75 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ โ ((๐ โ 1) + 1) = ๐ ) |
76 | 75 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ (((๐ โ 1) + 1) + 1) = (๐ + 1)) |
77 | 76 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ ((((๐ โ 1) + 1) + 1) โ ๐) = ((๐ + 1) โ ๐)) |
78 | 75 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ (๐โ((๐ โ 1) + 1)) = (๐โ๐ )) |
79 | 78 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ (๐โ(๐โ((๐ โ 1) + 1))) = (๐โ(๐โ๐ ))) |
80 | 77, 79 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ โ
(((((๐ โ 1) + 1) + 1)
โ
๐) ยท (๐โ(๐โ((๐ โ 1) + 1)))) = (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) |
81 | 80 | ad2antrl 727 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (((((๐ โ 1) + 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ((๐ โ 1) + 1)))) = (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) |
82 | 74, 81 | sylan9eqr 2795 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ = ((๐ โ 1) + 1)) โ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))) = (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) |
83 | 25, 57, 58, 70, 82 | gsumsnd 19734 |
. . . . 5
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ {((๐ โ 1) + 1)} โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) = (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) |
84 | 83 | oveq2d 7374 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) + (๐ ฮฃg (๐ โ {((๐ โ 1) + 1)} โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))))) |
85 | 24, 54, 84 | 3eqtrd 2777 |
. . 3
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))))) |
86 | 1 | ad2antrl 727 |
. . . . 5
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐ โ โ0) |
87 | 4, 5 | pmatlmod 22058 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring) โ ๐ โ LMod) |
88 | 28, 87 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing) โ ๐ โ LMod) |
89 | 88 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ LMod) |
90 | 89 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐ โ LMod) |
91 | 90 | adantr 482 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ ๐ โ LMod) |
92 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
โข
(mulGrpโ๐) =
(mulGrpโ๐) |
93 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
โข
(Baseโ๐) =
(Baseโ๐) |
94 | 92, 93 | mgpbas 19907 |
. . . . . . . 8
โข
(Baseโ๐) =
(Baseโ(mulGrpโ๐)) |
95 | 4 | ply1ring 21635 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐
โ Ring โ ๐ โ Ring) |
96 | 27, 95 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐
โ CRing โ ๐ โ Ring) |
97 | 96 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Ring) |
98 | 92 | ringmgp 19975 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ Ring โ
(mulGrpโ๐) โ
Mnd) |
99 | 97, 98 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (mulGrpโ๐) โ Mnd) |
100 | 99 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (mulGrpโ๐) โ Mnd) |
101 | 100 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ (mulGrpโ๐) โ Mnd) |
102 | | elfznn0 13540 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (0...๐ ) โ ๐ โ โ0) |
103 | 102 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ ๐ โ โ0) |
104 | 7, 4, 93 | vr1cl 21604 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐
โ Ring โ ๐ โ (Baseโ๐)) |
105 | 27, 104 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐
โ CRing โ ๐ โ (Baseโ๐)) |
106 | 105 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ (Baseโ๐)) |
107 | 106 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐ โ (Baseโ๐)) |
108 | 107 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ ๐ โ (Baseโ๐)) |
109 | 94, 8, 101, 103, 108 | mulgnn0cld 18902 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ (๐ โ ๐) โ (Baseโ๐)) |
110 | 4 | ply1crng 21585 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐
โ CRing โ ๐ โ CRing) |
111 | 110 | anim2i 618 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ CRing)) |
112 | 111 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ CRing)) |
113 | 5 | matsca2 21785 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing) โ ๐ = (Scalarโ๐)) |
114 | 112, 113 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ = (Scalarโ๐)) |
115 | 114 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (Scalarโ๐) = ๐) |
116 | 115 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (Baseโ(Scalarโ๐)) = (Baseโ๐)) |
117 | 116 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ ๐) โ (Baseโ(Scalarโ๐)) โ (๐ โ ๐) โ (Baseโ๐))) |
118 | 117 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ โ ๐) โ (Baseโ(Scalarโ๐)) โ (๐ โ ๐) โ (Baseโ๐))) |
119 | 118 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ ((๐ โ ๐) โ (Baseโ(Scalarโ๐)) โ (๐ โ ๐) โ (Baseโ๐))) |
120 | 109, 119 | mpbird 257 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ (๐ โ ๐) โ (Baseโ(Scalarโ๐))) |
121 | 31 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐ โ Ring) |
122 | 121 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ ๐ โ Ring) |
123 | | simpll1 1213 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ ๐ โ Fin) |
124 | 39 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ ๐
โ Ring) |
125 | | simpll3 1215 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ ๐ โ ๐ต) |
126 | 6, 2, 3, 4, 5 | mat2pmatbas 22091 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐โ๐) โ (Baseโ๐)) |
127 | 123, 124,
125, 126 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ (๐โ๐) โ (Baseโ๐)) |
128 | 86 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ ๐ โ โ0) |
129 | | simprr 772 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) |
130 | 129 | anim1i 616 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ (๐ โ (๐ต โm (0...๐ )) โง ๐ โ (0...๐ ))) |
131 | 2, 3, 4, 5, 6 | m2pmfzmap 22112 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring โง ๐ โ โ0)
โง (๐ โ (๐ต โm (0...๐ )) โง ๐ โ (0...๐ ))) โ (๐โ(๐โ๐)) โ (Baseโ๐)) |
132 | 123, 124,
128, 130, 131 | syl31anc 1374 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ (๐โ(๐โ๐)) โ (Baseโ๐)) |
133 | 25, 10 | ringcl 19986 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โ Ring โง (๐โ๐) โ (Baseโ๐) โง (๐โ(๐โ๐)) โ (Baseโ๐)) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))) โ (Baseโ๐)) |
134 | 122, 127,
132, 133 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))) โ (Baseโ๐)) |
135 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
โข
(Scalarโ๐) =
(Scalarโ๐) |
136 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
โข
(Baseโ(Scalarโ๐)) = (Baseโ(Scalarโ๐)) |
137 | 25, 135, 9, 136 | lmodvscl 20354 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ LMod โง (๐ โ ๐) โ (Baseโ(Scalarโ๐)) โง ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))) โ (Baseโ๐)) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))) โ (Baseโ๐)) |
138 | 91, 120, 134, 137 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...๐ )) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))) โ (Baseโ๐)) |
139 | 25, 26, 34, 86, 138 | gsummptfzsplitl 19715 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) + (๐ ฮฃg (๐ โ {0} โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) |
140 | | 0nn0 12433 |
. . . . . . . 8
โข 0 โ
โ0 |
141 | 140 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ 0 โ
โ0) |
142 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(0gโ(mulGrpโ๐)) =
(0gโ(mulGrpโ๐)) |
143 | 94, 142, 8 | mulg0 18884 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (Baseโ๐) โ (0 โ ๐) = (0gโ(mulGrpโ๐))) |
144 | 106, 143 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (0 โ ๐) = (0gโ(mulGrpโ๐))) |
145 | 144 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (0 โ ๐) = (0gโ(mulGrpโ๐))) |
146 | 145 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((0 โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) =
((0gโ(mulGrpโ๐)) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) |
147 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(1rโ๐) = (1rโ๐) |
148 | 92, 147 | ringidval 19920 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(1rโ๐) = (0gโ(mulGrpโ๐)) |
149 | 148 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (1rโ๐) =
(0gโ(mulGrpโ๐))) |
150 | 149 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ
(0gโ(mulGrpโ๐)) = (1rโ๐)) |
151 | 150 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ
((0gโ(mulGrpโ๐)) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) = ((1rโ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) |
152 | 114 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐ = (Scalarโ๐)) |
153 | 152 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (1rโ๐) =
(1rโ(Scalarโ๐))) |
154 | 153 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((1rโ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) =
((1rโ(Scalarโ๐)) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) |
155 | 27, 126 | syl3an2 1165 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐โ๐) โ (Baseโ๐)) |
156 | 155 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐โ๐) โ (Baseโ๐)) |
157 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐:(0...๐ )โถ๐ต โง ๐ โ โ) โ ๐:(0...๐ )โถ๐ต) |
158 | | elnn0uz 12813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ โ โ0
โ ๐ โ
(โคโฅโ0)) |
159 | 1, 158 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
(โคโฅโ0)) |
160 | | eluzfz1 13454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ
(โคโฅโ0) โ 0 โ (0...๐ )) |
161 | 159, 160 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ โ โ 0 โ
(0...๐ )) |
162 | 161 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐:(0...๐ )โถ๐ต โง ๐ โ โ) โ 0 โ (0...๐ )) |
163 | 157, 162 | ffvelcdmd 7037 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐:(0...๐ )โถ๐ต โง ๐ โ โ) โ (๐โ0) โ ๐ต) |
164 | 163 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐:(0...๐ )โถ๐ต โ (๐ โ โ โ (๐โ0) โ ๐ต)) |
165 | 41, 164 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (๐ต โm (0...๐ )) โ (๐ โ โ โ (๐โ0) โ ๐ต)) |
166 | 165 | impcom 409 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โ (๐โ0) โ ๐ต) |
167 | 166 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐โ0) โ ๐ต) |
168 | 6, 2, 3, 4, 5 | mat2pmatbas 22091 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring โง (๐โ0) โ ๐ต) โ (๐โ(๐โ0)) โ (Baseโ๐)) |
169 | 59, 39, 167, 168 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐โ(๐โ0)) โ (Baseโ๐)) |
170 | 25, 10 | ringcl 19986 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ Ring โง (๐โ๐) โ (Baseโ๐) โง (๐โ(๐โ0)) โ (Baseโ๐)) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))) โ (Baseโ๐)) |
171 | 121, 156,
169, 170 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))) โ (Baseโ๐)) |
172 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(1rโ(Scalarโ๐)) =
(1rโ(Scalarโ๐)) |
173 | 25, 135, 9, 172 | lmodvs1 20365 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ LMod โง ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))) โ (Baseโ๐)) โ
((1rโ(Scalarโ๐)) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) = ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) |
174 | 90, 171, 173 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ
((1rโ(Scalarโ๐)) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) = ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) |
175 | 154, 174 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((1rโ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) = ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) |
176 | 146, 151,
175 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((0 โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) = ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) |
177 | 176, 171 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((0 โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) โ (Baseโ๐)) |
178 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = 0 โ (๐ โ ๐) = (0 โ ๐)) |
179 | | 2fveq3 6848 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = 0 โ (๐โ(๐โ๐)) = (๐โ(๐โ0))) |
180 | 179 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = 0 โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))) = ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) |
181 | 178, 180 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = 0 โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))) = ((0 โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) |
182 | 181 | adantl 483 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ = 0) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))) = ((0 โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) |
183 | 25, 57, 141, 177, 182 | gsumsnd 19734 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ {0} โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) = ((0 โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) |
184 | 94, 148, 8 | mulg0 18884 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (Baseโ๐) โ (0 โ ๐) = (1rโ๐)) |
185 | 106, 184 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (0 โ ๐) = (1rโ๐)) |
186 | 185 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (0 โ ๐) = (1rโ๐)) |
187 | 186 | oveq1d 7373 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((0 โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) = ((1rโ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) |
188 | 183, 187,
175 | 3eqtrd 2777 |
. . . . 5
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ {0} โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) = ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) |
189 | 188 | oveq2d 7374 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) + (๐ ฮฃg (๐ โ {0} โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) + ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) |
190 | 139, 189 | eqtrd 2773 |
. . 3
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) + ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) |
191 | 85, 190 | oveq12d 7376 |
. 2
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) = (((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) + ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) |
192 | | fzfid 13884 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (0...(๐ โ 1)) โ Fin) |
193 | | simpll1 1213 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ ๐ โ Fin) |
194 | 39 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ ๐
โ Ring) |
195 | 41 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โ ๐:(0...๐ )โถ๐ต) |
196 | 195 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ ๐:(0...๐ )โถ๐ต) |
197 | | nnz 12525 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โค) |
198 | | fzoval 13579 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ โค โ
(0..^๐ ) = (0...(๐ โ 1))) |
199 | 197, 198 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ โ โ
(0..^๐ ) = (0...(๐ โ 1))) |
200 | 199 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ โ
(0...(๐ โ 1)) =
(0..^๐ )) |
201 | 200 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โ ๐ โ (0..^๐ ))) |
202 | | elfzofz 13594 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (0..^๐ ) โ ๐ โ (0...๐ )) |
203 | 201, 202 | syl6bi 253 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โ ๐ โ (0...๐ ))) |
204 | 203 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โ (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โ ๐ โ (0...๐ ))) |
205 | 204 | imp 408 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ ๐ โ (0...๐ )) |
206 | 196, 205 | ffvelcdmd 7037 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))) โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
207 | 206 | adantll 713 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
208 | | elfznn0 13540 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โ ๐ โ โ0) |
209 | 208 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ ๐ โ โ0) |
210 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ 1 โ
โ0) |
211 | 209, 210 | nn0addcld 12482 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ (๐ + 1) โ
โ0) |
212 | 193, 194,
207, 211, 52 | syl22anc 838 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))) โ (Baseโ๐)) |
213 | 212 | ralrimiva 3140 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ โ๐ โ (0...(๐ โ 1))(((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))) โ (Baseโ๐)) |
214 | 25, 34, 192, 213 | gsummptcl 19749 |
. . . . 5
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) โ (Baseโ๐)) |
215 | 25, 26 | cmncom 19585 |
. . . . 5
โข ((๐ โ CMnd โง (๐ ฮฃg
(๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) โ (Baseโ๐) โง (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ (Baseโ๐)) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) = ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))))) |
216 | 34, 214, 70, 215 | syl3anc 1372 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) = ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))))) |
217 | 216 | oveq1d 7373 |
. . 3
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) + ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) = (((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) + ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) |
218 | | ringgrp 19974 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) |
219 | 31, 218 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Grp) |
220 | 219 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐ โ Grp) |
221 | | fzfid 13884 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (1...๐ ) โ Fin) |
222 | 90 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ๐ โ LMod) |
223 | 100 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (mulGrpโ๐) โ Mnd) |
224 | | elfznn 13476 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (1...๐ ) โ ๐ โ โ) |
225 | 224 | nnnn0d 12478 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (1...๐ ) โ ๐ โ โ0) |
226 | 225 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ๐ โ โ0) |
227 | 107 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ๐ โ (Baseโ๐)) |
228 | 94, 8, 223, 226, 227 | mulgnn0cld 18902 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (๐ โ ๐) โ (Baseโ๐)) |
229 | 114 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (Baseโ๐) = (Baseโ(Scalarโ๐))) |
230 | 229 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (Baseโ๐) = (Baseโ(Scalarโ๐))) |
231 | 230 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (Baseโ๐) = (Baseโ(Scalarโ๐))) |
232 | 228, 231 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (๐ โ ๐) โ (Baseโ(Scalarโ๐))) |
233 | 121 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ๐ โ Ring) |
234 | 156 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (๐โ๐) โ (Baseโ๐)) |
235 | | simpll1 1213 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ๐ โ Fin) |
236 | 39 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ๐
โ Ring) |
237 | 195 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐:(0...๐ )โถ๐ต) |
238 | 237 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ๐:(0...๐ )โถ๐ต) |
239 | | 1eluzge0 12822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข 1 โ
(โคโฅโ0) |
240 | | fzss1 13486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (1 โ
(โคโฅโ0) โ (1...๐ ) โ (0...๐ )) |
241 | 239, 240 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ โ โ
(1...๐ ) โ (0...๐ )) |
242 | 241 | sseld 3944 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (1...๐ ) โ ๐ โ (0...๐ ))) |
243 | 242 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ โ (1...๐ ) โ ๐ โ (0...๐ ))) |
244 | 243 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ๐ โ (0...๐ )) |
245 | 238, 244 | ffvelcdmd 7037 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
246 | 6, 2, 3, 4, 5 | mat2pmatbas 22091 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring โง (๐โ๐) โ ๐ต) โ (๐โ(๐โ๐)) โ (Baseโ๐)) |
247 | 235, 236,
245, 246 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (๐โ(๐โ๐)) โ (Baseโ๐)) |
248 | 233, 234,
247, 133 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))) โ (Baseโ๐)) |
249 | 222, 232,
248, 137 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))) โ (Baseโ๐)) |
250 | 249 | ralrimiva 3140 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ โ๐ โ (1...๐ )((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))) โ (Baseโ๐)) |
251 | 25, 34, 221, 250 | gsummptcl 19749 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) โ (Baseโ๐)) |
252 | | cpmadugsum.s |
. . . . . . . 8
โข โ =
(-gโ๐) |
253 | 25, 26, 252 | grpaddsubass 18842 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โ Grp โง ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ (Baseโ๐) โง (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) โ (Baseโ๐) โง (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) โ (Baseโ๐))) โ (((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) = ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))))) |
254 | 220, 70, 214, 251, 253 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) = ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))))) |
255 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฅ โ 1) = (๐ โ 1)) |
256 | 255 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ฅ โ 1) + 1) = ((๐ โ 1) + 1)) |
257 | 256 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = ๐ โ (((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) = (((๐ โ 1) + 1) โ ๐)) |
258 | 255 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐โ(๐ฅ โ 1)) = (๐โ(๐ โ 1))) |
259 | 258 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1))) = (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) |
260 | 257, 259 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฅ = ๐ โ ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1)))) = ((((๐ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1))))) |
261 | 260 | cbvmptv 5219 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ฅ โ (1...๐ ) โฆ ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1))))) = (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((((๐ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1))))) |
262 | 224 | nncnd 12174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (1...๐ ) โ ๐ โ โ) |
263 | 262 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐ )) โ ๐ โ โ) |
264 | | npcan1 11585 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ โ โ ((๐ โ 1) + 1) = ๐) |
265 | 263, 264 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐ )) โ ((๐ โ 1) + 1) = ๐) |
266 | 265 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐ )) โ (((๐ โ 1) + 1) โ ๐) = (๐ โ ๐)) |
267 | 266 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐ )) โ ((((๐ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) = ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1))))) |
268 | 267 | mpteq2dva 5206 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((((๐ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1))))) = (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))))) |
269 | 261, 268 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ โ (๐ฅ โ (1...๐ ) โฆ ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1))))) = (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))))) |
270 | 269 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ (๐ ฮฃg
(๐ฅ โ (1...๐ ) โฆ ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1)))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1))))))) |
271 | 270 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ (1...๐ ) โฆ ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1)))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1))))))) |
272 | 271 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ฅ โ (1...๐ ) โฆ ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1)))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) |
273 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(0gโ๐) = (0gโ๐) |
274 | | 1zzd 12539 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ 1 โ
โค) |
275 | | 0zd 12516 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ 0 โ
โค) |
276 | 36 | nn0zd 12530 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ โ 1) โ โค) |
277 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (๐ฅ โ 1) โ (๐ + 1) = ((๐ฅ โ 1) + 1)) |
278 | 277 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (๐ฅ โ 1) โ ((๐ + 1) โ ๐) = (((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐)) |
279 | | 2fveq3 6848 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (๐ฅ โ 1) โ (๐โ(๐โ๐)) = (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1)))) |
280 | 278, 279 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = (๐ฅ โ 1) โ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))) = ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1))))) |
281 | 25, 273, 34, 274, 275, 276, 212, 280 | gsummptshft 19718 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) = (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ((0 + 1)...((๐ โ 1) + 1)) โฆ
((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1))))))) |
282 | | 0p1e1 12280 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (0 + 1) =
1 |
283 | 282 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (0 + 1) = 1) |
284 | 75 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ โ 1) + 1) = ๐ ) |
285 | 283, 284 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((0 + 1)...((๐ โ 1) + 1)) = (1...๐ )) |
286 | 285 | mpteq1d 5201 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ฅ โ ((0 + 1)...((๐ โ 1) + 1)) โฆ ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1))))) = (๐ฅ โ (1...๐ ) โฆ ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1)))))) |
287 | 286 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ((0 + 1)...((๐ โ 1) + 1)) โฆ
((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1)))))) = (๐ ฮฃg (๐ฅ โ (1...๐ ) โฆ ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1))))))) |
288 | 281, 287 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) = (๐ ฮฃg (๐ฅ โ (1...๐ ) โฆ ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1))))))) |
289 | 288 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) = ((๐ ฮฃg (๐ฅ โ (1...๐ ) โฆ ((((๐ฅ โ 1) + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ฅ โ 1)))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) |
290 | | ringabl 20007 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Abel) |
291 | 31, 290 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Abel) |
292 | 291 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ๐ โ Abel) |
293 | 224 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐ )) โ ๐ โ โ) |
294 | | nnz 12525 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โค) |
295 | | elfzm1b 13525 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โ (1...๐ ) โ (๐ โ 1) โ (0...(๐ โ 1)))) |
296 | 294, 197,
295 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โ (1...๐ ) โ (๐ โ 1) โ (0...(๐ โ 1)))) |
297 | 199 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ
(0..^๐ ) = (0...(๐ โ 1))) |
298 | 297 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ
(0...(๐ โ 1)) =
(0..^๐ )) |
299 | 298 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ โ 1) โ (0...(๐ โ 1)) โ (๐ โ 1) โ (0..^๐ ))) |
300 | | elfzofz 13594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โ 1) โ (0..^๐ ) โ (๐ โ 1) โ (0...๐ )) |
301 | 299, 300 | syl6bi 253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ โ 1) โ (0...(๐ โ 1)) โ (๐ โ 1) โ (0...๐ ))) |
302 | 296, 301 | sylbid 239 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โ (1...๐ ) โ (๐ โ 1) โ (0...๐ ))) |
303 | 302 | expimpd 455 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ โ โ ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐ )) โ (๐ โ 1) โ (0...๐ ))) |
304 | 293, 303 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐ )) โ (๐ โ 1) โ (0...๐ )) |
305 | 304 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (1...๐ ) โ (๐ โ 1) โ (0...๐ ))) |
306 | 305 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ โ (1...๐ ) โ (๐ โ 1) โ (0...๐ ))) |
307 | 306 | imp 408 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (๐ โ 1) โ (0...๐ )) |
308 | 238, 307 | ffvelcdmd 7037 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (๐โ(๐ โ 1)) โ ๐ต) |
309 | 2, 3, 6, 4, 5, 25,
9, 8, 7 | mat2pmatscmxcl 22105 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring) โง ((๐โ(๐ โ 1)) โ ๐ต โง ๐ โ โ0)) โ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ (Baseโ๐)) |
310 | 235, 236,
308, 226, 309 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ (Baseโ๐)) |
311 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1))))) = (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1))))) |
312 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))) = (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))) |
313 | 25, 252, 292, 221, 310, 249, 311, 312 | gsummptfidmsub 19732 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) |
314 | 272, 289,
313 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) |
315 | 314 | oveq2d 7374 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + ((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) = ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))))) |
316 | 220 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ๐ โ Grp) |
317 | 25, 252 | grpsubcl 18832 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ Grp โง ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ (Baseโ๐) โง ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))) โ (Baseโ๐)) โ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))) โ (Baseโ๐)) |
318 | 316, 310,
249, 317 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))) โ (Baseโ๐)) |
319 | 318 | ralrimiva 3140 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ โ๐ โ (1...๐ )(((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))) โ (Baseโ๐)) |
320 | 25, 34, 221, 319 | gsummptcl 19749 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) โ (Baseโ๐)) |
321 | 25, 26 | cmncom 19585 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โ CMnd โง (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ (Baseโ๐) โง (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) โ (Baseโ๐)) โ ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))))) |
322 | 34, 70, 320, 321 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))))) |
323 | 254, 315,
322 | 3eqtrd 2777 |
. . . . 5
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))))) |
324 | 323 | oveq1d 7373 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) = (((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) |
325 | 25, 26 | mndcl 18569 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ Mnd โง (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ (Baseโ๐) โง (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) โ (Baseโ๐)) โ ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ (Baseโ๐)) |
326 | 57, 70, 214, 325 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ (Baseโ๐)) |
327 | 25, 26, 252, 292, 326, 251, 171 | ablsubsub4 19602 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) = (((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) + ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) |
328 | 25, 26, 252 | grpaddsubass 18842 |
. . . . 5
โข ((๐ โ Grp โง ((๐ ฮฃg
(๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) โ (Baseโ๐) โง (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ (Baseโ๐) โง ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))) โ (Baseโ๐))) โ (((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) |
329 | 220, 320,
70, 171, 328 | syl13anc 1373 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) |
330 | 324, 327,
329 | 3eqtr3d 2781 |
. . 3
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) + (๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) + ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) |
331 | 6, 2, 3, 4, 5 | mat2pmatbas 22091 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring โง (๐โ(๐ โ 1)) โ ๐ต) โ (๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ (Baseโ๐)) |
332 | 235, 236,
308, 331 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ (Baseโ๐)) |
333 | 25, 9, 135, 136, 252, 222, 232, 332, 248 | lmodsubdi 20394 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))) = (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) |
334 | 333 | eqcomd 2739 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง ๐ โ (1...๐ )) โ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))) = ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) |
335 | 334 | mpteq2dva 5206 |
. . . . 5
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) = (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) |
336 | 335 | oveq2d 7374 |
. . . 4
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) |
337 | 336 | oveq1d 7373 |
. . 3
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ (((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ(๐ โ 1)))) โ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) |
338 | 217, 330,
337 | 3eqtrd 2777 |
. 2
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (((๐ ฮฃg (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โฆ (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))) + (((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))) + ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) |
339 | 16, 191, 338 | 3eqtrd 2777 |
1
โข (((๐ โ Fin โง ๐
โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (((๐ ยท 1 ) ร (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐)))))) โ ((๐โ๐) ร (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐))))))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) |