MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsumlemF Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadugsumlemF 22241
Description: Lemma F for cpmadugsum 22243. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
cpmadugsum.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
cpmadugsum.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
cpmadugsum.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
cpmadugsum.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
cpmadugsum.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.r ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.1 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.g + = (+gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
cpmadugsumlemF (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–   ๐‘–,๐‘€   ๐‘–,๐‘   ๐‘…,๐‘–   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘–,๐‘Œ   ร— ,๐‘–   ยท ,๐‘–   1 ,๐‘–   ๐‘–,๐‘   ๐‘–,๐‘    ๐‘‡,๐‘–   โ†‘ ,๐‘–   โˆ’ ,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘ ,๐‘)   ๐ต(๐‘ ,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘–,๐‘ ,๐‘)   + (๐‘–,๐‘ ,๐‘)   ๐‘…(๐‘ ,๐‘)   ๐‘‡(๐‘ ,๐‘)   ยท (๐‘ ,๐‘)   ร— (๐‘ ,๐‘)   1 (๐‘ ,๐‘)   โ†‘ (๐‘ ,๐‘)   ๐‘€(๐‘ ,๐‘)   โˆ’ (๐‘ ,๐‘)   ๐‘(๐‘ ,๐‘)   ๐‘‹(๐‘ ,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘ ,๐‘)

Proof of Theorem cpmadugsumlemF
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12425 . . . 4 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
2 cpmadugsum.a . . . . 5 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 cpmadugsum.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 cpmadugsum.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
5 cpmadugsum.y . . . . 5 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
6 cpmadugsum.t . . . . 5 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
7 cpmadugsum.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
8 cpmadugsum.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
9 cpmadugsum.m . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
10 cpmadugsum.r . . . . 5 ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
11 cpmadugsum.1 . . . . 5 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemB 22239 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
131, 12sylanr1 681 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemC 22240 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
151, 14sylanr1 681 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
1613, 15oveq12d 7376 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
17 nncn 12166 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
18 npcan1 11585 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) = ๐‘ )
1918eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘  = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1))
2017, 19syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1))
2120oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (0...๐‘ ) = (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))
2221mpteq1d 5201 . . . . . 6 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) = (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))
2322oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
2423ad2antrl 727 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
25 eqid 2733 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
26 cpmadugsum.g . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘Œ)
27 crngring 19981 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2827anim2i 618 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
29283adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
304, 5pmatring 22057 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
32 ringcmn 20008 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CMnd)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CMnd)
3433adantr 482 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ CMnd)
35 nnm1nn0 12459 . . . . . 6 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘  โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
3635ad2antrl 727 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘  โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
37 simpll1 1213 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
38273ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3938adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
4039adantr 482 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
41 elmapi 8790 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
4221feq2d 6655 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โ†” ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต))
4341, 42syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต))
4443impcom 409 . . . . . . . 8 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต)
4544adantl 483 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘:(0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))โŸถ๐ต)
4645ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
47 elfznn0 13540 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
4847adantl 483 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
49 1nn0 12434 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
5148, 50nn0addcld 12482 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (๐‘– + 1) โˆˆ โ„•0)
522, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22105 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘– + 1) โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
5337, 40, 46, 51, 52syl22anc 838 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
5425, 26, 34, 36, 53gsummptfzsplit 19714 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {((๐‘  โˆ’ 1) + 1)} โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
55 ringmnd 19979 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Mnd)
5631, 55syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Mnd)
5756adantr 482 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Mnd)
58 ovexd 7393 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โˆˆ V)
59 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
60 nn0fz0 13545 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘  โˆˆ (0...๐‘ ))
611, 60sylib 217 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ (0...๐‘ ))
62 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . 10 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต)
6341, 61, 62syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต)
641adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
6549a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
6664, 65nn0addcld 12482 . . . . . . . . 9 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)
6763, 66jca 513 . . . . . . . 8 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0))
6867adantl 483 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0))
692, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22105 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘โ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
7059, 39, 68, 69syl21anc 837 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
71 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ (๐‘– + 1) = (((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1))
7271oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ ((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) = ((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹))
73 2fveq3 6848 . . . . . . . 8 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1))))
7472, 73oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = (((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))))
7517, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) = ๐‘ )
7675oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) = (๐‘  + 1))
7776oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) = ((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹))
7875fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) = (๐‘โ€˜๐‘ ))
7978fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1))) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))
8077, 79oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8180ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  โˆ’ 1) + 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜((๐‘  โˆ’ 1) + 1)))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8274, 81sylan9eqr 2795 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– = ((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8325, 57, 58, 70, 82gsumsnd 19734 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {((๐‘  โˆ’ 1) + 1)} โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))))
8483oveq2d 7374 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {((๐‘  โˆ’ 1) + 1)} โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
8524, 54, 843eqtrd 2777 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
861ad2antrl 727 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
874, 5pmatlmod 22058 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
8828, 87syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
89883adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
9089adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
9190adantr 482 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
92 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
93 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
9492, 93mgpbas 19907 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
954ply1ring 21635 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
9627, 95syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
97963ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
9892ringmgp 19975 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
10099adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
101100adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
102 elfznn0 13540 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
103102adantl 483 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
1047, 4, 93vr1cl 21604 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
10527, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
1061053ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
107106adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
108107adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
10994, 8, 101, 103, 108mulgnn0cld 18902 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
1104ply1crng 21585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CRing)
111110anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ CRing))
1121113adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ CRing))
1135matsca2 21785 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐‘Œ))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐‘Œ))
115114eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Scalarโ€˜๐‘Œ) = ๐‘ƒ)
116115fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) = (Baseโ€˜๐‘ƒ))
117116eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
118117adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
119118adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
120109, 119mpbird 257 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
12131adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
122121adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
123 simpll1 1213 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
12439adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
125 simpll3 1215 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
1266, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22091 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
127123, 124, 125, 126syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
12886adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
129 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))
130129anim1i 616 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
1312, 3, 4, 5, 6m2pmfzmap 22112 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
132123, 124, 128, 130, 131syl31anc 1374 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
13325, 10ringcl 19986 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ Ring โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
134122, 127, 132, 133syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
135 eqid 2733 . . . . . . 7 (Scalarโ€˜๐‘Œ) = (Scalarโ€˜๐‘Œ)
136 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ))
13725, 135, 9, 136lmodvscl 20354 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ LMod โˆง (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
13891, 120, 134, 137syl3anc 1372 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
13925, 26, 34, 86, 138gsummptfzsplitl 19715 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
140 0nn0 12433 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„•0
141140a1i 11 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
142 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
14394, 142, 8mulg0 18884 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
144106, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
145144adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
146145oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
147 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (1rโ€˜๐‘ƒ) = (1rโ€˜๐‘ƒ)
14892, 147ringidval 19920 . . . . . . . . . . . 12 (1rโ€˜๐‘ƒ) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (1rโ€˜๐‘ƒ) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)))
150149eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
151150oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
152114adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘ƒ = (Scalarโ€˜๐‘Œ))
153152fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (1rโ€˜๐‘ƒ) = (1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
154153oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
15527, 126syl3an2 1165 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
156155adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
157 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
158 elnn0uz 12813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘  โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘  โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
1591, 158sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
160 eluzfz1 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘  โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘ ))
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘ ))
162161adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘ ))
163157, 162ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต)
164163ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต))
16541, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต))
166165impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต)
167166adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต)
1686, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22091 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜0) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
16959, 39, 167, 168syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
17025, 10ringcl 19986 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Œ โˆˆ Ring โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
171121, 156, 169, 170syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
172 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) = (1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ))
17325, 135, 9, 172lmodvs1 20365 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Œ โˆˆ LMod โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
17490, 171, 173syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
175154, 174eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
176146, 151, 1753eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
177176, 171eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
178 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 0 โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) = (0 โ†‘ ๐‘‹))
179 2fveq3 6848 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = 0 โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))
180179oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘– = 0 โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
181178, 180oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘– = 0 โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) = ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
182181adantl 483 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– = 0) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) = ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
18325, 57, 141, 177, 182gsumsnd 19734 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
18494, 148, 8mulg0 18884 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
185106, 184syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
186185adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0 โ†‘ ๐‘‹) = (1rโ€˜๐‘ƒ))
187186oveq1d 7373 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((1rโ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
188183, 187, 1753eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))
189188oveq2d 7374 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
190139, 189eqtrd 2773 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
19185, 190oveq12d 7376 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
192 fzfid 13884 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
193 simpll1 1213 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
19439adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
19541adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
196195adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
197 nnz 12525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
198 fzoval 13579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ โ„ค โ†’ (0..^๐‘ ) = (0...(๐‘  โˆ’ 1)))
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (0..^๐‘ ) = (0...(๐‘  โˆ’ 1)))
200199eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) = (0..^๐‘ ))
201200eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†” ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘ )))
202 elfzofz 13594 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (0..^๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))
203201, 202syl6bi 253 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
204203adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
205204imp 408 . . . . . . . . . 10 (((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))
206196, 205ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 (((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
207206adantll 713 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
208 elfznn0 13540 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
209208adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
21049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
211209, 210nn0addcld 12482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘– + 1) โˆˆ โ„•0)
212193, 194, 207, 211, 52syl22anc 838 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
213212ralrimiva 3140 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))(((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
21425, 34, 192, 213gsummptcl 19749 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
21525, 26cmncom 19585 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
21634, 214, 70, 215syl3anc 1372 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
217216oveq1d 7373 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
218 ringgrp 19974 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
21931, 218syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
220219adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
221 fzfid 13884 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (1...๐‘ ) โˆˆ Fin)
22290adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ LMod)
223100adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ Mnd)
224 elfznn 13476 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
225224nnnn0d 12478 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
226225adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
227107adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
22894, 8, 223, 226, 227mulgnn0cld 18902 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
229114fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
230229adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
231230adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
232228, 231eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Œ)))
233121adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
234156adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
235 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
23639adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
237195adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
238237adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘:(0...๐‘ )โŸถ๐ต)
239 1eluzge0 12822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
240 fzss1 13486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (1...๐‘ ) โŠ† (0...๐‘ ))
241239, 240mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐‘ ) โŠ† (0...๐‘ ))
242241sseld 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
243242ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ )))
244243imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ))
245238, 244ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
2466, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22091 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
247235, 236, 245, 246syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
248233, 234, 247, 133syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
249222, 232, 248, 137syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
250249ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
25125, 34, 221, 250gsummptcl 19749 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
252 cpmadugsum.s . . . . . . . 8 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
25325, 26, 252grpaddsubass 18842 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ Grp โˆง ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))))
254220, 70, 214, 251, 253syl13anc 1373 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))))
255 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘– โˆ’ 1))
256255oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) = ((๐‘– โˆ’ 1) + 1))
257256oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) = (((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹))
258255fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)) = (๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))
259258fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))
260257, 259oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))) = ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
261260cbvmptv 5219 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
262224nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
263262adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
264 npcan1 11585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) + 1) = ๐‘–)
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) + 1) = ๐‘–)
266265oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) = (๐‘– โ†‘ ๐‘‹))
267266oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) = ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
268267mpteq2dva 5206 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘– โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))))
269261, 268eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))))
270269oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))))
271270ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))))
272271oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
273 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gโ€˜๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘Œ)
274 1zzd 12539 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
275 0zd 12516 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
27636nn0zd 12530 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘  โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
277 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘– + 1) = ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1))
278277oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) = (((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹))
279 2fveq3 6848 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))
280278, 279oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = (๐‘ฅ โˆ’ 1) โ†’ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))) = ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))
28125, 273, 34, 274, 275, 276, 212, 280gsummptshft 19718 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))))
282 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
283282a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (0 + 1) = 1)
28475ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘  โˆ’ 1) + 1) = ๐‘ )
285283, 284oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) = (1...๐‘ ))
286285mpteq1d 5201 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1))))))
287286oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘  โˆ’ 1) + 1)) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))))
288281, 287eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))))
289288oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((((๐‘ฅ โˆ’ 1) + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
290 ringabl 20007 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Abel)
29131, 290syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Abel)
292291adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Abel)
293224adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
294 nnz 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
295 elfzm1b 13525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†” (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))))
296294, 197, 295syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†” (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1))))
297199adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (0..^๐‘ ) = (0...(๐‘  โˆ’ 1)))
298297eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) = (0..^๐‘ ))
299298eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†” (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0..^๐‘ )))
300 elfzofz 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0..^๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ ))
301299, 300syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
302296, 301sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘– โˆˆ โ„• โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
303302expimpd 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
304293, 303mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ ))
305304ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
306305ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ )))
307306imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘– โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘ ))
308238, 307ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต)
3092, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22105 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
310235, 236, 308, 226, 309syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
311 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))
312 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))
31325, 252, 292, 221, 310, 249, 311, 312gsummptfidmsub 19732 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
314272, 289, 3133eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
315314oveq2d 7374 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))) = ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))))
316220adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Grp)
31725, 252grpsubcl 18832 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Œ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
318316, 310, 249, 317syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
319318ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )(((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32025, 34, 221, 319gsummptcl 19749 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32125, 26cmncom 19585 . . . . . . 7 ((๐‘Œ โˆˆ CMnd โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
32234, 70, 320, 321syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
323254, 315, 3223eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))))
324323oveq1d 7373 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))
32525, 26mndcl 18569 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ Mnd โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32657, 70, 214, 325syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
32725, 26, 252, 292, 326, 251, 171ablsubsub4 19602 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
32825, 26, 252grpaddsubass 18842 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
329220, 320, 70, 171, 328syl13anc 1373 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
330324, 327, 3293eqtr3d 2781 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) + (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
3316, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22091 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
332235, 236, 308, 331syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
33325, 9, 135, 136, 252, 222, 232, 332, 248lmodsubdi 20394 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
334333eqcomd 2739 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘ )) โ†’ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) = ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))
335334mpteq2dva 5206 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) = (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))))
336335oveq2d 7374 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))))
337336oveq1d 7373 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ (((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1)))) โˆ’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
338217, 330, 3373eqtrd 2777 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...(๐‘  โˆ’ 1)) โ†ฆ (((๐‘– + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))) + (((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )))) โˆ’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) + ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
33916, 191, 3383eqtrd 2777 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (((๐‘‹ ยท 1 ) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–)))))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3444   โŠ† wss 3911  {csn 4587   โ†ฆ cmpt 5189  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โ†‘m cmap 8768  Fincfn 8886  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ยท๐‘  cvsca 17142  0gc0g 17326   ฮฃg cgsu 17327  Mndcmnd 18561  Grpcgrp 18753  -gcsg 18755  .gcmg 18877  CMndccmn 19567  Abelcabl 19568  mulGrpcmgp 19901  1rcur 19918  Ringcrg 19969  CRingccrg 19970  LModclmod 20336  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564   Mat cmat 21770   matToPolyMat cmat2pmat 22069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-assa 21275  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-mamu 21749  df-mat 21771  df-mat2pmat 22072
This theorem is referenced by:  cpmadugsumfi  22242
  Copyright terms: Public domain W3C validator