MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsumlemF Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadugsumlemF 20901
Description: Lemma F for cpmadugsum 20903. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmadugsum.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
cpmadugsum.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m · = ( ·𝑠𝑌)
cpmadugsum.r × = (.r𝑌)
cpmadugsum.1 1 = (1r𝑌)
cpmadugsum.g + = (+g𝑌)
cpmadugsum.s = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cpmadugsumlemF (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏   𝑖,𝑠   𝑇,𝑖   ,𝑖   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑖,𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑠,𝑏)   · (𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   (𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   (𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadugsumlemF
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11501 . . . 4 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
2 cpmadugsum.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 cpmadugsum.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 cpmadugsum.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 cpmadugsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 cpmadugsum.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7 cpmadugsum.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
8 cpmadugsum.e . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
9 cpmadugsum.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑌)
10 cpmadugsum.r . . . . 5 × = (.r𝑌)
11 cpmadugsum.1 . . . . 5 1 = (1r𝑌)
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemB 20899 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
131, 12sylanr1 661 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemC 20900 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
151, 14sylanr1 661 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
1613, 15oveq12d 6811 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
17 nncn 11230 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
18 npcan1 10657 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
1918eqcomd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 = ((𝑠 − 1) + 1))
2017, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 = ((𝑠 − 1) + 1))
2120oveq2d 6809 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℕ → (0...𝑠) = (0...((𝑠 − 1) + 1)))
2221mpteq1d 4872 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))
2322oveq2d 6809 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
2423ad2antrl 707 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
25 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26 cpmadugsum.g . . . . 5 + = (+g𝑌)
27 crngring 18766 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2827anim2i 603 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
29283adant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
304, 5pmatring 20718 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
32 ringcmn 18789 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ CMnd)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ CMnd)
3433adantr 466 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ CMnd)
35 nnm1nn0 11536 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
3635ad2antrl 707 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
37 simpll1 1254 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ Fin)
38273ad2ant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3938adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑅 ∈ Ring)
4039adantr 466 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
41 elmapi 8031 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
4221feq2d 6171 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵))
4341, 42syl5ibcom 235 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) → (𝑠 ∈ ℕ → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵))
4443impcom 394 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵)
4544adantl 467 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵)
4645ffvelrnda 6502 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
47 elfznn0 12640 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4847adantl 467 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
49 1nn0 11510 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
5148, 50nn0addcld 11557 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
522, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 20765 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏𝑖) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
5337, 40, 46, 51, 52syl22anc 1477 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
5425, 26, 34, 36, 53gsummptfzsplit 18539 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
55 ringmnd 18764 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
5631, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Mnd)
5756adantr 466 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Mnd)
58 ovexd 6825 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑠 − 1) + 1) ∈ V)
59 simpl1 1227 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑁 ∈ Fin)
60 nn0fz0 12645 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ (0...𝑠))
611, 60sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ (0...𝑠))
62 ffvelrn 6500 . . . . . . . . . 10 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏𝑠) ∈ 𝐵)
6341, 61, 62syl2anr 584 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → (𝑏𝑠) ∈ 𝐵)
641adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
6549a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 1 ∈ ℕ0)
6664, 65nn0addcld 11557 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
6763, 66jca 501 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → ((𝑏𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0))
6867adantl 467 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑏𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0))
692, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 20765 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)) → (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌))
7059, 39, 68, 69syl21anc 1475 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌))
71 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (𝑖 + 1) = (((𝑠 − 1) + 1) + 1))
7271oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → ((𝑖 + 1) 𝑋) = ((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋))
73 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (𝑏𝑖) = (𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))
7473fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1))))
7572, 74oveq12d 6811 . . . . . . 7 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) = (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))))
7617, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
7776oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 − 1) + 1) + 1) = (𝑠 + 1))
7877oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℕ → ((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) = ((𝑠 + 1) 𝑋))
7976fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)) = (𝑏𝑠))
8079fveq2d 6336 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1))) = (𝑇‘(𝑏𝑠)))
8178, 80oveq12d 6811 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℕ → (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8281ad2antrl 707 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8375, 82sylan9eqr 2827 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1)) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8425, 57, 58, 70, 83gsumsnd 18559 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8584oveq2d 6809 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
8624, 54, 853eqtrd 2809 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
871ad2antrl 707 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
884, 5pmatlmod 20719 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
8928, 88syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ LMod)
90893adant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
9190adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ LMod)
9291adantr 466 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑌 ∈ LMod)
934ply1ring 19833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9427, 93syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
95943ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
96 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
9796ringmgp 18761 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
9895, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
9998adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
10099adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
101 elfznn0 12640 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ0)
102101adantl 467 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
103 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
1047, 4, 103vr1cl 19802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
10527, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1061053ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
107106adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
108107adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
10996, 103mgpbas 18703 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
110109, 8mulgnn0cl 17766 . . . . . . . 8 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
111100, 102, 108, 110syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
1124ply1crng 19783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
113112anim2i 603 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
1141133adant3 1126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
1155matsca2 20443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
117116eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑃)
118117fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘𝑃))
119118eleq2d 2836 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
120119adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
121120adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
122111, 121mpbird 247 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
12331adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Ring)
124123adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑌 ∈ Ring)
125 simpll1 1254 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑁 ∈ Fin)
12639adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
127 simpll3 1258 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑀𝐵)
1286, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 20751 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
129125, 126, 127, 128syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
13087adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑠 ∈ ℕ0)
131 simprr 756 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))
132131anim1i 602 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
1332, 3, 4, 5, 6m2pmfzmap 20772 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠))) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
134125, 126, 130, 132, 133syl31anc 1479 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
13525, 10ringcl 18769 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
136124, 129, 134, 135syl3anc 1476 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
137 eqid 2771 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
138 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
13925, 137, 9, 138lmodvscl 19090 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
14092, 122, 136, 139syl3anc 1476 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
14125, 26, 34, 87, 140gsummptfzsplitl 18540 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
142 0nn0 11509 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
143142a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 0 ∈ ℕ0)
144 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(mulGrp‘𝑃)) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
145109, 144, 8mulg0 17754 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
146106, 145syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
147146adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
148147oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((0g‘(mulGrp‘𝑃)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
149 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑃) = (1r𝑃)
15096, 149ringidval 18711 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
151150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (1r𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
152151eqcomd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0g‘(mulGrp‘𝑃)) = (1r𝑃))
153152oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0g‘(mulGrp‘𝑃)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
154116adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
155154fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (1r𝑃) = (1r‘(Scalar‘𝑌)))
156155oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
15727, 128syl3an2 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
158157adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
159 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ ℕ) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
160 elnn0uz 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ (ℤ‘0))
1611, 160sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ (ℤ‘0))
162 eluzfz1 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑠))
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℕ → 0 ∈ (0...𝑠))
164163adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ ℕ) → 0 ∈ (0...𝑠))
165159, 164ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ ℕ) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
166165ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 → (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘0) ∈ 𝐵))
16741, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘0) ∈ 𝐵))
168167impcom 394 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
169168adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
1706, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 20751 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘0) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌))
17159, 39, 169, 170syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌))
17225, 10ringcl 18769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))
173123, 158, 171, 172syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))
174 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (1r‘(Scalar‘𝑌)) = (1r‘(Scalar‘𝑌))
17525, 137, 9, 174lmodvs1 19101 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ LMod ∧ ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
17691, 173, 175syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
177156, 176eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
178148, 153, 1773eqtrd 2809 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
179178, 173eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) ∈ (Base‘𝑌))
180 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑖 𝑋) = (0 𝑋))
181 fveq2 6332 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 0 → (𝑏𝑖) = (𝑏‘0))
182181fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑇‘(𝑏𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘0)))
183182oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
184180, 183oveq12d 6811 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
185184adantl 467 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
18625, 57, 143, 179, 185gsumsnd 18559 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
187109, 150, 8mulg0 17754 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
188106, 187syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
189188adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
190189oveq1d 6808 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
191186, 190, 1773eqtrd 2809 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
192191oveq2d 6809 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
193141, 192eqtrd 2805 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
19486, 193oveq12d 6811 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
195 fzfid 12980 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin)
196 simpll1 1254 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑁 ∈ Fin)
19739adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
19841adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
199198adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
200 nnz 11601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℤ)
201 fzoval 12679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℤ → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
202200, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
203202eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℕ → (0...(𝑠 − 1)) = (0..^𝑠))
204203eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑠)))
205 elfzofz 12693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
206204, 205syl6bi 243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
207206adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
208207imp 393 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
209199, 208ffvelrnd 6503 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
210209adantll 693 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
211 elfznn0 12640 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
212211adantl 467 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21349a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 1 ∈ ℕ0)
214212, 213nn0addcld 11557 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
215196, 197, 210, 214, 52syl22anc 1477 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
216215ralrimiva 3115 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))(((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
21725, 34, 195, 216gsummptcl 18573 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
21825, 26cmncom 18416 . . . . 5 ((𝑌 ∈ CMnd ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
21934, 217, 70, 218syl3anc 1476 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
220219oveq1d 6808 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
221 ringgrp 18760 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
22231, 221syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
223222adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Grp)
224 fzfid 12980 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (1...𝑠) ∈ Fin)
22591adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ LMod)
22699adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
227 elfznn 12577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ)
228227nnnn0d 11553 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ0)
229228adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
230107adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
231226, 229, 230, 110syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
232116fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
233232adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
234233adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
235231, 234eleqtrd 2852 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
236123adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ Ring)
237158adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
238 simpll1 1254 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑁 ∈ Fin)
23939adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
240198adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
241240adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
242 1eluzge0 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ (ℤ‘0)
243 fzss1 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑠) ⊆ (0...𝑠))
244242, 243mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → (1...𝑠) ⊆ (0...𝑠))
245244sseld 3751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
246245ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
247246imp 393 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
248241, 247ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
2496, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 20751 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝑖) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
250238, 239, 248, 249syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
251236, 237, 250, 135syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
252225, 235, 251, 139syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
253252ralrimiva 3115 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑠)((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
25425, 34, 224, 253gsummptcl 18573 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
255 cpmadugsum.s . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
25625, 26, 255grpaddsubass 17713 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))))
257223, 70, 217, 254, 256syl13anc 1478 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))))
258 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑖 → (𝑥 − 1) = (𝑖 − 1))
259258oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑖 → ((𝑥 − 1) + 1) = ((𝑖 − 1) + 1))
260259oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑖 → (((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) = (((𝑖 − 1) + 1) 𝑋))
261258fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑖 → (𝑏‘(𝑥 − 1)) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
262261fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))
263260, 262oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑖 → ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))) = ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
264263cbvmptv 4884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
265227nncnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℂ)
266265adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℂ)
267 npcan1 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℂ → ((𝑖 − 1) + 1) = 𝑖)
268266, 267syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 − 1) + 1) = 𝑖)
269268oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) = (𝑖 𝑋))
270269oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
271270mpteq2dva 4878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))))
272264, 271syl5eq 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))))
273272oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))))
274273ad2antrl 707 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))))
275274oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
276 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑌) = (0g𝑌)
277 1zzd 11610 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 1 ∈ ℤ)
278 0zd 11591 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 0 ∈ ℤ)
27936nn0zd 11682 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
280 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑥 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑥 − 1) + 1))
281280oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑥 − 1) → ((𝑖 + 1) 𝑋) = (((𝑥 − 1) + 1) 𝑋))
282 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑥 − 1) → (𝑏𝑖) = (𝑏‘(𝑥 − 1)))
283282fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑥 − 1) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))
284281, 283oveq12d 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑥 − 1) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) = ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))
28525, 276, 34, 277, 278, 279, 215, 284gsummptshft 18543 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
286 0p1e1 11334 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
287286a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0 + 1) = 1)
28876ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
289287, 288oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) = (1...𝑠))
290289mpteq1d 4872 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))))
291290oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
292285, 291eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
293292oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
294 ringabl 18788 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Abel)
29531, 294syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Abel)
296295adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Abel)
297227adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ)
298 nnz 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
299 elfzm1b 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1))))
300298, 200, 299syl2an 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1))))
301202adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
302301eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0...(𝑠 − 1)) = (0..^𝑠))
303302eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑠)))
304 elfzofz 12693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
305303, 304syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
306300, 305sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
307306expimpd 441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
308297, 307mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
309308ex 397 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
310309ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
311310imp 393 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
312241, 311ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵)
3132, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 20765 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵𝑖 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌))
314238, 239, 312, 229, 313syl22anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌))
315 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
316 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))
31725, 255, 296, 224, 314, 252, 315, 316gsummptfidmsub 18557 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
318275, 293, 3173eqtr4d 2815 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
319318oveq2d 6809 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))))
320223adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ Grp)
32125, 255grpsubcl 17703 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌)) → (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
322320, 314, 252, 321syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
323322ralrimiva 3115 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑠)(((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
32425, 34, 224, 323gsummptcl 18573 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌))
32525, 26cmncom 18416 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ CMnd ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
32634, 70, 324, 325syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
327257, 319, 3263eqtrd 2809 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
328327oveq1d 6808 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
32925, 26mndcl 17509 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
33057, 70, 217, 329syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
33125, 26, 255, 296, 330, 254, 173ablsubsub4 18431 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
33225, 26, 255grpaddsubass 17713 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
333223, 324, 70, 173, 332syl13anc 1478 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
334328, 331, 3333eqtr3d 2813 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
3356, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 20751 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ (Base‘𝑌))
336238, 239, 312, 335syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ (Base‘𝑌))
33725, 9, 137, 138, 255, 225, 235, 336, 251lmodsubdi 19130 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
338337eqcomd 2777 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
339338mpteq2dva 4878 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
340339oveq2d 6809 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
341340oveq1d 6808 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
342220, 334, 3413eqtrd 2809 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
34316, 194, 3423eqtrd 2809 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723  {csn 4316  cmpt 4863  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cmin 10468  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  .gcmg 17748  CMndccmn 18400  Abelcabl 18401  mulGrpcmgp 18697  1rcur 18709  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756  LModclmod 19073  var1cv1 19761  Poly1cpl1 19762   Mat cmat 20430   matToPolyMat cmat2pmat 20729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-assa 19527  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mamu 20407  df-mat 20431  df-mat2pmat 20732
This theorem is referenced by:  cpmadugsumfi  20902
  Copyright terms: Public domain W3C validator