MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsumlemF Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadugsumlemF 22225
Description: Lemma F for cpmadugsum 22227. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmadugsum.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
cpmadugsum.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m · = ( ·𝑠𝑌)
cpmadugsum.r × = (.r𝑌)
cpmadugsum.1 1 = (1r𝑌)
cpmadugsum.g + = (+g𝑌)
cpmadugsum.s = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cpmadugsumlemF (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏   𝑖,𝑠   𝑇,𝑖   ,𝑖   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑖,𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑠,𝑏)   · (𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   (𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   (𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadugsumlemF
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12420 . . . 4 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
2 cpmadugsum.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 cpmadugsum.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 cpmadugsum.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 cpmadugsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 cpmadugsum.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7 cpmadugsum.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
8 cpmadugsum.e . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
9 cpmadugsum.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑌)
10 cpmadugsum.r . . . . 5 × = (.r𝑌)
11 cpmadugsum.1 . . . . 5 1 = (1r𝑌)
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemB 22223 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
131, 12sylanr1 680 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cpmadugsumlemC 22224 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
151, 14sylanr1 680 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
1613, 15oveq12d 7375 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
17 nncn 12161 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
18 npcan1 11580 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
1918eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 = ((𝑠 − 1) + 1))
2017, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 = ((𝑠 − 1) + 1))
2120oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℕ → (0...𝑠) = (0...((𝑠 − 1) + 1)))
2221mpteq1d 5200 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))
2322oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
2423ad2antrl 726 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
25 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26 cpmadugsum.g . . . . 5 + = (+g𝑌)
27 crngring 19976 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2827anim2i 617 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
29283adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
304, 5pmatring 22041 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
32 ringcmn 20003 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ CMnd)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ CMnd)
3433adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ CMnd)
35 nnm1nn0 12454 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
3635ad2antrl 726 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
37 simpll1 1212 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ Fin)
38273ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3938adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑅 ∈ Ring)
4039adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
41 elmapi 8787 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
4221feq2d 6654 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵))
4341, 42syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)) → (𝑠 ∈ ℕ → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵))
4443impcom 408 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵)
4544adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑏:(0...((𝑠 − 1) + 1))⟶𝐵)
4645ffvelcdmda 7035 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
47 elfznn0 13534 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4847adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
49 1nn0 12429 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
5148, 50nn0addcld 12477 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
522, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22089 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏𝑖) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
5337, 40, 46, 51, 52syl22anc 837 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1))) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
5425, 26, 34, 36, 53gsummptfzsplit 19709 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
55 ringmnd 19974 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
5631, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Mnd)
5756adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Mnd)
58 ovexd 7392 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑠 − 1) + 1) ∈ V)
59 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑁 ∈ Fin)
60 nn0fz0 13539 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ (0...𝑠))
611, 60sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ (0...𝑠))
62 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . 10 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏𝑠) ∈ 𝐵)
6341, 61, 62syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑏𝑠) ∈ 𝐵)
641adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
6549a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 1 ∈ ℕ0)
6664, 65nn0addcld 12477 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
6763, 66jca 512 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → ((𝑏𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0))
6867adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑏𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0))
692, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22089 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏𝑠) ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)) → (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌))
7059, 39, 68, 69syl21anc 836 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌))
71 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (𝑖 + 1) = (((𝑠 − 1) + 1) + 1))
7271oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → ((𝑖 + 1) 𝑋) = ((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋))
73 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1))))
7472, 73oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) = (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))))
7517, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
7675oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 − 1) + 1) + 1) = (𝑠 + 1))
7776oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℕ → ((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) = ((𝑠 + 1) 𝑋))
7875fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)) = (𝑏𝑠))
7978fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1))) = (𝑇‘(𝑏𝑠)))
8077, 79oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℕ → (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8180ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((((𝑠 − 1) + 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘((𝑠 − 1) + 1)))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8274, 81sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 = ((𝑠 − 1) + 1)) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8325, 57, 58, 70, 82gsumsnd 19729 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))))
8483oveq2d 7373 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {((𝑠 − 1) + 1)} ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
8524, 54, 843eqtrd 2780 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
861ad2antrl 726 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
874, 5pmatlmod 22042 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
8828, 87syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ LMod)
89883adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
9089adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ LMod)
9190adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑌 ∈ LMod)
92 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
93 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9492, 93mgpbas 19902 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
954ply1ring 21619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9627, 95syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
97963ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
9892ringmgp 19970 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
10099adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
101100adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
102 elfznn0 13534 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ0)
103102adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1047, 4, 93vr1cl 21588 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
10527, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1061053ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
107106adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
108107adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
10994, 8, 101, 103, 108mulgnn0cld 18897 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
1104ply1crng 21569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
111110anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
1121113adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
1135matsca2 21769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
115114eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑃)
116115fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘𝑃))
117116eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
118117adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
119118adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
120109, 119mpbird 256 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
12131adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Ring)
122121adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑌 ∈ Ring)
123 simpll1 1212 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑁 ∈ Fin)
12439adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
125 simpll3 1214 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑀𝐵)
1266, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22075 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
127123, 124, 125, 126syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
12886adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑠 ∈ ℕ0)
129 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))
130129anim1i 615 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
1312, 3, 4, 5, 6m2pmfzmap 22096 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠))) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
132123, 124, 128, 130, 131syl31anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
13325, 10ringcl 19981 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
134122, 127, 132, 133syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
135 eqid 2736 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
136 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
13725, 135, 9, 136lmodvscl 20339 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
13891, 120, 134, 137syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
13925, 26, 34, 86, 138gsummptfzsplitl 19710 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
140 0nn0 12428 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
141140a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 0 ∈ ℕ0)
142 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(mulGrp‘𝑃)) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
14394, 142, 8mulg0 18879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
144106, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
145144adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (0 𝑋) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
146145oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((0g‘(mulGrp‘𝑃)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
147 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑃) = (1r𝑃)
14892, 147ringidval 19915 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (1r𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃)))
150149eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (0g‘(mulGrp‘𝑃)) = (1r𝑃))
151150oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((0g‘(mulGrp‘𝑃)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
152114adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
153152fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (1r𝑃) = (1r‘(Scalar‘𝑌)))
154153oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
15527, 126syl3an2 1164 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
157 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ ℕ) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
158 elnn0uz 12808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ (ℤ‘0))
1591, 158sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ (ℤ‘0))
160 eluzfz1 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑠))
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℕ → 0 ∈ (0...𝑠))
162161adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ ℕ) → 0 ∈ (0...𝑠))
163157, 162ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑠 ∈ ℕ) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
164163ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 → (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘0) ∈ 𝐵))
16541, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝑏‘0) ∈ 𝐵))
166165impcom 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
167166adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑏‘0) ∈ 𝐵)
1686, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘0) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌))
16959, 39, 167, 168syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌))
17025, 10ringcl 19981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑇‘(𝑏‘0)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))
171121, 156, 169, 170syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))
172 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (1r‘(Scalar‘𝑌)) = (1r‘(Scalar‘𝑌))
17325, 135, 9, 172lmodvs1 20350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ LMod ∧ ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
17490, 171, 173syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((1r‘(Scalar‘𝑌)) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
175154, 174eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
176146, 151, 1753eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
177176, 171eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) ∈ (Base‘𝑌))
178 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑖 𝑋) = (0 𝑋))
179 2fveq3 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑇‘(𝑏𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘0)))
180179oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
181178, 180oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
182181adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) = ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
18325, 57, 141, 177, 182gsumsnd 19729 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
18494, 148, 8mulg0 18879 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
185106, 184syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
186185adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
187186oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((0 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((1r𝑃) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
188183, 187, 1753eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))
189188oveq2d 7373 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
190139, 189eqtrd 2776 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
19185, 190oveq12d 7375 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
192 fzfid 13878 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin)
193 simpll1 1212 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑁 ∈ Fin)
19439adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
19541adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
196195adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
197 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℤ)
198 fzoval 13573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℤ → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
200199eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℕ → (0...(𝑠 − 1)) = (0..^𝑠))
201200eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑠)))
202 elfzofz 13588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
203201, 202syl6bi 252 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
204203adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
205204imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
206196, 205ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
207206adantll 712 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
208 elfznn0 13534 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
209208adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 1 ∈ ℕ0)
211209, 210nn0addcld 12477 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
212193, 194, 207, 211, 52syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
213212ralrimiva 3143 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1))(((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
21425, 34, 192, 213gsummptcl 19744 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
21525, 26cmncom 19580 . . . . 5 ((𝑌 ∈ CMnd ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
21634, 214, 70, 215syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
217216oveq1d 7372 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
218 ringgrp 19969 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
21931, 218syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
220219adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Grp)
221 fzfid 13878 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (1...𝑠) ∈ Fin)
22290adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ LMod)
223100adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
224 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ)
225224nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ0)
226225adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
227107adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
22894, 8, 223, 226, 227mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
229114fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
230229adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
231230adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
232228, 231eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
233121adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ Ring)
234156adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
235 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑁 ∈ Fin)
23639adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
237195adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
238237adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
239 1eluzge0 12817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ (ℤ‘0)
240 fzss1 13480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑠) ⊆ (0...𝑠))
241239, 240mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → (1...𝑠) ⊆ (0...𝑠))
242241sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
243242ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
244243imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ (0...𝑠))
245238, 244ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑏𝑖) ∈ 𝐵)
2466, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝑖) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
247235, 236, 245, 246syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
248233, 234, 247, 133syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
249222, 232, 248, 137syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
250249ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑠)((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌))
25125, 34, 221, 250gsummptcl 19744 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
252 cpmadugsum.s . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
25325, 26, 252grpaddsubass 18837 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))))
254220, 70, 214, 251, 253syl13anc 1372 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))))
255 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑖 → (𝑥 − 1) = (𝑖 − 1))
256255oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑖 → ((𝑥 − 1) + 1) = ((𝑖 − 1) + 1))
257256oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑖 → (((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) = (((𝑖 − 1) + 1) 𝑋))
258255fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑖 → (𝑏‘(𝑥 − 1)) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
259258fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))
260257, 259oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑖 → ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))) = ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
261260cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
262224nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...𝑠) → 𝑖 ∈ ℂ)
263262adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℂ)
264 npcan1 11580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℂ → ((𝑖 − 1) + 1) = 𝑖)
265263, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 − 1) + 1) = 𝑖)
266265oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) = (𝑖 𝑋))
267266oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
268267mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑖 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))))
269261, 268eqtrid 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))))
270269oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))))
271270ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))))
272271oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
273 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑌) = (0g𝑌)
274 1zzd 12534 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 1 ∈ ℤ)
275 0zd 12511 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 0 ∈ ℤ)
27636nn0zd 12525 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
277 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑥 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑥 − 1) + 1))
278277oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑥 − 1) → ((𝑖 + 1) 𝑋) = (((𝑥 − 1) + 1) 𝑋))
279 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑥 − 1) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))
280278, 279oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑥 − 1) → (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) = ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))
28125, 273, 34, 274, 275, 276, 212, 280gsummptshft 19713 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
282 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
283282a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (0 + 1) = 1)
28475ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑠 − 1) + 1) = 𝑠)
285283, 284oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) = (1...𝑠))
286285mpteq1d 5200 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))) = (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1))))))
287286oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑥 ∈ ((0 + 1)...((𝑠 − 1) + 1)) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
288281, 287eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))))
289288oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑥 ∈ (1...𝑠) ↦ ((((𝑥 − 1) + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑥 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
290 ringabl 20002 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Abel)
29131, 290syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Abel)
292291adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Abel)
293224adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑖 ∈ ℕ)
294 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
295 elfzm1b 13519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1))))
296294, 197, 295syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1))))
297199adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0..^𝑠) = (0...(𝑠 − 1)))
298297eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0...(𝑠 − 1)) = (0..^𝑠))
299298eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑠)))
300 elfzofz 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
301299, 300syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑖 − 1) ∈ (0...(𝑠 − 1)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
302296, 301sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
303302expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
304293, 303mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
305304ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
306305ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠)))
307306imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑖 − 1) ∈ (0...𝑠))
308238, 307ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵)
3092, 3, 6, 4, 5, 25, 9, 8, 7mat2pmatscmxcl 22089 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵𝑖 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌))
310235, 236, 308, 226, 309syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌))
311 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))
312 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))
31325, 252, 292, 221, 310, 249, 311, 312gsummptfidmsub 19727 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
314272, 289, 3133eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
315314oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))) = ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))))
316220adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → 𝑌 ∈ Grp)
31725, 252grpsubcl 18827 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))) ∈ (Base‘𝑌)) → (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
318316, 310, 249, 317syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
319318ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑠)(((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
32025, 34, 221, 319gsummptcl 19744 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌))
32125, 26cmncom 19580 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ CMnd ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
32234, 70, 320, 321syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
323254, 315, 3223eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))))
324323oveq1d 7372 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))
32525, 26mndcl 18564 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
32657, 70, 214, 325syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑌))
32725, 26, 252, 292, 326, 251, 171ablsubsub4 19597 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
32825, 26, 252grpaddsubass 18837 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))) ∈ (Base‘𝑌))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
329220, 320, 70, 171, 328syl13anc 1372 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
330324, 327, 3293eqtr3d 2784 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) + (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
3316, 2, 3, 4, 5mat2pmatbas 22075 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ (Base‘𝑌))
332235, 236, 308, 331syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ (Base‘𝑌))
33325, 9, 135, 136, 252, 222, 232, 332, 248lmodsubdi 20379 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
334333eqcomd 2742 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑠)) → (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))) = ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
335334mpteq2dva 5205 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) = (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
336335oveq2d 7373 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))))
337336oveq1d 7372 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ (((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1)))) ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
338217, 330, 3373eqtrd 2780 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↦ (((𝑖 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) + (((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠)))) ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) + ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
33916, 191, 3383eqtrd 2780 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  .gcmg 18872  CMndccmn 19562  Abelcabl 19563  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  LModclmod 20322  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548   Mat cmat 21754   matToPolyMat cmat2pmat 22053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-assa 21259  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mat2pmat 22056
This theorem is referenced by:  cpmadugsumfi  22226
  Copyright terms: Public domain W3C validator